2023年高考考前數(shù)學(xué)押題密卷（天津）含答案

2023年高考考前押題密卷

數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題(本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.)

1.【原創(chuàng)】集合A=(xeZ|y=j2—log?/}，B={-1,0,2,3,5},則().

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,0,5}D.0

2.【原創(chuàng)】已知向量a=(-l,x),b-(1,y).x,yeR,則是"％=y”的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

0,x=0

3.函數(shù)/")=,其竺xwO的大致圖象為()

TT

4.已知a=0.75,%=2廄2,c=sin《，則a,"c的大小關(guān)系是)

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

5.某汽車生產(chǎn)廠家研發(fā)了一種電動(dòng)汽車，為了了解該型電動(dòng)汽車的月平均用電量（單位：度）情況，抽取

/150名戶主手中的該型電動(dòng)汽車進(jìn)行調(diào)研，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中，第5組小長方形

最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為居)

A.98B.103C.108D.112

6.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多

見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐

7.已知拋物線C:八2pxg。）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為1,過尸且斜率為當(dāng)?shù)闹本€與C交于A,8兩點(diǎn)，。

為AB的中點(diǎn)，且。MU于點(diǎn)M,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,四邊形的面積為326，則P=（）

A.2V2B.4C.276D.4>/2

8.已知函數(shù),f（x）=2石sinxco&r+R/x-Z,以下說法中，正確的是（）

①函數(shù)"X）關(guān)于點(diǎn)信0）對(duì)稱；

②函數(shù)“X）在一&今上單調(diào)遞增；

③當(dāng)xe信到時(shí)，?。┑娜≈捣秶鸀椋?2,0）；

④將函數(shù)“X）的圖像向右平移方個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的解折式為g（x）=2sin2x-l.

A.①②B.②③④C.①③D.②

TT

2sinyX,0<A:<1

9.已知定義在R上的函數(shù)y=〃x）是偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/（x）=-若關(guān)于X的方程

,x>1

[〃X）『+4（X）+人=0（”,丘R）,有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.1~4，一|）B.[工-鼻

C口.14,一澗一1,「）

第n卷

二、填空題：（本題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)

的給5分。）

10.【原創(chuàng)】已知復(fù)數(shù)z=壬t&（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

\-i

11.【原創(chuàng)】若（1+2x2）（V^x+-）6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192,則展開式中x4的系數(shù)為.

X

12.【原創(chuàng)】已知?jiǎng)t+的最小值為.

a2a+h

13.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰.已

知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為；，y,且各輪問題能否正確回答互不影響，

則該選手被淘汰的概率為.

14.【原創(chuàng)】已知圓G：X2+/=4與圓。2：/+。一。）2=9（">0）外切，此時(shí)直線/“+丁—3=0被圓。2

所截的弦長為.

15.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，

圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,正八邊形ABCDEFGH中，若HE=2AC+〃AF（Z〃eR）,

則幾+〃的值為;若正八邊形A8CQEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCQEFG”八條邊上的動(dòng)

點(diǎn)，則AP.AB的最小值為

圖1

三、解答題（本題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

16.（本題14分）在.ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知3（siii4-sinC）2=3sin*-2sinAsinC.

⑴求cosB的值;

(2)若5a=36,

（i）求tan（A+：）的值;

(ii)求sin[24+2)的直

17.（本題15分）已知正三棱柱ABC-4與￡中，側(cè)棱長為正，底面邊長為2,。為A8的中點(diǎn).

(1)證明：CDLA.D.

(2)求二面角o-AC-A的大小;

(3)求直線C4與平面AC。所成角的正弦值.

18.(本題15分)已知數(shù)列｛叫滿足。向-q=2,其前8項(xiàng)的和為64；數(shù)列也,｝是公比大于0的等比數(shù)列，4=3,

(1)求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式;

(2)記&=也?，〃wN*,求數(shù)列｛5｝的前“項(xiàng)和，；

7J+1

(-1)2y=2Z-1,%WN*

4+1

⑶記4尸求S2.=54.

----,n=2k,攵wN*4=1

與

2

19.(本題15分)已知橢圓C:5+，=l(a＞人＞0)的離心率為爭左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)、P、Q為

橢圓上異于A、8的兩點(diǎn)，一以3面積的最大值為2.

