2023高等數(shù)學(xué)試題及答案

2023中南高?，F(xiàn)代遠(yuǎn)程數(shù)化課程考試復(fù)習(xí)題及參考答案

高等數(shù)學(xué)

一、填空題

i.設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)。

sinx—2<x<0

2.若v=1，貝U.

3.極限。

4.已知，則a=,h=o

5.已知x->0時(shí)，（1+。/尸一1與cosx-l是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。=

6.設(shè)，其中?？晌ⅲ瑒tQz二=

6y

7.設(shè)"=e*yz2,其中z=z（x,y）由x+y+z+盯z=0確定的隱函數(shù)，則

8.設(shè)z=!/（個(gè)）+y^（x+具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。

X

9.函數(shù)/(x,y)=xy-xy2-/y的可能極值點(diǎn)為和。

2

1。.設(shè)于(x,y)=xsiny+(/一1)J|孫|則fy(1,0)=.

11.jx2sin2xdx=.

12.在區(qū)間［0,不］上曲線>=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

13.若，則k=

14.設(shè)D：/+V<1,則由估值不等式得<JJ(x2+4y2+lWy<

D

15.設(shè)。由y=y=2x?,y=1,y=2圍成（x20）,則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序

為和.

16.設(shè)。為0Wy41—x,0WxWl,則的極坐標(biāo)形式的二次積分為.

17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)p的最大取值范圍是.

c「I八X2X4X6.,

18.Ix(l---F--------F,--)dx=

Jo1!2!3!

19.方程的通解為

20.微分方程4丁“-20了+25=0的通解為.

21.當(dāng)n=時(shí)，方程y'+p(x)y=q(x)y"為一階線性微分方程。

22.若4x4階矩陣A的行列式為|A|=3,A*是A的伴隨矩陣，則IA*|=.

23.設(shè)A“*"與凡”曲均可逆，則。=也可逆，且仁|=—.

24.設(shè)，且AX-E=3X,則*=.

25.矩陣的秩為.

26.向量a=(—1,0,3,—5),(3=(4,—2,0,1),其內(nèi)積為.

27.n階方陣A的列向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是.

28.給定向量組/=(111),[2=(。02),%=(132),若名,生,％線性相關(guān)，

則a,人滿(mǎn)意關(guān)系式.

29.己知向量組(I)與由向量組(U)可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是.

30向量7=(2,1)T可以用a=(0,l)T與夕=(1,3尸線性表示為.

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無(wú)窮組解的條件.

32.設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組小=b有唯一解的充要條件是r(A)

r(A|。)=.

33.已知〃元線性方程組AX=b有解，且r(A)<〃，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)

數(shù)為.

34.設(shè)%是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組(4E-A)x=0的都是A的屬

于乙的特征向量.

35.若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則4T的特征值為.

36.設(shè)A是n階方陣，|A|W0,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值兒,則

(A*)3+2E必有特征值;l=.

37.,分別為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的兩個(gè)不同特征值為,友所對(duì)應(yīng)的特征向量，則與的內(nèi)積

(,)=.

38.二次型f(x],x2,x3,x4)=xtx4+x2x3的秩為.

39.矩陣為正定矩陣，則2的取值范圍是.

40.二次型f(xl,x2,xi')=2x^+3%2+■+2*也+22毛是正定的，則f的取值范圍是.

41.A、B、C代表三事務(wù)，事務(wù)“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為.

42.事務(wù)A、B相互獨(dú)立，且知P(A)=0.2,尸(3)=0.5則尸(41；3)=.

43.若隨機(jī)事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為,

44.在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，假如每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<Z：<5).

45.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},則P{X=3}=.

xO<x<1

46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為/(%)=,。一X1<%<2,貝,

0其它

47.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

1

11/163/16

2ab

且X,Y相互獨(dú)立，則常數(shù)a=,b=

48.設(shè)X的分布密度為/(x),則y=x3的分布密度為.

49.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

X12

1a0.2

20.3

則a與￡應(yīng)滿(mǎn)意的條件是，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，a=.

