2023年高考數(shù)學一輪復習（學生版）：第十單元立體幾何

§10.1空間幾何體的直觀圖、三視圖及其應

用

（對應答案分冊第31頁）

....................因基礎知識,…，夯實基礎鞏固提升

知識清單

1.簡單多面體的結構特征

名稱特征

棱柱側棱都，上、下底面是售的多邊形

棱錐底面是任意多邊形,側面是有一個的三角形

棱臺由的平面截棱錐得到,其上、下底面是相似多邊形

2旋轉體的結構特征

名稱特征

圓柱由矩形繞旋轉一周得到

圓錐由直角三角形繞旋轉一周得到

E公由直角梯形繞旋轉一周或等腰梯形繞旋轉半周

圓臺

得到,也可由底面的平面截圓錐得到

球由半圓面繞旋轉一周或圓面繞直徑旋轉半周得到

3.簡單幾何體的三視圖

簡單幾何體的三視圖是用平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖

形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括

圖、側（左）視圖、俯視圖.

4.簡單幾何體的直觀圖

簡單幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟如下：

在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點畫直觀圖時，把它們畫成對應

畫幾何

的x軸、y軸,兩軸相交于點O；且使，已知圖形中平行于x軸、y

體的

軸的線段，在直觀圖中平行于x軸、y軸.已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中長

底面

度，平行于y軸的線段，長度變?yōu)?/p>

畫幾何在已知圖形中過。點作z軸垂直于X。平面，在直觀圖中對應的z軸，也垂直于

體的高X'?！菲矫?，已知圖形中平行于z軸的線段,在直觀圖中仍平行于z軸且長度

L按照斜二測畫法得到的平面

圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面

積的關系：

S直觀圖=—S原圖形,S原圖形=2或5直觀

圖?

2.記住旋轉體的一些常見結論

（1）球的三視圖都是半徑相等的圓.

（2）水平放置的圓錐的正（主）視圖和

側（左）視圖均為全等的等腰三角形.

（3）水平放置的圓臺的正（主）視

圖和側（左）視圖均為全等的等腰梯

形.

（4）水平放置的圓柱的正（主）視圖和

側（左）視圖均為全等的矩形.

3.正方體的截面情況:三角形,四邊形

（有菱形、矩形、梯形等）,五邊形，六

邊形.

|!工盤冊/￡擊

（1）三視圖的長度特征："長對

正,寬相等，高平齊"，即正（主）視圖和

側（左）視圖一樣高，正（主）視圖和俯視

圖一樣長，側（左）視圖和俯視圖一樣

寬.若相鄰兩物體的表面相交，表面的

交線是它們的分界線，在三視圖中，要

注意實、虛線的畫法.

（2）臺體可以看成是由錐體截得的，但

一定要強調截面與底面平行.

（3）注意空間幾何體的不同放置對三

視圖的影響.

（4）幾何體的展開、折疊問題,要抓住

前后兩個圖形間的聯(lián)系，找出其中的

量的關系.

夯實基礎

【概念辨析】

關于空間幾何體的結構特征，判斷下面結論是否正確.（對的打"V",錯的打

"x"）

Q）棱柱的側棱長都相等.（）

（2）棱錐的側棱長都相等.（）

（3）三棱臺的上、下底面是相似三角形.（）

（4）有的棱臺的側棱長都相等.（）

【對接教材

下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）.

①正方體②圓錐③三棱臺④正四棱錐

、①②B@③Q.①④D.②④

下列說法中正確的是（）.

A.三角形的直觀圖是三角形

B.平行四邊形的直觀圖不是平行四邊形

C.正方形的直觀圖是正方形

D.菱形的直觀圖是菱形

【易錯自糾】

如圖。所示，將一邊長為1的正方形力8。沿對角線8。折起，形成三棱錐C-

力8。其正（主）視圖與俯視圖如圖②所示,則其側（左）視圖的面積為（）.

正（主）視圖俯視圖

圖②

B.抬D號

以圖。為正視圖,在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和

俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次

為.（寫出符合要求的一組答案即可）

圖④圖⑤

考點考向力精研考向錘煉技能

不鎏空間幾何體的結構特征【題組過關】

給出下列四個命題：

②有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱；

②側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；

③側面都是矩形的直四棱柱是長方體；

@若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱.

其中所有假命題的序號是（）.

