3.1.1第一課時函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

教材：人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊函數(shù)的概念教材分析本節(jié)課選自人教A版（2019）第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)中的《3.1.1函數(shù)的概念》的內(nèi)容.，函數(shù)的基本知識是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，函數(shù)的思想貫穿于整個初中和高中數(shù)學(xué)，在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的比重.函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念,是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具.在高中階段,函數(shù)不僅貫穿數(shù)學(xué)課程的始終.而且是學(xué)習(xí)方程、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容的工具和基礎(chǔ),在物理、化學(xué)、生物等其他學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用；在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)是基本數(shù)學(xué)對象；在實際應(yīng)用中,函數(shù)是數(shù)學(xué)建模的重要基礎(chǔ).學(xué)生對于函數(shù)并不陌生，初中階段只是用運動變化的觀點來定義函數(shù)，通過對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次和二次函數(shù)的學(xué)習(xí)來理解函數(shù)的意義，對于函數(shù)的概念理解并不深刻.在學(xué)生學(xué)習(xí)集合的概念之后，進一步運用集合與對應(yīng)的觀點來刻畫函數(shù)，突出了函數(shù)是兩個集合之間的對應(yīng)關(guān)系，領(lǐng)會集合思想、對應(yīng)思想和模型思想。所以把第一課時的重點放在函數(shù)的概念理解，通過生活中的實際事例，引出函數(shù)的概念，懂得數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，通過對函數(shù)三要素剖析，進一步理解充實函數(shù)的內(nèi)涵。所以在教學(xué)過程中分別設(shè)計了不同問題來理解函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則、函數(shù)圖象的特征、兩個相同函數(shù)的條件等問題.課時教學(xué)目標及目標解析經(jīng)歷“用集合語言表述函數(shù)概念的過程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷理解y與f(x)的含義,能用函數(shù)的定義刻畫簡單具體的函數(shù)的過程,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷由具體函數(shù)實例到一般函數(shù)概念的歸納過程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力.經(jīng)歷運用函數(shù)三要素判斷函數(shù)相等的過程，發(fā)展邏輯推理能力。目標解析（1）學(xué)生從具體實例出發(fā),能在初中“變量說”的基礎(chǔ)上,進一步抽象對應(yīng)關(guān)系、定義域與值域等三個要素,構(gòu)建函數(shù)的一般概念。（2）學(xué)生能在確定變量變化范圍的基礎(chǔ)上,通過解析式、圖象、表格等形式表示對應(yīng)關(guān)系,理解函數(shù)對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì).體會引入符號f表示對應(yīng)關(guān)系的必要性。（3）學(xué)生能在不同實例的比較、分析基礎(chǔ)上,歸納共性進而抽象出函數(shù)概念,體驗用數(shù)學(xué)的眼光看待事物,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。三、教學(xué)問題診斷分析對于函數(shù)的研究，其大致框架是：函數(shù)的事實函數(shù)概念的定義與表示函數(shù)的性質(zhì)基本初等函數(shù).本節(jié)要完成從事實到概念（定義與表示）再到性質(zhì)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生構(gòu)建函數(shù)的一般概念。（1）應(yīng)調(diào)動學(xué)生已有的函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，同時要防止負遷移；（2）概念內(nèi)涵、函數(shù)要素的發(fā)現(xiàn)等，對于大多數(shù)學(xué)生而言是困難的，特別是用集合語言和對應(yīng)關(guān)系表述概念，是非常數(shù)學(xué)化的，在確保學(xué)生具有領(lǐng)會定義實質(zhì)、面對具體問題能應(yīng)用的水平時，可引導(dǎo)學(xué)生進行適當(dāng)?shù)淖灾魈骄堪l(fā)現(xiàn)，以深化了解.四．教學(xué)重難點1.