2023年考研數(shù)學(xué)三真題及完整解析

2023年探討生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所

選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).

(1)當(dāng)X-0+時(shí)，與?等價(jià)的無(wú)窮小量是

(A)1-e^(B)In(C)J1+五-1(D)1-cosVx[]

1-Vx

(2)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是：

(A)若lim/^存在，則/(0)=0(B)若lim存在,則/(0)=0.

XTOxx->0x

(B)若1加工^存在，貝i]尸(0)=0(D)若lim/(功一八一為存在,則/(())=0.

.v->0%x->0%

[]

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[一3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間

[—2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)尸(x)=J"⑺出，則下列結(jié)論正確的是：

35

(C)F(3)=-F(2)(D)F(3)=——F(-2)1

44

(4)設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，則二次積分口dLrf1/(x,y)dy等于

J—Jsinx

2

(A)y(x,y)dx<B)fd)，「/(x,y)dx

JOJ%+arcsmyJOJ^--arcsiny

W^+arcsinvrlf^-arcsinv

三/(x,y)dx(D)￡dyj￡f(x,y)dx

22

(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=160-2P,其中Q,尸分別表示須要量和價(jià)格，假如該商品需求彈性的肯定值

等于1,則商品的價(jià)格是

(A)10.(B)20(C)30.(D)40.1

(6)曲線y=：+ln(l+e*)的漸近線的條數(shù)為

(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.]

(7)設(shè)向量組%,。2，。3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

(A)%一四(B)%+%

(C)%一2a2，%—2%,%-2%?(D)%+2a2，。2+2。3，二3+2%?[J

'2-1-np00、

(8)設(shè)矩陣A=-12-1,B=010,則A與B

2)10

「1-10°,

(A)合同且相像(B)合同，但不相像.(C)不合同，但相像.(D)既不合同也不相像1

(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<l),則此人第4次射擊恰好第2次

擊中目標(biāo)的概率為

(A)3p(l-p)2.(B)6/?(1-p)2.

(C)3〃2(1一〃)2.(D)6P2(1-p)2LJ

(io)設(shè)隨機(jī)變量(x,y)聽從二維正態(tài)分布，且x與丫不相關(guān)，/x(x),人⑶)分別表示x,y的概率密度，則

在y=y的條件下，x的條件概率密度/x?(xly)為

(A)AU).(B)fY(y).(C)fxMfy(y).(D)L］

A(y)

二、填空題：11?16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

++1

(11)lim-----------(sinx+cosx)=.

f-2x+x3

(12)設(shè)函數(shù)y=—,則y(">(0)=.

2x+3

(13)設(shè)/(〃#)是二元可微函數(shù)，z=/(2,2］，則x電—曠電=_________.

y)5xdy

(14)微分方程型=2—牙？］滿意讓T=1的特解為了=________.

drx2yxJ

'0100、

00103

(15)設(shè)矩陣A=000］，則A?的秩為.

、0000,

(16)在區(qū)間(0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之差的肯定值小于g的概率為.

三、解答題：17?24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(17)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程yiny—x+y=0確定，試推斷曲線y=y(x)在點(diǎn)(1,1)旁邊的凹凸性.

(18)(本題滿分11分)

/，kl+|y|<l

設(shè)二元函數(shù)/Uy)=__....-計(jì)算二重積分j]7(x,)，)db，其中

I+.25l<lx|+lyl?2"

￡>={(x,y)||x|+|y區(qū)2}.

(19)(本題滿分11分)

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[。,句上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值，

f(a)=g(a),f(b)=g(b),證明：存在六(a,。),使得「C)=g"G).

(20)(本題滿分10分)

將函數(shù)/(x)=———綻開成X—1的基級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.

廠-3x-4

(21)(本題滿分11分)

X1+%+%3=0

設(shè)線性方程組(%+2/+。彳3=0與方程西+2/+七=?！?有公共解，求a的值及全部公共解.

