地圖學(xué)：地圖投影和比例尺

§3地圖投影一、地圖投影的基本問題二、簡單投影三、復(fù)雜投影四、地圖投影的選擇五、地圖投影的變換常見地圖投影一、地圖投影的基本問題1地圖投影的概念地圖投影就是在球面與平面之間建立其經(jīng)緯度與直角坐標(biāo)函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法2地圖投影的變形3地圖投影的分類4地圖投影的命名1地圖投影的概念數(shù)學(xué)上的投影面1面2幾何學(xué)－－透視原理承影面燈源物體（投）影物體的形狀、燈源的位置、以及承影面的形狀都將影響投影的結(jié)果。

地圖投影地圖投影是在幾何投影的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的平面球面F（，）＝f（x,y）地圖投影的實質(zhì)就是球面上的經(jīng)緯網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面圖紙上。2地圖投影的變形變形是必然的－－球面不可展變形的分類長度變形（主比例尺與局部比例尺）、面積變形、角度變形變形的表示變形橢圓、等變形線變形橢圓3地圖投影的分類按承影面的形狀分為：方位投影（平面投影）、圓錐投影、園柱投影按變形性質(zhì)分為：等積投影、等角投影、任意投影按承影面與地軸的關(guān)系分為：正軸投影、橫軸投影、斜軸投影按承影面與地表的關(guān)系分為：切投影、割投影投影分類示意圖NSNSNS

正軸切園柱投影

橫軸割園柱投影

斜軸切方位投影等積投影、等角投影、等距投影形狀不變面積不變特定方向距離不變地圖投影幾何非幾何圓柱方位圓錐偽圓錐偽圓柱偽方位多圓錐橫軸斜軸正軸等積等距等角切割地圖投影的命名橫軸等積方位投影正軸等角割圓錐投影正軸等角切圓柱投影（墨卡托Mercator投影）二、簡單投影

所謂簡單投影是指繼承了幾何投影的基本特征，經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單、變形規(guī)律亦不復(fù)雜的投影。1方位投影2圓錐投影3圓柱投影1方位投影

方位投影以平面為投影。特性：從投影中心向各個方向引出的方向線投影后方位不變。平面與球面相切或相割處無變形，故稱標(biāo)準(zhǔn)點或標(biāo)準(zhǔn)線。等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。常見方位投影及其特征方位（角）的概念從北方起算順時針方向到某方向線繞過的角度稱為該方向線的方位角。（0°－360°）OBA

從北方或南方順時針或逆時針到某方向線繞過的角度稱為該方向線的象限角。（0°－90°）BA

CDNEWSN常見方位投影及其特征（1）經(jīng)緯網(wǎng)的形狀（2）經(jīng)緯距的變化規(guī)律（3）變形規(guī)律（4）常見投影及其用途（1）經(jīng)緯網(wǎng)的形狀正軸方位投影橫軸方位投影斜軸方位投影緯線為同心圓經(jīng)線為放射直線中央經(jīng)線與赤道為互相垂直的直線，其余經(jīng)線為對稱中經(jīng)的曲線，其余緯線為對稱赤道的曲線（2）經(jīng)緯距的變化規(guī)律以正軸為例緯距心射：急劇擴(kuò)大正射：急劇縮小平射：逐漸擴(kuò)大等角即平射等積：逐漸縮小等距：相等（3）變形規(guī)律切點或割線無變形等變形線以投影中心為圓心呈同心圓分布。（4）常見投影及其用途正軸等積方位投影－－南北兩極圖橫軸等積方位投影－－東西半球圖斜軸等積方位投影－－水陸半球圖斜軸等距方位投影－－航空圖

等距：指從投影中心向各個方向長度變形為零。2圓錐投影（1）經(jīng)緯網(wǎng)的特征經(jīng)線為放射直線；緯線為同心圓。等距：緯距相等。等積：緯距從圖幅中央向南北逐漸縮小。等角：緯距從圖幅中央向南北逐漸擴(kuò)大。（2）變形規(guī)律切線或割線為標(biāo)準(zhǔn)線，無變形。等變形線以投影中心為圓心呈同心圓分布。正軸時等變形線平行與緯線。（3）常見圓錐投影及其用途等積割圓錐投影－－中國政區(qū)圖。標(biāo)準(zhǔn)緯線分別為25°、45°（47°）等角割圓錐投影－－小比例尺地形圖。標(biāo)準(zhǔn)緯線