②③④B.①②③

C.①②④D.①②③④

給出下列結論:②以直角三角形的一邊為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓錐;②以

直角梯形的一腰為軸旋轉一周所得的旋轉體是圓臺;③圓柱、圓錐、圓臺的底面

都是圓用一個平面截圓錐彳導到一個圓錐和一個圓臺;⑤用任意一個平面截一

個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球.

其中正確結論的序號是

如圖所示的是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形必G"為截面，長方形

力8。為底面，則四邊形"G”的形狀為（）.

A.梯形

B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形

D.不確定

解決與空間幾何體結構特征有關問題的技巧

Q）緊扣結構特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結構特征,依據(jù)條件構建

幾何模型，在條件不變的情況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元

素，然后再依據(jù)題意判定.

（2）通過反例對結構特征進行辨析，即要說明一個命題是假的，只要舉出一個

反例即可.

母豆⑥空間幾何體的三視圖【考向變換】

考向1由幾何體的直觀圖識別三視圖

@)0

正視圖

在一個正方體中,過頂點力的三條棱的中點分別為

該正方體截去三棱錐力-￡五G后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示,

則相應的側視圖是（

由幾何體的直觀圖求三視圖，注意正（主）視圖、側（左）視圖和俯視圖的

觀察方向，注意看到的部分用實線，不能看到的部分用虛線表示.

【追蹤訓練1】

如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中產是上底面481GS內一動點則三棱

錐夕乂比■的正（主）視圖與側（左）視圖的面積的比值為.

考向2已知三視圖，判斷幾何體

硼0黑四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)

為（）.

h——2——>1

側（左）視圖

A.lB.2C.3D.4

由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀，要熟悉柱、錐、臺、球體的三

視圖，明確三視圖的形成原理，結合空間想象將三視圖還原為直觀圖.其步驟如下：

（1）定底面:根據(jù)俯視圖確定；

⑵定棱及側面根據(jù)正（主）視圖、側（左）視圖確定幾何體的側棱與側面特征，

調整實線、虛線對應棱的位置；

（3）定形狀:確定幾何體的形狀.

【追蹤訓練2]如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗

實線畫出的是某個零件的三視圖，則這個零件的體積等于（）.

A.6TTB.8TCC.12TID.14TT

考向3已知幾何體的某些視圖,判斷其他視圖

O0

如圖所示的是某幾何體的正（主）視圖和側（左）視圖，則該

幾何體的俯視圖不可能是（）.

Sill

ABCD

由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖，先根據(jù)已知的一部分視圖，還

原、推測其直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式.當然作為選

擇題，也可將選項逐項代入,再看看給出的部分視圖是否符合.

【追蹤訓練3】在一個幾何體的三視圖中，正（主）視圖

和俯視圖如圖所示，則相應的側（左）視圖可以為（）.

正（主）視圖

母點血空間幾何體的直觀圖【典例遷移】

創(chuàng)良］已知正三角形/8U的邊長為a,那么A/SU的平面直觀圖的面

積為（）.

A.鋁B.含C和D.舒

【變式設問】本例改為“已知"SU的平面直觀圖”181G是邊長為a的

正三角形"，則原△/8U的面積為.

（1）在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段的位置，注意"三變"

與“三不變"；平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關系是s直觀圖4s

原圖形?

（2）在原圖形中與x軸或y軸平行的線段，在直觀圖中與x軸或y軸平行，原

圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線,原圖中的曲線段可以

通過取一些關鍵點，作出在直觀圖中的相應點后,用平滑的曲線連接而畫出.

【追蹤訓練4】

如圖所示，一個水平放置的平面圖形，其斜二測直觀圖

是其中。8=/8=4,則該直觀圖所表示的平面圖形的面積為（）.

A.16V2B.8V2C.16D.8

.............宿方法技巧...............................，方法探究分類突破

CS1WC幾何體表面上點到點的最短距離

求幾何體表面上點到點的最短距離，先將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，

再求平面圖形上兩點之間的最短距離，通過把立體圖形轉化為平面圖形，利用軸對

稱、平移或旋轉幾何圖形的變換，運用"兩點之間線段最短"來解決.

在窗創(chuàng)

DxG

4/（主）視

一只螞蟻從正方體ABCD-AxBiCiDi的頂點/出發(fā)，經(jīng)正方體的表面，按最

短路線爬行到頂點G的位置，則下列圖形中可以表示正方體及螞蟻最短爬行路

線的正（主）視圖的是（）.

