江蘇省泰州市高港區(qū)等2地2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023年秋學(xué)期期中高新區(qū)（高港區(qū)）學(xué)業(yè)水平測(cè)試九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分，在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，選擇正確選項(xiàng)的字母代號(hào)涂在答題卡相應(yīng)的位置上）1.下列是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的概念，根據(jù)一元二次方程的定義即可求解，解題的關(guān)鍵是熟記一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式方程，叫做一元二次方程．【詳解】、是一元一次方程，不符合題意；、，要說明，不符合題意；、是一元二次方程，不符合題意；、，左邊不是整式，不符合題意；故選：．2.已知的半徑為4，，則點(diǎn)在（）A.圓內(nèi) B.圓上 C.圓外 D.不確定【答案】B【解析】【分析】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；根據(jù)的半徑為和點(diǎn)到圓心的距離與圓與點(diǎn)的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵的半徑為，，∴，∴點(diǎn)在圓上．故選：B．3.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，最后再利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)果.【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選：.4.下列說法正確的是（）A.概率為0的事件是不可能事件；B.某隨機(jī)事件的概率為，只要重復(fù)100次該事件一定會(huì)發(fā)生；C.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，有3種可能結(jié)果，即出現(xiàn)2次正面朝上，出現(xiàn)2次反面朝上，出現(xiàn)1次正面朝上和1次反面朝上．所以“出現(xiàn)2次正面朝上”的概率為D.從兩副完全相同的手套（分左、右手）中任取兩只，這兩只手套恰好配成一副的概率為．【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了事件的分類，概率的意義，樹狀圖法活列表法求解概率，根據(jù)不可能事件的定義即可判斷A；概率只是表示事件發(fā)生的可能性，并不代表每次試驗(yàn)下一定會(huì)發(fā)生，據(jù)此可判斷B；拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，有4種可能結(jié)果（正正，正反，反正，反反），據(jù)此可判斷C；列出表格得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到這兩只手套恰好配成一副的結(jié)果數(shù)，依據(jù)概率計(jì)算公式求出概率即可判斷D．【詳解】解：A、不可能事件發(fā)生的概率為0，但是概率為0的事件不一定是不可能事件，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、某隨機(jī)事件的概率為，重復(fù)100次該事件不一定會(huì)發(fā)生，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，有4種可能結(jié)果，即出現(xiàn)2次正面朝上，出現(xiàn)2次反面朝上，出現(xiàn)1次正面朝上和1次反面朝上（2種）．所以“出現(xiàn)2次正面朝上”的概率為，故原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、設(shè)第一副手套的左右兩只用A、B表示，第二副手套的左右兩只用C、D表示，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中這兩只手套恰好配成一副的結(jié)果數(shù)有8種，∴這兩只手套恰好配成一副的概率為，原說法正確，符合題意；故選D．5.解一元二次方程時(shí)，可以運(yùn)用因式分解法將此方程化為，從而得到兩個(gè)一元一次方程：或，最后得出解為，．這種解法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.轉(zhuǎn)化思想 B.函數(shù)思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.從特殊到一般的思想【答案】A【解析】【分析】本題考查了初中數(shù)學(xué)的常用的數(shù)學(xué)思想，該過程是把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即可作答，正確理解本題中的把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，這種解法中將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程求解，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想．故選：A．6.如圖，點(diǎn)是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作弦，，分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為、，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，與的面積和的變化情況是（）A一直減小 B.一直不變 C.先變大后變小 D.先變小后變大【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定，求三角形的面積等，先連接，，設(shè)，，，根據(jù)表示出面積和，再根據(jù)勾股定理，得出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理得出結(jié)論．【詳解】連接，，設(shè)，，，∵，∴，，∴，，∴，．可知．根據(jù)勾股定理，得，即，解得，∴．在中，，即，∴，所以這兩個(gè)三角形的面積和不變．故選：B．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分．請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上．）7.若，則______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，利用設(shè)，，代入求解即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，，∴，故答案為：．