%+4X2+crx3=0

(22)(本題滿分11分)

設(shè)三階對(duì)稱矩陣A的特征向量值4=1,%=2,4=一2,%=(1,-1,1)T是4的屬于4的一個(gè)特征向量,

記8=45—4A?+E,其中E為3階單位矩陣.

(I)驗(yàn)證必是矩陣8的特征向量，并求5的全部特征值與特征向量;

(II)求矩陣3.

(23)(本題滿分11分)

設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)的概率密度為

2—x—y,0<x<l,0<y<l

以X,y)=<

0,其他

(I)求P{X>2F}；

(II)求2=乂+丫的概率密度.

2023答案

L...【分析】本題為等價(jià)無(wú)窮小的判定，利用定義或等價(jià)無(wú)窮小代換即可.

【詳解】當(dāng)X-0+時(shí)，l-e'"-\fx,\jl+yfx—I--yfx,l~COS\[x--(6)=~X,

故用解除法可得正確選項(xiàng)為(B).

E1+X1111

事實(shí)上，limlimln(l+x)*(l-&)1+x匕-2G=1,

=Rm

10+Jx3*y/xX*]

2>/x

或In?：=ln(l+x)-ln(l-五)=x+o(x)+G+。(?)=Jx+o(Jx')Vx.

l-y/X

所以應(yīng)選(B)

【評(píng)注】本題為關(guān)于無(wú)窮小量比較的基本題型，利用等價(jià)無(wú)窮小代換可簡(jiǎn)化計(jì)算.

2…….【分析】本題考查可導(dǎo)的極限定義及連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系.由于題設(shè)條件含有抽象函數(shù)，本題最簡(jiǎn)便的方法

是用賦值法求解，即取符合題設(shè)條件的特別函數(shù)/(幻去進(jìn)行推斷，然后選擇正確選項(xiàng).

【詳解】取則但/(x)在x=0不行導(dǎo)，故選(D).

5x

事實(shí)上，

在(A),(B)兩項(xiàng)中，因?yàn)榉帜傅臉O限為0,所以分子的極限也必需為0,則可推得/(0)=0.

在(C)中，lim2^存在，則/(0)=0,八0)=lim八幻—"°)=lim^^=0,所以(C)項(xiàng)正確,

…。*~0x-0—0x

故選(D)

【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件含抽象函數(shù)或備選項(xiàng)為抽象函數(shù)形式結(jié)果以及數(shù)值型結(jié)果的選擇題，用賦值法求解往往

能收到奇效.

3.……【分析】本題實(shí)質(zhì)上是求分段函數(shù)的定積分.

【詳解】利用定積分的幾何意義，可得

、2

=-7T,/(2)=，乃22=，萬(wàn),

2227822

/(-2)=J。/(x)dx=一［,/(x)dx=￡/(x)dx=；/=；乃.

33

所以F(3)=-F(2)=-F(-2),故選(C).

44

【評(píng)注】本題屬基本題型.本題利用定積分的幾何意義比較簡(jiǎn)便.

4…….【分析】本題更換二次積分的積分次序，先依據(jù)二次積分確定積分區(qū)域，然后寫出新的二次積分.

JT

【詳解】由題設(shè)可知，—<%<^,sinx<<1,則0<y?l,%-arcsiny?x〈；T,

故應(yīng)選(B).

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.畫圖更易看出.

5….…【分析】本題考查需求彈性的概念.

【詳解】選(D).

商品需求彈性的肯定值等于絲?￡=-2P=inp=40,

dPQ160-2P

故選(D).

【評(píng)注】需駕馭微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用中的邊際，彈性等概念.

6…….【分析】利用曲線的漸近線的求解公式求出水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然后推斷.

g+ln(l+e，)

【詳解】limy=lim=+8,limy=lim—+In(1+ev=0,

XT+OOXT+OCXT-00Xf-ooX\

所以y=0是曲線的水平漸近線;

limy=lim-+ln(l+ev)Loo,所以x=0是曲線的垂直漸近線；

.v->0xT°|_X'\

y-+ln(l+e')ln(l+e')4/

lim2=lim-----------=0+lim------L=lim=1,

XT+X%*—>+00XX~>+00%X—>-H?!

b=lim\y-x]=lim—+ln(l+eA)-x=0,所以y=x是曲線的斜漸近線.

