2023年高考數(shù)學(xué)題型預(yù)測卷（上海） 猜題10 第18題 函數(shù)、不等式（拓展）

猜題10第18題函數(shù)、不等式(拓展)

一、解答題

1.己知函數(shù)/(乃=二-且(。>0),且/(o)=o.

a2

(1)求。的值，并指出函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/(X)在(f,”)上是增函數(shù).

【答案】⑴。=1,7(X)為奇函數(shù)

(2)證明見解析

【分析】(1)求出。的值，根據(jù)/(-X)與/⑺的關(guān)系判斷〃x)的奇偶性;

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，任取玉<x?,判斷/(4)-/(七)的符號得到Ax)的單調(diào)性.

【解析】(1)因為〃0)=L-a=0,又a>0,所以a=l,

a

所以/(》)=2'-/，xe(e,y),

此時/(-x)=——21=—f(x),所以/(x)為奇函數(shù)；

(2)任取玉<馬，貝iJ/a)-/(X2)=21-5-2W+5

2*-2011

=⑵-2&)+-…=⑵-24)(1+—r)=2為(1+—r)(1-2'E),

因為再<馬,所以2&T'>1,所以1-2&F<0,2為(1+，^)>0

所以/U,)-f(x2)<0BP/(x,)<f(x2),

所以函數(shù)〃x)在(f,”)上是增函數(shù).

2.已知函數(shù)〃x)=log“(f-a|x|+3),(a>0,awl).

(1)若a=4,寫出它的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若對于-14%4-；的任意實數(shù)占，々都有〃為)-〃々)<0成立，試求實數(shù)〃的范圍.

【答案】(1)(一1,0］與(3,+8)

(2)2工。<4或Ovavl

【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法求解;

(2)先利用偶函數(shù)及條件判斷區(qū)間；，1上的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的知識求解.

2

【解析】(D當a=4時，/(x)=log4(x-4|x|+3),此函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，外層是增函數(shù),

令dTW+B〉。可解得x<-3,或或x>3,

即函數(shù)的定義域是(Y,—3)5T，1)U(3,+8)；

x2-4x+3,x>0

又*一4兇+3=<

x2+4x+3,x<0

所以內(nèi)層函數(shù)在(TQ)與(3,+切)上是增函數(shù)，

所以復(fù)合函數(shù)/(x)=log4(W-4兇+3)在(-1,0］與(3,+8)上是增函數(shù),

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(TQ］與(3,+8).

(2)因為對于一14用<々4一(的任意實數(shù)4，々都有/(七)—〃々)<0成立，所以xe時為增函

數(shù)；

易知〃T)=/(X),所以函數(shù)/0)為偶函數(shù),

所以當xepl時為減函數(shù).

2

對于XW時，/(x)=log(,(x-ar+3),(<7>0,Q工1);

?>10<。<1

設(shè)g&bV-ar+B,由題意得：-1<^或

g(l)>0響>°

貝ij2Wa<4或

］—

3.已知函數(shù)“xblogi-^為奇函數(shù).

(1)求常數(shù)大的值；

⑵當》>1時,判斷了(X)的單調(diào)性;

⑶若函數(shù)g(x)=〃x)-［)+加，且g(x)在區(qū)間［3,4］上沒有零點，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】=

(2)單調(diào)遞增

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值；

(2)令%>當>1,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷了(占),f(x2)的大小關(guān)系即可.

(3)將問題轉(zhuǎn)化為相=-log］皆在區(qū)間［3,4］上無解，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求值域，即可確定〃？的

范圍.

］+］—x—［

【解析】⑴由—即%==-眄0=1。"匚后，

LLy\+kXX-\.,.,El

所以——.故0則/=±1,

-x-i1-Ax

當女=1時，==_1顯然不成立，經(jīng)驗證：火=T符合題意;

X-1

所以％=-1；

(2)/(x)單調(diào)遞增

］+X

由(1)矢口：/(X)=log,—j-,若為>z>I,

l+x

則/Ui)-/U,)=log1匕3-logI2(1+M)*2_l)=］o“內(nèi)+”1

2Xl-l2%一］1(%-1)(1+々)|玉馬+X-％-1

玉工2一演+/2-1<］

而X|X2-Xj4-x2-1<玉%2+%1_12_］，即

XyX2+Xj-X2-1’

所以/(王)-/*2)>0,故/*)單調(diào)遞增.

⑶由g(x)=k)gg￡

+m,令g(x)=O,

所以機=(￡|-bgig，由(2)知：“X)在［3,4］上遞增，而》=(￡|'在［3,4］上遞減,

所以3)=圖飛甘在［3,4］上遞減,則心)4+喟

又〃?=/?*)在區(qū)間［3,4］上無解，故相€(-8,上+log2：)U(g,+8)

1638

4.已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+aln(l-x)(“eR)的圖象關(guān)于原點對稱.

