奧數(shù)講義數(shù)論：約數(shù)與倍數(shù)含答案

華杯賽數(shù)論專題：約數(shù)與倍數(shù)

基礎(chǔ)知識：

1.如果一個自然數(shù)。能被自然數(shù)b整除，那么稱〃為人的倍數(shù)，匕為。的約數(shù).

如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的公

約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最大公約數(shù).自然數(shù)八從

c?的最大公約數(shù)通常用符號b,c)表示.

例如：(8,12)=4,(6,9,15)=3.

2.互質(zhì)定義：如果兩個或幾個數(shù)的最大公約數(shù)為1,則稱這兩個或幾個數(shù)互質(zhì).

3.如果一個自然數(shù)同時是若干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這若干個自然數(shù)的

公倍數(shù).

在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個自然數(shù)的最小公倍數(shù).自然數(shù)6、

c?的最小公倍數(shù)通常用符號[a,〃，c]表示.

例如:|8,12]=24,[6,9,15]=90.

4.約數(shù)個數(shù)公式、約數(shù)和公式.

5.求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的基本方法：

(1)分解質(zhì)因數(shù)法:將每個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，觀察這些數(shù)中包含哪些質(zhì)因數(shù)，

①找公共部分，并將這些數(shù)的公共部分相乘，所得乘積即為這組數(shù)的最大公約數(shù)；②

觀察這些質(zhì)因數(shù)的最高次方，并相乘，所得乘積即為這組數(shù)的最小公倍數(shù).

(2)輾轉(zhuǎn)相除法：兩數(shù)為八人的最大公約數(shù)Q,h)的步驟如下：用匕除a,得“=

bm..x(0<r).若x=0,則(a,b)=b-,若燈0,則再用x除6,得..y(0<y).

若)，=0,則(a,b)=x,若),0,則繼續(xù)用y除x,則繼如此下去，直到能整除為止.其最后

一個非零除數(shù)即為(a,b).

(3)兩個數(shù)的最大公約數(shù)與它們的最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積：

(a,b)x[tz,b]=axb.

例題：

例1.360有多少個約數(shù)？

【答案】24

【解答】360=23X32X5,所以360共有24個約數(shù).

例2.一個數(shù)是6的倍數(shù)，但它的約數(shù)之和與6互質(zhì)，這個數(shù)最小是.

【答案】36

【解答】這個數(shù)可以表示成2''3’，2"x3,與6互質(zhì)，

所以e2,y>2f

故最小數(shù)為Txf=36.

例3.甲、乙兩個自然數(shù)的乘積比甲數(shù)的平方小1988,那么滿足上述條件的自然數(shù)有幾

組？

【答案】6組

a

【解答】而=/-1988=>ax(a-b)=1988=71x7x2t由此得〃和“一人的值為

1988的互補因子.1988有(1+1)x(1+1)x(2+1)=12個約數(shù)，所以答案為6組.

例4.已知將自然數(shù)84的全部約數(shù)的乘積分解質(zhì)因數(shù)為

、2x2x、..一......x2/x3《x3x.、..一......x3,x7ix7x.、..一......x7?

△個2。個30個7,

那么△+?+□等于.

【答案】24

【解答】84?2%3乂7，它有3x2x2=12個約數(shù).這些約數(shù)可以分成兩兩一組，使得同

一組的兩個數(shù)的乘積就是84,因此所有這些約數(shù)的乘積就是8個一212x36x76.

所以△+?+口=12+6+6=24.

例5.兩數(shù)乘積為2800,而且已知其中一數(shù)的約數(shù)個數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個數(shù)多1.那么這

兩個數(shù)分別是

【答案】175和16

【解答】2800=2'X52X7，兩數(shù)的約數(shù)個數(shù)相差1,則兩數(shù)約數(shù)的個數(shù)必為一奇一

偶.而一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，它必為完全平方數(shù)，它可能是1、22,24,52,2ax5a,

2*X5J,經(jīng)試驗只有這個平方數(shù)取2，，另一個數(shù)為9x7時，分別有5、6個約數(shù).所以

這兩個數(shù)分別為175和16.

例6.三位數(shù)A的所有奇約數(shù)之和是403,那么A最大可能是多少？

【答案】900

【解答】先考慮A的奇數(shù)部分8,利用奇偶分析可知B有奇數(shù)個約數(shù)，所以B是完全

平方數(shù)，又403<21x21,所以B只可能是可得8=225.那么A最大是225x4

=900.

例7.一個正整數(shù)是2(X)4的倍數(shù)，且恰有24個約數(shù)是偶數(shù)，那么這個數(shù)最多有個

約數(shù)是奇數(shù).

