內(nèi)蒙古呼和浩特市2022-2023學年高三上學期質(zhì)量普查調(diào)研考試文科數(shù)學試題（含解析）

2023屆呼和浩特市高三年級質(zhì)量普查調(diào)研考試文科數(shù)學注意事項：1、本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、座位號涂寫在答題卡上.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2、回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再涂選其他答案標號，寫在本試卷上無效.3、答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回.第一卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，用交集運算法則即可求得.【詳解】由集合解得，，又集合，所以.故選：D2.若，則下列說法正確的是（）A.復數(shù)z的模為 B.C.復數(shù)z的虛部為－i D.復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第二象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除運算可化簡得，即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】由得，所以，故A錯誤，，故B正確，復數(shù)z的虛部為1，故C錯誤，復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，在第一象限，故D錯誤，故選：B3.已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（－5，m），且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義先求出的值，從而求出的值，再由二倍角公式化簡然后代入即可得出答案.【詳解】角終邊經(jīng)過點，且，所以角的終邊在第三象限，則.，解得,所以，.故選：C4.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，再求出，代入公式即可求解.【詳解】因為，所以，又，，所以，設與的夾角為，所以，所以.故選：B.5.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以，因為在上遞增，且，所以，即，所以，故選：C6.數(shù)列中，如果，則Sn取最大值時，n等于（）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的表達式，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由題意可知：數(shù)列是以45為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，關(guān)于的二次函數(shù)，開口向下，對稱軸，所以當時，最大，即數(shù)列的前項和最大，故選：.7.已知雙曲線的右焦點為，點是其漸近線上的一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用點到直線的距離結(jié)合雙曲線的幾何意義求解即可.【詳解】由題可知，雙曲線漸近線為，則右焦點到漸近線距離為，所以，故選：A．8.小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距20米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學樓AB的高度是（）A.20米 B.米 C.米 D.25米【答案】A【解析】【分析】根據(jù)仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.【詳解】設教學樓的高度為，在直角三角形中，因為，所以，在直角三角形中，因為，所以，所以，在中，由余弦定理可得，代入數(shù)值可得解得或（舍），故選:A.9.已知函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中不超過實數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，如圖，則輸出的S值為（）A.42 B.43 C.44 D.45【答案】D【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的運行過程，得出輸出結(jié)果是累加計算得S的值.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，所以.故選：D10.曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再用點斜式計算可得.【詳解】解：因為，所以，所以，所以切線方程為，即.故選：D11.已知函數(shù)，則“”是“對恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出“對恒成立”的的取值，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷選項.【詳解】若對恒成立，則解得，是的真子集，所以“”是“對恒成立”的必要不充分條件.故選:C.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含．12.定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，對任意的實數(shù)x都有，且，，則的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，進而可得，，結(jié)合函數(shù)的對稱性可得，進而可得的值，根據(jù)周期性即一個周期內(nèi)的和，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，滿足，則，故，即函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則，,又由函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，則，進而有，則有，則.故選：A．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若實數(shù)，滿足，則的最大值是______．【答案】4【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中點，目標函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線過點A時，縱截距最小，z最大，則，所以的最大值是4.故答案為：414.已知圓C與圓相切于原點，且過點，則圓的標準方程為______.【答案】【解析】【分析】設已知圓的圓心為，可得、、共線，故圓心在直線上，設所求的圓的圓心為，又所求的圓過點，可得圓心還在直線上，故可得圓心坐標為，求得半徑的值，可得圓的方程．【詳解】解：圓，即：，故圓心．根據(jù)兩圓相切于原點，可得、、共線，故圓心在直線上，設所求的圓的圓心為，又圓過點，又過原點，故圓心還在直線上，故，半徑為，故圓的標準方程為：，故答案為：．15.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于的結(jié)論正確的序號為______.①的最小正周期為；②的圖象關(guān)于直線對稱；③若且，則；④的圖象向左平移θ（θ＞0）個單位得到的圖象，若圖象的一個對稱中心是，則θ的最小值為.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的零點，結(jié)合正弦型函數(shù)的對稱性、圖象變換性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以由正弦型函數(shù)的周期公式可知：，即，由，因為，所以令，所以，即.