2023年湖南省長沙市長郡教育集團中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

2023年湖南省長沙市長郡教育集團中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合

題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.下列實數(shù)為無理數(shù)的是（）

A.—B.0.8C.-6D.M

3

2.下列單項式中，的同類項是（)

A.a^b2B.2岸眇C.a2bD.4ab3

3.計算2--在-的結(jié)果是()

a-ba-b

A.2B.-2C.0D.2b-2a

4.如圖立體圖形中,)

5.如圖，AABC^ADEF,DE=5,AE=2f則BE的長是（

A.5B.4C.3D.2

6.某班一合作學(xué)習(xí)小組有6人，初三上期數(shù)學(xué)期末考試成績數(shù)據(jù)分別為114、86、95、77、

110,93,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（)

A.86B.95C.77D.94

7.如圖,OA,是。O的兩條半徑,點C在。。上，若NC=38°,則N4OB的度數(shù)為

A.38°B.76°C.80°D.60°

8.如圖，王亮為了測量一條河流的寬度，他在河岸邊相距200米的尸、。兩點分別測定對

岸一棵樹丁的位置，T在P的正北方向，且T在。的北偏西50°方向，則河寬（PT的

長）可以表示為（

北

B.200tan500米

口?號米

C.200sin500米

-4的函數(shù)值），隨x的增大而減小，則該函數(shù)的圖象大致是（）

10.如圖，折線ABCQE描述了一輛能源汽車在某一直線公路上的行駛過程中，汽車離出發(fā)

地的距離s（千米）和行駛時間f（小時）之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖中提供的信息，給出

下列說法，其中正確的說法是（）

A.汽車共行駛了120千米

B.汽車在整個行駛過程中停留了2個小時

C.汽車自出發(fā)后前3小時的平均行駛速度為40千米/時

D.汽車自出發(fā)后3小時至4.5小時之間行駛的速度在逐漸減少

填空題(本大題共有6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

11.如果|x|=2023,那么x=.

12.若“，人是一元二次方程N-5x-3=0的兩實根，則a-而+3的值為.

13.寒假前，小明家設(shè)計了四種度假方案：參觀廣州長隆動物園、爬武功山、近郊露營、寧

鄉(xiāng)泡溫泉.媽媽將四種方案分別寫在四張相同的卡片上，小明隨機抽取1張，則抽到方

案為近郊露營的概率是.

14.如圖，△0A8與△OA5是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3,若點

8’的坐標為(2,6),則點8的坐標為.

15.如圖，一扇形紙扇完全打開后，AB和AC的夾角為120°,AB長為30cm,則該扇形紙

16.一年一度的春晚深受人民群眾的喜愛，小芳想了解今年長沙市約1025萬人民觀看春晚

的情況，隨機調(diào)查了1000人，其中有600人觀看了今年的春晚，那么長沙市約有

萬人觀看了春晚.

三、解答題(本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,

解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.計算：3tan30°+(^-)-1-11-73|+(K-2023)°.

18.先化簡，再求值：(“+〃)2+(a+b)(a-b)-2a(.a-b),其中a=2,b=——?

2

19.如圖，在△ABC中，分別以點4,B為圓心，以大于￡AB的長為半徑畫弧，兩弧相交

于點M和M作直線MN,交AC于點E,連接BE.

(1)請根據(jù)作圖過程回答問題：直線MN是線段AB的；

4角平分線B.高C.中線D垂直平分線

(2)若△ABC中，NACB=90°,/CBE=30°,AB=8,求CE的長.

20.某中學(xué)為積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設(shè)“文學(xué)鑒賞”、“趣味數(shù)學(xué)”、“手

工”、“廚藝”及“編程”等五門校本課程，以提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進學(xué)生全面健康

發(fā)展，學(xué)校面向八年級參與課后服務(wù)的部分學(xué)生開展了“你選修哪門課程？(要求必須

選修一門且只能選修一門)”的隨機問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅不完整

的統(tǒng)計圖：

鑒賞數(shù)學(xué)

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

(1)共有名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查；“手工”課程在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的

圓心角是度；

(2)補全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖；

(3)小明和小紅分別從“文學(xué)鑒賞”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀

圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率.