⑴求。的值.

⑵若g(x)=e""-守有零點，求機的取值范圍.

2+m

【答案】(1)4=一1

⑵e(—2,1)

【分析】(1)根據(jù)/*)為奇函數(shù)，滿足/(-x)=-/(x),代入表達式即可求解，

(2)根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為臀=守在xe(-l,D上有解，進而根據(jù)即可求解m的范圍.

fl+x＞0

【解析】(1)由函數(shù)的解析式可得1A,求得-1VXV1,故函數(shù)的定義域為

由題意可得，函數(shù)/(幻為奇函數(shù)，/(-x)=-/(x),

即ln(l—x)+￡?ln(l+x)=-［ln(l+%)+41n(1—x)］,

即(1+〃)ln(l-x)+(a+l)ln(l+x)=0,故(1+a)ln(l-4)=0恒成立,:.a=-\.

(2)f(x)=ln(l+x)-ln(l-x)=\n^,由題意可得：e'"＞-上”=0在上有解，

1—x2+m

即：手=上”在*?-1,1)上有解，即女=-*-1在上有解，

i-x2+機

217I

?'x=——zn——G(―1,1),艮|J-1＜一］加一5V1,解得一2＜相＜1,

.￡(-2,1).

5.已知函數(shù)/(')=?￥是R上的偶函數(shù)

1+廠

(1)求實數(shù)"，的值，判斷函數(shù)〃X)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)/⑴在-3,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)，〃=。，單調(diào)遞增

(2)最小值最大值1

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)的定義，對照等式可求得機=0,再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷函數(shù)/(x)在10,+⑹

上的單調(diào)性.

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，判斷F(x)在13,2］上的單調(diào)性，利用單調(diào)性可求得函數(shù)最值.

【解析】⑴若函數(shù)/。)=鬻是R上的偶函數(shù)，則/S)=g),

fn(-x)+1mx+\,,

即1+(_x)2=不定，解得“=0,

所以/（x）=；-

1+x-

函數(shù)f（x）在［0,+8）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知函數(shù)/（X）在［0,+8）上單調(diào)遞減，

又函數(shù)/（X）是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)/*）在（9,01上為增函數(shù)，

所以函數(shù)〃x）在［-3,0］上為增函數(shù)，在［0,2］上為減函數(shù).

又3）.J（O）=1J（2）W

所以=/（-3）=七J31rax=/（°）=1

6.已知二次函數(shù)〃x）=f—H+1（AGR）.

⑴若g（x）=-一二，且g（x）和f（x）都在區(qū)間⑵”）上單調(diào)遞增，求實數(shù)女的取值范圍;

⑵若/（x）N0在xe（0,田）上恒成立，求實數(shù)Z的取值范圍.

【答案】⑴（7,2）

⑵（7,2］

【分析】（I）結(jié)合二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識求得&的取值范圍.

（2）由/（x）zo分離常數(shù)3結(jié)合基本不等式求得左的取值范圍.

【解析】⑴f（x）在［2,向上遞增，所以后=342?44,

g（x）的定義域是｛x|x#M，

在［2,內(nèi)）上遞增，所以4<2,

綜上所述，%的取值范圍是（f,2）.

（2）,/■（力=/一日+120在（0,+8）上恒成立，質(zhì)在（0,+8）上恒成立,

x+->2.［^=2,當且僅當x=Lx=l時等號成立，

xVXX

所以欠42,

即％的取值范圍是（—,2］.

7.己知定義域為R的函數(shù)，(力=/乙-；是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)4的值：

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用定義加以證明；

⑶若對任意的xeR,不等式/任一爾)+/(/+4)>0成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(1)1

(2)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明見解析

(3)(-4夜，叫

【分析】(1)由是奇函數(shù)可得"0)=0,求出a的值，再驗證此時是奇函數(shù)；

(2)/(力先分離常數(shù)，再判斷其單調(diào)性，利用定義證明函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增；

(3)利用/(x)的奇偶性和單調(diào)性將不等式變成丁-儂再利用二次函數(shù)恒成立求出實數(shù)機的取

值范圍.

【解析】(1)因為函數(shù)的定義域為R,所以f(0)=zg-g=0,...aul.

經(jīng)檢驗當a=l時，有〃T)=—"X)，所以a=L

⑵=-，，

''2、+122*+1222A+1

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：

112"-2勺

設(shè)玉所以/(')一/(入)=2%+]-2為+]=(2%+[)(2/+])'

因為2、>2-，所以/(%)>/(&)，所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

(3)???/(X)是奇函數(shù)，由已知可得/(產(chǎn)-〃a)>-/12+4)=/(-/-4)

x2-nvo-x1-4,貝ij2x2-/nx+4>0,

/.A<0,故加2_4X2X4V0,-4V2<m<4>/2.