50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且乂~雙(1,2),丫~77(0,1).令Z=-Y+2X+3,則

O(Z)=.

51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1,E(X2)=4.令Y=2X—3,則

D(Y)=.

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(x)=x+l,則/(/(x)+l)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

2.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

2D.y=yl~^

A.B.yInxC.

3.下列各對(duì)函數(shù)中，（）中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.與B.y=InA?與g=21nx

C.y=-Jl-sin2x與g=cosxD.y=—與y=4xyl(x-V)

4.設(shè)了（X）在x=x（）處間斷，則有（）

(A)/（%）在X=X。處肯定沒(méi)有意義;

(B)f(xQ-0)^f(x+0);(即lim于(x)wlim/(%))；

X—>xoJC—>XQ

(C)limf(x)不存在，或limf(x)-oo；

(D)若/（X）在X=Xo處有定義，則X->Xo時(shí)，/（幻一/。0）不是無(wú)窮小

1-71+2%

_rzt0

5.函數(shù)/(x)=<'在x=0處連續(xù)，則A=().

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

6.若，x=0為無(wú)窮間斷點(diǎn)，x=l為可去間斷點(diǎn)，則。=（).

（力）1(6)0(Oe(〃)e

7.函數(shù)z=ln（x、-2）+,4—X、—I、的定義域?yàn)椋?/p>

).

A./+〉2H2口x2+y2*4x2+y2>2D2<x2+y2<4

B.'JrJ

8.二重極限（）

?等于;

（A）等于0（B）等于1（D）不存在

9.利用變量替換,肯定可以把方程化為新的方程（).

(A)（B）(0⑻

10.若/(%)=-/(-%)，在(0,+oo)內(nèi)/'(%)>0,/"(%)>0,則f(x)在(-oo,0)內(nèi)().

(A)/'(x)<0,/"(%)<0；⑻f'(x)<0,f"(x)>0;

(Q/'(x)>0,/"(x)<0,(D)/'(x)>o,/"(x)>o,

11.設(shè)/(處在％=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且/(0)=0,,則在點(diǎn)x=0處

/(x)().

3)不行導(dǎo)(6)可導(dǎo)，且/'(0)工0(O取得極大值(〃)取得微小值

12.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)g。)一/(x)g'(x)<0,

則當(dāng)a<x<。時(shí)，有().

(^)f(x)g(b)>f(b)g(x)(皮f(x)g(a)>f(a}g(x)

/(x)g(%)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>/(a)g(a)

13.即(x)是連續(xù)函數(shù)且F(x)=J:則尸(x)=().

3)-e-xf(e-x)-f(x)(B)-e-xf(e-x)+f(x)

(C)一/(x)6e-xf(e-x)+f(x)

14.設(shè)/(x)在［1,2］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/⑴=1"⑵=l,J，(x)公=—1,

則Jy(x)dx=().

(/)2(B)1-1(〃)-2

15.設(shè)/(x)在［a,"上二階可導(dǎo)，且/(x)>OJ'(x)<Q,f\x)<。.記

h

S］=\f(x)dxS2=f(b)(b-a),S3=〃")；"")g—a),則有().

(力)S1<S2Vs3(皮S2<S3<S,(C)S3<St<S2(〃)S,<53<S2

16.設(shè)某級(jí)數(shù)在x=—1處收斂.則此級(jí)數(shù)在》=2處().

(A)肯定收斂(B)條件收斂

(C)發(fā)散(。)收斂性不能確定

17.下列命題中，正確的是().

(4)若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)有對(duì)〈匕(“=1,2…)，則有

(B)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿(mǎn)意221(〃=1,2,…)，則之與發(fā)散

?=1

9若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則

(〃)若幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為R(0<R<+oo),則.

18.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)().

(8肯定收斂(6)條件收斂9發(fā)散(〃)斂散性不確定

19.微分方程(x+yXiZx-dy)=fZx+dy的通解是()

(A)x+y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+y)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c.