A.①②B.①③G.③④D.②④

求幾何體表面上點到點的最短

距離的步驟如下：

⑴將幾何體剪開后展開，畫出其側面

展開圖；

（2）將所求曲線問題轉化為平面上的

線段問題；

（3）結合已知條件求結果.

【突破訓練】已知某幾何體的三視圖如圖所示，點48在正（主）視圖中的位

置如圖所示（48分別為正（主）視圖中等腰梯形的兩個頂點）,則在此幾何體的側面

上,從/到8的最短距離為（）.

俯視圖

A，2B.3V3

C芋D.3V7

請完成課后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P61

§10.2空間幾何體的表面積與體積

（對應答案分冊第31頁）

學基礎知識＞夯實基礎鞏固提升

《知識清單

1.圓柱、圓推、圓臺的側面展開圖及側面積公式

圓臺

S圓臺側二

n（r*r）/

2.空間幾何體的表面積與體積公式

名

稱表面積體積

幾何體

柱體S表面積=

|/=

（棱柱和圓柱）Sai+2S底

錐體S表面積=

（棱錐和圓錐）S?|+S底

S表面積=5

臺體

M*S上+S

（棱臺和圓臺）

T

球s=

3拓展知識

1.正方體的內切球

球與正方體的六個面都相切，稱球為

正方體的內切球,此時球的半徑

n二|,過在一個平面上的四個切點作

截面,如圖②所示.

2.球與正方體的各條棱相切

球與正方體的各條棱相切于各棱的

中

點,過球心作正方體的對角面有

優(yōu)考,如圖②^示.

3.長方體的外接球

長方體的八個頂點都在球面上，稱球

為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可

知，長方體的體對角線是球的直徑，若

長方體過同一頂點的三條棱的長為

a,6,G則過球心作長方體的對角面有

球的半徑riVa2+b2+c2,$D圖③

耐.

①②③

4.正方體的外接球

正方體的棱長a與外接球的半徑R

的關系為2R=Wa.

5.正四面體的外接球

正四面體的棱長a與外接球的半徑

/?的關系為2R4a.

特別提醒

（1）求組合體的表面積時，要注意

各幾何體重疊部分的處理.

⑵底面是梯形的四棱柱側放時溶易

和四棱臺混淆，在識別時要緊扣定義,

以防出錯.

一夯實基礎

【概念辨析】

判斷下面結論是否正確.（正確的打,錯誤的打"X"）

（1）多面體的表面積等于各個面的面積之和.（）

（2）錐體的體積等于底面積與高之積.（）

（3）球的體積之比等于半徑比的平方.（）

（4）簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差.（）

（5）長方體既有外接球又有內切球.（）

【對接教材】

已知圓錐的表面積等于12TTcm2,其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑

為（）.

A.lcmB.2cm

C.3cmD.|cm

1個球體的體積和它的表面積的值相等，則該球的半徑為.

【易錯自糾】

4.

AB

正六棱柱的底面邊長為2,最長的一條對角線長為2而，則它的表面積為（）.

A.4(3V3M)B.l2d2)

C.12(2V3^1)D.3(V3^8)

設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S,S,體積分別為％,若它們的側面積相

等且51:S=9:4,則H:V1=,

講考點考向?卜精研考向錘煉技能

空間幾何體的表面積【考向變換】

考向1規(guī)則幾何體的表面積

^90某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

表面積為（）.

T

I

2

I

X

T

I

2

I

X

俯視圖

A.12MV2B.18+&T1

C.28D.20+8V2

工匚空間幾何體表面積的求法

（1）以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖，確定幾何體

中各元素之間的位置關系及數(shù)量關系.

（2）多面體的表面積是各個面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處

理.

（3）旋轉體的表面積的求法:圓柱、圓錐、圓臺的側面是曲面,計算側面積時

需要將曲面展開為平面圖形計算,而表面積是側面積與底面圓的面積之和.

【追蹤訓練1］若圓錐的軸截面為等腰直角三角形，則它的底面積與側面積

之比是（）.