???實數(shù)機的取值范圍為(-4近,4應(yīng)).

8.已知函數(shù)/(x)=|x-a|.

⑴若不等式力恒成立，求實數(shù)的最大值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+一有零點，求實數(shù)a的取值范圍.

a

【答案】(l)m最大值為1

⑵y,o)

【分析】(1)利用絕對值三角不等式將原不等式進行轉(zhuǎn)化從而求解；

(2)通過分類討論求解不等式.

(1)

：f(x)=|x-a|,f{x+tn)=\x+in-a\,

:.f(x)-f[x+w)=|x-a|-|x+m-a\,則原不等式恒成立等價于：

|x-a|-lx+帆-a區(qū)1恒成立，由絕對值不等式同一同可得:

\x-a\-\x+m-a\<\n^,

|/n|<1,/.-1<m<1,

???實數(shù)機的最大值為1:

(2)

由題意可得8(%)=上一4+』,。工0，

a

當a>0時，g(x)>。恒成立，故沒有零點，不符合題意；

當a<0時，|x-a|+-=O,解得：x=a±-,即原函數(shù)有零點，

aa

綜上所述，實數(shù)”的取值范圍為(9,0)

9.已知累函數(shù)〃》)=(加+3"-3卜""|是偶函數(shù).

⑴求函數(shù)“X)的解析式；

⑵函數(shù)g(x)=/(x)-2x,xe[l,a],若g(x)的最大值為15,求實數(shù)”的值.

【答案】(l)f(x)=x2

⑵5

【分析】(1)根據(jù)黑函數(shù)的特征，得/+3〃?-3=1,解得〃?=T或，〃=1,檢驗Ax)是偶函數(shù)，得出答案;

(2)求出g(x)=f-2x,利用g(x)的單調(diào)性，得g(x)1rax=g(a)="2-2a=15,求解即可.

【解析】(1)由題知布+3m—3=I,即,“2+3〃i—4=0,解得機=-4或M=1.

當，”=-1時，/(x)=x-3,不是偶函數(shù)，舍去，

當帆=1時，/(x)=x2,是偶函數(shù)，滿足題意，

所以.

(2)由(1)知g(x)=/_2x,且g(x)圖象的對稱軸為x=l,

所以g(x)在[1,句上是增函數(shù)，

則g(x)max=g{a)=a2-2a=\5,

解得a=5或a=—3,

又a>l,所以。=5.

10.己知函數(shù)/(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，當xe[0,a>)時，f(x)=x2+x+2x+m.

⑴求〃x)在(-8,0)上的解析式；

⑵若/?伽2-l)+/(a)<0,求a的取值范圍.

【答案】⑴/。)=-犬+》-2-*+1

【分析】(I)由函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，得到〃?=-1,結(jié)合定義可得結(jié)果；

(2)利用單調(diào)性與奇偶性解不等式即可.

【解析】Q)因為函數(shù)/(x)是定義域在R上的奇函數(shù)，所以/(0)=1+機=0,則帆=T.

當x<0時，—X>0,所以/(-x)=(-x)—x+2'—1=x~—x+2,-1,

則/(?*)=(-x)=-x2+x-2^'+1,

所以〃x)在(-8,0)上的解析式為/(x)=-x2+x-2T+1

(2)當xe[0,+oo)時,f(x)=x2+x+2x-I,則在[0,+oo)上單調(diào)遞增，

又函數(shù)”X)為奇函數(shù)，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，

因為/Qa?-l)+/(a)<0,所以/(加?_])</(_“)，所以

解得一即a的取值范圍是(-1,：)

11.已知定義在R上的函數(shù)/("=舟+如(。62為偶函數(shù).

(1)求“的值，并判斷f(x)在［0,+8)上單調(diào)性(只作判斷，不用說明理由)；

(2)若/(2x—l)</(x+3),求x的范圍.

【答案】(l)a=O，f(x)在［。,+紇)上單調(diào)遞減

2

(2)x<--gKx>4.

【分析】(1)依題意可得/⑴即可求出參數(shù)a的值，即可得到/(X)的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的

定義檢驗即可，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性；

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得到|2x-l|>|x+3］,將兩邊平方，解一元二次不等式，即可得解；

(1)

解：因為函數(shù)的定義域是為R,且函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

貝Ij/(1)=/(T),即本+。=木一。，所以。=。,

1

所以〃力=對，則〃-X)=E=F7T=^T=/(X)'

9、

經(jīng)檢驗，〃=0時，/(%)為偶函數(shù)，符合題意.