1＝

N-35′

2＝

S+35′兩條邊緯與中央緯線長度變形絕對值相等。3、圓柱投影（1）經(jīng)緯網(wǎng)特征（2）常見投影的特征及其用途墨卡托投影－－正軸等角切圓柱投影經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯距變化規(guī)律：緯距從赤道向兩極急劇擴(kuò)大。特性：等角航線投影為直線用途：制作航海圖空間斜軸墨卡托(SOM)投影該投影是美國針對陸地衛(wèi)星對地面掃描圖像的需要設(shè)計的一種近似等角性質(zhì)的投影。Som投影是使圓柱與球面相切于星下線（星下點的連線）而成的。由于地球的自轉(zhuǎn)，以及衛(wèi)星沿軌道運動，因此該投影不僅是地面點坐標(biāo)的函數(shù)，也是時間的函數(shù)。隨著時間的變化，圓柱與地球兩軸的關(guān)系也在發(fā)生變化。簡單投影小結(jié)經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單變形規(guī)律簡單：等變形線分別為平行直線、同心圓弧、同心圓共性明顯高斯－－克呂格投影即橫軸等角切（橢）圓柱橢圓經(jīng)緯網(wǎng)形狀：中央經(jīng)線，赤道為直線；其它經(jīng)緯線均為曲線。經(jīng)緯距變化規(guī)律：中央經(jīng)線上緯距相等；赤道上經(jīng)距從中央經(jīng)線向東西擴(kuò)大。變形分布規(guī)律：中央經(jīng)線無長度變形，同緯線距中經(jīng)愈遠(yuǎn)變形愈大，同經(jīng)度距赤道愈近變形愈大。分帶投影方法：3度或6度分帶，使變形限制在一定范圍內(nèi)，6度帶邊緣最大

長度變形0.138%，最大面積變形0.27%；

3度帶最大長度變形0.038%。6度分帶：從0度經(jīng)線起，自西向東，經(jīng)

度每6度為一投影帶，全球分60個帶

帶號1~60；中國72E~136E，因此6度帶包括了13~23共11個帶。

3度分帶：從東經(jīng)1度30分起向東，經(jīng)

差3度為一帶，全球120帶。用途：我國國家基本比例尺地形圖中的大中比例尺圖一律采用高斯-克

格投影，1/2.5萬~1/50萬按經(jīng)差6

度分帶投影，大于等于1/1萬按3

度分帶。我國GIS規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)采用的地圖投影是該投影。經(jīng)緯網(wǎng)形狀：經(jīng)緯距變化規(guī)律：等距：投影為直線的經(jīng)線上緯距相等等積：投影為直線的經(jīng)線上緯距縮小等角：投影為直線的經(jīng)線上緯距擴(kuò)大四、地圖投影的選擇

一、制圖區(qū)域的地理位置，形狀和范圍

1.制圖區(qū)域地理位置決定了所選擇投影的種類。

極地——

赤道附近——

中緯地區(qū)——正軸方位投影橫軸方位投影正軸圓錐投影或斜軸方位投影中緯度地區(qū):

沿緯線方向延伸的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向略窄，沿緯線方向略寬的長形區(qū)域——

沿經(jīng)線方向南北延伸的長形區(qū)域——

圓形區(qū)域——

低緯赤道附近:

沿東西方向長條形區(qū)域——圓形區(qū)域——

單標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸圓錐投影雙標(biāo)準(zhǔn)緯線正軸圓錐投影

多圓錐投影

斜軸方位投影正軸圓柱投影

橫軸方位投影

2.制圖區(qū)域形狀直接制約地圖投影的選擇。3.制圖區(qū)域的范圍大小也影響地圖投影的選擇。

范圍小時，無論什么投影方式都無太大變形差異；對于區(qū)域廣大的地圖需要慎重的選擇投影。

地理坐標(biāo)地圖（球面坐標(biāo)表示為平面方式）等積圓柱投影墨卡托投影：正軸等角切圓柱投影編制世界時區(qū)圖橫軸墨卡托投影摩爾維特（Mollweide）投影等面積偽圓柱投影，常用于編制小比例尺世界地圖桑遜投影等面積偽圓柱投影正射方位投影斜軸方位投影橫軸方位投影斜軸等距方位投影

不同比例尺地圖，對精度要求不同，投影選擇不同。

以我國為例，大比例地形圖，量算及精確定位，選擇各方面變形都較小的地圖投影，如分帶投影的橫軸等角橢圓柱投影；中小比例尺的省區(qū)圖，定位精度相對降低，選擇正軸等角、等積、等距圓錐投影。

二、制圖比例尺三、地圖的內(nèi)容

表現(xiàn)的主題和內(nèi)容。

交通圖，航海圖，航空圖——

自然地圖和社會經(jīng)濟(jì)地圖中的分布圖，類型圖，區(qū)劃圖——

世界時區(qū)圖——等角投影等積投影經(jīng)線投影成直線的正軸圓柱投影四、出版方式

單幅圖，系列圖，地圖集。單幅圖和系列圖投影選擇比較簡單；地圖集應(yīng)該盡量采用同一系統(tǒng)的投影，再根據(jù)個別內(nèi)容的特殊要求，在變形性質(zhì)方面予以適當(dāng)?shù)淖兓?/p>

