2021年05月30日海闊天空的高中數(shù)學(xué)組卷

2021年05月30日海闊天空的高中數(shù)學(xué)組卷

一.選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)2=磊，，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2的虛部是（）

1-177

A.—B.—iC.—D.—i

25252525

2.已知前=夜，向=4,當(dāng)EL（4a-b）時，向量之與片的夾角為（）

nn27r37r

A.-B.-C.—D.—

6434

3.阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠

基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的情況下得出了圓

柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積

的三分之二.那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為（）

1123

A.—B.-C.-D.一

2334

4.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度

越高.統(tǒng)計(jì)改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了如圖的折

線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

（1978-2018）歷年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)

75

50

25

0

198年1臉年I9K60-I99O?I-19必年19徐年2002^.20b6年20詁年2（）i4年20i8年

?城Ml居民室盛恩格爾系數(shù)＜%＞?農(nóng)H居民家處恩咯然系數(shù)＞

A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭

B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高

C.1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%

D.隨著城鄉(xiāng)一體化進(jìn)程的推進(jìn)，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越小

5.袋中有白球2個，紅球3個，從中任取兩個，則互斥且不對立的兩個事件是（)

A.至少有一個白球；都是白球

B.兩個白球；至少有一個紅球

C.紅球、白球各一個；都是白球

D.紅球、白球各一個；至少有一個白球

6.已知石，b,工是平面向量，K是單位向量，若向量b滿足塊一4鼠b+3=0,則V；,e>

=今（。中0）,則|a—b|的最小值是（）

A.V3-1B.V2-1C.V3+1D.V2+1

(acosB-^bcosA)cosB1

7.已知△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,h,c,若?一,

2a+b2

且2SMBC-HC=0,則當(dāng)她取到最小值時，a=()

llr-V3

A.2V3B.V3C.3V3D.一

2

8.已知三棱錐P-ABC中，△ABC是以角A為直角的直角三角形，AB=AC=2,PB=PC,

PA=V14,Oi為△ABC的外接圓的圓心，cosNB4Oi=挈，那么三棱錐P-A8C外接球

的體積為（）

7TC7V147T

A.—B.---------C.2V147rD.7n

33

二.多選題（共4小題）

9.若（l+i）"=（1-i）"，則”可以是（)

A.104B.106C.108D.109

10.某研究機(jī)構(gòu)為了實(shí)時掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\(yùn)行情況，在某服務(wù)區(qū)從小型汽車中抽取了80

名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（km/h）分成六段：[60,65）[65,

70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列

結(jié)論正確的是（）

頻率

A.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為77.5

B.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計(jì)車速超過75h〃/〃的概率為0.65

C.若從樣本中車速在［60,70）的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在［65,

10

70）的概率為一

11

D.若從樣本中車速在［60,70）的車輛中任意抽取2輛，則車速都在［65,70）內(nèi)的概率

若

11.將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組，則下列說法正確的是（）

1

A.4位女同學(xué)分到同一組的概率為不

35

3

B.男生甲和女生乙分到甲組的概率為一

14

32

C.有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為不

35

34

D.4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為不

35

12.若長方體ABC￡>-AiBiCi￡>i的底面是邊長為2的正方形，高為4,E是￡>￡>i的中點(diǎn)，

則（）

A.B\EVA\B

B.平面8CE〃平面48。

8

C.三棱錐Ci-B\CE的體積為］

D.三棱錐。-B\CD\的外接球的表面積為24TT

三.填空題（共4小題）

13.歐拉公式聲=cosx+isim（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，被譽(yù)為“數(shù)

學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e2,表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第象限.

14.已知一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s,將這組數(shù)據(jù)都擴(kuò)大3倍，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差

是.

15.已知點(diǎn)O,A,B,C在同一平面上，A,B,C三點(diǎn)不共線，且滿足/+幾+江=力，

其中|31|=遍，\0B\=2,|0C|=V14,則小?法的值為,則△A8C的面積為.

16.如圖，已知菱形ABC。邊長為3,/氏4。=60°,點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，AC=6AE.將

△A3。沿8。翻折到4A'BZ)的位置,E記為E',且二面角4'-8。-C的大小為120°,

則三棱錐4'BC。的外接球的半徑為；過E'作平面a與該外接

球相交，所得截面面積的最小值為.

四.解答題(共6小題)

17.己知復(fù)數(shù)2=(〃，+,"-6)+(/n2-3/n+2)i(znGR).

(I)當(dāng)m取何值時，z為純虛數(shù)？

(II)如果復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

18.如圖，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,ZACB=60°.

(1)求疝I；

(2)已知點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，滿足元)=心市，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足晶=入院.

①當(dāng)人時，求啟cB；

②是否存在非零實(shí)數(shù)入，使得n_Lb?若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由.