3，1

因為9"+1~r,令加(x)=3*、/(,〃)=/"+'、y=-,

3+ymt

因為機(x)=3"在［(),+向上單調(diào)遞增,且m(x)e［l,+a)),

又對勾函數(shù)(")=m,在［1,”)上單調(diào)遞增，

m

所以y=3、+"在［0,+8)上單調(diào)遞增，

y1

而).=1在［2,+oo)上單調(diào)遞減，所以/°)-9、+i一］一r在［。,+8)上單調(diào)遞減，

t3+一

即/(X)在［0,+。)上單調(diào)遞減;

(2)

解：因為〃2x—l)<〃x+3),則川2x-l|)</(|x+3|)

又因為〃x)在[(),+8)上單調(diào)遞減，所以|2x-l|>|x+3|,即(2X-1)2>(X+3)2

,,2

解得力<-§或x>4.

12.已知函數(shù)〃x)=k+2|+|2x-4|.

(1)求不等式/(%),,9的解集；

9Q

(2)若函數(shù)f(x)的最小值是加，對任意的實數(shù)4>0,/7>0,且a+A=m,求上+5的最小值.

ab

【答案】⑴一若

諼

【分析】(1)零點分段法求解絕對值不等式；(2)先求出加=/(2)=4,利用基本不等式“1”的妙用求解

最值.

(1)

—3x+2,x<—2

/(X)=|X4-2|+|2X-4|=<-X+6,-2<X<2

3x-2,x>2

不等式〃/x)、"9等價于Ufcx+<-22,,9或Lf-+2x6l!,k,29,或[x>2,,9,

解得琳即不等式〃x),,9的解集是卜.

(2)

由(1)可知“X)在(-8,2)單調(diào)遞減，在(2,+0。)上單調(diào)遞增，

所以優(yōu)=/(2)=4.

因為a+b=4,所以2+g=++=竺+l+10).

ab4V\ab)ab)

因為a>0,b>0,所以女+里22J絲.姆=8,

ab\ab

所以2+：="+當+lo]..：x(8+lO)=g,當且僅當a=g,b=?時，等號成立.

ab41ab)4233

13.已知函數(shù)f(x)=px+幺(p,q為常數(shù))，且滿足了⑴=：,”2)=1.

x24

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若Vx>0,關(guān)于x的不等式/(x)N3-〃”恒成立，求實數(shù)垃的取值范圍.

【答案】(l)f(x)=2x+：(xw0)

2x

⑵口收)

【分析】(1)根據(jù)〃1)，/(2)處函數(shù)值，代入解析式，即可得p,g的值，即可得答案.

(2)由(1)可得/*)解析式,根據(jù)基本不等式，可得/(X)的最小值，分析即可得答案.

/(1)=|5

p+q=-p=20

【解析】⑴{17M,解得{1,

〃2)4cq17q=-

2%=z2

，函數(shù)小)的解析式為e)=2x+^X).

(2)x>0,.??由基本不等式可得"x)=2x+:

>2,2x-=2,

\2x

當且僅當2x=1,即x=1時取等號，

2x2

??.當x>0,函嗷/(x)=2x+二-的最小值是2,

2x

要使Vx>0,關(guān)于x的不等式“X)之3-加恒成立，只需/(可疝/3-加,

所以223-加，解得mN/.

實數(shù)m的取值范圍是［1,+co)

14.已知a>0且awl,/(x)=log,I(l+x),g(x)=log“(l—x),h(x)=^=.

(1)求/(x)+g(x)+〃(x)的定義域￡)；

(2)已知/e￡>,請比較/小)與g(x0)的大小關(guān)系.

【答案】(1)(0,1);

(2)當0>1時，/(Xo)>g(%)；當0<a<l時，f(x0)<g(x0).

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零，分母不為零，偶次開根根號下非負即可列出不等式組求

(2)根據(jù)?的范圍，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷.

⑴

l+x>0

依題意，X應(yīng)滿足1一彳〉0,解得Ovxvl,

x>0

.?.函數(shù)“力+g(X)+Mx)的定義域力=(0,1)；

(2)

當天e(O,l)時，有1+

①當“>1時，函數(shù)y=log“x單調(diào)遞增，/伍)>8優(yōu))；

②當0<〃<1時，函數(shù)y=10g“X單調(diào)遞減，.?./(/)<g(x0).

15.已知二次函數(shù)f(x)滿足〃x+l)—/(x)=2x且〃0)=1.

(1)求f(x)的解析式；

⑵若方程〃%)=依，xe[2,3]時有唯一一個零點，且不是重根，求。的取值范圍；

(3)當時，不等式/(x)>2x+加恒成立，求實數(shù)，〃的范圍.

【答案】⑴/(x)=x2-x+l

叫「萬37,-

⑶S，T)

(a=l

【分析】⑴設(shè)〃力=加+瓜+。，〃0)=1,得到c=l,代入函數(shù)計算得到6=_],得到解析式.

(2)令〃(x)=〃x)-or,只需〃(2)/(3)W(),解不等式并驗證得到答案.

(3)設(shè)g(x)=d-3x+l-m,確定函數(shù)的單調(diào)性，計算最值得到答案.

