永州市2021年高考數(shù)學第三次模擬考試（含答案）

永州市2021年高考第三次模擬考試試卷

數(shù)學

注意事項：

i.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

2.總分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，只交答題卡.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合例，N是實數(shù)集R的子集，若％={1,2},且=則符合條件的集

合M的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

2.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)2=（2+，）（1+出），aeR,若zwR,則。=

A.-B.--C.2D.-2

22

3.甲、乙、丙、丁和戊5名學生進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩

名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍”；對乙說:

“你當然不會是最差的”，則該5人可能的排名情況種數(shù)為

A.18B.36C.54D.64

4.有一個裝有水且底面直徑為12cm的圓柱形容器，水面與容器口的距離為1cm.現(xiàn)往容

器中放入一個半徑為廠（單位：cm）的小球，該小球放入水中后直接沉入容器底部，

若使該容器內(nèi)的水不溢出，則小球半徑r的最大值為

A.1B.2C.3D.4

5.已知F是拋物線y?=4x的焦點，若A,B是該拋物線上的兩點，且|4月+忸目=6,

則線段的中點到直線x=-，的距離為

2

57

A.2B.-C.3D.-

22

6.若某物體作直線運動，路程S（單位：m）與時間〃單位：s）的關(guān)系由函數(shù)SQ）=h/；

表示.當f=2s時，該物體的瞬時速度v為-*m/s,則當，=6s時，該物體行駛的路

程為‘

A.2e^B.4e~6C.2e'}D.4e"

7.已知點P是邊長為1的正方形ABC。的對角線B。上的一點，則麗?（蘇+畫的最小值為

A.——B.——C.-1D.-2

42

8.設(shè)隨機變量J的分布列如下:

12320202021

P%%々2020a2021

則下列說法簿送的是

7

A.當｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列時，W+%020=而

2022

B.數(shù)列｛4｝的通項公式可能為=

202171(72+1)

C.當數(shù)列｛4｝滿足%="(〃=1,2,…,2020)時，/021=擊

D.當數(shù)列｛/｝滿足=(％=1,2,…,2021)時，a｝

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選對的得2分.

9.已知log“2021>log〃2021>0,則下列各式一定成立的是

D從/

A.2021">202?B.—+—>2

ab

-bb+m八、

D.->--------(加7>0)

aa+m

0若函數(shù)*+⑺對任意的.，都有"g桔,則

A..f(x)的一個零點為x=-[B./(x)在區(qū)間(一區(qū),2)上單調(diào)遞減

61212

C./(x+M)是偶函數(shù)D./(龍)的一條對稱軸為彳=一||

11.某校對“學生性別和喜歡鍛煉是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相

43

同，男生喜歡鍛煉的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的?，女生喜歡鍛煉的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的2.若

55

至少有95%的把握認為“學生性別和喜歡鍛煉有關(guān)”，則被調(diào)查學生中男生的人數(shù)可能

為

A.35B.40C.45D.50

n(ad-bc)2.,..

附：P(K—k、j0.0500.010K~=-----------------(n=a+b+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

ko3.8416.635

12.已知定義在R上的奇函數(shù)/")在(YO,0]上單調(diào)遞增，則“對于任意的xw(0,l],不等

式fiaex+2x)+/(xlnx-/)20恒成立”的充分不必要條件可以是

11,21,1

A.—<tz<0B.—<a<—C.~。D.—<a<e

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.寫出一個漸近線方程為y=±x的雙曲線標準方程

14.的展開式中的常數(shù)項為一80,則。=.

15.右圖為某月牙潭的示意圖，該月牙潭是由兩段在同一平面內(nèi)的圓外堤岸

弧形堤岸連接圍成，其中外堤岸為半圓形，內(nèi)堤岸圓弧所在圓的’而冤屋\

半徑為30米，兩堤岸的連接點A,B間的距離為30式米，則該AR

月牙潭的面積為平方米.（第15題圖）

16.已知矩形A8CD中，A8=2,8C=4,E,尸分別為BC,AO的中點.將AASE沿直線＞!￡

翻折至A4SE的位置，若G為瓦。的中點，則CG=；”為AE的中點，在翻

折過程中，當△用”尸為正三角形時，三棱錐用-AED的外接球的表面積是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）如圖，在平面四邊形43CQ中，NDCB=45。,DB±AD,CD=2.