【答案】12

【解答】2004是4的倍數(shù)，所以偶約數(shù)至少是奇約數(shù)的2倍，

所以為12個.

例8.小文買紅藍兩種筆各1支用了17元，兩種筆的單價都是整元，并且紅筆比藍筆貴.

小張打算用35元來買這兩種筆（允許全部買其中一種），可是他無論怎樣買都不能恰好把

35元用完，問紅筆、藍筆每支各多少元？

【答案】紅筆每支13元，藍筆每支4元

【解答】35=5x7,兩種筆的單價不能是5元和7元（否則35元可全部用完）；

由于不是5元和7元，那么也不是17-5=12（元）和17-7=10（元）；

17元可用完，而35元不能用完，那么筆價不會是35—17=18（元）的約數(shù)：

1、2,3、6、9、18,當然也不會是17-1=16、17—2=15、17—3=14、17—6=11、

17-9=8,故筆價又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.

綜上所述，只有4和13未被排除，而4+13=17,所以紅筆每支13元，藍筆每支4元.

例9.求15708和6468的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù).

【答案】924,109956

【解析】方法一：15708=

6468=2ax3x7Jxll

（15708.$465）=22X3X7X11=924

[15708,6468]=2ax3x73xllxl7=l09956

方法二：15708=6468x2+27726468=2772x2+924

?理竺紇期956

2772=924x3924

（15708.6468）=2ax3x7xll=924

[15708.6468]=剪著1°9956

例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公約數(shù)是

【答案】53

【解析】因為1007x10—10017=53,所以最大公約數(shù)肯定是53或1.因為1007=53x19,而

且數(shù)列中每個數(shù)都是前一個數(shù)的10倍減去53,所以只要前一個數(shù)是53的倍數(shù)那么后一個

數(shù)就也是53的倍數(shù)，因此數(shù)列中每個數(shù)都是53的倍數(shù).

例11.已知兩數(shù)的最大公約數(shù)是21,最小公倍數(shù)是126,求這兩個數(shù)的和是多少？

【答案】147或105

【解析】要求這兩個數(shù)的和，我們可先求出這兩個數(shù)各是多少.

設(shè)這兩個數(shù)為a、b,a<h.

因為這兩個數(shù)的最大公約數(shù)是21,故設(shè)。=21機，6=21”，且（m,〃）=1.

因為這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是126,所以126=21x〃?x〃，于是〃?x〃=6,因此，這兩個

數(shù)的和為21+126=147,或42+63=105.

所以這兩個數(shù)的和為147或105.

例12.已知自然數(shù)A、8滿足以下兩個性質(zhì)：

（1）4、B不互素；

（2）A、8的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和為35.

那么A+B的最小值是多少？

【答案】25

【解析】A、B的最大公約數(shù)一定是它們最小公倍數(shù)的約數(shù).

因為A、B的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是35,所以35是兩數(shù)最大公約數(shù)的倍數(shù).

它們的最大公約數(shù)可能是5或7.如果A、B的最大公約數(shù)是5,則A、B的最小公倍數(shù)是30,

此時有A=5、8=30或A=10、8=15；如果A、8的最大公約數(shù)是7,則4、B的最小公倍

數(shù)是28,此時有A=7,B=28.

所以4+B的最小值為10+15=25.

例13.兩個數(shù)的最小公倍數(shù)比它們的最大公約數(shù)的3倍多15,請寫出這兩個數(shù)的所有可能

值.

【答案】1和18,2和9,3和24,5和30,10和15,15和60

【解析】設(shè)兩個數(shù)a、b,則值句=3x（岫）+15,且15是（。力）的倍數(shù)，

故〃和人可以為1和18,2和9,3和24,5和30,10和15,15和60.

例14.三位數(shù)☆與四位數(shù)?的最大公約數(shù)是22,那么☆+?=.

【答案】6

【解析】兩個數(shù)的最大公約數(shù)是22,☆☆??是11的倍數(shù)，所以?是偶數(shù)，

22是☆的約數(shù)，☆是偶數(shù)，?=2☆,

所以?=%☆=2,所以?+☆=6.

例15.試用2,3,4,5,6,7六個數(shù)字組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)與540的最大公

約數(shù)盡可能大？

【答案】324、756

【解析】因為*0=2~3"5，而2,3,4,5,6,7中只有一個5,因此這六個數(shù)字組

成的兩個三位數(shù)中不會有公約數(shù)5,所以這兩個三位數(shù)與540的最大公約數(shù)只可能為

23xSi-108,再進行試驗，108x2=216,