20.設(shè)y=/(x)滿(mǎn)意微分方程y"—5y'+5y=0,若/(xo)<0"'(xo)=0,則函數(shù)/(x)在

點(diǎn)x()()

(A)取極大值；(B)取微小值；

(C)旁邊單調(diào)增加；(D)旁邊單調(diào)削減.

21.函數(shù)y=>(x)在點(diǎn)x處的增量滿(mǎn)意

△)>=；八；+o(Ax)(Ax—>0)

且y(0)=乃，則y(l)=(D)

nn

(A)2肛(B)肛(C)>；(D)7ie^.

22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r,則必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

23.已知向量組%=(1,1,1,0),%=(OM,0,1),%=(2,2,0,1),%=(0,0,2,1)線性相關(guān),則

k=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

24.向量組a”。?，線性相關(guān)的充分必要條件是()

(A)%,％，…，％中含有零向量

(B)ttptZj,中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)重量成比例

(C)4,4，-，4中每一個(gè)向量都可由其余5-1個(gè)向量線性表示

(D)中至少有一個(gè)向量可由其余5-1個(gè)向量線性表示

25.對(duì)于向量組(％,a2,,因?yàn)?%+0(?2++0%=0,所以叫,。?,，，小是［J.

(A)全為零向量；(B)線性相關(guān)；

(C)線性無(wú)關(guān)；(D)隨意.

26.設(shè)4,B均為n階矩陣，且48=。，則必有()

(A)4=O或B=O(B)M|=O或|8=0(0A+B=O(D)|川+伊|=0

27.若非齊次線性方程組4”“*=6的(),那么該方程組無(wú)解.

A.秩(A)=nB.秩(A)=w

C.秩(A)秩(X)D.秩(4)=秩(1)

28.若線性方程組的增廣矩陣為，則當(dāng);1=()時(shí)線性方程組有無(wú)窮多解。

1

A.1B.4C.2D.-

2

29.設(shè)A=2是非奇異矩陣A的特征值,則有一個(gè)特征值是)

]_

(D)

4

30.若二次型

/(為,芍,與)=(&+1房+(2-2滋+(&-3謁正定，則()

(A)Z>T(B)k>\(C)k>2(D)k>3

31.已知a=(1,鼠1)，是矩陣的特征向量，則左=()

(A)1或2(B)-1或一2(C)1或一2(D)—1或2

32.在隨機(jī)事務(wù)A,B,C中，A和B兩事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生而C事務(wù)不發(fā)生的隨機(jī)事務(wù)可表

示為()

(A)ACBC(B)ABC(C)ABCABCIJABC(D)ABC

33.袋中有5個(gè)黑球，3個(gè)白球，大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白球的

概率為()

3

(A)-(B)(C)

85

34.設(shè)A、B互為對(duì)立事務(wù)，且尸(4)>0,2(3)>0,則下列各式中錯(cuò)誤的是()

(A)P(5|A)=0(B)P(A|6)=0(C)P(AB)=0(D)P(A|J6)=1

35.離散型隨機(jī)變量X的分布列為P{才=A}=aZ,4=1,2,3,4.則。=()

(A)0.05(B)0.1(C)0.2(D)0.25

36.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為E(x)=a+Larctanx(-oo<x<8,a為常'數(shù))則

71

=()

1112

(A)-(B)-(C)-(D)-

6323

37.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從N(M，4)，則尸{XW2+M},的值()

(A)隨M增大而減??；(B)隨〃增大而增大;

(C)隨4增大而不變；(D)隨〃削減而增大.

38.設(shè)隨機(jī)變量X~N(〃Q2),則y=?X+b聽(tīng)從()

(A)N(N，6)(B)N(O,1)(C)(D)N(a/j+b,a2<y2)

39.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，假如擊中次數(shù)的方差為0.72,則

每次射擊的命中率等于()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

I—/|x|<a

40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=乃J.2,a>0,則E(X)=().