教學(xué)重點：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的三要素.2.教學(xué)難點：（1）能從不同情境中找出函數(shù)的三要素，抽象概括出函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).；（2）理解實數(shù)集合間一對多、多對一的對應(yīng)關(guān)系；五．教學(xué)條件支持及教學(xué)方法本節(jié)課的教學(xué)重點是認識函數(shù)要素并建立函數(shù)概念,會涉及函數(shù)值的計算、圖象的應(yīng)用及分析所得信息,因此可以借助于多媒體解決以上問題,因為課件容量大，可以讓學(xué)生有更多的時間用于觀察與思考函數(shù)的基本要素和抽象概念上。以講授法、啟發(fā)式教學(xué)為主，通過對四個實例的分析與比較，逐步歸納出函數(shù)具有的共性，在過程中不斷啟發(fā)學(xué)生思考，從而歸納出用集合和對應(yīng)的語言描述的函數(shù)的概念。六．教學(xué)過程設(shè)計思考1：觀察四幅圖片（PPT展示），你有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動：1.學(xué)生觀察章頭圖，分析其中有哪些圖片、圖片中透露出什么信息；圖片中所表現(xiàn)出的運動與變化設(shè)計意圖通過對學(xué)生圖片表現(xiàn)出的運動與變化，激發(fā)學(xué)生對未知領(lǐng)域的好奇心與學(xué)習(xí)興趣，并由此體會函數(shù)在現(xiàn)實中的廣泛運用，從而使學(xué)生感受到進一步學(xué)習(xí)函數(shù)的必要性，引起學(xué)生興趣。思考2初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的概念,我們是如何定義函數(shù)的？學(xué)生思考，獨立完成，給出答案設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)函數(shù)的定義來引入，鞏固舊知，建立新舊知識間的聯(lián)系，降低了學(xué)生的認識難度，使新課內(nèi)容更易學(xué)生接受，便于接下來的課堂教學(xué).追問：正方形周長l與邊長x的關(guān)系為正比例函數(shù)y=x與y=x學(xué)生思考，獨立完成，給出答案設(shè)計意圖由于學(xué)生知識的限制，沒法判斷函數(shù)是否相等。因此引起認知沖突，說明進一步研究函數(shù)概念的必要性。問題1某“復(fù)興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時。這段時間內(nèi)，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）可以怎么表示？它是函數(shù)嗎？師生互動：學(xué)生先獨立思考,再和小組同學(xué)交流確認.對應(yīng)關(guān)系是S=350t,并且對于任意的時刻t,都有唯一確定的路程S與它對應(yīng).因此,這是一個函數(shù).設(shè)計意圖復(fù)習(xí)函數(shù)解析式，進一步復(fù)習(xí)初中函數(shù)概念，為過渡到高中概念做鋪墊（2）思考：根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km，這個說法正確嗎？學(xué)生思考，獨立完成，給出答案設(shè)計意圖通過題目引出認知沖突過渡到研究函數(shù)中變量范圍的必要性，自然將函數(shù)由變量之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榧吓c集合的對應(yīng)。我們能夠得到變量s與時間t之間的準確關(guān)系嗎？學(xué)生觀察PPT，獨立思考，回答問題教師總結(jié)補充，即在初中的函數(shù)定義中給變量加上范圍設(shè)計意圖通過對變量s與t之間的準確關(guān)系的描述，將初中的變量與變量之間的對應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)楦咧械募吓c集合之間的對應(yīng)，自然而然的建立起函數(shù)概念。問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超過6天,如果公司確定的工資標準是每人每天350元,而且每周付一次工資,那么：你認為該怎樣確定一個工人的每周所得？一個工人的工資w是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？設(shè)計意圖通過前面兩個問題讓學(xué)生繼續(xù)通過初中對函數(shù)概念的認知,判斷是否為函數(shù).（3）你能仿照問題1中對S與t的對應(yīng)關(guān)系的精確表示,給出這個問題中w與d對應(yīng)關(guān)系的精確表示嗎？師生活動：學(xué)生回憶剛才老師的示范,獨立思考,初步形成函數(shù)概念的精確表示,并試著通過集合語言來精確表示具體的函數(shù).問題3：圖1是北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex,簡稱AQI）（1）你能找出中午12點的空氣質(zhì)量指數(shù)嗎？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？師生互動：學(xué)生小組交流,教師引導(dǎo)學(xué)生可以舉例說明,比如：你能找到中午12時的I值嗎？學(xué)生的答案不一,是否說明對于任一時刻t,無法找到唯一確定的I值與它對應(yīng)呢？由于誤差,導(dǎo)致答案不一,但對應(yīng)的I值確實是唯一存在的.