⑴求桶圓C的方程；

⑵設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為吊、k2,且3占=5&.

①求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).

②設(shè)△P08和△PQA的面積分別為'、S-求|S1-S21的最大值.

20.體題16分）設(shè)函數(shù)/（x）=F+lnx（x>0）.

2x

⑴求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知a,beR,曲線y=f（幻上不同的三點(diǎn)（占,〃3））,（々,/（々））,（占,〃后））處的切線都經(jīng)過點(diǎn)（。向.證

明：

（i）若〃>e,則。<6-/⑷<舞-1）；

2Q-a112e-a

（ii）若0<〃<e，F(xiàn)</<與，則一+（.<——十——<----.

e6e~x,x3a6e-

（注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

2023年高考考前押題密卷

數(shù)學(xué)-全解全析

一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.）

1.【原創(chuàng)】集合A=kwZ|y=j2—log2x}，5={-1,0,2,3,5},則（）.

A.{2,3}B.{0,2,3}

C.{-1,0,5}D.0

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)定義域求出A,再根據(jù)交集定義即可求出an8.

【詳解】因?yàn)?—logzXNO,解得0<x<4,且xeZ,

所以A={1,2,3,4},

所以AD5={2,3},

故選：A.

2.【原創(chuàng)】已知向量a=（-l,x）,%=（l,y）,x,y&R,貝心⑷引分是"x=y”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】由3得出的關(guān)系，進(jìn)而可得出答案.

【詳解】由|5|引向得1+/=1+/，進(jìn)而得出r=/,即刀二、或刀二一y；

所以由|a|=而不能推出x=y,反之則成立；

所以ZR而''是"尤=y”的必要不充分條件.

故選：B

0,x=0

3.函數(shù)/（》）=卜危的大致圖象為（）

而

【分析】由函數(shù)的奇偶性排除BD選項(xiàng)，再根據(jù)xe(O,l)時(shí)/(x)<0排除C得A.

【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)x#0時(shí)，/(*)=瑞，則/(一力=胃胃"蕭=一〃>當(dāng)％=0時(shí)，〃x)=0,

所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除BD；

因?yàn)楫?dāng)xe(O,l)時(shí)，lnN=lnxvO,sinx>0,故/(X)<0,

所以C選項(xiàng)不滿足，A選項(xiàng)滿足.

故選：A

7T

4.已知4=0.75,b=21ogs2,c=sin《，則a,6,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】c

【分析】將。力化為同底的對(duì)數(shù)形式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知利用sing<sin;<?可得C<a,由

此可得結(jié)論.

5

【詳解】a=0.75=-=log55=log5</125,&=21og52=log54=log5</256,

X</125<>/256--■-a<hi

c=sin—<sin—=>a=0.75=：,又2&<3,-.c<a.

54244

綜上所述：c<a<b.

故選：C.

5.某汽車生產(chǎn)廠家研發(fā)了一種電動(dòng)汽車，為了了解該型電動(dòng)汽車的月平均用電量(單位：度)情況，抽取

了150名戶主手中的該型電動(dòng)汽車進(jìn)行調(diào)研，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其中，第5組小長方形

最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為x,則該型電動(dòng)汽車月平均用電量在［200,280）的戶主人數(shù)為（）

【答案】C

【分析】由頻率和為1列方程求x,再根據(jù)直方圖中［200,280）區(qū)間頻率求樣本中對(duì)應(yīng)的戶主人數(shù).

【詳解】由（0.002+0.0095+0.01l+0.0125+x+0.005+0.0025）x20=l,Wx=0.0075.

月平均用電量在［200,280)的用戶20x(0.011+0.0125+0.0075+0.005)x150=108戶.

故選：C

6.攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，多

見于亭閣式建筑，某園林建筑為四角攢尖，它主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐，若這個(gè)正四棱錐

的棱長均為2,則該正四棱錐的體積為（）

A.區(qū)B.2^/3C.士D.4&

33

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)，即可求得A。、P。的長，根據(jù)椎體體積公式，即可得答案.

【詳解】如圖所示，正四棱錐尸-ABC。棱長均為2,連接AC、BD交于點(diǎn)O,連接P。

根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，可得P。上平面A8CD

p

所以+=應(yīng),PO=dP&-AO2=0,

所以正四棱錐P-MCD的體積丫」*2'2'0=逑.