[0\x\>a

(A)-1(B)0(C)1(D)以上結(jié)論均不正確

三、解答題

x<0

1.設(shè)x=0,已知/(x)在x=O處連續(xù)可導(dǎo)，

x>0

試確立a,b并求/'*)

2.設(shè)z=/(2x-y,ysinx),其中/(“,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

cxoy

3.設(shè)忘pi+y』探討f(x,y)在(0,0)

[o,x2+y2=0

(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在。

(2).是否可微。

4.在過(guò)點(diǎn)尸(1,3,6)的全部平面中，求一平面，使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體

積最小.

5.

6.,其中。為圓域V+y2《9。

7.設(shè)/(x,y)在/+y241上連續(xù)，求證：1-1f|7(x,y)dcr=/(0,0)。

…H-相

證明￡>={(x,y)|d+y24正}

8.求嘉級(jí)數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù)S(x)：

1+y2

9.求解y'=——號(hào)，y⑴=0；

xy+xy

10.求解xy'+xtan上V一y=0,火1)=7—t.

x2

11.求解4y"+4y'+y=0滿(mǎn)意y(0)=2,y<0)=0.

12.求解y〃一3v+2y=2"滿(mǎn)意y(0)=1,/(0)=-1;

13.設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程了+?/+例=/的一個(gè)特解為y=e2*+(l+x上"試確

定.a,0,y,并求該方程的通解.

14.計(jì)算下列行列式，

15.計(jì)算下列行列式

111

abc=(a+h+c)(h-a)(c-a)(c-b)

33

16.證明：/ah°cc

17.設(shè)AX+E=A2+x,且4=,求X.

i]\bi]_r67

18.已知矩陣Oj'|_O16求常數(shù)a,b.

3

19.將向量B表示成的線性組合:

⑴a,=(1,1-1),a2=(1,2,1),a3=(0,0,1),J3=(1,0,-2)

20.問(wèn)Q日取何值時(shí)，齊次方程組

有非零解？

21.設(shè)線性方程組

試問(wèn)c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。

22.求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：

⑴f=2x：+3x；+3x；+4X2X3

23.某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)器，在1小時(shí)內(nèi)，這3臺(tái)機(jī)器不需照管的概率分別為0.8,

0.9,0.6,設(shè)這三臺(tái)機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時(shí)內(nèi)

(1)有機(jī)床須要工人照管的概率；(2)機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率.

A

24.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為/(幻=——(-8<%<+8)

1+X7

求(1)常數(shù)A；(2)X的分布函數(shù)；.

25.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域04%41,〉2?》內(nèi)聽(tīng)從勻稱(chēng)分布.求

(1)(X,Y)的聯(lián)合分布密度；

(2)X與Y的邊緣分布密度，并問(wèn)它們是否相互獨(dú)立？

26.設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為

fx(x)=[11,0,0<其x它<l

求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度函數(shù).

27.一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計(jì))聽(tīng)從指數(shù)分布，密度函數(shù)為

為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺(tái)設(shè)備，工

廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元.求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.

28.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從正態(tài)分布，且X和Y分別聽(tīng)從正態(tài)分布N(l,3?)

和N(0,4?),X與Y的相關(guān)系數(shù),求Z的數(shù)學(xué)期望￡(Z)和方差Z)(Z):

參考答案

一、填空題

1.設(shè)，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱(chēng)。

解：/(X)的定義域?yàn)?—8,+8)，且有

g-x+g-(-x)ax+a~x

/(-x)=/(x)

22

即/(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

sin尤-2<x<0

2.若y,則?

x~+10<x<2

解：。

3.極限o

2.1

xsin—11v-I1V-

ft？：lim------=lim(xsin-----)=limxsin--lim----=0x1=0

sosinxxsinx…xsinx

留意：(無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量)

x111

==一—=-=1,其中=1是第一個(gè)重要極限。

i°sinx3sinx「sinx1

----lim「

xx

4.已知，則。=,b—___

由所給極限存在知,4+2a+5=0,得b——2a—4,又由

I.x2+ax+b「X+Q+2+4

lim—；-------------=lim-------------------=2,知a=2,b=—8

12x-x-212x+1

5.已知XfO時(shí)，（1+。爐尸一1與COSX—1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)4=