【解析】⑴設(shè)〃工)=加+區(qū)+c,則由“())=1,c=\.

/(x+l)-/(x)=2x,Bp2ax+a+h=2x,<。十8，即1'

/（X）的（W析式為/（x）=f—X+1.

(2)令〃(x)=/(x)-分=x?-(a+l)x+l,貝!|〃(2)=3-2。，〃⑶=7-3々,

由&("=0在［2,3］上有唯一零點且不是重根，

Q7

只需M2)?M3)V。，(3-2^)(7-3tz)<0,

經(jīng)檢驗?=j時，方程h［x)=0在［2,3］上有唯一解x=2；

7

時，方程刈力=0在［2,3］上有唯一解工二3,

-37'

故實數(shù)。的取值范圍為.

(3)f一彳+］>2x+?n在上恒成立，即％2—3x+l—機>0在［-1」］上恒成立.

設(shè)g(x)=*-3x+l-加，其圖象的對稱軸為直線x=1,

所以g(x)在上單調(diào)遞減.

故只需g⑴>。，即12-3xl+l-/n>0，解得”e(Yo,-l)

16.已知f(%)=|x+2|+|ar-2|(aeR).

(1)當。=2時，解不等式/(幻<12；

(2)若VxNl,不等式+工+3恒成立，求〃的取值范圍.

［答案］⑴不等式fM<12的解集為｛x|-4<x<4｝;

(2)4的取值范圍為［o,2g］.

【分析】(1)將。=2代入，利用“零點分界法”去絕對值，解不等式即可.

1

a>-x+—

(2)將不等式化為lox-2區(qū)Y+i,去絕對值，分離參數(shù)可得/,令函數(shù)g(x)=r+—(x31),利

,3x

a<x+—

x

用函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式即可求解.

【解析】(1)當a=2時，/(A?)=|X+2|+|2X—2|=|x+2|+2|x—1|,

①當2時，不等式可化為-(x+2)-2(x-l)<12,解得x>T,.?.T<x4—2,

②當-2<r<l時，不等式可化為(x+2)-2(x7)<12,解得x>-8,二—2<x<l,

③當x21時，不等式可化為(x+2)+2(x-1)<12,解得x<4,...14x<4,

綜上可知，原不等式的解集為｛x|-4<x<4｝；

(2)當時，不等式+x+3,HPx+2+1ax--21<x2+x+3,

整理得1依-2區(qū)f+i,

貝lj-x2-l<ar-2<x2+l,即-x2+1<ar<x2+3,

1

a>-x+—

x

又故分離參數(shù)可得

/3

a<x+—

x

令函數(shù)g(x)=-x+,(x21),顯然g(x)在口，+8)上單調(diào)遞減，.?.g(x)4g⑴=0,

X

25弓=26(當且僅當

當X21時,x4>x=6時等號成立),

X

???實數(shù)〃的取值范圍為

17.已知函數(shù)/(外=唾式2+無)-k)g2(2-x).

(1)判斷，(x)的奇偶性，并說明理由；

⑵若關(guān)于x的方程/(x)=log式a+x)有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(l)/(x)為奇函數(shù)，理由見解析

(2)(1,2)

【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義即可求解，

(2)將問題等價轉(zhuǎn)化為。=白+(2-幻-3在區(qū)間(-2,2)上有兩個不同的實數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)

4

y=y+/-3,Ze(0,4),數(shù)形結(jié)合即可求解.

【解析】(1)f(x)為奇函數(shù)，理由如下：

一[2+X>0,,

由題意得八解A得-2<x<2,

[2-x>0,

即函數(shù)/(X)的定義域為(-2,2),故定義域關(guān)于原點對稱

X/(-x)=log2(2-x)-log2(2+x)=-/('?)，

故/(x)為奇函數(shù).

(2)由〃x)=log2(a+x),

得唾2(2+刈―1082(2-力=唾2(4+工)，

2+X

所以7;=a+x,

2-x

所以”==7=匕生立-x=/-+(2-x)-3,

2—x2—x2—x

故方程〃x)=log2(a+x)有兩個不同的實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為方程

4

。=三三+(2-幻-3在區(qū)間(-2,2)上有兩個不同的實數(shù)根，

即函數(shù)y=。與y=J—+(2-x)-3在區(qū)間(-2,2)上的圖象有兩個交點.

2-x

設(shè)/=2-x,XG(-2,2),

則)，=；+「一3/6(0,4).

4

作出函數(shù)y=：+-3,Ie(O,4)的圖象如圖所示.

4

當1<〃<2時，函數(shù))，=。與丫=7+/-3,/€(0,4)的圖象有兩個交點,

即關(guān)于x的方程“x)=log2(“+x)有兩個不同的實數(shù)根，

故實數(shù)。的取值范圍是(1,2).

