導(dǎo)數(shù)各類(lèi)題型方法總結(jié)(絕對(duì)經(jīng)典)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念1..的值是〔〕 A.B.2C.D.－2變式1：〔〕A．－１ Ｂ．－2 C．－3D．變式2： 〔〕 A． B． C． D．導(dǎo)數(shù)各種題型方法總結(jié)請(qǐng)同學(xué)們高度重視：首先，關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法：1、別離變量；2變更主元；3根分布；4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法：〔1〕對(duì)稱(chēng)軸〔重視單調(diào)區(qū)間〕與定義域的關(guān)系〔2〕端點(diǎn)處和頂點(diǎn)是最值所在其次，分析每種題型的本質(zhì)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)大局部都在解決“不等式恒成立問(wèn)題〞以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想〞，創(chuàng)立不等關(guān)系求出取值范圍。最后，同學(xué)們?cè)诳蠢}時(shí)，請(qǐng)注意尋找關(guān)鍵的等價(jià)變形和回歸的根底一、根底題型：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立；1、此類(lèi)問(wèn)題提倡按以下三個(gè)步驟進(jìn)行解決：第一步：令得到兩個(gè)根；第二步：畫(huà)兩圖或列表；第三步：由圖表可知；其中不等式恒成立問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題，2、常見(jiàn)處理方法有三種：第一種：別離變量求最值-----用別離變量時(shí)要特別注意是否需分類(lèi)討論〔>0,=0,<0〕第二種：變更主元〔即關(guān)于某字母的一次函數(shù)〕-----〔誰(shuí)的范圍就把誰(shuí)作為主元〕；〔請(qǐng)同學(xué)們參看2023省統(tǒng)測(cè)2〕例1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)在區(qū)間D上，恒成立，那么稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)〞，實(shí)數(shù)m是常數(shù)，〔1〕假設(shè)在區(qū)間上為“凸函數(shù)〞，求m的取值范圍；〔2〕假設(shè)對(duì)滿(mǎn)足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)〞，求的最大值.解:由函數(shù)得〔1〕在區(qū)間上為“凸函數(shù)〞，那么在區(qū)間[0,3]上恒成立解法一：從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手：等價(jià)于解法二：別離變量法：∵當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于的最大值〔〕恒成立，而〔〕是增函數(shù)，那么(2)∵當(dāng)時(shí)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)〞那么等價(jià)于當(dāng)時(shí)恒成立變更主元法再等價(jià)于在恒成立〔視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問(wèn)題〕-22-22例2：設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)區(qū)間和極值；〔Ⅱ〕假設(shè)對(duì)任意的不等式恒成立，求a的取值范圍.〔二次函數(shù)區(qū)間最值的例子〕解：〔Ⅰ〕3aa3aaa3aa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為〔a,3a〕令得的單調(diào)遞減區(qū)間為〔－，a〕和〔3a，+〕 ∴當(dāng)x=a時(shí)，極小值=當(dāng)x=3a時(shí)，極大值=b.〔Ⅱ〕由||≤a，得：對(duì)任意的恒成立①那么等價(jià)于這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸〔放縮法〕即定義域在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，這個(gè)二次函數(shù)的最值問(wèn)題：?jiǎn)握{(diào)增函數(shù)的最值問(wèn)題。上是增函數(shù). 〔9分〕∴于是，對(duì)任意，不等式①恒成立，等價(jià)于又∴點(diǎn)評(píng)：重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法：對(duì)稱(chēng)軸〔重視單調(diào)區(qū)間〕與定義域的關(guān)系第三種：構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征：恒成立恒成立；從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3；函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，求的值域；〔Ⅲ〕當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解：〔Ⅰ〕∴，解得〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又∴的值域是〔Ⅲ〕令思路1：要使恒成立，只需，即別離變量思路2：二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1：轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立，回歸根底題型解法2：利用子區(qū)間〔即子集思想〕；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；做題時(shí)一定要看清楚“在〔m,n〕上是減函數(shù)〞與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是〔a,b〕〞，要弄清楚兩句話(huà)的區(qū)別：前者是后者的子集例4：，函數(shù)．