A.V2/IB.2.1

C.l；V2D.1:2

考向2組合體的表面積

倒0某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（）.

m

正（主）視圖側（左）視圖

------17

,3

___13

俯視圖

A.90cm2B.129cm2

C.132cm2D.138cm2

多面體的表面積的求法:求解有關多面體表面積的問題，關鍵是找到其

特征幾何

圖形，如棱柱中的矩形，棱臺中的直角梯形，棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與

斜高、邊長等幾何元素的橋梁,從而架起側面積公式中的未知量與條件中已知幾

何元素的聯(lián)系.

【追蹤訓練2】

如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖

一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，則挖洞后幾何體的表面積是

cm2.（n取3.14）

點蠶空間幾何體的體積【考向變換】

考向1直接利用公式求體積

@3短（一題多解）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）.

正（主）視圖側（左）視圖

『1T

俯視圖

A。ClD.1

點撥（1）以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖想象

原幾何體的形狀，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系，然

后在直觀圖中求解.

（2）對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解.

【追蹤訓練3]已知正四棱錐的底面邊長是2,側棱長

是百，則該正四棱錐的體積為^.

考向2割補法求體積

施JCJ已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為，表面

積為.

正（主）視圖側（左）視圖

俯視圖

求組合體的體積的方法

⑴分析結構尚正

（2）設計計算方法.根據(jù)組成形式,設計計算方法，特別要注意"拼接面"面積

的處理利用"切割""補形"的方法求體積.

（3）計算求值根據(jù)設計的計算方法求值.

把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算，或者把不規(guī)則的幾何

體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積.

【追蹤訓練4】某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是（）.

正（主）視圖側（左）視圖

T

2

I

X

俯視圖

A13C15

D.16

B.14

考向3等體積法求體積

C,

倒瘍如圖所示，已知三棱柱/8U-481G的所有棱長均為L且底面

/8C則三棱錐81乂8G的體積為（）.

A遺B—C—uD—

M-i264=124

點撥一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的.如果一個幾何體的底面

面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉化或

等積變形，它是

通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關錐體的體積，特

別是三棱錐的體積.

【追蹤訓練5】（1）兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個大球，這個大球的

半徑是

X

（2）圓柱形容器內盛有高度為8cm的水,若放入三個相同的球（球的半徑與

圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖），則球的半徑是（）.

A.V3cmB.2cm

C.3cmD.4cm

Cl點后球的表面積與體積【典例遷移】

硼?一個球的表面積是16TT,那么這個球的體積為（）.

A等B.尊C.16TTD.24TT

33

【變式設問】將"表面積是16TT"改為"體積是16TT",則這個球的表面積

為.

求球的表面積與體積的方法：

（1）確定半徑與球心；

（2）熟記球的表面積公式5球=4TT#與球的體積公式1/球=軟也

【追蹤訓練6]已知圓錐的高為3,底面半徑為百，若

該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上,則這個球的體積等于

............................以方法技巧.........，方法探究分類突破

05比突破O球的截面問題

一個球被一個平面所截，其截面是一個圓，當這個平面經(jīng)過球心時，截面圓的

面積最大.

圈初平面。截球。的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為

企則此球的體積為（）.

A.V6nB.4V3TC

C.4V6TTD.6V3n

E方法總結

球的截面問題的解題技巧

⑴有關球的截面問題，常畫出過球心

的截面圓，將問題轉化為平面中圓的

問題.

(2)解題時要注意借助球半徑尺截面

圓半徑/；球心到截面的距離〃構成

的直角三角形，即以二印+匕

【突破訓練】已知過球面上三點48,U的截面到球心的距離等于球半徑的

一半，且/U=8U=6,/8=4,求球的表面積與球的體積.

請完成群后作業(yè)

鏈接《精練案》分冊P63

§10.3空間中點、線、面的位置關系

(對應答案分冊第31頁)

學基礎知識一?，夯實基礎鞏固提升

知識清單

1.平面的基本，性質

(1)公理1：如果一條直線上的在一個平面內，那么這條直線在這個平面

內.

(2)公理2:的三點，有且只有一個平面.

(3)公理3:如果兩個不重合的平面有公共點，那么它們有且只有一條過

該點的公共直線.

(4)公理2的三個推論

推論1:經(jīng)過一條直線和有且只有一個平面.

推論2:經(jīng)過有且只有一個平面.

推論3:經(jīng)過有且只有一個平面.

2.空間中兩直線的位置關系

(1)空間中兩條直線的位置關系

(.(平行

共面直線

相交

、異面直線:不同在任何一個平面內

(2)異面直線所成的角

②定義:設是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。作直線a'lla,6'li6,把a'

與6所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與6所成的角(或夾角).