18.設(shè)函數(shù)〃6=十￡-----其中。為實數(shù).

(1)若f(x)的定義域為R，求。的取值范圍；

⑵當〃x)的定義域為R時，求“X)的單調(diào)減區(qū)間.

【答案】(1)(0,4)

(2)答案見解析

【分析】(1)由已知，VxeR,以+。工0,則△<(),可解得實數(shù)”的取值范圍；

(2)求出/(x)=*-----甘，對實數(shù)“的取值范圍進行討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可求得

\x~+ax+a\

函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【解析】(1)解：由題意可知，VxeR,X2+ax+a^O,則A=a2-4a<0,解得()<a<4.

因此，實數(shù)。的取值范圍是(0,4).

2x

?,z.e'(x+ax+a]-e'(2x+?)xe(x+a-2}

(2)解：由題意可知，0<a<4,/(力=---------------------=---------4.

\x+ax+a\(x+ax+a\

因為0<。<4時，-2v2-av2.

①當一2v2-av0時，即當2<a<4時，由/"(x)<0可得2—a<x<0,

此時函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2-a,0)；

②當2—a=0時，即當4=2時，對任意的xeR,r(力20且/'(X)不恒為零，

此時函數(shù)/(x)無單調(diào)遞減區(qū)間；

③當0<2—口<2時，即當0<a<2時，由/'(力<0可得0cx<2—"，

此時函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2-a).

綜上所述，當0<a<2時，函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(O,2—a)；

當。=2時，函數(shù)/(x)無單調(diào)遞減區(qū)間；

當2<a<4時，函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2-&0).

19.己知函數(shù)的定義域為R,且〃lnx)=x+—+2.

(1)判斷/(x)的奇偶性及/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性，并分別用定義進行證明；

⑵若對VxW-1,1],4(x)4〃2x)+久恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(D/(x)為偶函數(shù)，“X)在(o,y)上的單調(diào)遞增，證明見解析.

(2)a<2.

【分析】(1)利用換元法，令/=lnx,則/eR,x=e',即可求得函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)奇偶性以及單調(diào)

性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進而證明結(jié)論.

(2)將原不等式化為a[/(x)-2]4〃2x),進而得律!在1』恒成立，繼而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的

最值問題，求得答案.

【解析】(1)令f=lnx,貝!JfeR,x=e',則/(f)=e'+6一，+2,

f(x)為偶函數(shù)，下面證明:

/(X)的定義域為R，關(guān)于原點對稱；

VxeR,則-xeR,=+e'+2=/(x),所以/(x)為偶函數(shù);

f(x)在(。,+8)上的單調(diào)遞增，下面利用定義法證明：

設(shè)\/%，e(O,-K?),xt<x2,

■/"(占)-〃/)=9+e』+2-(j+ef+2)

=e"1一e%+ef-e%=(e*,一e*?)x,

11

因為e(0,+oo),xt<x2,所以e,〈e%,e'"?>1,

所以>0，e*—e*<0,則/(占)一/(々)<0，

即了㈤<)(W),所以“力在(O,+向上的單調(diào)遞增.

(2)由題意知,VXG[-1,1],a"(x)-2]"(2x)恒成立,

因為〃x)=e，+eT+2,7(x)在(0,+向上的單調(diào)遞增,且"x)為偶函數(shù),

所以當x?—1/時，/(x)e4,e+1+2,/(x)-2>2,

即a4在x恒成立，所以〃小于或等于的最小值.

，x甲、zxz

J\)~J\)~

f(2x)?2*+e"*+2

令g(x)==—LT-=e'+e-\g(x)與〃x)在(0,也)上的奇偶性單調(diào)性相同,

je+e

所以g(x)Z2,(xe[-l,l]),故-；：：：!的最小值為2,

所以a42.

20.已知定義在R上的函數(shù)/(幻=音受滿足/(-x)+f(x)=0.

(1)求4、8的值；

(2)若對任意的feR,不等式/“2-4/)+19產(chǎn)-4)<0恒成立，求實數(shù)大的取值范圍.

【答案】(1)4=2,6=1；

⑵(7，高

【分析】(I)根據(jù)"0)=0,可得％=1,再由/⑴=—/(—1)即可求解；

(2)判斷/(x)在R上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得/一4/>-9r+3然后根據(jù)二次不等式恒成立即得.

【解析】(1)因為定義在R上的函數(shù)，。)=與效滿足/(-x)+f(x)=0,

所以/(0)=0,即三"=0,

2+。

X

解得力=1,從而有/(力=-2能+受1，

又由/(1)=—/(—1),知-2+1="+1,解得“=2,

4+a1+。

經(jīng)檢驗，當/時，f(-x)+/(x)=o,滿足題意，

2v+,+2

所以。=2,b=\\

(2)由(1)知f(x)=_2：+1=」+—!—,

所以/(x)在R上為減函數(shù)，

由題可知函數(shù)“X)是奇函數(shù)，

從而不等式/(『一4/)+/(9/—A)<0,

等價于/(Z2-4/)<-/(9/2—。=/(一9/+?).