〔Ⅰ〕如果函數(shù)是偶函數(shù)，求的極大值和極小值；〔Ⅱ〕如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．解：.〔Ⅰ〕∵是偶函數(shù)，∴.此時(shí)，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+遞增極大值遞減極小值遞增可知：的極大值為，的極小值為.〔Ⅱ〕∵函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，∴，在給定區(qū)間R上恒成立判別式法那么解得：.綜上，的取值范圍是.例5、函數(shù)〔I〕求的單調(diào)區(qū)間；〔II〕假設(shè)在[0，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。子集思想〔I〕1、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=〞號(hào)，單調(diào)遞增。2、a-1-1單調(diào)增區(qū)間：a-1-1單調(diào)增區(qū)間：〔II〕當(dāng)那么是上述增區(qū)間的子集：1、時(shí)，單調(diào)遞增符合題意2、，綜上，a的取值范圍是[0，1]。三、題型二：根的個(gè)數(shù)問(wèn)題題1函數(shù)f(x)與g(x)〔或與x軸〕的交點(diǎn)======即方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題解題步驟第一步：畫(huà)出兩個(gè)圖像即“穿線(xiàn)圖〞〔即解導(dǎo)數(shù)不等式〕和“趨勢(shì)圖〞即三次函數(shù)的大致趨勢(shì)“是先增后減再增〞還是“先減后增再減〞；第二步：由趨勢(shì)圖結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫(xiě)不等式〔組〕；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式〔組〕即可；例6、函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．求實(shí)數(shù)的取值范圍；假設(shè)函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：〔1〕由題意∵在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立〔別離變量法〕即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為〔2〕設(shè)，令得或由〔1〕知，①當(dāng)時(shí)，，在R上遞增，顯然不合題意…②當(dāng)時(shí)，，隨的變化情況如下表：—↗極大值↘極小值↗由于，欲使與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即方程有三個(gè)不同的實(shí)根，故需，即∴，解得綜上，所求的取值范圍為根的個(gè)數(shù)知道，局部根可求或。例7、函數(shù)〔1〕假設(shè)是的極值點(diǎn)且的圖像過(guò)原點(diǎn)，求的極值；〔2〕假設(shè)，在〔1〕的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個(gè)不同交點(diǎn)？假設(shè)存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；否那么說(shuō)明理由。解：〔1〕∵的圖像過(guò)原點(diǎn)，那么，又∵是的極值點(diǎn)，那么-1-1〔2〕設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于有含的三個(gè)根，即：整理得：即：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根〔計(jì)算難點(diǎn)來(lái)了：〕有含的根，那么必可分解為，故用添項(xiàng)配湊法因式分解，十字相乘法分解：恒有含的三個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于有兩個(gè)不等于-1的不等實(shí)根。題2：切線(xiàn)的條數(shù)問(wèn)題====以切點(diǎn)為未知數(shù)的方程的根的個(gè)數(shù)例7、函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：〔1〕的解析式；〔2〕假設(shè)過(guò)點(diǎn)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〔1〕由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯(lián)立得：，∴〔2〕設(shè)切點(diǎn)Q，過(guò)令，求得：，方程有三個(gè)根。需：故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為：題3：在給定區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)那么有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個(gè)數(shù)解法：根分布或判別式法例8、解：函數(shù)的定義域?yàn)椤并瘛钞?dāng)m＝4時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(7,2)x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或.