北京市豐臺區(qū)2022屆高三數(shù)學高考二模試卷解析版

高三數(shù)學高考二模試卷故答案為：B.

一、單選題

1.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(2,1),則復數(shù)2=()【分析】由倍角公式可得y=2cos2%-1=cos2x,可求周期；再由cos(-2%)=8$2*可得奇偶性.

4.在(工2_36的展開式中，常數(shù)項為

A.2-iB.l-2iC.2+iD.1+2i

【答案】AA.-240B.-60C.60D.240

【知識點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義【答案】D

【解析】【解答】由復數(shù)z對應的點的坐標是(2,1),【知識點】二項式定理

【解析】【解答】02_今6的二項展開式的通項為

可得z=2+3

r

故2=2-i,o

Tr+1=。6審尸(_1)=。6/(-2)>】2f

故答案為：A.

其常數(shù)項為，令12-3r=0得r=4

44

即75=C6(-2)=240

【分析】根據(jù)復數(shù)z對應的點的坐標是(2,1),可直接求得復數(shù)z,再利用共聊復數(shù)的概念求解.故答案為：D.

2.“%>1”是“爐>1，，的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件【分析】寫出(/_36展開式的通項rT]=C6r(/)6f(_ar=C6r(_2).12-3r,整理后令X的指數(shù)為0,得

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

到項數(shù)，然后計算出常數(shù)項，得到答案.

【答案】A

5.已知兩條不同的直線I,m與兩個不同的平面a,B，則下列結(jié)論中正確的是()

【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

A.若a,mil,則m_LaB.若，J.a,I||/?f則a_L夕

2

【解析】【解答】因為由X>1=>X>1,由％2>1推不出X>1,有可能X<-1,

C.若m1a,/177i,則1IIaD.若Q1￡,11a,則211s

所以“X>1”是“/>1”的充分不必要條件，

【答案】B

故答案為：A.

【知識點】直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定

【分析】判斷充分必要條件，就看由題設(shè)能否推出結(jié)論，和結(jié)論能否推出題設(shè)，顯然X>1能推出x2>

【解析】【解答】解.：由兩條不同的直線Z，?n與兩個不同的平面a,B，知：

1,但是％2>1不一定能推出x>1,有可能X<-1,即可判斷得結(jié)論.

對于A,若2〃a,11?n?則m與a平行或mua或m與a相交或m1a,A不符合題意:

3.函數(shù)y=2cos2x-1是()

對于B,若，J.a,I//6則由面面垂直的判定定理得a10,B符合題意；

A.最小正周期為兀的奇函數(shù)B.最小正周期為五的偶函數(shù)

對于C,若mJ.a,11m,則或lua,C不符合題意：

C.最小正周期為2”的奇函數(shù)D.最小正周期為2兀的偶函數(shù)

對于D,若a10,I1a,則Z〃0或Zu/?,D不符合題意.

【答案】B

故答案為：B.

【知識點】二倍角的余弦公式：余弦函數(shù)的奇偶性與對稱性：余弦函數(shù)的周期性

【解析】【解答】由倍角公式可得y=2cos2x-1=cos2x,所以周期為TT.

【分析】根據(jù)空間中線面、面面的判定定理與性質(zhì)定理一一判斷即可.

2

又cos(-2x)=cos2x,y=2cosx-1是偶函數(shù).6.小王每天在6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.3,在該時間段出發(fā)上班遲

到的概率為0.1;在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.7,在該時間段出發(fā)上班遲到的概率為02則小王某天在所以2a4=。3+Q5>2，。3,

6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（）

所以。4>Va3,a5*D符合題意；

A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3

對于C,當由=—3,d=2時，

【答案】B

【知識點】全概率公式=-1,。3=1，$2=—4<S3=—3<0。

【解析】【解答】解：由題意在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為0.3x0.1+0.7x0.2=0.17.此時&+%=。，C不符合題意.

故答案為：B.故答案為：D.

【分析】根據(jù)全概率公式計算即可得解.【分析】根據(jù)S2Vs3<0,可得。2<0,。3>0,從而可判斷AB,舉出反例即可判斷C,根據(jù)等差數(shù)列的性

7.已知a=3°s,b=log32>c=tan竽，則（）質(zhì)結(jié)合基本不等式即可判斷D.