(1+?)3-13

解=lim

xfOA->0/\2/

cosx-1-x2(1+ax2)3+(1+ar2)3+12

6.設(shè)，其中夕可微，貝(IT~=_______

dy

dzI

—y—z-l

dz,dy

解2oz—=(p+y(p-----------

Syy

7.設(shè)〃=6*”2,其中z=z(x,y)由x+y+z+Ayz=O確定的隱函數(shù)，則

I+0+—+yz+xy—=0,

dxdx

duc2rx-l-yz

—=eyz4-2ze'?\、-----

dx\+xy

x=O,y=l時(shí)，z=-I

8.設(shè)z='/(町)+>9(X+丁),7,0具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則

x

解：

dzT,/、y//、，/、

—=-f(xy)+-f(xy)+y(p(x+y)

oxxx

Q2z—II...“

=—f(盯)+—/(盯)+3/(盯)+。(x+y)+y。(尢+y)

oxoyxx

=y[f(孫)+夕'(x+y)]+夕(x+y)

9.函數(shù)f(x,y)=xy-xy2-/y的可能極值點(diǎn)為和。

2X-

解fx=y-y-2xy=y(1-2x-y)=0fx=Ofx=Ofx=l3

1

fy=x-lxy-x=x(\-x-2y)=0[)=0[J=l[y=0_J_

-V-3

l-2y-2x

人=-2、，fxy=\-2y-2x,f=-2x,H=

>yl-2y-2x-2x

不是，不是

不是

負(fù)定，極大值(」，，)

331-1/3-2/3)33

10.設(shè)/(x,y)=Ysiny+(x2-1)71xy\則f\.(1,0)=

解：因?yàn)?(l,y)=siny,故/；(l,0)=處可5=1

11.[x2sin2xdx=.

解：原式=卜%(_于052工)=-萬(wàn)工2cos2x+Jxcos2xdr

=一;x2cos2x+J"(gsin2x)=cos2x+gxsin21一；Jsin2xdx

12cl.c1C

=——xcos2x+—xsin2x+—cos2x+C.

224

12.在區(qū)間[0,萬(wàn)]上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

7Cn

解：A=J：|(，cosx-sin^A=JW(cos%-sinjr)公+卜(sin九一cosx)6fc

■4

=(sinx+cosx)|^+(-cosx-sinx)|Z=V2-1+1+V2=272.

4

13.若，貝I]A:=o

答案：?.J=「'eAlr=lim-,廠e心d(-左x)

2Joz?—>+ookJ。

r1-kx\^1rl-kb1

=lim—e=—lim—e=一

22k10kb.2kk

:?k=2

14.設(shè)D：x2+y2<l由估值不等式得<JJ(x2+4y2+V)dxdy<

D

解/(x,y)=x2+4y2+1<4(x2+y2)+1,又D:x2+y2<1

nmax{/(x,y)}=4x1+1=5,min{/(x,y)}=1

(x.y)eD(x,>?)€/?

由m(y<JJ/(x,y)dcr<Ma,(y-SD-7t\-n

D

7T<I<571

15.設(shè)。由y=f,y=2x2,y=l,y=2圍成（xNO）,則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序

為和.

解D：(X—型)=DI+D2，，

/=也F(X,y)dy+Jjdxjjf(x,y)dy

品

D：(Y一型)

16.設(shè)。為0<y4l-x,0<x<l,則的極坐標(biāo)形式的二次積分為一.

ft[

解：D：,/=JJd^Jjin<,+cos9f(r)ixir

17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)p的最大取值范圍是.

解：由p級(jí)數(shù)的斂散性知，僅當(dāng)2+/?>1即〃〉-1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其他情形均發(fā)散.

解：因?yàn)?-----1----------F,??=e'>所以原積分

1!2!3!

\xe=e'd\-x2}---ex|J)=-—(eI-1)

o2()22

19.方程的通解為arcsinv+arcsiqy=c;

5

2

20.微分方程4/-20y+25=0的通解為y=(j+c2x>'.