（1）若2逐，求ABAC的面積；°

（2）若cos/AQC=-@,AO=獨5,求角A的大小.A

59A

Df——

A

（第17題圖）

18.（本題滿分12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且％=2,Sn=Aan+l-\9其中人是

不為0的常數(shù).

（1）求生,%；

（2）求出4的一個值，以使得｛4｝為等比數(shù)列，并證明之.

19.（本題滿分12分）某工廠為A公司生產(chǎn)某種零件.現(xiàn)準備交付一批（1000個）剛出廠

的該零件，質(zhì)檢員從中抽取了100個，測量并記錄了它們的尺寸（單位：mm）,統(tǒng)計

結(jié)果如下表：

零件的尺寸(2,2.03](2.03,2.06](2.06,2.09]2.09以上

零件的個數(shù)436564

(1)將頻率視為概率，設(shè)該批零件的尺寸不大于2.06mm的零件數(shù)為隨機變量X,求

X的數(shù)學期望；

(2)假設(shè)該廠生產(chǎn)的該零件的尺寸y?N(2Q69,0.0『).根據(jù)A公司長期的使用經(jīng)

驗，該廠提供的每批該零件中，機的零件為不合格品，約占整批零件的10%,

其余尺寸的零件均為合格品.請估計團的值(結(jié)果保留三位小數(shù)).

附:若丫?令Z=t二幺，則Z?N(0,l),且尸(Z,,1.28卜0.9.

20.(本題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD//AB,ZABC=90°,

BDX.PA,AB=2BC=2CD=4.

(1)證明：B￡)_L平面PAD；

(2)設(shè)平面平面PBC=/,/fl平面ABCQ=G,PA=PD=2.

在線段PG上是否存在點例，使得二面角尸-OC-M的余弦值

為直？若存在，求出空的值；若不存在，請說明理由.

3PG

21.(本題滿分12分)在圓/+9=4上任取一點T,過點T作x軸的垂線段7D,。為垂

足，點P為線段力9的中點.

(1)求動點尸的軌跡C的方程；

(2)斜率為％(左>0)且不過原點。的直線/交曲線C于A,8兩點，線段AB的中點

為E,射線OE交曲線C于點M,交直線x=6于點M且|。加「=|。77卜|0目，

求點”(0,1)到直線/的距離d的最大值.

22.(本題滿分12分)曲線的曲率定義如下：若((x)是/(x)的導函數(shù)，令0(x)=，'(x),

則曲線y=/(%)在點(x,/(x))處的曲率K=一忸二.,已知函數(shù)

(1+［廣⑼2戶

/(x)=—+x(a>0),g(x)=(x+1)ln(x+1),且/(x)在點(0,/(0))處的曲率K=嚀.

(1)求a的值，并證明：當x>0時，f(x)>g(x).

(2)若d=ln(〃+l),且*=偽也也…包(〃eN*),求證：(n+2)Tn<e~^.

〃+1

永州市2021年高考第三次模擬考試

數(shù)學參考答案及評分標準

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

題號12345678

答案DBCCBDAC

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分.部分選對的得2分.

題號9101112

答案BDACDCDCD

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫

線上.

56

13.廣一）廣=114.215.45016.石，371（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

424+BC2-20

17.解：Q）在三角形ABOC中，由余弦定理知：5=-4BC

BC=40或-2技舍去）....................3分

S.=—CD-BC-sinZDCB=4

皿Rnr2....................5分

(2)由已知cosZADC=-—即cos(ZBZ)C+90)=-sinZBDC

5,5

sinNBDC=-,cosNBDC=—

55....................6分

又sinZDBC=sinQ35°—ZDBQ=—cosZDBC+—sinZDBC=

2210

....................8分

DCDB

在三角形46仇沖，由正弦定理知：sinZDBCsinNZXB,

2-

代入數(shù)據(jù)得:9分

在RrA4￡>5中,tanNDAB=-=43,:.ZA=60°

A。................10分

18.解：⑴由題設(shè)邑=布，向一1,60.

3

當“=1時，6二九出一1,由q=2,得22,................................2分

_3+32

當〃=2時，5*2=2a,-1即4+4=九4_1,得322.......彳分

2_

（2）假設(shè)｛“"｝為等比數(shù)列，則4=4%,....................5分

<3?.3+341

y=2x-—％=彳

即兒，解得2.............................6分

下面證明2時，｛4,｝為等比數(shù)列：

S”=〈4+|T9S“_|=:-1

由2知，當〃一2時，2,................................7分

_^L?a”=3""+|一〈a”

兩式相減得22

即。向=網(wǎng)（讓2）,................................9分

又由（1）知4=6,q=2,即在=3y................................10分

嗅=3（〃eN*）

所以%11分

Z=-

故當2時，｛%』是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列.……12分

19.解：（1）依題意可得，尸（尺寸不大于2.06mm）=0.4......