33

故選：C

7.已知拋物線<7:丫2=2夕蟲>>0)的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過尸且斜率為且的直線與C交于A,8兩點(diǎn)，。

3

為AB的中點(diǎn)，且DMJJ于點(diǎn)例,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,四邊形DMFN的面積為326，則P=()

A.25/2B.4C.2限D(zhuǎn).4>/2

【答案】A

【分析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，表達(dá)出。點(diǎn)坐標(biāo)，作出輔助線，求出|RV|=|ZW|=4p,

得到四邊形。WFN為平行四邊形，利用面積列出方程，求出p=2&.

【詳解】由題意知尸pOL直線AB的方程為y=

設(shè)A（%,x）,8（七,%%）,得y2-2y/3py-p2=0,

所以X+)'2=2Gp，所以為=gp,

由為得與=冬

如圖所示，作DE_Lx軸于點(diǎn)E,則|/)￡|=&p.

因?yàn)镈NLDF,ZDFN=30°,

故如=2Q￡|=26p"*-嬴帝-西-40，

T

又0M=%+5=4p,i^\FN\=\DM\,

又FN//OM,得四邊形。MFN為平行四邊形.

所以其面積為|敬卜|。目=4p?=32石，解得p=2夜.

故選：A

8.已知函數(shù)/（尤）=2百situcosx+2sin?-2,以下說法中，正確的是（）

①函數(shù)"X）關(guān)于點(diǎn)心（”對(duì)稱；

jrIT

②函數(shù)“X）在上單調(diào)遞增；

OO

③當(dāng)T專等時(shí)，/（X）的取值范圍為（-2,0）；

④將函數(shù)〃x）的圖像向右平移著個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的解折式為g（x）=2sin21.

A.①②B.②③④C.①③D.②

【答案】D

【分析】利用倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，解決函數(shù)圖像的對(duì)稱中心、

單調(diào)區(qū)間、值域和平移問題.

【詳解】由題意可得，

/（X）=2>?3sinxcosx+2sin2x-2=Gsin2x-cos2x-l=2sin（2x-^）-l,

由2x—1=E（ZeZ）,則x=。為ZeZ）,所以f（x）圖像的對(duì)稱中心為佟+白,-1（%eZ）,說法①錯(cuò)誤;

O212\212）

ITTTTTTT7TTL7T

xe，則21-之€是函數(shù)y=2sinx-l單調(diào)遞增區(qū)間，說法②正確；

ooo2o2o

當(dāng)xe（冷）時(shí)，sin|^2x-^e^-l1,則/（x）的取值范圍為（-2』，說法③錯(cuò)誤;

將函數(shù)/（x）的圖像向右平移看個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的解折式為

g（x）=2sin12（x—=]—l=2sin（2x——1,說法④錯(cuò)誤.

故選：D

71

2sin—xtO<x<l

9.已知定義在R上的函數(shù)y=/（x）是偶函數(shù)，當(dāng)*20時(shí),若關(guān)于X的方程

[〃x）了+4（x）+6=0（a1eR），有且僅有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.卜，一|）B.（“3

【答案】C

【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)可以畫出函數(shù)/（X）的圖像，關(guān)于X的方程[/（X）了+4（》）+人=0（4力€?有6個(gè)不同

的實(shí)數(shù)根，根據(jù)數(shù)形結(jié)合和韋達(dá)定理即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，函數(shù)/（X）的圖像如下圖所示:

根據(jù)函數(shù)圖像，函數(shù)/（X）在（9,-1）,（0,1）上單調(diào)遞增，在（T0）,（1,田）上單調(diào)遞減；

且犬=±1時(shí)取最大值2,在x=0時(shí)取最小值0,是部分圖像的漸近線.

令/（刈=乙則關(guān)于尤的方程[〃力7+硝力+8=0（4為€陽即可寫成/+〃+6=0（。/￡*

此時(shí)關(guān)于/的方程應(yīng)該有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（其他情況不合題意），

設(shè)4,%為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

顯然，有以下兩種情況符合題意:

①當(dāng)?！辏?。,耳/EQ；卜寸，止匕時(shí)一。=4￡（/,/）,則〃￡（一耳,一,）

377

②當(dāng)。=2耳￡（/,2）時(shí)，此時(shí)一。=4+與￡（］,4）,則?！辏ā?,一］）

773

綜上可知，實(shí)數(shù)。的取值范圍是?！辏?4,-二）。（-不-彳）.

