函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性

3.4函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1.單調(diào)性判別法2.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用3.曲線凹凸性與拐點的概念4.曲線凹凸性與拐點的判別法一、單調(diào)性的判別法定理設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)(1)則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2)則函數(shù)在上單調(diào)減少;證且應(yīng)用拉氏定理得內(nèi)若在內(nèi)若在若在內(nèi),在上單調(diào)增加.若在內(nèi),在上單調(diào)減少.則則例1討論函數(shù)的單調(diào)性.又解在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.注：函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，完數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.要用導(dǎo)而不能用一點處單調(diào)區(qū)間的求法問題:如何確定函數(shù)在定義域內(nèi)各部分區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性.定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的,則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.注意:導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點,均可能是單調(diào)區(qū)間的分界點.方法:用方程的根來劃分函數(shù)的定義區(qū)間,然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號.不存在的點及完例2討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)不存在.當(dāng)時，在上單調(diào)減少；當(dāng)時，在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為，.注意區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如，但是上單調(diào)增加.完例3確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)解解方程得當(dāng)時，在上單調(diào)增加；當(dāng)時，在上單調(diào)減少；間.在上單調(diào)增加；當(dāng)時，單調(diào)區(qū)間為例4試證明：當(dāng)時，證作輔助函數(shù)因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，當(dāng)時，又故當(dāng)時，所以完且例5證明方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.證令因在閉區(qū)間上連續(xù)，且根據(jù)零點定理在內(nèi)有一個零點.另一方面，對于任意實數(shù)有所以內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線在與軸至多只有一個交點.綜上所述可知，方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.二、曲線凹凸的概念問題如何研究曲線的彎曲方向?定義設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),若對上任意兩點恒有則稱在上的圖形是凹的.若對上任意兩點恒有則稱在上的圖形是凸的.定理2設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),若在內(nèi)(1)則在上的圖形是凹的;證明在情形(1),設(shè)和為內(nèi)任意兩點,且記并記則由拉格朗日中值公式,得(2)則在上的圖形是凸的.其中兩式相減,即得對在區(qū)間上格朗日中值公式,得再利用拉格朗日中值公式,得其中按情形(1)的假設(shè),故即亦即所以在上的圖形是凹的.完例6判定的凹凸性.解因為所以，題設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是凹的.完例7判斷曲線的凹凸性.解當(dāng)時，曲線在為凸的；當(dāng)時，曲線在為凹的；注意到點是曲線由凸變凹的分界點.曲線的拐點及其求法定義連續(xù)曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點.拐點的求法:根據(jù)定義知,如果在點的左右兩側(cè)鄰近處異號,則點就是曲線的一個拐點,如果進一步要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則在這樣的點處必有此外,使函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點,也可能是使導(dǎo)數(shù)符號發(fā)生變化的分界點.綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點的曲線的拐點及其求法綜上所述,判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點的步驟為:(1)(2)并求出使不存在的點;(3)檢查其鄰近左、右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)的符號,確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解出全部實根,令對步驟(2)中求出的每一個點,凹的拐點凸的拐點凹的例8求曲線的拐點及凹、凸的區(qū)間.解易見函數(shù)的定義域為令得所以,曲線的凹間為凸區(qū)間為拐點為和例9求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點.解函數(shù)在處不可導(dǎo)，但時，曲線是凸的，時，曲線是凹的.故點為曲線的拐點.內(nèi)容小結(jié)1.單調(diào)性判別法設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)在上單調(diào)增加;在上單調(diào)減少;若函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除在有限個點不可導(dǎo)以外存在且連續(xù)，只要用2.單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.的零點和不存在的點劃分的定義區(qū)間，便能確定的單調(diào)區(qū)間.3.曲線凹凸性與拐點的概念定義設(shè)在內(nèi)連續(xù)，若對內(nèi)任意兩點恒有則稱在內(nèi)的圖形是(向上)凹(或凸)的.4.曲線凹凸性與拐點的判別法定