因為“X)是R上的減函數(shù)，

所以產(chǎn)一47>一9產(chǎn)+女，

即對一切/wR有10產(chǎn)-4，一女>0,

2

從而八=16+40攵<0,解得

.,/的取值范圍為

21.已知函數(shù)/(》)=/+4依+2。+6.

⑴若函數(shù)f(x)的值域是［0,+8)，求實數(shù)。的值；

⑵若VxeR,/(x)20恒成立，求g(a)=3—44—1|的值域.

3

【答案】(1)-1或1

【分析】(1)將問題轉(zhuǎn)化為方程d+Wx+Za+GM只有一個實根，即可求解；

(2)對a-1的正負進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)在區(qū)間上的值域即可求得g(“)的值域.

【解析】(1)因為函數(shù)f(x)的值域為［0,+8),即/*)的圖像在x軸上方(含與x軸的交點)，

從而一元二次方程f+4依+2a+6=0只有一個實根，

3

所以A=1642-4(2〃+6)=0,解得a=-l或a=］,

3

所以〃=-1或a=；.

(2)因為VxeR,/(x)20恒成立，

31

所以△=16片一4(2〃+6)40,解得-14°4一，則一244-14一，

22

當一24“一1<0,即一IVacl時，g(a)=3—a|a-1|=3+?(a-l)=a2-a+3,

則g(a)開口向上，對稱軸為〃=；，

所以g⑷在上單調(diào)遞減，在(對上單調(diào)遞增，則g(?L,=g(；)=”，

又g(-l)=5,g(l)=3,故g(ak=5,所以24g(a)45；

i3

>2

^0<a-l<-,即時，g(<a)=3-a\a-\\=3-a(<a-\)=-a+a+3f

則g(。)開口向下，對稱軸為

所以g(a)在1,|單調(diào)遞減，又g⑴=3,g(|)=',故*g(a)W3,

綜上：；4g(a)W5,即g(a)的值域為-,5.

22.已知函數(shù)/(x)=2*+晟.

⑴若f(0)=7,解關(guān)于x的方程/(x)=5；

(2)討論Ax)的奇偶性，并說明理由；

⑶若fM<3在xe[1,3]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴x=l或x=log23

(2)當a=-1時，/(*)為奇函數(shù)；當。=1時，為偶函數(shù)；當。力士1時，函數(shù)/(幻為非奇非偶函數(shù)；

⑶aJ()

【分析】(1)由題意/(0)=7,代入即可求解；

(2)要判斷函數(shù)的奇偶性，只有檢驗/(-x)與/(x)的關(guān)系即可；

(3)根據(jù)原不等式，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)求最小值，即可得實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)解：由題意/(0)=1+。=7,

/(尤)=2"+捺，

由2'+微=5可整理得：(2?5x2*+6=0,則可得2'=2或2*=3，

;.x=l或xnlog?；

(2)解：函數(shù)定義域R,

①當f(x)為奇函數(shù)時，/(-x)=-〃x),

2-v+—=-(2x+—),

2T2X

.'.(l+a)(2'+^-)=0,

Cl——1;

②當f(x)為偶函數(shù)時，/(-x)=/(x),

2-x+—=(2'+—),

2T2r

??.(j)(2*-《)=0,

:.a=\；

③當a*±l時,函數(shù)/(x)為非奇非偶函數(shù)；

綜上，當a=-lEl寸，Ax)為奇函數(shù)；當。=1時，f(x)為偶函數(shù)；當時，函數(shù)/(X)為非奇非偶函數(shù).

(3)解：若/(x)<3在xe口,3]上恒成立，則2,+/<3,整理得a<—(2'1+3x2,

令/=21由xeU,3],則八[2,8],

又令的)=-*+3￡=-[.|)+',re[2,8],所以〃⑺是te[2,8]上的減函數(shù)

所以*、。)=力(8)=—G+3x8=-40

故實數(shù)。的取值范圍為“＜-40.

23.若函數(shù)/(x)滿足〃1唱,司=’口卜-1|,其中a＞(),且awl.

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷并證明函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑶若/(x)+4＞0在》＜2時恒成立，求”的取值范圍.

【答案】⑴〃力=急卜一《}

(2)見解析，

(3)[>/5-2,1).

【分析】(1)利用換元法，令r=bg“x,則》=",代入化簡可求出函數(shù)解析式,

(2)分和0＜。＜1兩種情況，利用單調(diào)性的定義判斷即可，

(3)由(2)可知/(x)在(TO,2)上遞減，所將問題轉(zhuǎn)化為/(2)+4*0,即黃山卜一!卜420,從而可求

出。的取值范圍.