21.如圖，A8是。。的直徑，點E在AB的延長線上，AC平分ND4E交。。于點C,連接

EC并延長，AD垂直EC于點。.

(1)求證：直線QE是。。的切線；

(2)若。。的半徑為3,BE=2,求線段4。的長.

22.2022年，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標準(2022年版)，將勞動從原來

的綜合實踐活動課程中獨立出來.某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，

需要去某菜苗基地采購A,B兩種菜苗開展種植活動.若購買30捆A種菜苗和10捆8

種菜苗共需380元；若購買50捆4種菜苗和30捆B種菜苗共需740元.

(1)求菜苗基地A種菜苗和B種菜苗每捆的單價；

(2)學(xué)校決定用828元去菜苗基地購買A,B兩種菜苗共100捆，菜苗基地為支持該校

活動，對A,8兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠.求本次購買最多可購買多少捆A種菜苗？

23.在RtZXABC中，/BAC=90°,。是BC的中點，E是的中點，過點A作A尸〃8C

交CE的延長線于點F.

(1)求證：四邊形AOBF是菱形；

(2)若tanNABC=2,菱形AOB尸的面積為40.求菱形尸的周長.

24.我們不妨約定：若存在實數(shù)k,對于函數(shù)圖象上任意兩點(為，》)、(X2,y2),M

-yRWZ都成立，則稱這個函數(shù)是幸福函數(shù)，在所有滿足條件的左中，其最小值稱為這個

函數(shù)的幸福指數(shù).例如圖所表示的函數(shù)是幸福函數(shù)，其幸福指數(shù)為4.

(1)下列幸福函數(shù)的幸福指數(shù)為6的，請在相應(yīng)題目后的括號中打“J"，不是的打“X”；

①y=2x-1(-1?)

@y=(x-1)2+2(2?)

(2)若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)b為常數(shù)，且aWO),當

且t>］時，這兩個函數(shù)的幸福指數(shù)相同，求Z的值；

(3)若關(guān)于x的幸福函數(shù)y=-/+4x+f(f為常數(shù))，當LlWxWf時，幸福指數(shù)為f,

25.如圖1,拋物線y=or2+3ax("為常數(shù)，?<0)與x軸交于。，A兩點，點8為拋物線

的頂點，點。是線段0A上的一個動點，連接BD并延長與過。，A,8三點的0P相交

(1)①求點A的坐標；②求證：CE=DE；

273

(2)如圖2,連接AB,AC,BE,BO,當a=,NCAE=NOBE時,

~3~

②求需得的值?

①求證：AB2=AC9BE；

參考答案

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合

題意的選項.本大題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.下列實數(shù)為無理數(shù)的是（）

A.—B.0.8C.-6D.5/2

【分析】根據(jù)有理數(shù)和無理數(shù)的定義、實數(shù)的分類解答.

解：A.分數(shù)為有理數(shù)，4不符合題意；

B.有限小數(shù)是有理數(shù)，8不符合題意；

C.整數(shù)是有理數(shù)，C不符合題意；

D.我是無理數(shù)，。符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查無理數(shù)的定義，熟練掌握實數(shù)的分類、有理數(shù)和無理數(shù)的定義是解題

關(guān)鍵.

2.下列單項式中，-2〃2/>3的同類項是（）

A.Q吩B.2a2父C.a2hD.4ab3

【分析】根據(jù)同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫

做同類項，即可確定答案.

解：根據(jù)同類項的定義可知，-2“2分的同類項是2a2分，

故選：B.

【點評】本題考查了同類項，熟練掌握同類項的定義是解題的關(guān)鍵.

3.計算2--在-的結(jié)果是（）

a-ba-b

A.2B.-2C.0D.2b-2a

【分析】根據(jù)同分母的分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加

減，計算即可.

解：--——

a-ba-b

2b-2a

a-b

__2(a-b)

a-b

=-2,

故選：B.