21.當(dāng)n=時(shí)，方程y'+p(x)y=g(x)y"為一階線性微分方程。

解〃=0或1.

22.若4x4階矩陣A的行列式為|A|=3,A"是A的伴隨矩陣，則|A*上.

答案：27

23.設(shè)與8,“"，”均可逆，則。=也可逆，且C-=—.

答案：；

24.設(shè)，且AX-E=3X,則X=.

答案：

25.矩陣的秩為.

解答：將矩陣化成階梯形，可知填寫(xiě)：2o

26.向量a=(―1,0,3,-5),B=(4,-2,0,1)淇?jī)?nèi)積為.

答案：—9

27.n階方陣A的列向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是.

答案r=n，或|A|#0;

28.給定向量組?=(11l),a2=(o0b),ai=(132),,若線性相關(guān)，

則。，匕滿(mǎn)意關(guān)系式.

答案：a-26=0

29.已知向量組(I)與由向量組(II)可相互線性表示，則r(l)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是.

答案：相等；

30向量7=(2,1尸可以用a=(0,l)T與￡=(1,3)T線性表示為.

答案:/--5a+2/3；

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無(wú)窮組解的條件.

答案：必要不充分；

32.設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組Ar=6有唯一解的充要條件是r(A)

r(4步尸.

答案：r(A)=r(A:b)=n；

33.已知〃元線性方程組AX=8有解，且r(A)<〃，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)

數(shù)為.

解答：〃一r(A)

34.設(shè)%是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組(4E-A)x=0的都是A的屬

于冬的特征向量.

答案：非零解；

35.若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則的特征值為.

答案：；

36.設(shè)A是n階方陣，|A|N0,A"為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值人,則

(A*/+2￡必有特征值2=.

答案：.

37.,分別為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的兩個(gè)不同特征值乙,4所對(duì)應(yīng)的特征向量，則與的內(nèi)積

(,)=.

答案：0

38.二次型f(xt,x2,x3,x4)=x,x4+x2x3的秩為.

答案：4.

39.矩陣為正定矩陣，則/I的取值范圍是.

答案：—<A<>/3

40.二次型f(xt,x2,x,)=2xf+3xf+txj+2XIX2+2X/3是正定的，則t的取值范圍是

3

答案：t>—

5

41.A、B、C代表三事務(wù)，事務(wù)“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為AB+BC+AC

42.事務(wù)A、B相互獨(dú)立，且知2(4)=0.2,0(6)=0.5則/>(4^18)=.

解：?.?A、B相互獨(dú)立，：.P(AB)=P(A)P(B)

：.P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.5-0.1=0.6

43.若隨機(jī)事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為

解：P(A+B)=1—P(A+B)—1—P(^A.B)—\—p

44.在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，假如每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<k<5).

解：設(shè)X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X聽(tīng)從二項(xiàng)分布，其分布律為：

45.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},貝UP{X=3}=.

解：：X聽(tīng)從泊松分布，其分布律為P{X=&}=(七0,1,2,…，；1>0)

由已知得：，求得4=2

,P{X=3}=

x0<x<l

46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為/(x)=<a-x14尤<2,則。=.

0其它

解：由性質(zhì)「/。心=1

J-8

(,0fl:2(?+<?

即J0公+[無(wú)公+](。一1)公+工Odx

1cC1…

=一+2。-2——=。-1=1

22

解得：a=2

47.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

2

11/163/16

2ab

且X,Y相互獨(dú)立，則常數(shù)a=,b=

解：???x,y相互獨(dú)立

...P(X=1,Y=1)=P(X=1)-P(Y=1)

即：—

16

??a=一

16

又v

48.設(shè)x的分布密度為y(x),則y=x3的分布密度為.

解：；尸{yWy}=P(X3Wy)=P(XW#7)=吊(J7)

r=x3的分布密度為

夕。)=，y#o

49.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

X12

1a0.2

2夕0.3

則a與夕應(yīng)滿(mǎn)意的條件是，當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，a=.