222

故選：C.

第n卷

二、填空題：（本題共6小題，每小題5分，共30分。試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)

的給5分。）

10.【原創(chuàng)】已知復(fù)數(shù)z=的2（i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

1-z

【答案】一

【解析】化簡得到z=4+9/，得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)象限.

22

【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

Z=3+2Z=（3+2/）（1+0=1+5.,z（12）,

1-i（l-j）（l+z）2222

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限.

故答案為：一.

11.【原創(chuàng)】若（1+2x2）（V^x+-）6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為192,則展開式中%4的系數(shù)為.

x

【答案】36

【分析】令x=l，解出a=l,進(jìn)而通過二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解；

【詳解】令》=1，得3（而+1）6=192,解得a=l,進(jìn)而可得（x+4）6的展開式為卻|=C"6-2"令

X

得《=煤/=6%4,令r=2,得q=第一=15%2,故￡＞的系數(shù)為1x6+2x15=36.

故答案為：36

b9a

12.【原創(chuàng)】已知〃/￡/?+,則±+-的最小值為

a2a+。

【答案】4

【分析】將^+―紋構(gòu)造變形為生心+—%——2,然后利用基本不等式即可求解;

a2a+ba2a+b

,、3A力、」b9a2。+〃9a__如也.-^—2=4,當(dāng)且僅當(dāng)2"2=_%一,也

【詳解】由一+------=------+-------2>2.

a2a+ba2〃+。a2a+ba2a+b

即。二b時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4.

故答案為：4

13.某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰.已

知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為14，j3,y2,且各輪問題能否正確回答互不影響,

則該選手被淘汰的概率為.

【答案】—

【分析】設(shè)事件A&=1，2,3）表示“該選手能正確回答第i輪的問題”，選手被淘汰，考慮對(duì)立事件，代入

p（A）,&&）,P（4）的值，可得結(jié)果；

［詳解】記“該選手能正確回答第i輪的問題”為事件A（i=1，2,3）,則尸（A）=，P（4）=4）=（.

該選手被淘汰的概率：

P=P（A+A4+A4A）=P（A）+P（A）（4）+P（A）（4）（A3）

142433101

=—+—X—+—X—X—

555555T25

故答案為：

14.【原創(chuàng)】已知圓G：/+>2=4與圓。2：/+（>-。）2=9（。>0）外切，此時(shí)直線/“+丁—3=0被圓。2

所截的弦長為

【答案】2療

【分析】由兩圓外切關(guān)系求出。的值，進(jìn)而代入公式即可求解；

【詳解】由題意可得：。=2+3=5,即圓。2：/+（、一。）2=93>0）的圓心為（0,5）,半徑為3,即圓心

2

到直線/:1+丁一3=0的距離為1=尬,故所截弦長為2眄二萬=2J7.

故答案為：25

15.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，

圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,正八邊形A8CDEFGH中，若AE=2AC+MW,〃eR）,

則4+〃的值為；若正八邊形A8CDEFGH的邊長為2,尸是正八邊形A88MGH八條邊上的動(dòng)

點(diǎn)，則AP-AB的最小值為.

FE

Si

【答案】叵-272

【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由4E=/4C+MAF,

列出方程組，求得從而得到幾+〃；設(shè)尸(x,y),則-應(yīng)4x42+收，由APAB=2x即可求得

的最小值.

【詳解】

AF^AB,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A8,AF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

正八邊形內(nèi)角和為(8-2)x180。=1080°,則NHAB=-xl080°=135°,

8

所以，A(0,0),B(2,0),C(2+夜,&),E(2,2+2&),尸(0,2+2忘),〃(-&,0),

AE=(2,2+2&),4F=(O,2+2&),4C=(2+0,。，

因?yàn)锳E=4AC+“AF,貝IJ(2,2+2正)=Z(2+0,&)+〃(0,2+2立)，

2=(2+>/2)/1廣r-

所以LLL，解得2=2-應(yīng),〃=2&-2,

2+2V2=V2Z+(2+2V2)//

所以2+〃=>/2；

設(shè)P(x,y),則一+

AP=(x,y),AB=(2,0),則APAB=2x>-2&,

所以，當(dāng)點(diǎn)尸在線段GH上時(shí)，APSB取最小值-2a.