【點評】本題考查了分式的加減法，熟練掌握分式的加減法則是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖

形解答即可.

解：A、圓錐的主視圖和左視圖是三角形，俯視圖是帶有圓心的圓，故本選項不合題意；

8、三棱柱的主視圖是兩個矩形，左視圖是一個矩形，俯視圖是三角形，故本選項不合題

?

C、圓柱的主視圖和左視圖是矩形，俯視圖是圓，故本選項不合題意；

。、球的三視圖都是圓，故本選項符合題意：

故選：D.

【點評】本題考查的是幾何體的三視圖，理解主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正

面、左面和上面看所得到的圖形是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AABC咨ADEF,DE=5,AE=2,則BE的長是()

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：V/XABC^/XDEF,DE=5,

：.AB=DE^5,

\"AE=2,

：.BE=AB-AE=3.

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.某班一合作學(xué)習(xí)小組有6人，初三上期數(shù)學(xué)期末考試成績數(shù)據(jù)分別為114、86、95、77、

110、93,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.86B.95C.77D.94

【分析】把這組數(shù)從小到大排列，求出中間兩個的平均數(shù)即可.

解：這組數(shù)從小到大排列為：77,86,93,95,110,114,

...這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是是（93+95）+2=94,

故選：D.

【點評】本題考查中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握中位數(shù)的定義.

7.如圖，OA,OB是的兩條半徑，點C在。。上，若NC=38°,則NA08的度數(shù)為

A

A.38°B.76°C.80°D.60°

【分析】根據(jù)圓周角定理求解即可.

解：VZAOB=2ZC,NC=38°,

AZAOB=76°,

故選：B.

【點評】此題考查了圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，王亮為了測量一條河流的寬度，他在河岸邊相距200米的P、。兩點分別測定對

岸一棵樹T的位置，T在尸的正北方向，且T在。的北偏西50°方向，則河寬（PT的

P200

米B.200tan50°米

200興

C.200sin500米D.

sin50°

【分析】在直角三角形尸。7中，利用PQ的長,以及NPQT的度數(shù)，進而得到NPTQ的

度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)即可求得PT的長.

解：在RtAPOT中,

VZQPT=90°,NPQT=90°-50°=40°,

二/尸7。=50°,

_PQ

tan50°

PT'

PQ200

：.PT=

tan50tan50

200

即河寬7-米,

tan50

故選：A.

【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，掌握方向角與正切函數(shù)的定義

是解題的關(guān)鍵.

-4的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則該函數(shù)的圖象大致是（）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得。＜0,

可判斷.

解：：一次函數(shù)y=ax-4的函數(shù)值〉隨x的增大而減小,

；.4<0,

■:b=-4<0,

.,.y=ox-4經(jīng)過第二、三、四象限,

故選：B.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，折線A3CDE描述了一輛能源汽車在某一直線公路上的行駛過程中，汽車離出發(fā)

地的距離s（千米）和行駛時間f（小時）之間的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖中提供的信息，給出

下列說法，其中正確的說法是（）

A.汽車共行駛了120千米

B.汽車在整個行駛過程中停留了2個小時

C.汽車自出發(fā)后前3小時的平均行駛速度為40千米/時

D.汽車自出發(fā)后3小時至4.5小時之間行駛的速度在逐漸減少

【分析】根據(jù)所給的函數(shù)圖象，以及速度、時間和路程的關(guān)系，逐項判定即可.

解：?.?汽車共行駛了：120X2=240（千米），

，選項4不符合題意；

???汽車在整個行駛過程中停留了0.5個小時,

選項8不符合題意；

?.?汽車自出發(fā)后前3小時的平均行駛速度為：120+3=40（千米/時），

選項C符合題意；

?.?汽車自出發(fā)后3小時至4.5小時之間行駛的速度不變，

二選項。不符合題意.

故選：C.

【點評】此題主要考查了函數(shù)的圖象，以及速度、時間和路程的關(guān)系和應(yīng)用，要熟練掌

握.