2分

?X□5（1000,0.4）...............................

?E(X)=/?/?=400

5分

(2)設(shè)合格零件的最大尺寸為〃2

?P(Y<m)=0.9

7分

zr-2.069

令一0.01，則r=0.01Z+2.069

尸(().()

?P(Y<m)=1Z+2.069<m)=0.98分

p(Z(嗡罵=0.9旦P(Z<]28)=0.9

9分

,mx2.08211分

故合格零件的最大尺寸約為2.082mm12分

20.解：(1)在直角梯形ABC。中，易知80=20,4)=20......................1分

DA2+DB2=AB2

：.DA±DB......................3分

VDB±PA且=A

，平面皿>............5分

(2)延長4)與8C交于點G,連結(jié)PG......................6分

取A°的中點°,聯(lián)結(jié)2°,因為%=h)，易證P°_L面A5C0,建立如圖所示的空間

直角坐標系，假設(shè)存在點用符合題意，且PM=4PG(0"41)

..P(0,0,x/2)D(-x/2,0,0)C(-2V2,x/2,0)G(-3點,0,0)

?，，，

?DC=(->/2,V2,0)而=(也,0,揚....

,,，8分

設(shè)面OPC的法向量〃=(%%z)

R

n-DP=\[2x+\/2z=0

*

?〃?DC=-yflx+yfly-0

,?，

令x=i,則y=Lz=-i

二A=(1'1'T)............

-.■DM=DP+PM=DP+APG

?DM=(x/2-372/,0,72-V22)

同理可得面OCM的法向量：

^=(2-1,2-1,1-32)..........10

__n-nx|5/l-3|

cos<n,%>=------------------!------

胴^EVlU2-10A+33

3............11分

PM_1

故存在滿足條件的點M,且下8一3；............12分

21.解：（1）設(shè)點2的坐標為（X/）,點T的坐標為（/，%）,則

2分

...片+必=4且/=x,y=2y

03分

,x2+4y2=4

x~

—+

，動點p的軌跡C的方程為45分

設(shè)直線/：丁=履+加（攵＞0,加〈0）,4（%,弘），B（x2,y2）

x2+4y2=4

聯(lián)立y-kx+m得(1+4%2)%2+8knr+4>-4=0

8km

X,+X>=------T

：.'-1+4公

?4kmm、

￡(--------------)

，中點1+4%2'1+4公7分

1,1

k°E小工一族X

由斜率公式可知4k

N（6,一去

8分

x2+4y2=4

116k216k2

14k得,

聯(lián)立1+46，即T+4F

9分

,.\OMf=\ON^]OE\

16k224km

m=--k

二1+止1+4Z?310分

，直線，過定點年①

11分

713

易知當定點與點“（°」）的連線與直線/垂直時，〃取得最大值3.

....................12分

X27

22.解：⑴由/（x）="+x，財（加＞，令很）=?。?，貝產(chǎn)七

1分

又在點（0,/（0））的曲率為，

4

代入曲率公式得：a=22分

丫2

證明：由。=2知/(x)=+%,當x＞。時

2

要證g(x)</(x),即證：(x+1)ln(x+1)<]■+x，

Y2

令，2(x)=(x+l)ln(x+1)-------X,

2

則”(x)=ln(x+l)-x,令肢(x)=/z'(x)3分

則一二口一1,又X＞。二“(x)＜0,故〃'(X)在(0,+8)單調(diào)遞減…4分

〃在單調(diào)遞減

"(x)<"(0)=0(x)(0,+oo)5分

r2

故〃(x)<h(0)=0,即(x+l)ln(x+1)<--+x

2

g(x)</(x)6分

⑵由(1)知當^>0時，f(x)>g(x),二f(n)>g(〃),即2(〃+1)ln(n+l)<n2+2n,

ln(n+1)1nn+2nn.1n〃+2

M,1\2-----------------<-------------------------------,即b<-------------------

兩邊同除以”得：〃+l2M+1n+l2n+\n+\

Tn=b\b2b3.……力J123_n_345n+2