解,/0尸a+/?+0.2+0.3=1即有a+/?=0.5

Ij

當(dāng)x,y相互獨(dú)立P(X=1,丫=1)=P(X=I)P(y=i)

a=(a+0.2)(a+p)a=0.2

50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~N(l,2),y~N(0,l).令Z=-、+2X+3,則

O(z)=.

解X與y相互獨(dú)立，,D(Z)=D(-y+2X+3)=D(-y)+D(2X+3)

=(-l)2D(y)+4D(X)=1+4x2=2。

51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1,E(X?)=4.令Y=2X—3,則

°(丫)=.

解D(y)=Q(2X-3)=4￡)(X)=4{￡(X2)-[E(X)]2}=4(4-12)=12?

二、單項(xiàng)選擇題

I.設(shè)./?(%)=x+i,則y(/(x)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于y(x)=x+i,得/(/(%)+1)=(/(%)+1)+1=y(x)+2

將/(%)=x+l代入，得/(/(x)+l)=(x+l)+2=x+3

正確答案：D

2.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.B.y=Inx2C.D.y=

解因?yàn)閥=ln/是由^=1〃，“=/復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案：B

3.下列各對(duì)函數(shù)中，()中的兩個(gè)函數(shù)相等.

A.與B.y=In/與g=21nx

C.y=-sin?%與g=cosxD.y=-1)與y=6J(x-1)

解：A

4.設(shè)/(x)在處間斷，則有()

(A)/(x)在x=x()處肯定沒(méi)有意義：

(B)/(%-0)#f(x+0);(即lim/(%)*limf(x))；

Jt—>XQX-

(C)limfix')不存在，或limf(x)=oo；

Xf0XT兩

(D)若/(x)在尤=x()處有定義，則x->Xo時(shí)，/(x)-/(x())不是無(wú)窮小

答案：D

'X*在x=0處連續(xù)，則上=().

x=0

A.-2B.-1C.1D.2

答案：B

6.若，X=0為無(wú)窮間斷點(diǎn)，X=1為可去間斷點(diǎn)，則4=().

(/)1(00⑷e(〃)e"

解：由于X=0為無(wú)窮間斷點(diǎn)，所以("一4尤0聲°，故。。1-若。=0，則％=1也是無(wú)窮

間斷點(diǎn).由X=1為可去間斷點(diǎn)得a=e.故選(。.

7.函數(shù)z=ln(>2+y2—2)+^4—x?—y2的定義域?yàn)?).

22222222

Ax+y^2B%+y?f：4Cx+y>22<x+y<4

解：z的定義域?yàn)椋?/p>

92c八

工+y-2>o9

■■=>2<x2+y2<4選D

4-x2-y2>0

8.二重極限()

(A)等于0(B)等于1(C)等于！

(D)不存在

2

D)

解：與女相關(guān)，因此該極限不存在

9.利用變量替換，肯定可以把方程化為新的方程().

(A)(B)(C)(D)

解z是x,y的函數(shù)，從〃=x,丫=上可得x=",y=uv>故z是”，丫的函數(shù)，又u=x,

x

U=2故z是的復(fù)合函數(shù)，故包=包.1+文.？，，從而

xdxdudvx

十,,dzdzdzydzydzdzdz

左?二xFy—=x-------1---=x—=u—

dxdyduxdvxdvdudu

因此方程變?yōu)椋骸爱?dāng)=z

du

選A

io.若/(x)=，在(0,+8)內(nèi)f\x)>0,/"(%)>o,則f(x)在(一8,0)內(nèi)().

(A)/'(x)<0,/"U)<0;(B)/'(x)<0,/"(x)>0;

(O/'(x)>0,/"(x)<0,(D)/,U)>0,/"(x)>0,

解：選(0.

11.設(shè)/(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且/(0)=0,,則在點(diǎn)x=0處

/(X)().

3)不行導(dǎo)(況可導(dǎo)，且/'(0)工09取得極大值(〃)取得微小值

解：因?yàn)椋瑒t/(幻>0=/(0)在x=0的鄰域內(nèi)成立，所以f(0)為了(X)的微小值.故選

(9.

12.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f'(