故答案為：應(yīng)，-25/2.

三、解答題(本題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。)

16.體題14分）在一45C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,已知3（sinA-sinC）2=3sin2B-2sinAsinC.

(1)求cosB的值；

⑵若5a=36,

(i)求tan[A+：)的值;

（ii）求sin[2A+[J的值.

2

【答案】（l）cos8=§

⑵（i）3；（ii）4小+3

10

【分析】（1）利用正弦定理化簡原式，直接利用余弦定理求cosB的值即可；

（2）（i）由（1）可得sinB=好，再利用正弦定理求sinA的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的

3

正切公式即可求解；

（ii）由二倍角的正弦公式以及兩角和的正弦公式可得結(jié)果.

【詳解】（1）在-MC中，由正弦定理，7=g

sinAsinBsinC

可得：3（a-c^=3b2-2ac,整理得《土C二匕=2,

2ac3

2

由余弦定理，可得cos8=§；

（2）（i）由（I）可得sinB=@,又由正弦定理三=工

3sinAsmB

及已知5a=36,可得sinA=^^=3x@=@，

b535

由已知5a=3/?,可得a<6,故有A<8，

.?.A為銳角，可得cosA=±叵，.,.tanA=:，

52

,7C1i

tanA+tan——+1

7T__________4_2

則tan(A+R==二3；

,A7111

1-tanA-tan—1——

42

(ii)由(i)可得cos2A=l-2sin24=sin24=2sinAcosA=1,

4G+3

sin[2A+看=sin2Acos——ncos2Asin—=—x-^—+—x—

66525210

17.（本題15分）己知正三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱長為正，底面邊長為2,。為A3的中點(diǎn).

(1)證明：CDLA.D.

(2)求二面角。-A。-A的大??；

(3)求直線CA與平面4CD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

嗚

⑶當(dāng)

6

【分析】(1)由正三棱柱的性質(zhì)可得平面ASC,再利用線面垂直的判定定理即可證明COJ?平面

AB8M，即可得COJ_A。；(2)以AG的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量與二面角

的幾何關(guān)系即可求得二面角Q-AC-A的大小為2；(3)根據(jù)(2)中結(jié)論，利用線面角與空間向量的關(guān)系

即可得直線C4與平面AC。所成角的正弦值為逅.

6

【詳解】(1)由ABC-A為正三棱柱可知，8片，平面A8C,

又CDu平面ABC,所以

由底面是邊長為2的正三角形，。為AB的中點(diǎn)，所以CD_LAB；

又BB、cAB=B,8片,45匚平面48瑪4，所以CDJ_平面ABgA；

又A^u平面A8B|A，所以COJ_A。；

(2)取線段AC，AC的中點(diǎn)分別為0,E,連接。4，?！?

易知O%OE,OG兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)G，OE,OBI所在直線為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系

O-xyz,如下圖所示;

/L%二—-]/yA

’0一一』y輝^

由側(cè)棱長為正，底面邊長為2可得，

A(-1,0,0)4(1,&,0),4卜1,應(yīng),0),8(0,應(yīng),@,耳(0,0,@,

(1向

山。為A8的中點(diǎn)可得。，

uuir,；_、uuir

所以AC=（2,&,o）,oc=

設(shè)平面D41C的一個(gè)法向量為”=(x,y,z),

n-4c-2x+V2y=0

則〈3J3,令x=l,可得y=—&,z=6

n-DC=-x--z=0

22

即〃=0,-&,G)；

易得誠=(0,0,g)即為平面AC4的一個(gè)法向量,

1UUU_

/FUlUIxn-OB.3V2

所以cos（幾OB,

設(shè)二面角3-AC-A的平面角為以由圖可知。為銳角,

所以cos"cos9,08）,即6=；；

即二面角3-AJA的大小町.

(3)由(2)可知溫=(-2,0,0),平面D4C的一個(gè)法向量為:二(卜血,6),

設(shè)直線C4與平面ACO所成的角為a,

ruur

n-CA

所以sina=cos（/i,

即直線CA與平面ACO所成角的正弦值為好.