二.填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分.不需寫出解答過程，請把答案直

接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

II.如果|x|=2023,那么x=±2023.

【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可.

解：；用=2023,

."=±2023,

故答案為：±2023.

【點評】本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握正數(shù)的絕對值等于本身，負數(shù)的絕對值等

于它的相反數(shù).

12.若a,〃是一元二次方程N-5x-3=0的兩實根，則a-ab+b的值為8.

【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b與ab的值，代入原式計算即可求出

值.

解：b是一元二次方程x2-5x-3=0的兩實根，

,'.a+h—5,ah--3,

則a-ab+Z>=(a+b)-ab=5-(-3)=8.

故答案為：8.

【點評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題

的關(guān)鍵.

13.寒假前，小明家設(shè)計了四種度假方案：參觀廣州長隆動物園、爬武功山、近郊露營、寧

鄉(xiāng)泡溫泉.媽媽將四種方案分別寫在四張相同的卡片上，小明隨機抽取1張，則抽到方

案為近郊露營的概率是4-

14-

【分析】直接由概率公式求解即可.

解：由概率公式可知，媽媽將四種方案分別寫在四張相同的卡片上，小明隨機抽取1張,

則抽到方案為近郊露營的概率是

4

故答案為：士.

4

【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

14.如圖，△OAB與△OA8是以原點。為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3,若點

9

8的坐標為(2,6),則點3的坐標為(-1-,-2).

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可.

解：???△OAB與△OAB,是以原點。為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3,點B'

的坐標為(2,6),

.?.點8的坐標為(2+(-3),6+(-3)),

，點B'的坐標為(-2,-2),

3

故答案為：(-苫，-2).

3

【點評】本題考查了位似變換，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，一扇形紙扇完全打開后，AB和AC的夾角為120°,4B長為30c〃i,則該扇形紙

【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.

12Q7rX2

解：,?.30_=300K(CWJ2),

360

該扇形紙扇的面積為300irc/n2,

故答案為：300m7?2.

【點評】本題考查扇形面積的計算，解題的關(guān)鍵是掌握扇形面積公式.

16.一年一度的春晚深受人民群眾的喜愛，小芳想了解今年長沙市約1025萬人民觀看春晚

的情況，隨機調(diào)查了1000人，其中有600人觀看了今年的春晚，那么長沙市約有615

萬人觀看了春晚.

【分析】首先計算出調(diào)查的人中觀看了今年的春晚的人所占百分比，可推算出長沙市觀

看了今年的春晚的人數(shù)所占百分比，再用長沙市人數(shù)X百分比即可.

解：1025X(-^-x100%)=615(萬).

1000

故答案為：615.

【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，關(guān)鍵是掌握用樣本去估計總體時，樣本越具

有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

三、解答題(本大題共有9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分,

第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,

解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.計算：3tan30°+(^-)-1-|1-73|+(K-2023)°.

【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的性質(zhì)、絕

對值的性質(zhì)分別化簡得出答案.

解：原式=3X義￡-2-(5/3T)+l

3

-2-

=0.

【點評】本題主要考查了實數(shù)運算，掌握實數(shù)的運算法則是關(guān)鍵.

18.先化簡，再求值：(〃+。)2+(〃+/?)(a-b)-2a(a-b),其中〃=2,1>=——.

2

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式和單項式乘多項式將題目中的式子展開，然后

合并同類項.再將〃、人的值代入化簡后的式子計算即可.

解：(a+b)2+Ca+b)Ca-b)-2a(a-b)

=a2+2ab+b2+ci2-b2-2a2+2ab

=4ab,

當a=2,h=-工時，

2

原式=4X2X(-=-4.

【點評】本題考查整式的混合運算一化簡求值，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵，

注意完全平方公式、平方差公式的應(yīng)用.

19.如圖，在△A8C中，分別以點A,8為圓心，以大于/AB的長為半徑畫弧，兩弧相交

于點M和N,作直線交4c于點E,連接BE.