【解析】(1)令f=log“x,則》=儲，

所以""號("一"}

所以“小號卜-總，

(2)當時，/(x)在R上遞增，當0＜。＜1時，/5)在R上遞減，

理由如下：

當時，任取Xi,WwR,且占＜》2，則

山)一/(々)=胃#

因為為<々，所以。*<優(yōu)3,V^_>o』+涓">o,

所以-d<0，

所以目(。"一/)[1+4]<0,

a2+1va'X2J

所以/(辦)-/區(qū))<°，即/(X|)</(x?),

所以/(x)在R上遞增，

當0<a<l時，任取XieeR,且玉<々，則

小)-“3皆水-

因為0<a<l,JC|<x,,所以*>*,-^—>0,1+—^>0,

所以小一a處>0,

所以犬rS-叫卜露4°

所以/a)-〃電)>o，即/a)>f(x2),

所以/(X)在R上遞減，

(3)當0<〃<1時，由(2)可知/(x)在(-8,2)上遞減，

因為/。)+4>0在x<2時恒成立，

所以/(2)+420,

所以白卜-3卜420,即/_.寸坐匚二11+420,

a+Ma1)a2+la2

所以/+4a-120,解得“4-2-6或aW-2+6，

因為0<。<1,

所以-2+若4a<1,

即。的取值范圍［6-2,1).

24.若函數(shù)g(x)=如2-2奴+1+力(。>0)在區(qū)間［2,3］上有最大值4和最小值1,設(shè)/(%)=息&.

x

⑴求4、6的值；

(2)若不等式，(2')-公2"20在上有解，求實數(shù)&的取值范圍；

［a=\

【答案】⑴，八

［8=0

(2)*<1

【分析】(1)由二次函數(shù)在⑵3］上的單調(diào)性最大值和最小值，從而求得以

⑵用分離參數(shù)法化簡不等式為"停)然后令'《換元’轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，從而

得參數(shù)范圍.

【解析】(1)g(x)=a(x-\)2+l+b-a,對稱軸x=l,

a>0,g(x)在［2,3］上單調(diào)遞增,

g(2)=l+b=l解.嘰[a=。1

所以z

g⑶=3a+l+6=4'

(2)由(1)知/(x)=x+J-2(xw0),f(2r)-h2*20化為2，+《-22h2',

即1+悖)-2->k,

令f=*,則％+因為xe[-W,所以fei2,

問題化為心(*-2r+l)2，

記〃(f)=*-2r+l,對稱軸是f=l,因為；,2,所以人⑴max=人(2)=1,

所以.

25.已知函數(shù)/(x)滿足2/(x)+/(—X)=3f-2x.

⑴求〃x)的解析式;

(2)若關(guān)于x的方程/(力=相卜-1卜1有3個不同的實數(shù)解，求加的取值范圍.

【答案】⑴/(X)=X2-2X

(2)(0,+^)

【分析】(1)用-x代替x,再消去〃-x)即可得解；

(2)令r=xT,討論方程「-加|4=0的實數(shù)解的情況，即可得出機的范圍.

【解析】(1)由2/(x)+/(—力=3*2—2》①，

可得2f(-x)+f(x)=3x1+2x@,

聯(lián)立①②可得"X)=X2-2X.

(2)由題可知,B|J(x-l)2-/n|x-l|=0,

令r=x-l,則關(guān)于f的方程「-向4=0有3個不同的實數(shù)解，

t2-m\t\=0,即孫(卜|-〃7)=0,解得f=0或M=W,

則只需卜|=也有兩個不同的非零實數(shù)解，則m>0,

所以m的取值范圍為(0,+8).

26.已知函數(shù)/(x)=^^^+log2(6-x-x2)

⑴求”1)的值；

⑵①求函數(shù)"X)的定義域加；

②若實數(shù)ae",且(a+l)eM,求a的取值范圍.

【答案】(1)交+2

2

⑵①M=(-l,2)；②

【分析】(1)利用函數(shù)解析式直接求解/⑴的值即可；

(2)①根據(jù)二次根式，分式，對數(shù)求解函數(shù)定義域〃即可；②根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，列不等式求解

即可得。的取值范圍.

【解析】(1)解：:/3=^^y+log2(6一1一巧，所以y(i)=美+]og24=#+2

X+1>0尤>—1

(2)解：①，(力的定義域滿足:-3c<2'解得—1<2

6—x—%2>0

所以〃x)的定義域M=(T,2)；

②?.?實數(shù)aeM,且(a+l"M,又M=(-l,2)

f-l<6f<2[~\<a<2

<=〈=>—1<<7<1

[―1<a+\<2[—2<a<\

所以。的取值范圍：-1<4Z<1

27.已知函數(shù)/(x)=log〃匕?(。>0且存1