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b9.已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞減.若f（lgx）>/（l）,則x的取值范圍是（）

【答案】AA.扁，1）B.(0,曲U(l,+00)

【知識點】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點

C.扁，10）D.(0?U(10,+8)

05

【解析】【解答】由題意得Q=3->3°=1?0=log3l<log32<log33=1,所以0<bV1,

【答案】C

又c=tan竽=—V3>

【知識點】奇偶函數(shù)圖象的對稱性：奇偶性與單調(diào)性的綜合

所以a>b>c.

【解析】【解答】解：偶函數(shù)〃%）在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞減，所以“X）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞增；

故答案為：A

則f（lgx）>/（I）等價于|lgx|V1,即一1VIgxV1,

即1g毛<lg%<lgl0,解得得V%<10,即原不等式的解集為扁，10）;

【分析】根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a,b,c與?；騃比較，分析即可得答案.

8.設(shè)等差數(shù)列｛。門｝的前n項和為S”.若S2Vs3<0,則下列結(jié)論中正確的是（）故答案為：C

A.Q3VoB.a2—al<0C.a2+a3<0D.a4>>/a3?as

【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得“乃到在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等

【知識點】基本不等式：等差數(shù)列：等差數(shù)列的性質(zhì)

式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，求解即可.

【解析】【解答】解：因為S2Vs3<0,

10.已知雙曲線C：*4=1（a>0,b>0）的左、右頂點分別為4，A2,左、右焦點分別為F1，

所以S3—S2=。3>A不符合題意；

F.以線段442為直徑的圓與雙曲線C的?條漸近線交于點M,且點M在第一象限，42M與另…條漸近線平

S3=3a2<0，所以a?V0，2

行.若|月M|=VU，則△MZI2F2的面積是（)

則公差d=。3-。2=。2->0，B不符合題意；

A.摯B.畢C.這D.公

所以等差數(shù)列｛Qn｝為遞增數(shù)列，2244

則。4>0，>0，。3*。5，【答案】C

【知識點】圓的標準方程：雙曲線的簡單性質(zhì)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

則。3+

42M與另一條漸近線、=一94平行可求出a，b,c的關(guān)系，然后根據(jù)=VH，即可求出a,b,c的值,

【解析】【解答】解：由題意4式一匿0),A2(a,0),Fi(-c,0),F2(c,0),

則以線段4遇2為直徑的圓的方程為必+,2=Q2,從而求解4M%F2的面積.

二、填空題

11.己知向量五=(一2,3).b=(6,m).若n_l.a則?71=.

【答案】4

【知識點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

【解析】【解答】解：因為耳=(-2,3)，加=(6,7切且五1左

所以五?B=-2x6+3xm=0，解得?n=4；

故答案為：4

‘M【分析】依題意可得五i=-2x6+3xzn=()，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，求解即可.

X=--

C

12.已知拋物線C：x2=8y,則拋物線C的準線方程為.

=-ab-

C

2【答案】y=-2

又因點M在第一象限，所以M(J,

【知識點】拋物線的簡單性質(zhì)

因為42M與直線y=-gx平行，

【解析】【解答】因為拋物線C：x2=8y,

ab.

所以自=-》即2=4所以2P=8,.*.p=4

所以C的準線方程為y=-2.

所以c=2a,則屬=c2—a2=3a2?

故答案為：y=-2

因為因Ml=J伴+c)2+微)2=y/2i-

所可(第"+(/=m【分析】根據(jù)拋物線的方程求出p=4,從而求準線方程.

13.在△4BC中，a=2,b=用,A=2F,貝kosB=.

即零+*=零+竽=21，【答案】孚

所以。2=3,【知識點】二倍角的正弦公式；正弦定理

則c2=12,M=9，【解析】【解答】解：在A48C中，

由正弦定理可得三=上，

所以M(坐，2),42(6，0),F2(2V3,0).s\nAsmB

叩2_再|(zhì)in2_J3

所以SAMg2=1x(2V3-V3)x|=^.sin2B-sinB'2sinBcosB-sinB'

故答案為：C.所以cosB=~

【分析】求得以線段4遇2為直徑的圓的方程為x2+yZ=a2,與漸近線y=:工聯(lián)立求出點M的坐標，根據(jù)故答案為:與

增，

【分析】利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.又H(2)=21n2-2+1=2ln2-1>0,所以，(a)=alna-a+1>0,

14.如圖，某荷塘里浮萍的面積y(單位：m2)與時間I(單位：月)滿足關(guān)系式：y=a^na(a為常數(shù))，記所以g(l)=a(Ina)2—a2lna+alna=alna(lna—a)+alna=alna(lna—a+1)<0,

y=/(t)(t>0).給出下列四個結(jié)論：g(2)=a2(lna)2-a2lna+alna=a2lna(lna—1)+alna=alna(alna—a+1)>0,