(1)請根據(jù)作圖過程回答問題：直線MN是線段AB的D；

A.角平分線8.高C.中線D垂直平分線

(2)若△ABC中，ZACB=90°,NCBE=3Q°,AB=8,求CE的長.

【分析】(1)由尺規(guī)作圖痕跡可知，直線MN是線段AB的垂直平分線.

(2)由已知條件結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)可得/A=/EBF=30°,則/CBE=30°,

在Rt/XABC中，可得8。=上四=4,在Rtz\BCE中，可得CE=8C?tan30°=鯉3.

23

解：(1)由尺規(guī)作圖痕跡可知，直線MN是線段A8的垂直平分線.

故答案為：D.

(2)設(shè)MN與45交于點片

VZACB=90°,ZCBE=30°,

：.ZCBA=60°,

〈MN是線段AB的垂直平分線,

：.BE=AE,

：.ZA=ZEBF=30°,

AZCBE=30°,

在RtZXABC中，

VZA=30°,

.,.BC=￡AB=4,

在Rt/XBCE中，

VZCBE=30°,

.,.CE=BC?tan30°=4XV3473

33

Bz/

Cv/A

N"

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形等

知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

20.某中學(xué)為積極落實國家“雙減”教育政策，決定增設(shè)“文學(xué)鑒賞”、“趣味數(shù)學(xué)”、“手

工”、“廚藝”及“編程”等五門校本課程，以提升課后服務(wù)質(zhì)量，促進學(xué)生全面健康

發(fā)展，學(xué)校面向八年級參與課后服務(wù)的部分學(xué)生開展了“你選修哪門課程？（要求必須

選修一門且只能選修一門）”的隨機問卷調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如圖兩幅不完整

的統(tǒng)計圖：

請結(jié)合上述信息，解答下列問題：

（1）共有120名學(xué)生參與了本次問卷調(diào)查;“手工”課程在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的

圓心角是75度;

（2）補全調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖；

（3）小明和小紅分別從“文學(xué)鑒賞”等五門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀

圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率.

【分析】（1）由選修“文學(xué)鑒賞”的學(xué)生人數(shù)除以所占百分比得出參與了本次問卷調(diào)查

的學(xué)生人數(shù)，求出選修“手工”的學(xué)生人數(shù)，用360。乘以手工所占總數(shù)的百分比即可解

決問題；

（2）補全條形統(tǒng)計圖即可；

（3）畫樹狀圖，共有25種等可能的結(jié)果，其中小明和小紅兩人恰好選到同一門課程的

結(jié)果有5種，再由概率公式求解即可.

解：（1）參與了本次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：304-25%=120（名），

則選修“廚藝”的人數(shù)為120X15%=18（名），

則選修“手工”的人數(shù)為120-30-20-18-27=25（名），

則“手工”在扇形統(tǒng)計圖中所對應(yīng)的圓心角為：360°X卷=75°,

故答案為：120,75；

（2）補全條形統(tǒng)計圖如下：

（3）把“文學(xué)鑒賞”、“趣味數(shù)學(xué)”、“手工”、“廚藝”及“編程”等五門校本課程

分別記為4、B、C、￡＞、E,

畫樹狀圖如下:

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

共有25種等可能的結(jié)果，其中小明和小紅兩人恰好選到同一門課程的結(jié)果有5種，

小明和小紅兩人恰好選到同一門課程的概率為盤=4.

255

【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.樹狀圖法可以

不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點

為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.如圖，AB是。。的直徑，點E在AB的延長線上，AC平分NZME交。。于點C,連接

EC并延長，4。垂直EC于點。.

（1）求證：直線OE是。。的切線；

（2）若的半徑為3,BE=2,求線段4。的長.

D

則AO〃OC,證得NOCE=90°,則可得出結(jié)論；

(2)連接OC證明△COES4ZME,由相似三角形的性質(zhì)可求出答案.