8.已知方程的兩實(shí)數(shù)根為、，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程的兩實(shí)數(shù)根為、，∴，．∴，故答案為：．9.某足球隊(duì)20場(chǎng)比賽的進(jìn)球數(shù)如圖所示，該足球隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球______個(gè)．【答案】2.3【解析】【分析】本題考查加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，若個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)次，出現(xiàn)次，…，出現(xiàn)次，那么叫做，，…，的加權(quán)平均數(shù)．根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：該足球隊(duì)平均每場(chǎng)進(jìn)球個(gè)數(shù)為：（個(gè)）；故答案：2.3．10.如圖，△ABC中，P為AB上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件：______，使△ACP和△ABC相似．【答案】（或或）【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理作答即可．【詳解】（或或）添加的條件為：（或或）故答案為：（或或）．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定定理，即兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除捷法》中記載：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長及闊各幾步．”譯文：一塊矩形田地的面積是864平方步，它的長和寬共60步，問它的長和寬各是多少步？設(shè)這塊矩形田地的長為步，根據(jù)題意可列方程為______．【答案】【解析】【分析】由矩形田地的長與寬的和是60步，可得出矩形田地的寬為（60-x）步，根據(jù)矩形田地的面積是864平方步，即可得出關(guān)于x的一元二次方程．【詳解】解：若設(shè)這塊矩形田地的長為步，則寬為步，依題意，得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．12.如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n=________．【答案】24【解析】【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，則∠AOC=15°，則邊數(shù)n=360°÷中心角．【詳解】連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∴∴故答案為24；【點(diǎn)睛】考查正多邊形和圓的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是求出的度數(shù).13.如圖，將一個(gè)扇形圍成圓錐的側(cè)面，已知扇形面積為，圓錐的底面圓半徑，則扇形半徑＝______．【答案】【解析】【分析】本題考查圓錐的側(cè)面積，由圓錐側(cè)面展開圖是扇形，可以利用求扇形面積公式即可求解，解題的關(guān)鍵是正確理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．【詳解】由題意得：，其中，∴，解得：，故答案為：．14.我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形，從外形看它最具美感．小明想制作一張“黃金矩形”的賀卡，已知賀卡長為，那么賀卡的寬為______cm．（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】【解析】【分析】本題主要考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，根據(jù)黃金比值求解即可．【詳解】解∶寬與長的比是，則寬與長的比值為：，∵賀卡長為∴賀卡寬為，故答案為：.15.如圖，點(diǎn)是重心，交于點(diǎn)，，則______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了三角形的重心，相似三角形的判定及性質(zhì)，根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半得，進(jìn)而得，再由，證得，得到是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：先證明：重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍；由點(diǎn)為的重心（即：點(diǎn)為三條中線、、的交點(diǎn)），則由三角形中線性質(zhì)可得：，，，，，則，，∴，則，即：，同理可得：，，即：重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍；連接，并延長交于，∵點(diǎn)為的重心，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2．16.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)，若，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)．若在線段上有且只有兩個(gè)點(diǎn)使得與相似，則的值為_____．【答案】或##5或4【解析】【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，由，得，當(dāng)與相似時(shí)，分或時(shí)，再結(jié)合一元二次方程根的情況即可求解，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，與相似，∵四邊形平行四邊形，∴，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵有且只有兩個(gè)點(diǎn)，∴有兩種情況，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，又因?yàn)?，∴；有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且是它的一個(gè)根，∴代入得：，又因?yàn)?，∴，綜上可知：的值為或．三、解答題（本大題共10小題，滿分102分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．（1）移項(xiàng)后提取公因式，再解兩個(gè)一元一次方程即可；（2）首先找出，利用公式法解方程即可．【小問1詳解】解得：，；【小問2詳解】∵，∴，∴∴，18.已知關(guān)于的方程．