幾類(lèi)特殊函數(shù)的求導(dǎo)方法

3.3幾類(lèi)特殊函數(shù)的求導(dǎo)方法一、冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法

形如（）的函數(shù)，稱(chēng)為冪指函數(shù)．由于它既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，所以沒(méi)有直接可用的導(dǎo)數(shù)公式．解決的方法是首先轉(zhuǎn)化函數(shù)的表達(dá)形式，然后再利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則．

方法1利用，將冪指函數(shù)（）寫(xiě)成指數(shù)函數(shù)的形式，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則有

＝

＝

方法2采用“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”．對(duì)冪指函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)，得，等式兩邊對(duì)求導(dǎo)（注意是的函數(shù)）得于是

以上兩種方法，一個(gè)是轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的形式，一個(gè)是取對(duì)數(shù)，只需要理解并掌握其方法就可以了，不需要去硬記公式．

典型例題

例

3.3.1設(shè)，求．

解由得．

例

3.3.2設(shè)

，求．

解由得

．

例

3.3.3設(shè)，求．

解采用“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”．先取對(duì)數(shù)得，再兩邊對(duì)求導(dǎo)得，即．“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”除了可用于冪指函數(shù)，當(dāng)函數(shù)由一些乘、除運(yùn)算因子和乘方、開(kāi)方運(yùn)算因子構(gòu)成時(shí)，也可以考慮采用．

例

3.3.4設(shè)，求．

解采用“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”．，兩邊對(duì)求導(dǎo)得，所以.可見(jiàn)，由于函數(shù)取對(duì)數(shù)后可將原表達(dá)式中的乘、除運(yùn)算化為加、減運(yùn)算，冪、指運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，從而運(yùn)算量大大降低，因此“對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”是一個(gè)很有用的方法．二、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

變量和之間的函數(shù)關(guān)系如果由方程所確定，則稱(chēng)函數(shù)為隱函數(shù)，如果由方程表示，則稱(chēng)函數(shù)為顯函數(shù)．

例如，，均為顯函數(shù)．，，均為隱函數(shù)．有的隱函數(shù)可以顯化，即轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，例如，可以寫(xiě)為．但有些隱函數(shù)無(wú)法顯化或不方便顯化，如：．

所謂隱函數(shù)求導(dǎo)法是指：不考慮顯化，而是直接從方程出發(fā)求出導(dǎo)數(shù)（或）．

典型例題

例

3.3.

5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求．

解兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，有，即，解出得．

例

3.3.

6設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，求．

解兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，有，又由原方程得，時(shí)，對(duì)應(yīng)的，代入上式得．

例

3.3.

7求曲線(xiàn)在所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．

解曲線(xiàn)上點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求出切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率代入即可．

將代入方程，得，所以，切點(diǎn)為．

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知所求的切線(xiàn)斜率為.在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，有，將和代入得，即．所以切線(xiàn)方程為．三、參數(shù)式函數(shù)的求導(dǎo)方法

在中學(xué)的學(xué)習(xí)中我們知道，圓的方程可以表示為

.這就是圓的參數(shù)方程．為參數(shù)，也稱(chēng)為參變量．

設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程所確定，稱(chēng)為參數(shù)式函數(shù)．

由于兩個(gè)變量和通過(guò)形成函數(shù)關(guān)系，所以我們可以視它們形成復(fù)合函數(shù)，層次結(jié)構(gòu)為，是中間變量．于是，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得：．這是因變量與自變量分別對(duì)參數(shù)求導(dǎo)后的導(dǎo)數(shù)之商．

典型例題

例

3.3.8設(shè)，求．

解．

例

3.3.8求橢圓在處的切線(xiàn)方程．

解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．

，

，

所求切線(xiàn)為，即．小結(jié)：(1)冪指函數(shù)的求導(dǎo)方法

將冪指函數(shù)（）寫(xiě)成指數(shù)函數(shù)的形式，或等式兩端取對(duì)數(shù)得，然后再由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．

(2)隱函數(shù)的