令，解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和〔5，＋∞〕，單調(diào)遞減區(qū)間為．〔Ⅱ〕＝x2－(m＋3)x＋m＋6,1要使函數(shù)y＝f(x)在〔1，＋∞〕有兩個(gè)極值點(diǎn),＝x2－(m＋3)x＋m＋6=0的根在〔1，＋∞〕1根分布問(wèn)題：那么，解得m＞3例9、函數(shù)，〔1〕求的單調(diào)區(qū)間；〔2〕令＝x4＋f〔x〕〔x∈R〕有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．解：〔1〕當(dāng)時(shí)，令解得，令解得，所以的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.〔2〕有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)=0有3個(gè)根，那么或，方程有兩個(gè)非零實(shí)根，所以或而當(dāng)或時(shí)可證函數(shù)有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)其它例題：1、〔最值問(wèn)題與主元變更法的例子〕.定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11.〔Ⅰ〕求函數(shù)的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：〔Ⅰ〕令=0,得因?yàn)椋钥傻孟卤恚?+0-↗極大↘因此必為最大值,∴因此，，即，∴，∴〔Ⅱ〕∵，∴等價(jià)于，令，那么問(wèn)題就是在上恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，為此只需，即，解得，所以所求實(shí)數(shù)的取值范圍是[0，1].2、〔根分布與線(xiàn)性規(guī)劃例子〕〔1〕函數(shù)(Ⅰ)假設(shè)函數(shù)在時(shí)有極值且在函數(shù)圖象上的點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,求的解析式；(Ⅱ)當(dāng)在取得極大值且在取得極小值時(shí),設(shè)點(diǎn)所在平面區(qū)域?yàn)镾,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)L將S分為面積比為1:3的兩局部,求直線(xiàn)L的方程.解：(Ⅰ).由,函數(shù)在時(shí)有極值,∴∵∴又∵在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行,∴故∴…….7分(Ⅱ)解法一:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時(shí)DE為△ABC的中位線(xiàn),∴所求一條直線(xiàn)L的方程為:另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線(xiàn)L也將S分為面積比為1:3的兩局部,設(shè)直線(xiàn)L方程為,它與AC,BC分別交于F、G,那么,由得點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為:由得點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為:∴即解得:或(舍去)故這時(shí)直線(xiàn)方程為:綜上,所求直線(xiàn)方程為:或.…………….………….12分(Ⅱ)解法二:由及在取得極大值且在取得極小值,∴即令,那么∴∴故點(diǎn)所在平面區(qū)域S為如圖△ABC,易得,,,,,同時(shí)DE為△ABC的中位線(xiàn),∴所求一條直線(xiàn)L的方程為:另一種情況由于直線(xiàn)BO方程為:,設(shè)直線(xiàn)BO與AC交于H,由得直線(xiàn)L與AC交點(diǎn)為:∵,,∴所求直線(xiàn)方程為:或3、〔根的個(gè)數(shù)問(wèn)題〕函數(shù)的圖象如下圖?！并瘛城蟮闹?；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求函數(shù)f(x)的解析式；〔Ⅲ〕假設(shè)方程有三個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：由題知：〔Ⅰ〕由圖可知函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)(0,3)，且=0得〔Ⅱ〕依題意=–3且f(2)=5解得a=1,b=–6所以f(x)=x3–6x2+9x+3 〔Ⅲ〕依題意f(x)=ax3+bx2–(3a+2b)x+3(a＞0) =3ax2+2bx–3a–2b由=0b=–9a①假設(shè)方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足f(5)＜8a＜f(1)②由①②得–25a+3＜8a＜7a+3＜a＜3－所以當(dāng)＜a＜3時(shí)，方程f(x)=8a有三個(gè)不同的根。…………12分4、〔根的個(gè)數(shù)問(wèn)題〕函數(shù)〔1〕假設(shè)函數(shù)在處取得極值，且，求的值及的單調(diào)區(qū)間；〔2〕假設(shè)，討論曲線(xiàn)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：〔1〕………………………2分令得令得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分〔2〕由題得即令……6分令得或……………7分當(dāng)即時(shí)此時(shí)，，，有一個(gè)交點(diǎn)；…………9分當(dāng)即時(shí)，＋—,∴當(dāng)即時(shí),有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)即時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，有一個(gè)交點(diǎn)．………13分綜上可知，當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)．