X->+XL」X->+XX\/

故選(D).

【評(píng)注】本題為基本題型，應(yīng)嫻熟駕馭曲線的水平漸近線，垂直漸近線和斜漸近線的求法.留意當(dāng)曲線存在水平

漸近線時(shí)，斜漸近線不存在.本題要留意e*當(dāng)時(shí)的極限不同.

7......【分析】本題考查由線性無(wú)關(guān)的向量組％,。2，%構(gòu)造的另一向量組四，四，四的線性相關(guān)性.一般令

（凡氏，四）=（?，%，/）A，若網(wǎng)=0,則用血，自線性相關(guān);若|A|HO,則凡尸2,四線性無(wú)關(guān)?但

考慮到本題備選項(xiàng)的特征，可通過(guò)簡(jiǎn)潔的線性運(yùn)算得到正確選項(xiàng).

［詳解］由-%）+（。2_。3）+（q_。1）=0可知應(yīng)選（A）.

或者因?yàn)?/p>

’10-1、10-1

(a,-a2,a2-a3,a3-a1)=(al,a2,a3)-110而-110=0,

、o-i1,0-11

所以<Z]—a?,—[3,03—4線性相關(guān)，故選(A).

【評(píng)注】本題也可用賦值法求解，如?。?（1,0,0）「,%=（0,1，0）「，々3=（0,0,1）「，以此求出（A）,（B）,（C）,

（D）中的向量并分別組成一個(gè)矩陣，然后利用矩陣的秩或行列式是否為零可馬上得到正確選項(xiàng).

8……【分析】本題考查矩陣的合同關(guān)系與相像關(guān)系及其之間的聯(lián)系，只要求得A的特征值，并考慮到實(shí)對(duì)稱矩

陣A必可經(jīng)正交變換使之相像于對(duì)角陣，便可得到答案.

A-211

【詳解】由|/IE—川=12-21="；1—3＞可得％=4=3,4=0,

112-2

所以A的特征值為3,3,0；而B的特征值為1,1,0.

所以A與8不相像，但是A與8的秩均為2,且正慣性指數(shù)都為2,所以A與B合同，故選（B）.

【評(píng)注】若矩陣A與8相像，則A與8具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值.

所以通過(guò)計(jì)算A與8的特征值可馬上解除（A）（C）.

9....【分析】本題計(jì)算貝努里概型，即二項(xiàng)分布的概率.關(guān)鍵要搞清所求事務(wù)中的勝利次數(shù).

【詳解】p=｛前三次僅有一次擊中目標(biāo)，第4次擊中目標(biāo)｝

=GPQ-P￥P=3P”P￥，

故選(C).

【評(píng)注】本題屬基本題型.

io.……【分析】本題求隨機(jī)變量的條件概率密度，利用x與y的獨(dú)立性和公式

人卜(刈力=器?可求解.

【詳解】因?yàn)?x,y)聽從二維正態(tài)分布，且x與y不相關(guān)，所以x與丫獨(dú)立，所以/(x,y)=/x(x)4(y)-

故人(/))="X)')=&(x)4()')()

=’X,應(yīng)選(A).

1

fY(y)fY(y)

【評(píng)注】若(x,y)聽從二維正態(tài)分布，則x與丫不相關(guān)與x與丫獨(dú)立是等價(jià)的.

11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無(wú)窮小乘以有界量仍為無(wú)窮小的結(jié)論.

x3X21

r3r2l^7+至+至0

【詳解】因?yàn)閘im^+^―+!-=lim^~2,2=-=0,|sinx+cosx|<2,

.rf2'+T鈣.X1

1+——

2X

..,,x3+x2+1,.、-

所rr以hm-------(sinx+cosx)=0.