談圍：(0圖.

(3)公理4:平行于的兩條直線互相平行.

(4)等角定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角

互補.

3.空間直線與平面、平面與平面的位置關系

(1)直線與平面的位置關系有、、三種情況.

(2)平面與平面的位置關系有、孑交兩種情況.

[E特別提醒

i.異面直線判定的一個定理

過平面外一點和平面內一點的直線，

與平面內不過該點的直線是異面直

線.

2.唯一性定理

(1)過直線外一點有且只有一條直線

與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面

與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面

與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線

與已知平面垂直.

?夯實基礎一

【概念辨析】

判斷下面結論是否正確.(對的打"V",錯的打"X")

Q)平面aS有一個公共點4就說相交于過/點的任意一條直線.

(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.

(3)若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.

(4)沒有公共點的兩條直線是異面直線.

【對接教材】

下列命題是真命題的是().

A.空間中的三點確定一個平面

B.一條直線和一個點能確定一個平面

C.圓心和圓上兩點可以確定一個平面

D.梯形可以確定一個平面

若直線a不平行于平面a,且直線a不包含于平面a,則下列結論成立的是

().

A.平面a內的所有直線與直線a是異面直線

B.平面a內不存在與直線a平行的直線

C.平面。內存在唯一一條直線與直線a平行

D.平面a內的所有直線與直線a都相交

【易錯自糾】

給出下列命題：

②若的三條邊所在直線分別交平面a于RQ/?三點，貝ijRQZ?三點共線；

②若直線是異面直線，直線61是異面直線,則直線是異面直線；

③若三條直線a,6(兩兩平行且分別交直線/于48,0三點,則這四條直線共面;

@對于三條直線a,b,c,若a_Lc,bJLG貝ijallb.

其中所有真命題的序號是().

、①②B.②③C.③④D.②④

如圖,G”M/V分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點則表示直線GH,MN是

考點考向?)精研考向錘煉技能

點基平面基本性質的運用【典例遷移】

施J0如圖所示，在正方體/8UO-481G。中,￡尸分別是28和441的中

點.求證:

(l)￡C〃i,尸四點共面；

三線共點.

【變式設問】若本例中平面8814。與4U交于點M求證：8,M2共線.

—(1)證明線共面或點共面的常用方法：

②直接法,證明直線平行或相交，從而證明線共面.

②弓I入平面法，先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內.

③輔助平面法，先由有關的點、線確定平面Q再由其余元素確定平面￡最后

證明平面重合.

(2)證明點共線問題的常用方法：

鹿本性質法，一般轉化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本性

質3證明這些點都在這兩個平面的交線上.

朗I入直線法,選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.

【追蹤訓練1】已知空間四面體力83如圖所示),￡尸分別是力8,4?的中

點,G〃分別是上的點，且求證：

(1)￡￡G〃四點共面；

(2)直線FH,EG,AC共息.

家豪判斷空間兩條直線的位置關系【題組過關】

如圖,￡￡G〃分別是菱形的邊Z8,8CU。,。力上的點，且

BE=2AE,DH=2HA,CF=2FB,CG=2GD,現(xiàn)將&ABD沿8。折起彳導到空間四邊形

/8C。,在折起過程中，下列說法正確的是（).

A.直線用"G有可能平行

B.直線3;"G一定異面

C.直線///G一定相交，且交點一定在直線/U上

D.直線日;HG一定相交,但交點不一定在直線ACh

2.

O.

AFB

如圖所示，在正方體/8UO-481GS中工是平面47S4的中心,M/V,尸分別

是8iGCG,/8的中點則下列說法正確的是().

A.MN=EF,且MN與您平行

B.MN當EF,且MN與￡尸平行

C.MN=^EF,且MN與￡尸異面

D.MN^EFRMN與樂異面

二空間中兩直線位置關系的判定,主要是異面、平行的判定，對于異面直

線，可采用直接法或反證法;對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質、平

行公理及線面平行與面面平行的性質定理.

求兩條異面直線所成的角【典例遷移】

倒口(2021年全國乙卷)在正方體ABCD-AiBiCiDi中,為員4的中點,

則直線PB與所成的角為().

A料qD?