【解答】(1)證明：如圖1,連接OG

D

?：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCAf

YAC平分ND4E,

：.ZDAC=ZOACf

：.ZDAC=ZACOt

：.AD//OC,

VAD±DE,

AZADC=90°,

：.ZOCE=ZADCf

???NOCE=90°,

??,oc是半徑，

JOE是OO的切線;

(2)解：如圖1,連接。C,

*：AD//OCf

:.XCOESXDAE,

.OCOE

>?_—，

ADAE

.32+3

8

24

【點評】本題考查切線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾股定

理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會作常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常

考題型.

22.2022年，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標準（2022年版），將勞動從原來

的綜合實踐活動課程中獨立出來.某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，

需要去某菜苗基地采購4B兩種菜苗開展種植活動.若購買30捆A種菜苗和10捆8

種菜苗共需380元；若購買50捆A種菜苗和30捆B種菜苗共需740元.

（1）求菜苗基地A種菜苗和B種菜苗每捆的單價；

（2）學(xué)校決定用828元去菜苗基地購買A,B兩種菜苗共100捆，菜苗基地為支持該校

活動，對4,B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠.求本次購買最多可購買多少捆4種菜苗？

【分析】（1）設(shè)菜苗基地4種菜苗每捆的單價為x元，B種菜苗每捆的單價為y元，根

據(jù)“購買30捆A種菜苗和10捆B種菜苗共需380元；購買50捆A種菜苗和30捆B種

菜苗共需740元”，可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)本次可購買，w捆A種菜苗，則可購買（1OO-/77）捆8種菜苗，利用總價=單價

X數(shù)量，結(jié)合總價不超過828元，可得出關(guān)于機的一元一次不等式，解之取其中的最大

值，即可得出結(jié)論.

解：（1）設(shè)菜苗基地A種菜苗每捆的單價為x元，B種菜苗每捆的單價為y元，

30x+10y=380

根據(jù)題意得:

50x+30y=740

x=10

解得:

y=8

答：菜苗基地4種菜苗每捆的單價為10元，8種菜苗每捆的單價為8元;

（2）設(shè)本次可購買“捆4種菜苗，則可購買（100-/n）捆B種菜苗，

根據(jù)題意得:10X0.9/n+8X0.9（100-<828,

解得：，"W60,

：.m的最大值為60.

答：本次購買最多可購買60捆4種菜苗.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是:

(1)找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列

出一元一次不等式.

23.在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。是8c的中點，E是AQ的中點，過點A作AF〃BC

交CE的延長線于點F.

(1)求證：四邊形ACBF是菱形；

(2)若tan/ABC=2,菱形AO8尸的面積為40.求菱形4OB尸的周長.

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)可得NAFC=NFCD,ZFAE=ZCDE,利用中點的定

義可得AE=DE,從而證明△FAEgZXCOE,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AF=CD,

再根據(jù)。是8c的中點，可得AF=BD,從而可證四邊形AFBQ是平行四邊形，最后利

用直角三角形斜邊上的中線可得BD=AD,從而利用菱形的判定定理即可解答；

(2)利用(1)的結(jié)論可得菱形AO8B的面積的面積，再根據(jù)點。是BC的中

點，可得△A8C的面積=2A4BO的面積，進而可得菱形AO8尸的面積=448。的面積,

然后利用三角形的面積進行計算即可解答.

【解答】(1)證明：；AF〃2C,

ZAFC=ZFCD,NFAE=NCDE,

,:點E是4。的中點,

：.AE=DE,

.,.△FAE^ACDE(AAS),

：.AF=CD,

:點。是BC的中點，

：.BD=CD,

：.AF=BD,

四邊形AFBO是平行四邊形，

：/84C=90°,。是BC的中點,

：.AD=BD^—BC,

2

...四邊形AO8F是菱形；

(2)解：...四邊形AOB尸是菱形，

菱形ADBF的面積=的面積，

:點。是BC的中點，

.??△A5c的面積=2Z\A8￡＞的面積，

，菱形ADBF的面積=Z\ABC的面積=40,

：.—AB-AC=40,

2

A「

VZBAC=90°,tanZABC=—=2,

BC

設(shè)BC=m,則AC=2m9

：.—XmX2m=40,

2

.,.WZ=2A/10(負根已經(jīng)舍去)，

AC=4^/7U，

；?BC=VAC2+AB2=V(471b)2+(2＞/io)2=1。小

:.BD=WBC=56,

...菱形ADBF的周長為2O底.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，全等三角形的判定

與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.我們不妨約定：若存在實數(shù)k,對于函數(shù)圖象上任意兩點(羽，yi)、(X2,y2),I"