地圖投影的變換

兩曲面和兩平面之間存在各種各樣的對應(yīng)關(guān)系，其中點對應(yīng)即使其中的一種。

設(shè)x、y是原（地圖資料）投影點的直角坐標(biāo)，X、Y是變換后（新編地圖）投影點的直角坐標(biāo)。則實現(xiàn)一種地圖投影點的坐標(biāo)變換為另一種地圖投影的主要方法有以下幾種：X、Y為曲面上一點的曲線坐標(biāo)，x、y為另曲面上對應(yīng)點的曲線坐標(biāo)。對于平面來說，此曲線坐標(biāo)為笛卡兒直角坐標(biāo)。1、反解變換法

通過中間過渡的方法，反解出原投影點的地理坐標(biāo)，代入新投影中求得新投影之坐標(biāo)。2、正解變換法

確定地圖資料和新編地圖上相應(yīng)的直角坐標(biāo)系的直接聯(lián)系。這種方法不要求反解出原投影點的地理坐標(biāo)，而直接引出兩種投影點的直角坐標(biāo)關(guān)系式。它的表達(dá)式即為：3、綜合變換法

將反解變換法和正解變換法結(jié)合在一起的一種變換方法。通常是反解出原投影點的平面坐標(biāo)之一，然后通過正解變換求出新投影點的坐標(biāo)X、Y。4、數(shù)值變換法

如果原投影點的直角坐標(biāo)的解析式是不知道的，或不易求出的兩種投影點平面直角坐標(biāo)之間直接聯(lián)系，這時可用近擬方法分解關(guān)系式（1）為多項式。如下：5、數(shù)值－解析變換法

在不知道原投影方程式時，可采用逼近多項式的方法，求遠(yuǎn)投影的坐標(biāo)，逼近多項式的形式為：

因為矢量數(shù)據(jù)以離散點坐標(biāo)的形式存儲的，對其進(jìn)行多次投影變換運算不會改變數(shù)據(jù)的精度，所以對于矢量數(shù)據(jù)的GIS來說，第一種方法最簡單也最實用。但對柵格結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來講，圖像每投影轉(zhuǎn)換一次，都得對其重新采樣，因而要損失部分信息。投影之間坐標(biāo)的差異越大，信息損失越嚴(yán)重。因此遙感圖像的糾正一般不轉(zhuǎn)換為地理坐標(biāo)，而是直接用第四種方法進(jìn)行多項式擬合運算。地圖投影變換方法選擇地圖投影的選擇（歸納）

地圖投影選擇的主要依據(jù)是目標(biāo)區(qū)域的地理位置、輪廓形狀、地圖用途。世界地圖常采用正圓柱、偽圓柱和多圓錐三種類型。大洲圖和大的國家圖投影選擇必須考慮輪廓形狀和地理位置。圓形地區(qū)一般采用方位投影；制圖區(qū)域東西向延伸又在中緯度地區(qū)時，一般采用正軸圓錐投影。按照用途，行政區(qū)劃圖、人口密度圖、經(jīng)濟(jì)地圖一般要求面積正確，因此選用等積投影；航海圖、天氣圖、地形圖，要求有正確的方向，一般采用等角投影；對各種變形要求都不大的，可選用任意投影。我國大中比例尺常用地圖投影1、等角橫切橢圓柱投影—高斯－克呂格投影（Transvers投影）我國規(guī)定從1：1萬到1：50萬比例尺系列地形圖分別采用這種投影。2、等積圓錐投影（Albers投影）中國地圖和分省地圖多采用這種投影。3、將經(jīng)緯度刻劃的地理坐標(biāo)也看作一種投影。Arc/Info中地圖投影的實現(xiàn)

數(shù)字化一幅已知投影名稱的地圖，因為數(shù)字化過程只是對原圖以數(shù)字的形式“復(fù)制”，因而自然保留了原有的坐標(biāo)系，只是坐標(biāo)系與原圖相比發(fā)生了旋轉(zhuǎn)、平移和縮放。通過編輯Tic點坐標(biāo)，將這些點的坐標(biāo)按照原圖進(jìn)行投影，再利用Transform即可將其原有的投影坐標(biāo)系完全恢復(fù)。

|Arc/Info中一般采用反解變換法，首先使用Project將一種投影坐標(biāo)投影為地理坐標(biāo)，然后再對地理坐標(biāo)進(jìn)行新的投影。例1從Albers投影轉(zhuǎn)換到Transvers投影例2不同投影帶之間投影轉(zhuǎn)換

上面將兩個不同投影帶（3度分帶）的高斯－克呂格投影圖分別投影為地理坐標(biāo)，實現(xiàn)了無縫拼接，然后再將拼合在一起的圖投影為6度分帶的高斯－克呂格投影。地圖比例尺

——解決大與小的矛盾§4地圖比例尺

編制地圖時，需要把地球或制圖區(qū)域按照一定的比率縮小表示，這種縮小的比率就是地圖的比例尺-代表地球或制圖區(qū)域縮小的程度。

1）當(dāng)制圖區(qū)域較小，因地圖投影變形較小，地圖上各向長度變形近似相等，則比例尺指圖上長度與相應(yīng)地面長度之比，即一、地圖比例尺的含義P75圖上距離d

實地距離D比例尺=

2）當(dāng)制圖區(qū)域很大，采用的地