點源求異面直線所成的角的一般步驟：

(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，若題設中有中點，?？紤]中位

線;若異面直線依附于某幾何體，且直線對異面直線平移有困難時，可利用該幾何

體的特殊點，使異面直線轉化為相交直線.

(2)證明——證明所作出的角等于要求的角.

(3)計算——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角.

(4)結論——設由(3)所求得的角的大小為8.若0°90。,則8為所求;若

90°<8<180°,則180。-8為所求.

【追蹤訓練2]長方體ABCD-AiBiCiDi

中,/8=遙,/。=1,/4=&廁異面直線力4與46所成角的余弦值為（）.

A埠D喀

2346

................................￡口方法技巧……＞方法探究分類突破

05g突破O構造模型判斷空間中的位置關系

構造法實質上是結合題意構造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直

觀地作出判斷，這樣減少了抽象性，避免因考慮不全面而導致解題錯誤.對于線

面、面面位置關系（平行、垂直）的判定，可構造長方體或將正方體化抽象為直觀

去判斷.

陽健已知是兩條不同的直線,為兩個不同的平面，有下列四個命題：

②若mA.a,nA,0、ml."廁a±￡

②若/77II則

③若則a\\/3\

@若/77_La〃li￡°llA則mln.

其中正確的命題是.（填寫所有正確命題的序號）

用"模型法”判斷空間位置關

系，長方體是一個特殊的圖形，當點、

線、面關系比較復

雜時，可以尋找長方體作為載體，將它

們置于其中，立體幾何的直線與平面

的位置關系都可以在這個模型中得

到反映.因而人們給它以“百寶箱"

之稱.

【突破訓練】下列命題正確的個數(shù)為（）.

②若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內廁/IIa

②若兩條平行直線中的一條與一個平面平行，則另一條也與這個平面平行;

③若直線/與平面a平行，則/與平面a內的任意一條直線都沒有公共點.

A.OB.lC.2D.3

--------請完成課后作亞-------

鏈接《精練案》分冊P65

§10.4直線、平面平行的判定與性質

（對應答案分冊第31~33頁）

學基礎知識，夯實基礎鞏固提升

＜知識清單

1.直線與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

若平面外

判

直線與此平面a

定第a,baa,

內的一條直線

定a\\b=>a\\a

平行，則該直線

理

平行于此平面

（續(xù)表）

文字語言圖形語言符號語言

若一條直線和

一個平面平行,

則過這條直線/Ila,匕舀

的任一個平面aT\/3=b

與此平面的=/ll6

與該直線平

行

2.平面與平面平行的判定定理和性質定理

文字語言圖形語言符號語言

若一個平面

判內的兩條

bwp,

定與另

aC\b=P,

定一個平面平

aua,

理行，則這兩個

bca=^>a\\/3

平面平行

性若兩個平面

質平行,則其中an/7,

定一個平面內

理的直線

于另一個平

面

如果兩個平

行平面同時御6

和第三個平aT\y=a,

面相交，那么/3T\y=b

它們的^>a\\b

平行

|!既硼題看

平行關系中的三個易錯點

1.在證明線面平行時，一定要強調直

線a不在平面內，直線b在平面內，

且all6,否則會出現(xiàn)錯誤.

2.一條直線平行于一個平面，它可以

與平面內的無數(shù)條直線平行，但這條

直線與平面內的任意一條直線可能

平行,也可能異面.

3.alla的判定定理和性質定理使用

的區(qū)別:若結論中有allQ則要用判

定定理，在。內找與a平行的直線；

若條件中有alla則要用性質定理，

找(或作)過a且與a相交的平面.

?《夯實基礎》》

【概念辨析】

判斷下面結論是否正確.(對的打"V",錯的打"X")

Q)若直線all平面a直線all直線6,則直線611平面a.()

(2)若直線all平面a,則直線a與平面a內任意一條直線都無公共點.()

(3)若all￡,則平面a內有無數(shù)條互相平行的直線平行于平面(3.()

(4)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線與另一個平面內的直線異面.

()

【對接教材】

2.

有一正方體木塊如圖所示，點夕在平面/'8'U'。內，棱8U平行于平面/

若要經(jīng)過點P和棱6U將木塊鋸開，鋸開的面必須平整，有/V種鋸法，則/V為

（）.

A.OB.lC.2D.無數(shù)

下面命題中為真命題的是（）.