設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)圖像描述對應(yīng)關(guān)系有困難特別是在值域不能完全確定時通過引入一個較大范圍的集合使函數(shù)值“落入其中”這是學(xué)生經(jīng)驗中不具備的實際上如果用映射觀點看這時的映射就是非滿射，為此在問題（1）之后先讓學(xué)生認可圖象表示一個函數(shù)然后再通過教師講解給出對應(yīng)關(guān)系的描述方法從而化解難點。這里學(xué)生只要理解I是t的函數(shù)即可。（2）你能仿照前面的方法描述I與t的對應(yīng)關(guān)系嗎？學(xué)生活動：學(xué)生按照前面的精確描述,學(xué)生已經(jīng)形成了“集合對應(yīng)說”下的函數(shù)概念模式,但是對應(yīng)關(guān)系是圖象,學(xué)生不能確定.教師按照定義解釋圖象對應(yīng)關(guān)系存在的合理性.對于函數(shù)值的集合本題中無法精確的表示,教師引導(dǎo)學(xué)生可以通過函數(shù)值所在的集合來代替函數(shù)值的集合,體現(xiàn)了函數(shù)概念中,對于集合B的容納性.設(shè)計意圖：學(xué)生根據(jù)圖像描述對應(yīng)關(guān)系有困難特別是在值域不能完全確定時通過引入一個較大范圍的集合使函數(shù)值“落入其中”這是學(xué)生經(jīng)驗中不具備的實際上如果用映射觀點看這時的映射就是非滿射為此在問題（1）之后先讓學(xué)生認可圖象表示一個函數(shù)然后再通過教師講解給出對應(yīng)關(guān)系的描述方法從而化解難點。這里學(xué)生只要理解I是t的函數(shù)，并能夠接受這種描述方式就可以了。問題4.國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個地區(qū)人民生活質(zhì)量的高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高。上表是我國某省城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況，從表中可以看出，該省城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量越來越高。你認為該表給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？（1）你認為按表1給出的對應(yīng)關(guān)系,恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？為什么？（2）如果是，你能仿照前面的方法給出精確的刻畫嗎？師生互動：經(jīng)歷前面三個例子的探究過程,學(xué)生已經(jīng)可以獨立形成集合對應(yīng)下的函數(shù)概念的精確描述,學(xué)生自由發(fā)言,總結(jié)出本題函數(shù)的精確刻畫。問題5觀察表格，思考上述4個例子的共同特征？師生活動：給學(xué)生充分思考的時間,引導(dǎo)學(xué)生重新回顧用集合與對應(yīng)語言刻畫函數(shù)的過程。教師引導(dǎo)學(xué)生得出：（1）都包含兩個非空數(shù)集,用A,B來表示;（2）都有一個對應(yīng)關(guān)系;（3）對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x,按照對應(yīng)關(guān)系,在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng).設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過歸納四個實例中函數(shù)的共同特征,體會數(shù)學(xué)抽象過程,概括出用集合與對應(yīng)語言刻畫的一般性函數(shù)概念.在此過程中,要突破“如何在四個實例基礎(chǔ)上讓學(xué)生進行歸納、概括、抽象函數(shù)概念,并以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”這一難點,突出“在學(xué)生初中已有函數(shù)認識基礎(chǔ)上,通過實例歸納概括出函數(shù)的基本特征（要素）,用集合與對應(yīng)的語言建立函數(shù)的概念”這一教學(xué)重點。抽象歸納概念、辨析概念函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function），記作：y=f(x)，x∈A．x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域。注意：對函數(shù)符號y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)為“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，僅是一個函數(shù)符號，f(x)不是f與x相乘。（2）、“y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；追問：函數(shù)的值域與集合B什么關(guān)系？請你說出上述四個問題的值域？【答案】函數(shù)的值域是集合B的子集。問題1和問題2中，值域就是集合B1和B2；問題3和問題4中，值域是B3和B4的真子集。設(shè)計意圖通過學(xué)生對實例或問題的思考，去體驗知識方法.通過問題的思考，提高學(xué)生的觀察、類比推理、概括能力。例1(多選)下列集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的數(shù)取絕對值例2下列圖形中不是函數(shù)圖象的是例3例3下列各組函數(shù)中是同一個函數(shù)的是A.y＝x＋1與y＝B.y＝x2＋1與s＝t2＋1C.y＝2x與y＝2x(x≥0