①設(shè)%=f(n)(nGN，),則數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列；故存在拓€(1，2)上，g(“)=。，故②正確：

②存在唯一的實數(shù)to6(1，2),使得/"(2)-/(I)=/'(%)成立，其中⑷是f(t)的導函數(shù)；依題意2=a“l(fā)na、3=a^ina、6=at3lna,所以2x3=a“l(fā)naxaRna=Q,i+*2(]nQ)2,

所以a〃+'2(lna)2=6.則蟲草幽!=即4+廿卬皿=1,

③常數(shù)a6(1,2);lf

ac31na

④記浮萍蔓延到2m2,3m2,6m2所經(jīng)過的時間分別為％t2，5則/+立2所叫+t13=需.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

因為a€(2,e)，所以In2<Ina<1?所以1<V2<a,所以0<「

【答案】①②④

所以ti+立一名>0，即h+以>打，故舊)正確；

【知識點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性：等比數(shù)列：函數(shù)零點

故答案為：①②④

的判定定理

【解析】【解答】解：依題意f(￡)=Q’lna,因為/XO)=a°lnaV1,所以0<。〈?且。工1,

【分析】根據(jù)f(0)=Q°lna<l、/(3)=。3m。=6求出a的取值范圍，即可判斷③，再根據(jù)等比數(shù)列的定義

又f(3)=aMna=6,所以Ina>0,所以lVaVe,即a￡(1,e)?

判斷①，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理判斷②，根據(jù)指數(shù)對數(shù)的關(guān)系及對數(shù)

令h(a)=?3lna>aG(1,e),則九(a)=3a2lna+a2>0，函數(shù)的性質(zhì)判斷④.

則h(a)=Mina在aw(1,e)上單調(diào)遞增，又八(2)=231n2<6,所以aw(2,e),故③錯誤；15.在平面直角坐標系中，已知點M(2,-2),動點N滿足=記d為點N到直線1：x+my+1-

由已知可得%=f(n)=anlna,則%+i=+1)=an+1lna,的=/(l)=alna,2m=0的距離.當m變化時，直線1所過定點的坐標為：d的最大值為.

所以等1=%丁=a，所以｛即｝是以alna為首項，a為公比的等比數(shù)列，故①正確；【答案】(-1,2)；6

【知識點】恒過定點的直線：點到直線的距離公式；軌跡方程

令/'(￡)=a，lna,貝=出(Ina)2,/(2)=a2lna,/(I)=alna,

(解析]【解答】由％+7ny+1-27n=0,得x+1+m(y-2)=0,

2f3

令9?o)=Q'o(lna)2-aIna4-alna,則g'?o)=a°(lna)?t0G(1,2).

則露::‘得院二

因為aG(2,e),所以g'(￡o)=af°(lna)3>0，即g(±o)=ato(lna)2-a2Ina+alna,在％G(1,2)上單調(diào)遞

所以直線1所過定點P(-1,2)，

增，

因為點M(2,-2)，動點N滿足|NM|=1,

因為a€(2,e)，所以Ina-aV0,Ina-1V0,alna>0,

令/(a)=Ina-a+1,a6(2,e)，則/(a)=：-1=v0，所以<p(a)=Ina-a+1,在a￡(2,e)上單所以動點N在以M(2,-2)為圓心，1為半徑為圓上，

所以當MP1/時，點N到直線1的距離最大，

調(diào)遞減，

且*(2)=ln2—2+1=ln2-1<0,即@(a)=Ina—a+1<0,所以d的最大值為|MP|+1=J(2++(-2—2"+1=6，

令H(a)=alna-Q+1,aG(2,e),則H(a)=Ina>0，所以H(a)=alna-a+1在ac(2,e)上單調(diào)遞故答案為：(-1,2),6

條件③：

【分析】對直線方程變形可求出直線1所過定P的坐標，由題意可得動點N在以M(2,-2)為圓心，1為半徑2an-Sn=l.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

為圓上，所以當MP11時，點N到直線1的距離最大，最大值為|MP|+1=J(2+1產(chǎn)+(-2-2尸+1=6.

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐椆?；

三、解答題

(2)設(shè)數(shù)列｛^｝的前n項和為若對任意九€N”,不等式GV加恒成立，求m的最小值.

