重難點(diǎn)04 圓錐曲線三角形面積與四邊形面積問題（六大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)04圓錐曲線三角形面積與四邊形面積問題【題型歸納目錄】題型一：三角形的面積問題之底·高題型二：三角形的面積問題之分割法題型三：三角形的面積比問題題型四：四邊形的面積問題之對角線垂直模型題型五：四邊形的面積問題之一般四邊形題型六：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化【方法技巧與總結(jié)】1、三角形的面積處理方法（1）底·高（通常選弦長做底，點(diǎn)到直線的距離為高）（2）水平寬·鉛錘高或（3）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)分別為，，，三角形的面積為．2、三角形面積比處理方法（1）對頂角模型（2）等角、共角模型3、四邊形面積處理方法（1）對角線垂直（2）一般四邊形（3）分割兩個(gè)三角形4、面積的最值問題或者取值范圍問題一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一個(gè)函數(shù)，再求解函數(shù)的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運(yùn)算，靈活使用割補(bǔ)法計(jì)算面積.【典型例題】題型一：三角形的面積問題之底·高例1．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成三角形，求面積的最大值．例2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，直線被橢圓截得的線段長為（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求三角形的面積.例3．（2023·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的距離為，橢圓的長軸長為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，P為橢圓的左焦點(diǎn)，求三角形PAB的面積.變式1．（2023·江西南昌·高二江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓短軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)所組成的四邊形面積為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，求三角形OAB面積的最大值．變式2．（2023上·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)到直線：的距離和它到定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過作曲線的兩條切線分別切于點(diǎn)與點(diǎn)，試求三角形面積的最小值．（二次曲線在其上一點(diǎn)處的切線為）題型二：三角形的面積問題之分割法例4．（2023·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過軸正半軸上一點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，求四邊形面積的最小值.例5．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中?？计谀┮阎獧E圓，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．例6．（2023·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大.(1)求拋物線C的方程；(2)過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若三角形ABP的重心G在定直線上，求三角形ABP面積的最大值.變式3．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）已知橢圓的離心率為．(1)點(diǎn)P是橢圓上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，A1（﹣a，0），A2（a，0），證明點(diǎn)P與A1，A2連線的斜率的乘積為定值，并求出該定值；(2)若橢圓的短軸長為2，動(dòng)直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上．①判斷是否存在定圓與直線l恒相切，若存在，求定圓的方程，若不存在，請說明理由；②求三角形OAB的面積的取值范圍．變式4．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為D，且三角形的面積為6，過點(diǎn)的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)（1）證明：直線和直線關(guān)于y軸對稱；（2）求三角形面積的最大值.題型三：三角形的面積比問題例7．（2023·天津·校聯(lián)考二模）已知橢圓右焦點(diǎn)為，已知橢圓短軸長為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，線段MN垂直平分線與直線及軸和y軸相交于點(diǎn)D、E、G，直線GF與直線相交于點(diǎn)，記三角形EFG與三角形GDH的面積分別為，，求的值.例8．（2023上·天津·高二天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為A，B，，.(1)求橢圓的方程；(2)已知P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交y軸于點(diǎn)Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形與三角形的面積之比為，求點(diǎn)P坐標(biāo).例9．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．題型四：四邊形的面積問題之對角線垂直模型例10．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，雙曲線，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線分別交于A、C、B、D四點(diǎn)，且．(1)若，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，記直線、、、的斜率分別為、、、，求的值；(2)求四邊形面積的取值范圍．例11．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.例12．（2023·安徽銅陵·高二校聯(lián)考期中）已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為．(1)求圓的方程；(2)若直線，都經(jīng)過點(diǎn)，且，直線交圓于，兩點(diǎn)，直線交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．變式5．（2023·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，且，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)如圖，過點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，且與橢圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試求四邊形面積的最大值．變式6．（2023·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓過原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．變式7．（2023·山西朔州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M為橢圓E的上頂點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD的面積的最小值.題型五：四邊形的面積問題之一般四邊形例13．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形面積的最大值；(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.例14．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)?？计谥校┮阎獧E圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為2，上、下頂點(diǎn)分別為、，A為橢圓上的點(diǎn)，且滿足.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過、作兩條相互平行的直線，交C于M，N和P，Q，順次連接構(gòu)成四邊形PQNM，求四邊形PQNM面積的取值范圍.例15．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期中）動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)已知，過點(diǎn)的直線與曲線E交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B在x軸的下方，直線，分別與x軸交于C，D兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.變式8．（2023·山東青島·高二青島二中?？计谥校E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.題型六：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，若點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.（1）求四邊形的面積；（2）若對于更一般的雙曲線，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作雙曲線兩條漸近線的平行線、與漸近線的交點(diǎn)分別是和.請問四邊形的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用、表示該定值）；若不是定值，請說明理由.例17．（2023·浙江·高三競賽）已知直線與橢圓：交于、兩點(diǎn)，直線不經(jīng)過原點(diǎn).（1）求面積的最大值；（2）設(shè)為線段的中點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求四邊形的面積.例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點(diǎn).(1)若Р是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AE