22V+x

【評(píng)注】無(wú)窮小的相關(guān)性質(zhì)：

(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮??；

(2)有限個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮??；

(3)無(wú)窮小與有界變量的乘積為無(wú)窮小.

12,.....【分析】本題求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，利用遞推法或函數(shù)的麥克老林綻開式.

1,2(一1)"2""

【詳解】則嚴(yán)⑴=故嚴(yán)(o)=(二;浮

9y—T

2x+3/(2x+3『(2x+3嚴(yán)

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.

13….…【分析】本題為二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，干脆利用公式即可.

【詳解】利用求導(dǎo)公式可得

dzy.I1

「―一/+一力,

oxxy

所以了@-丁生

=—2

fixdy%y)

【評(píng)注】二元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)時(shí)，最好設(shè)出中間變量，留意計(jì)算的正確性.

14..…【分析】本題為齊次方程的求解，可令“=2.

X

【詳解】令〃=2,則原方程變?yōu)?/p>

X

du1dwdx

u+x—=u—u3—-=----.

dr2ii2x

兩邊積分得

11,1,「

----r=——Inx——InC，

2/22

141工

即x=-e"'=>x=—er,將1代入左式得C=e,

CC

X

故滿意條件的方程的特解為ex=e廠，即yx>e".

Jlnx+1

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.

15............【分析】先將求出，然后利用定義推斷其秩.

’0100、'0001、

00100000

【詳解】A==4=nr(A)=1

00010000

、0000,、0000,

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.

16............【分析】依據(jù)題意可得兩個(gè)隨機(jī)變量聽從區(qū)間（0,1）上的勻稱分布，利用幾何概型計(jì)算較為

簡(jiǎn)便.

【詳解】利用幾何概型計(jì)算.圖如下：

所求概率=&=—=3

SD14

【評(píng)注】本題也可先寫出兩個(gè)隨機(jī)變量的概率密度，然后利用它們的獨(dú)立性求得所求概率.

17....【分析】由凹凸性判別方法和隱函數(shù)的求導(dǎo)可得.

【詳解】方程ylny-x+y=O兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

y

y'lny+y---1+y'=0,

y

即y'(2+lny)=l,則y'⑴=；.

上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo)得

/(2+lny)+-0

y

則y"⑴=—L所以曲線丁=共幻在點(diǎn)(1,1)旁邊是凸的.

8

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型.

18….…【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸均對(duì)稱，所以利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡(jiǎn)化所求積分.

【詳解】因?yàn)楸环e函數(shù)關(guān)于x,y均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域關(guān)于軸均對(duì)稱，所以

JJf(x,y)dcr="f(x,y)d(y,其中R為。在第一象限內(nèi)的部分.

DD]

而JJ/(X,)，)db=JJVdb+fl72,da

D)x+y<l.x>O,y^O訟0.)之0yjX+y

1

一十V21n(l+V2).

12

所以jjf(x,j)d(T=-+472In(1+V2).

D3

【評(píng)注】被積函數(shù)包含Jx2+y2時(shí),可考慮用極坐標(biāo)，解答如下:

Uf(x,y)da=JJ

]^x+y<2l，t+陣2

x>0,y>0.r>0.>>0

2

=口".sin6+cos8d/-

J0J

sin6+cos。

V21n(l+V2).

19.……【分析】由所證結(jié)論/e)=g"C)可聯(lián)想到構(gòu)造協(xié)助函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x),然后依據(jù)題設(shè)條件利

用羅爾定理證明.

【詳解】令E(x)=/(x)—g(x),則尸(x)在［a,句上連續(xù)，在(。力)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且尸(。)=/(。)=0.

(1)若/(x),g(x)在(a,Z?)內(nèi)同一點(diǎn)c取得最大值，則/(c)=g(c)=jF(c)=O,

于是由羅爾定理可得，存在《e(a,c)，2e(c,?,使得

F，(G=F&)=0.

再利用羅爾定理，可得存在欠仁,4),使得尸c)=o,即/e)=g"?.