都成立，則稱這個函數(shù)是幸福函數(shù)，在所有滿足條件的左中，其最小值稱為這個

函數(shù)的幸福指數(shù).例如圖所表示的函數(shù)是幸福函數(shù)，其幸福指數(shù)為4.

(1)下列幸福函數(shù)的幸福指數(shù)為6的，請在相應(yīng)題目后的括號中打“J”，不是的打“X”；

①y=2x-1(-l〈xW2)V；

②y二-X；

x5

@y=(x-1)2+2(2?)X.

(2)若一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=q(a,〃為常數(shù)，且aWO),當＜x＜

且t＞］時，這兩個函數(shù)的幸福指數(shù)相同，求「的值；

(3)若關(guān)于x的幸福函數(shù)y=…+以儀(f為常數(shù))，當LlWxWf時，幸福指數(shù)為￡,

求r的值.

【分析】(1)①當x=-1時，y=2x-1=-3,當x=2時zy=2x-1=3,則履面=3-

(-3)=6,符合題意，故正確；②、③同理可解；

(2)時，求出兩個函數(shù)4的最小值，即可求解；

(3)當t<2時，當x=t時，y=一理+53當x=f-1時，y=-t2+7t-5,貝lj-t2+5t-(-

P+7L5)=6即可求解；當2W/W3時、當1>3時，同理可解.

解：(1)①當x=-1時，y=2x-1=-3,當x=2時，y=2x-1=3,

則&〃而=3-(-3)=6,符合題意，故正確；

②當工=-3時，y=--=1,當■時，則丁=一旦=5,

則晨麗=5-1=4W6,故錯誤；

③當工=3時，y=(x-1)2+2=6,當x=2時，y=(x-1)2+2=3,

則k而〃=6-3=6#6,故錯誤;

故答案為：X,X；

(2)故L工>0,

22

〃>0時，

當x=f+-^-時，y—ax+b—a(r+—)+b,當■時，y—ax+b—a(/--)+b,

2222

當元=/-="時，y=-1,當■時，y=-

22

aa

B|Ja(r+—)-a(/--)-b=--r+-f,

22t—t-p-"

22

解得：片巨

2

當a<0時，列出的函數(shù)關(guān)系式和t的值和a>0得情況完全相同,

故r=陣；

2

(3)當x=f時，y=-/+4x+f=-t2+4t+t--t2+5t,同理可得：當x=f-1時，y=-t2+lt

-5,當x=2時，y=f+4；

①當f<2時，

當x=f時，y=-t2+5t,當》=￡-1時，y=-t2+lt-5,

則-t2+5t-(-t2+7t-5)=t,

解得：f=￡;

②當2WW3時，

當時，當x=2時，y=7+4,當》=￡-1時，y--t2+lt-5.

2

貝ijr+4-(-r2+7r-5)=0,

解得：f=3；

當時，同理可得：r+4-(-祥+5力=o,

2

解得：1=4或1(均舍去)；

③當，>3時，

當彳=廣1時，y--t2+lt-5,當x=f時，y=-t2+5t,

則-祥+5t-(-理+7/-5)=-t,

解得：f=5；

綜上，或3或5.

3

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，涉及到新定義，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和正確理解新定義，是本題解題的關(guān)鍵.

25.如圖1,拋物線>=以2+3以(a為常數(shù)，a<0)與x軸交于。，A兩點，點B為拋物線

的頂點，點。是線段OA上的一個動點，連接8。并延長與過O,A,8三點的0P相交

于點C,過點C作OP的切線交x軸于