（1）求證：方程總有實(shí)數(shù)根；（2）不論取何值，方程總有一個(gè)不變的根，求這個(gè)不變根．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．（2）將含字母的各項(xiàng)進(jìn)行合并，令其系數(shù)等于零，即可得出．【小問1詳解】，所以方程總有實(shí)數(shù)根；【小問2詳解】，因?yàn)椴徽撊『沃担匠炭傆幸粋€(gè)不變的根，所以，這個(gè)不變根為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別方法．，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；，方程沒有實(shí)數(shù)根．19.某校興趣小組在學(xué)科實(shí)踐活動(dòng)中，從市場(chǎng)上銷售的，兩個(gè)品種的花生仁中各隨機(jī)抽取30粒，測(cè)量其長軸長度，然后對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集、整理和分析．下面是部分信息．表格一兩種花生仁的長軸長度統(tǒng)計(jì)表：花生仁長軸長度（）12131415161718192021品種花生仁粒數(shù)51067200000品種花生仁粒數(shù)0023645442表格二兩種花生仁的長軸長度的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差品種花生仁13.713.51.4品種花生仁17.5163.9根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）興趣小組的同學(xué)在進(jìn)行抽樣時(shí)，以下操作正確的是_______（填序號(hào)）；①從數(shù)量足夠多的兩種花生仁中挑取顆粒大的各30粒；②將數(shù)量足夠多的兩種花生仁分別放在兩個(gè)不透明的袋子中，搖勻后從中各取出30粒；（2）表格二中＝_______，＝________；（3）學(xué)校食堂準(zhǔn)備從，兩個(gè)品種的花生仁中選購一批做食材，根據(jù)菜品質(zhì)量要求，花生仁大小要均勻，那么興趣小組應(yīng)向食堂推薦選購_______（填“”或“”）品種花生仁，理由是________________．【答案】（1）②（2）17.5，13（3）A；理由是品種花生仁的方差小，花生仁大小均勻【解析】【分析】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)以及方差，掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義和計(jì)算方法是正確解答的前提．（1）根據(jù)收集數(shù)據(jù)的方法即可求解；（2）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得a、b的值；（3）從方差的意義即可得答案．【小問1詳解】根據(jù)抽取的樣木最具有代表性可知，操作正確的是②；故答案為：②；【小問2詳解】B品種花生仁的長度的第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)都是17和18，則中位數(shù)為，∵A品種花生仁長度13出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴A品種花生仁長度的眾數(shù)為，故答案為17.5，13；【小問3詳解】根據(jù)菜品質(zhì)量要求，花生仁大小要均勻，那么興趣小組應(yīng)向食堂推薦選購A品種花生仁，理由：A品種花生仁的方差小，花生仁大小均勻．故答案為：A；A品種花生仁的方差小，花生仁大小均勻．20.為了豐富校園文化生活，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，促進(jìn)中學(xué)生全面發(fā)展，學(xué)校開展了多種社團(tuán)活動(dòng)．小明喜歡的社團(tuán)有：合唱社團(tuán)、足球社團(tuán)、書法社團(tuán)、科技社團(tuán)（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個(gè)社團(tuán)），并把這四個(gè)字母分別寫在四張完全相同的不透明的卡片的正面上，然后將這四張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上．（1）小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率是．（2）小明先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母后不放回，再從剩余的卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，記錄下卡片上的字母．請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法求出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率．【答案】（1）；（2）見解析，.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12種等可能性結(jié)果，再找出小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）小明從中隨機(jī)抽取一張卡片是足球社團(tuán)B的概率＝；（2）列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表可知共有12種等可能結(jié)果，小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的結(jié)果數(shù)為6種，所以小明兩次抽取的卡片中有一張是科技社團(tuán)D的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率21.如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，點(diǎn)在上，分別交、于點(diǎn)、，下列幾個(gè)信息：①；②；③．從上面三個(gè)信息中選擇兩個(gè)作為條件，剩余的一個(gè)作為結(jié)論組成一個(gè)真命題．（1）你選擇的條件是_______，結(jié)論是_______（填序號(hào)）；（2）證明你構(gòu)造的命題．【答案】（1）①③；②（也可以①②；③或者②③；①）（2）見解析【解析】【分析】選擇的補(bǔ)充條件是①③，可得結(jié)論②．首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到，，從而得到，再利用等邊對(duì)等角得到，那么，然后根據(jù)等角的余角相等得出，從而證得．【小問1詳解】解：①③；②（也可以①②；③或者②③；①）故答案為：①③；②；【小問2詳解】為直徑，，，，，，，，，，，，，．故答案為：①③；②．