(2)若/(x),g(x)在(a,0內(nèi)不同點(diǎn)q,，2取得最大值，則/(C1)=gG)=V，于是

)=f(c,)-g(c,)>0,F(C2)=f(c2)-g(c2)<0,

于是由零值定理可得，存在。3€(。，。2)，使得~(，3)=0

于是由羅爾定理可得，存在④€(。,。3),。2€(。3，份，使得

Fg)=F6)=0.

再利用羅爾定理，可得，存在火?4),使得一〃《)=0,即/C)=g"C).

【評(píng)注】對(duì)命題為f")c)=o的證明，一般利用以下兩種方法：

方法一：驗(yàn)證4為尸"T(X)的最值或極值點(diǎn)，利用極值存在的必要條件或費(fèi)爾馬定理可得證；

方法二：驗(yàn)證F"T(X)在包含X=J于其內(nèi)的區(qū)間上滿意羅爾定理?xiàng)l件.

20.…【分析】本題考查函數(shù)的幕級(jí)數(shù)綻開，利用間接法.

[詳解]=——=------------=--------—

x—3x—4(jt—4)(x+1)5(x—4x+1

1iiy/x-i丫一

7^43\x-l~一？3…

3

1_]_]」q(x-lY=§(-l)nU-l)n

Q=產(chǎn)廣馮一川=42^

2

所以M)=—￡聯(lián)+落華工目一擊+空卜f,

n=0。n=0z〃句。ZJ

收斂區(qū)間為一l<x<3.

【評(píng)注】請(qǐng)記住常見(jiàn)函數(shù)的幕級(jí)數(shù)綻開.

21..…【分析】將方程組和方程合并，然后利用非齊次線性方程有解的判定條件求得a.

【詳解】將方程組和方程合并，后可得線性方程組

x,+x2+x3=0

x1+2X2+ar3=0

xy+4x,+cCx3-0

X]+1x1+芻-a-\

其系數(shù)矩陣

’1110fl110、

-12a001a-\0

A=

14a2003cr-\0

J21a—1,、010a—1,

q110、qi10、

01a-\00ia-\0

->

00a2-3a+2000\-aa-\

k001一。a-1.0（。一1）（。一2）0>

明顯，當(dāng)。聲1,。工2時(shí)無(wú)公共解.

當(dāng)a=l時(shí)，可求得公共解為4=%（1,0,-1）「?為隨意常數(shù);

當(dāng)a=2B寸，可求得公共解為^=（0,1,-1）,.

【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型，考查非齊次線性方程組解的判定和結(jié)構(gòu).

22……【分析】本題考查實(shí)對(duì)稱矩陣特征值和特征向量的概念和性質(zhì).

53

【詳解】（I）Bat-（A-4A+E^ax--4/^at+a}-+1）^=-2a],

則a,是矩陣B的屬于一2的特征向量.

同理可得

8%=（卷-4若+1）%=%，8a§=（&-4右+1）%=%?

所以8的全部特征值為2,1,1

設(shè)8的屬于1的特征向量為a2=（x”X2，W）T，明顯6為對(duì)稱矩陣，所以依據(jù)不同特征值所對(duì)應(yīng)的

特征向量正交，可得

aja2=0.

即斗-巧+￡=0,解方程組可得3的屬于1的特征向量

TT

%=^（l,0,-l）+Zr2（0,l,0）,其中匕,總為不全為零的隨意常數(shù).

由前可知3的屬于一2的特征向量為其中與不為零.

01](I00、

(II)令尸=01-1,由(I)可得P“BP=010,則

<-10d1。0一2,

’01-P

101.

C10,

【評(píng)注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問(wèn)題一般用定義求解，要想方設(shè)法將題設(shè)條

件轉(zhuǎn)化為Ax=%x的形式.請(qǐng)記住以下結(jié)論：

（1）設(shè)4是方陣A的特征值，則耕,必+魴,42,/（4）,4，4*分別有特征值

%九。/1+4