6

18.(本題15分)己知數(shù)列幾｝滿足。田-%=2,其前8項(xiàng)的和為64；數(shù)列也｝是公比大于0的等比數(shù)列，仇=3,

瓦一瓦=18.

⑴求數(shù)列｛q｝和也｝的通項(xiàng)公式；

—1/、

(2)記c“=優(yōu)丁，〃eN,，求數(shù)列｛&｝的前八項(xiàng)和

n+\

(-1)2?〃〃,〃=2%-1,左￡N"

a+X

⑶記dn=<i，求S?”=%*.

---,n=2k,keN*A=I

b.

、2

【答案】⑴生=2枕-1,2=3"

11

(2)2-2(2W+1)-3"

⑶邑,=“'、

義"貨卜2"，"=2QW

【分析】(1)根據(jù)條件得到等差數(shù)列的公差，利用前〃項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，設(shè)出公比，得

到方程，求出公比，寫成通項(xiàng)公式；

(2)寫出｛c,J的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和；

(3)方法一：變形得至!Js?“=(4+W+痣—+4+4+…+〃2,1)，其中4+34+4+…+W”利用

錯(cuò)位相減法求和，4+為+4+…+4211T分”為偶數(shù)和"為奇數(shù)兩種情況求解，最終求出邑.；

方法二：變形后，4+4+4+…利用裂項(xiàng)相消法求和，4+4+4+…+4“T分”為偶數(shù)和"為奇數(shù)兩

種情況求解，最終求出$2”

【詳解】(1)?."“*「4=2,

數(shù)列｛a,,｝是公差為d=2等差數(shù)列，且縱=64,

Q7

8a,+^x-x2=64,解得q=l,

/.an=1+2(M-1)=2/I-1；

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4(4>0),

?；4=3,Z?3-/?2=18,

.,.3/-3q=18，即g2-g-6=0,

解得g=-2（舍去）或q=3,

二〃,=3x3"T=3"

a,-12（n+2}-2

（2）由（1）得％=c

a“a“*也,（2〃-1）（2〃+1）.3

+2

=2/?]_________1

?3"（2"-1）3”「（2〃+1）3"

]_

H-------F

21x3°3x3'3x3'5x325x327x33、（2〃_[）.3"-（2〃+]）3[

一，|j^_（2〃+l）.3"

11

-2-2（2M+1）-3,';

(3)方法一:

n+1

（-1）2y=2k-l,k￡N*

a“+l

----,n=2k,kGN*

bn

2

?名〃=（4+4+4+??,+4〃）+（4+4+4+???+4〃一1）

咄+~+上+…+上+[_q+%_%+…+（一1）"Ft]

.仿t>2&t>?

=W+*+4■+…+4+[-1+5-9+13…+（-l）".（4"-3）]

M+2,

n2462〃G

工行+鏟+3+…+三①

1八2462n—22n

w=鏟+?+下+…+『+產(chǎn)②

兩式相減得,

2

1-

2_222222n3F2n12n2九+3

3Pn=7+?+F+3T+'"+F-Fr="=1-11-------；-

T-1訶F'一尹二3”+i

1一§

2/1+332〃+3

3"+|2~2-3"

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，Q?=-l+5-9+13---+（-l）

=（-l+5）+（-9+13）+---+[-（4n-7）+（4；7-3）]=4+4+---+4=4x-=2n,

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，Q?=4+4+…+4-（4〃-3）=4xg--（4〃-3）=-2〃+1

-2n+1,〃=2Z-1,%wN*

Q?=,

2n,〃=2k,keN"

32"+3

1--2n+l,n=2jl-UeN，

2

』=匕+2,=

32n+3

1-+2〃,〃=2%/eN*

23,,+,

4+1

一一,〃為偶數(shù)^^-,n=2k

方法二：d=瓦

n2

k

“+1（-l）-a2k_l,n=2k-1

(―1)2為奇數(shù)

2k”I（2k+\2k+3

=于n=2k,n=2k

23*-'3"

（-1）.（4A—3）,〃=2A—1（-1），（4%_3）,〃=2%-1

355__7_+12〃+3|-等當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),

匕=@+4+&6+…+&“）=g（三一變++…+

要一三3〃

Qn-1+5-9+13…+（-1）"%

=（-l+5）+（-9+13）+---+[-（4/7-7）+（4??-3）]=4+4+---+4=4x-=2n,

當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，Q?=4+4+…+4-（4〃-3）=4'--（4〃-3）=-2〃+1