…………………14分5、〔簡(jiǎn)單切線(xiàn)問(wèn)題〕函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線(xiàn)間的距離為，函數(shù)．〔Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)在處有極值，求的解析式；〔Ⅱ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．函數(shù)中任意性和存在性問(wèn)題探究高考中全稱(chēng)命題和存在性命題與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合是近年高考的一大亮點(diǎn)，下面結(jié)合高考試題對(duì)此類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行歸納探究一、相關(guān)結(jié)論：結(jié)論1：；【如圖一】結(jié)論2：；【如圖二】結(jié)論3：；【如圖三】結(jié)論4：；【如圖四】結(jié)論5：的值域和的值域交集不為空；【如圖五】【例題1】：兩個(gè)函數(shù);假設(shè)對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；假設(shè),使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；假設(shè)對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：〔1〕設(shè),〔1〕中的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為：時(shí)，恒成立，即。；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況列表如下：-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)k-9因?yàn)?所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小結(jié)：①對(duì)于閉區(qū)間I，不等式f(x)<k對(duì)x∈I時(shí)恒成立[f(x)]max<k,x∈I;不等式f(x)>k對(duì)x∈I時(shí)恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此題常見(jiàn)的錯(cuò)誤解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范圍.這種解法的錯(cuò)誤在于條件“[f(x)]max≤[g(x)]min〞只是原題的充分不必要條件，不是充要條件，即不等價(jià).〔2〕根據(jù)題意可知，〔2〕中的問(wèn)題等價(jià)于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]時(shí)有解,故[h(x)]max≥0.由〔1〕可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).(3)根據(jù)題意可知，〔3〕中的問(wèn)題等價(jià)于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得,x∈[-3,3]時(shí),[f(x)]max=120－k.仿照〔1〕，利用導(dǎo)數(shù)的方法可求得x∈[-3,3]時(shí),[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).說(shuō)明：這里的x1,x2是兩個(gè)互不影響的獨(dú)立變量.從上面三個(gè)問(wèn)題的解答過(guò)程可以看出,對(duì)于一個(gè)不等式一定要看清是對(duì)“x〞恒成立，還是“x〞使之成立，同時(shí)還要看清不等式兩邊是同一個(gè)變量，還是兩個(gè)獨(dú)立的變量,然后再根據(jù)不同的情況采取不同的等價(jià)條件,千萬(wàn)不要稀里糊涂的去猜..二、相關(guān)類(lèi)型題：〈一〉、型；形如型不等式，是恒成立問(wèn)題中最根本的類(lèi)型，它的理論根底是“在上恒成立，那么在x∈D上恒成立，那么〞.許多復(fù)雜的恒成立問(wèn)題最終都可歸結(jié)到這一類(lèi)型.例1：二次函數(shù)，假設(shè)時(shí)，恒有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：，∴；即；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，∴a∈R.當(dāng)時(shí)，由得：，而.∴.又∵，∴，綜上得a的范圍是?！炊?、型例2函數(shù)，假設(shè)對(duì)，都有成立，那么的最小值為_(kāi)___.解∵對(duì)任意x∈R，不等式恒成立，∴分別是的最小值和最大值.對(duì)于函數(shù)，取得最大值和最小值的兩點(diǎn)之間最小距離是π，即半個(gè)周期.又函數(shù)的周期為4，∴的最小值為2.〈三〉、.型例3：(2005湖北)在這四個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，使恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3解：此題實(shí)質(zhì)就是考察函數(shù)的凸凹性，即滿(mǎn)足條件的函數(shù)，應(yīng)是凸函數(shù)的性質(zhì)，畫(huà)草圖即知符合題意；〈四〉、.型例4函數(shù)定義域?yàn)椋?，假設(shè)，時(shí)，都有，假設(shè)對(duì)所有，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：任取，那么，由，又，∴f，即在上為增函數(shù).∵，∴，恒有；∴要使對(duì)所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只須且，解得或或。評(píng)注：形如不等式或恒成立，實(shí)際上是函數(shù)的單調(diào)性的另一種表