②已知平面和直線m,n,若則ail￡

②若一個平面a內的兩條不平行的直線都平行于另一個平面以則創(chuàng)￡

③平行于同一條直線的兩個不同平面平行；

④平行于同一個平面的兩個不同平面平行；

⑤一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交.

A.①②④B.②③④

C.③④⑤D.②④⑤

【易錯自糾】

下列說法正確的是（）.

A.如果一個平面內有一條直線和另一個平面平行,那么這兩個平面平行

B.如果一個平面內有無數(shù)條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行

C.如果一個平面內的任何直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行

D.如果兩個平面平行于同一條直線，那么這兩個平面平行

一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示,

在正方體中，設8U的中點為MG/V的中點為/V,下列結論正確的是（）.

A.M/VII平面ABEB./WVll平面ADE

C./I4/VII平面8。"D./V//VII平面?；?/p>

考點考向一精研考向錘煉技能

語點垂直線與平面平行的判定【考向變換】

考向1直線與平面平行的判定

倒111（2022河南豫東名校聯(lián)考）如圖，在四棱柱ABCDABIQDL中港為線

段上的任意一點（不包括4。兩點），平面與平面881。交于FG求

證:尸。1平面/4818.

判斷或證明線面平行的常用方法

Q)利用線面平行的定義(無公共點).

(2)利用線面平行的判定定理⑶a,b^a,a\\galla).

(3)利用面面平行的性質定理(all￡式aall為

(4)利用面面平行的性質(aila第觀

【追蹤訓練1]如圖，在棱長為6的正方體ABCD-

481GS中,￡是881的中點，點尸在棱上，且/尸二2廠民設直線相交

于點G.證明:G尸II平面AAiDiD.

考向2直線與平面平行的性質

初■如圖，戶是平行四邊形28。所在平面外一點，股是PU的中點，在DM

上取一點G過點G和/戶作平面，交平面BDM于GH求證:/PllGH.

運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直線的

平面與另一平面相交的交線，然后確定線線平行.證題過程應認真領悟線線平行與

線面平行的相互轉化關系.

【追蹤訓練2】

在邊長為2的正方體/8UO-481G5中，例是該正

方體表面及其內部的一動點，且8A分平面/5C則動點例的軌跡所形成區(qū)域的

面積是..

口直⑥面面平行的判定與性質【典例遷移】

O0

如圖所示，在三棱柱/8U-481G中,分別是/8,/C48L4G的中點,

求證：

(1)8,C〃,G四點共面；

(2)平面￡721II平面BCHG.

【變式設問1］在本例條件下，若。為8G的中點，求證:平面481以.

【變式設問2】在本例條件下，若”,。分別為的中點，求證:平面

48優(yōu)11平面ACiD.

點撥證明面面平行的常用方法

Q)面面平行的定義.

(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平

面，那么這兩個平面平行.

(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.

(5)利用"線線平行""線面平行""面面平行"的相互轉化進行證明.

【追蹤訓練3】）22如圖，平面平面。8/V例菱形

與菱形DBNM全等，且4MDB=zDAB,G為例C的中點.求證:平面

G6OII平面AMN.

(蜜豆題平行關系的綜合運用【典例遷移】

良!如圖,四邊形ABCD與ADEF為平行四邊形,M"G分別是AB,AD,EF

的中點，刀與G/V相交于點。求證：

(1)8片1平面DMF;

(2)平面8。國平面MNG.

解決平行關系的綜合問題,需反復利用線面平行和面面平行的判定定

理和性質定理，利用“線線平行""面面平行"的相互轉化解題.

【追蹤訓練4】已知正方體280-4員6。1,如圖所示.

(1)求證:平面/815II平面CiBD.

(2)試找出體對角線4U與平面和平面的交點￡￡并證

^■.AiE=EF=FC.

￡3方法技巧,方法探究分類突破

包去突破0平行關系中的存在性問題

解決存在性問題,一般先假設求解的結果存在，從這個結果出發(fā)，尋找使這個

結論成立的充分條件，若找到了使結論成立的充分條件，則存在;若找不到使結論

成立的充分條件（出現(xiàn)矛盾），則不存在.而對于探求點的問題,一般是先探求點的位

置，多為線段的中點或某個三等分點，然后給出符合要求的證明.

圈砌如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中,。是棱UG的中點，問:在棱AB

上是否存在一點￡使得。國平面/SG?若存在，請確