因為的最小正周期為，所以①正確；因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，因此②不對；因為，所以關(guān)于該函數(shù)的一條對稱軸對稱，令，因為，所以令，即對稱軸為：，，所以③正確；因為的圖象向左平移θ（θ＞0）個單位得到的圖象，所以，因為圖象的一個對稱中心是，所以，因為，所以當時，θ的最小值為，因此④正確，故答案為：①③④【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)經(jīng)過的零點求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.16.已知P是半徑為1圓心角為的一段圓弧AB上的一點，若，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，然后求出對應點的坐標，然后結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則，，，過點作，垂足為，因為，且，所以，又，所以，在中，因為，所以，，則，所以，設，則，又，所以，則，即的取值范圍是，故答案為：.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.在梯形中，，，，．（1）求的值；（2）若的面積為4，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解；（2）由已知結(jié)合和差角公式及三角形面積公式可先求，然后結(jié)合余弦定理可求．【小問1詳解】解：在中，，，由正弦定理得，則；【小問2詳解】解：因為，為銳角，所以，所以，又為銳角，所以，因為，所以，由余弦定理得，所以．18.已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項之和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）當時，得到，兩式相減求得，得到即，驗證適合上式，即可求解；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項法求和，求得則，即可證得．【詳解】（1）因為，當時，可得；當時，可得，兩式相減得，即，顯然適合上式，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，則，因為，所以，即．19.用清水洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，已知用一個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留農(nóng)藥量與本次清洗前殘留農(nóng)藥量之比為．（1）試確定的值，并解釋其實際意義；（2）試根據(jù)假設寫出函數(shù)應滿足的條件和具有的性質(zhì)；（至少3條）（3）設，現(xiàn)有個單位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成兩份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少，說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；【解析】【分析】（1）由表示未清洗的意思，從而得解；（2）結(jié)合題干信息可得和及的范圍，單調(diào)性等；（3）分別計算兩種方式的農(nóng)藥殘留量，進而作差比較大小即可.【小問1詳解】解：，表示沒有用水洗時，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量將保持原樣．【小問2詳解】解：由題知，函數(shù)應該滿足的條件和具有的性質(zhì)是：；在上單調(diào)遞減；．【小問3詳解】解：設僅清洗一次，殘留在農(nóng)藥量為，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為，所以，；所以，當時，，故清洗兩次后殘留在農(nóng)藥量較少；當時，，故兩種清洗方法具有相同的效果；當時，，故一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少．20.已知函數(shù).（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）【解析】【分析】（1）代入的值，求出函數(shù)的導數(shù)，令，利用導數(shù)說明的取值情況，即可得到的單調(diào)性；（2）令，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個交點，求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的取值范圍即可．【小問1詳解】解：當時，，則，令，則，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，且當時，，則，所以當時，當時，即當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】解：因為有兩個零點，所以方程有兩個不同的根，即關(guān)于方程有兩個不同的解，當時，方程不成立，所以，令，，則與的圖象有兩個交點，又，令，解得或，令，得或，所以在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，當時，取得極大值，當時，取得極小值，因為，且當時，，所以取值范圍是．21.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，橢圓的右焦點F與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓C的方程；（2）A、B是橢圓的左、右頂點，過點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M、N，直線AM與直線x＝4交于點P.記PA、PF、BN的斜率分別為k1、k2、k3，是否為定值？并說明理由.【答案】（1）（2）是定值，理由見解析【解析】【分析】（1）由題意可知，再根據(jù)離心率為可求，進而可求橢圓方程；（2）設，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，由韋達定理可得，的值，聯(lián)立直線與直線，求出交點的坐標，進而得到的表達式，代入已知求解即可．【小問1詳解】設橢圓的焦距為，因為橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，所以．因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以，所以橢圓的方程為．【小問2詳解】設，，，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，得，因為直線交橢圓于，兩點，所以，所以，，所以．直線與直線的交點的坐標為，則．設，則，所以，即為定值.選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答．如果多做，則按所做第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的參數(shù)方程；（2）設圓與直線交于點，求弦長【答案】（1）（為參數(shù)）；（2）.【解析】【分析】（1）先將圓的極坐標方程化為普通方程，并化為標準方程，確定圓心和半徑，即可寫出圓的參數(shù)方程；（2）將直線的參數(shù)方程與圓的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的二次方程，列出韋達定理，利用弦長公式可計算出.【詳解】（1），．所以，圓的直角坐標方程為，即，所以，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，得，即，設兩交點所對應的參數(shù)分別為，則，.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線參數(shù)方程的幾何意