-2n+\,n=2k-\,kGN*

?-Qn=<

2n,n=2k,keN*

32n+3

1-一2〃+1,〃=2攵-1,攵cN*

23"+i

???S2.=EI+Q“=

32"+3

1-+2nn=2k,keN*

23n+1y

19.（本題15分）已知橢圓C：，+，=l（a>〃>0）的離心率為岑，左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P、。為

橢圓上異于A、8的兩點(diǎn)，.砂面積的最大值為2.

⑴求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線AP、8。的斜率分別為匕、k2,且3匕=5右.

①求證：直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).

②設(shè)△PQB和ArQA的面積分別為凡、邑，求|S|-S2|的最大值.

【答案】⑴三+丁=1

4

（2）①證明見解析；②巫

4

【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于。、〃、。的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓C的方程；

（2）①分析可知直線尸。不與y軸垂直，設(shè)直線PQ的方程為*="+〃，可知〃r±2,設(shè)點(diǎn)尸（不乂）、Q（程力）.

k.5

將直線PQ的方程的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用U=與求出〃的值，即可得出直線PQ所

過定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②寫出I'-Szl關(guān)于r的函數(shù)關(guān)系式，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得％-S2I的最大值.

【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)P為橢圓C短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積取最大值，

且最大值為如。=gx2a〃=ab=2,

~a~~2a=2

由題意可得■ab=2,解得，b=\

c2=a2-b2c=6

所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+^=1.

4

（2）解：①設(shè)點(diǎn)P（X1,yJ、（2（x3,y2）.

若直線PQ的斜率為零，則點(diǎn)尸、Q關(guān)于）’軸時(shí)稱，則《=-七,不合乎題意.

設(shè)直線尸。的方程為x="+〃，由于直線PQ不過橢圓C的左、右焦點(diǎn)，貝*工±2,

聯(lián)立[；=，可得（r+4）/+2奶+〃2-4=0,

[X+4y=4\）

△=42_4（/+4）（〃2-4）=16（*+4-/2）>0,可得/</+4,

由韋達(dá)定理可得以+%=-/￡，乂%=%5=，則。?-(%+%)，

,-,-...匕％石-2(必+〃-2)%OM+(〃-2)M3-(X+)‘2)+(〃-2)X

Jyyyj^,==--------------------------=-------------------------------=---------------------------------------

卜%+2%(例+〃+2)%)跖+(〃+2)必駕(%+%)+(〃+2)%

=j(2+〃心+冷)-2叫=j/,解得〃=」，

2+〃(2-+必)+2〃%2+幾32

即直線PQ的方程為X2-g,故直線PQ過定點(diǎn)M.

15

②由韋達(dá)定理可得x+必=甘t4，乂必=一而二可，

所以,|￡-SJ=；||AM-忸根卜也-刃=3J(x+y2)2-4y

_\_卜f丫丁"『+1M4“產(chǎn)+15________4_________

一利〔產(chǎn)+4尸產(chǎn)+4一產(chǎn)+4一⑷2+15)+1一"?示1，

J4r+15

產(chǎn)20，則，4尸+152岳，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x+［在［岳,+8)上單調(diào)遞增，故府［E+旨在Nj將+京=3滬，

Is-姮

所以，22|~16V15~4，當(dāng)且僅當(dāng)，=0時(shí)，等號(hào)成立，

15

因此，|&-$2|的最大值為孚.

20.體題16分)設(shè)函數(shù)f(x)=f+lnx(x>0).

2x

(1)求/*)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知MeR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(即〃%)),(々,〃々)),(0〃玉))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)(。向.證

明：

(i)若“〉e,則0<八/(")<架7)；

2e-a112e-a

(ii)若0<。<e，M<%<占，則一十~TT<-+—<----.

e6ex}x3a6e

(注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】⑴f(x)的減區(qū)間為(o，'|}增區(qū)間為C，+8).

(2)(i)見解析；(ii)見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)(i)由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成立，(ii)k=旦,

x\

a?保一13)仇2_加+12)

，〃二<］，則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為2-方-6、羽)結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

+-