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)圓周角、等邊對(duì)等角、同角或等角的余角相等，綜合運(yùn)用這些知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．22.某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場(chǎng)分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對(duì)這種水產(chǎn)品情況，請(qǐng)解答以下問題：（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤；（2）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少？【答案】（1）450kg；6750元（2）80元【解析】【分析】（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，相對(duì)原售價(jià)50元漲價(jià)了5元，則銷售量減少了50kg，所以銷售量為450kg，月銷售利潤為(55-40)×450=6750元；（2）設(shè)漲價(jià)x元，則銷售量減少10xkg，則(50-40+x)(500-10x)=8000，解得x1=10，x2=30，又因?yàn)?0×(500-10x)≤10000，進(jìn)行取舍，再求出銷售單價(jià)即可．【小問1詳解】55-50=5元500-5×10=450kg(55-40)×450=6750元答：當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，銷售量為450kg，月銷售利潤為6750元．【小問2詳解】設(shè)漲價(jià)x元，則銷售量減少10xkg，則(50-40+x)(500-10x)=8000解得x1=10，x2=30又因?yàn)?0×(500-10x)≤10000解得x≥25所以x=30，x+50=80答：銷售單價(jià)應(yīng)為80元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程在銷售問題中的應(yīng)用，正確理解題意，合理設(shè)元并列出方程是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意解題題意對(duì)答案進(jìn)行取舍．23.如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點(diǎn)、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）當(dāng)時(shí)，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，由可得，再由可得，等量代換可得，根據(jù)同位角相等兩條直線平行可得，又因?yàn)?，根?jù)垂直于兩條平行線中的一條，與另一條也垂直，得到，即可證明結(jié)論；（2）先證明，可得，，利用含的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理可得，，結(jié)合，從而可得答案．【小問1詳解】證明：，，，，，，，，是⊙O的切線．【小問2詳解】∵，∴，∵，則，∴，∴，而，∴，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解扇形的面積，熟練的證明圓的切線是解本題的關(guān)鍵．24.如圖，在中，（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)在邊上找一點(diǎn)，使以點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓恰好與相切；（2）在（1）的條件下，與的切點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，若，，求的長度．【答案】（1）見解析（2）12.5【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可作的平分線交于D，再作的垂直平分線交于O，連接，則，進(jìn)而得到，則，利用平行線的性質(zhì)證得，根據(jù)切線的判定可得結(jié)論；（2）證明，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．【小問1詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求（作法不唯一）；【小問2詳解】解：如圖，連接，由題意，為圓O的直徑，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查基本尺規(guī)作圖、圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的判定畫圖，以及證明三角形相似進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵．25.如圖，矩形木板，，．點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．（1）如圖1，沿切割矩形木板，若，且，求長；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，上是否存在點(diǎn)，使得？說明理由；（3）若沿、、切割后，，在圖3中畫出示意圖，并說明分割方法．【答案】（1）30厘米或40厘米（2）存在，見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，列出方程求解即可；（2）根據(jù)，，得出，則，整理得，根據(jù)根判別式即可解答；（3）當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)處，時(shí)，．易得，，通過證明，得出，解得：，進(jìn)而得出，即可求證．【小問1詳解】解：設(shè)，則，在中，，則，解得，所以長為或．【小問2詳解】解：存在點(diǎn)，使得，理由如下：∵，，∴，∴，則，，，∵，∴方程存在符合實(shí)際的根，∴存在點(diǎn)，使得．【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)處，時(shí)，．∵點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴，根據(jù)勾股定理可得：，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：，∴，又∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在中點(diǎn)處，時(shí)，．26.平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為3，，直線過點(diǎn)．（1）如圖1，直線與在第一象限相切于點(diǎn)，則＝________，的坐標(biāo)為________；（2）若直線與相交于軸上方的、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）