16.如圖，在正三棱柱81cl中，AAr=AB,D為BC的中點，平面力1%。n平面ABC=DP.an

(1)求證：IIDP；【答案】(1)解:選條件①：因為的=1,且%-20n_i=0(nN2),即時=2即_1

(2)求平面4儲1。與平面A&D夾角的余弦值.所以數(shù)列｛a”｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

【答案】證明：連接力止，平面平面力道也

(1)1，所以0n=2〃T.

???平面NBCn平面AigOP=DP,平面力1816n平面AiQDP=選條件②：當71=1時，%=Si=1

nn-1n71-1n-1

??"iCi〃DP當nN2時，a,.=Sn-S,LI=2-1-(2-1)=2-2=2

(2)解：設(shè)=AB=2m因為當n=l時，上式也成立，

以D為坐標原點，AD為x軸，CD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以0n=2'-】.

，0(0,0,0)，X(V3m,0?0)?Ai(V3m,0.2m)?C1(0，-m,2m)選條件③：因為2/一5兀=1，得的=2即一1

當n=l時，2%一51=1,得a［二1

設(shè)平面的法向量為3=(1,y,z)

當"N2時，an-Sn-S”-1=2an-1-(2%_i-1)=2an-2%-i

DAi=(V3m,0,2m)，DC；=(0,-m,2m)整理得a”=2Q“T

聯(lián)立方程卜氏=痢號皿=《所以數(shù)歹叫與｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列

所以%=2"一］.

解得:y=—V5,z=—坐

⑵解：由(1)知‘今=冊,記九=今=冊

?*-s=(l,-V3,一孚)

1

因為會7=%7=與比=*=1

同理求得平面440的法向量f=(0,-1,0)產(chǎn)2

,一：、s-t732>/57所以｛%｝是以1為首項，：為公比的等比數(shù)列

.?.cos<s,1>=麗=再=t

~7~

所以加=-T^T-=2-島■<2

平面與平面HA。夾角的余弦值的余弦值為鎏

1-22

【知識點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；用空間向量求平面間的夾角所以m的最小值為2

【解析】【分析】(1)利用面面平行證明線線平行：【知識點】等比數(shù)列：等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和

【解析】【分析】(1)選條件①：由等比數(shù)列通項公式直接可得；選條件②：利用S”與%的關(guān)系可得；選條

(2)建立空間直角系，分別求出平面力為。與平面的法向量，利用cosvl；>=」4r求解即可.

件③：先由的與S”的關(guān)系先得遞推公式，然后由等比數(shù)列通項公式直接可得：

17.已知數(shù)列｛%｝的前n項和為SR,在條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇?個作為已知.(2)由等比數(shù)列求和公式求和即可得結(jié)果.

條件①:%=1且%-241T=0(n>2)；18.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費者均可免費參加一次抽獎活動，活動規(guī)則如下：在一不透明紙箱中有8張

n

條件②：Sn=2-1；相同的卡片，其中4張卡片上印有“幸”字，另外4張卡片上印有“運”字.消費者從該紙箱中不放回地隨機抽取

4張卡片，若抽到的4張卡片上都印有同?個字，則獲得?張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡(2)當aNl時，求證：/(x)<(a-l)x+l；

片上印有同一個字，則獲得一張5元代金券：若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎勵.(3)直接寫出a的一個取值范圍，使得f(x)Na/+(a-l)x+1恒成立.

(1)求某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率：【答案】(1)解：當Q=1時，f(x)=券,則八乃=.一以？-=就

(2)記隨機變量X為某位消費者在一次抽獎活動中獲得代金券的金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望

令/'(%)=()，即％=0,

E(X)：

所以當工<0時，/(X)>o./(外單調(diào)遞增；當#>0時，/(x)<0>f(x)單調(diào)遞減；

(3)該商家規(guī)定，消費者若想再次參加該項抽獎活動，則每抽獎一次需支付3元.若你是消費者，是否愿

因此f(外在x=0處取得極大值，/(0)=需=1，

意再次參加該項抽獎活動？請說明理由.

【答案】(1)解：記“某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字”為事件4所以f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,0),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+oo),在x=0處取得極大值，且極大值為1

則P⑷=，=4，所以某位消費者在一次抽獎活動中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率為克

(2)證明：要證/(x)W(a-1)X+1,即證笠牡一(。一1口一1三0,

(2)解：依題意隨機變量X的所有可能取值為0、5、10：