19.在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知4acosA=ccosB+8cosc.

(1)若a=4,ZVIBC的面積為m，求b,c的值;

(2)若sin8=AsinC(A>0),且△ABC為鈍角三角形，求后的取值范圍.

20.如圖，在正四棱臺ABCC-4B1C1。中，A\B\=a,AB=2a,AAX=y/2a,E、尸分別

是AO、AB的中點(diǎn).

(I)求證：平面EFBi￡>i〃平面BDCi；

(II)求證：4c(平面5DG.

注：底面為正方形，從頂點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心，這樣的四棱錐叫做正四棱

錐.用一個平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，底面與截面之間的部分叫做正四棱

臺.

A

21.某地教育主管部門對所管轄的學(xué)校進(jìn)行年終督導(dǎo)評估，為了解某學(xué)校師生對學(xué)校教學(xué)管

理的滿意度，分別從教師和不同年級的學(xué)生中隨機(jī)抽取若干師生，進(jìn)行評分(滿分100

分)，繪制如下頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個等級：

滿意度評分低于60分60分到79分80分到89分90分及以上

滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意

已知滿意度等級為基本滿意的有136人.

(/)求表中a的值及不滿意的人數(shù)；

(〃)特從等級為不滿意師生中按評分分層抽取6人了解不滿意的原因，并從6人中選取

2人擔(dān)任整改監(jiān)督員，求2人中恰有1人評分在［40,50)的概率；

(〃/)若師生的滿意指數(shù)不低于0.8,則該?？色@評“教學(xué)管理先進(jìn)單位”，根據(jù)你所學(xué)

的統(tǒng)計(jì)知識，判斷是否能獲獎，并說明理由.(注：滿意指數(shù)=滿意程?瞥,均分)

22.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，通常采用的測試方法如下：拿出〃(〃€N*且〃》

4)瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓品酒師品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序；經(jīng)過一段

時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這〃瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序.這稱

為一輪測試，根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現(xiàn)分別以⑶，。2,

“3，…，a”表示第一次排序時被排在1,2,3,…，〃的〃種酒在第二次排序時的序號,

并令X=|l-m|+|2-a2|+|3-如|+-+1"-如|,則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

(1)證明：無論〃取何值，X的可能取值都為非負(fù)偶數(shù)；

(2)取〃=4,假設(shè)在品酒師僅憑隨機(jī)猜測來排序的條件下，m，。2,。3,“4等可能地為

1,2,3,4的各種排列，且各輪測試相互獨(dú)立.若某品酒師在相繼進(jìn)行的三輪測試中，

都有XW2,則認(rèn)為該品酒師有較好的酒味鑒別功能.求出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率，并據(jù)此解

釋該測試方法的合理性.

2021年05月30日海闊天空的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.已知復(fù)數(shù)2=毋，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2的虛部是（）

1-177

A.-B.—iC.-D.-i

25252525

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)Z,然后再由共甄復(fù)數(shù)的定義求出2,即可得到

答案.

【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)2=品=法儡瑞=弓9=一支一命，

17

所以2=一萬+西八

7

故復(fù)數(shù)2的虛部是手.

25

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及共軌復(fù)數(shù)定義的應(yīng)用，考查了化簡運(yùn)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

2.己知面=遮，值|=4,當(dāng)Z，（4a-b）El寸，向量；與d的夾角為（）

7Tn27r37r

A.-B?-C.—D.—

6434

【分析】根據(jù)題意，設(shè)向量：與前勺夾角為。，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得%?（赤-%）=4”

b-b2=16V2cos0-16=0,變形可得cos。的值，結(jié)合。的范圍分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)向量;與1的夾角為。，

若b_L（4a—b）,則b）=4a*b—Z?2=16V2cos0-16=0,

變形可得：cos9=?，

又由owewn,則

q

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠

基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的情況下得出了圓

柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于圓柱體積

的三分之二.那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為（）

1123

A.—B.—C.-D.一

2334

【分析】設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為/?,高為2R,分別求出圓柱及其內(nèi)切球

的表面積，作比得答案.

【解答】解：設(shè)球的半徑為七

則圓柱的底面半徑為R,高為2R,

則圓柱的表面積為5=如網(wǎng)+2豆/??27?=671/?2,

球的表面積為S球=4TC/?2.

4TTR22

???圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為"7=o.

6nR23

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查球和圓柱的表面積的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費(fèi)支出總額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度

越高.統(tǒng)計(jì)改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了如圖的折

線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）

（1978-2018）歷年中國城鄉(xiāng)居民家庭恩格爾系數(shù)

A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭

B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高

C.1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%

D.隨著城鄉(xiāng)一體化進(jìn)程的推進(jìn)，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越小

【分析】通過觀察1978-2018年我國城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)的變化統(tǒng)計(jì)圖，

即能得出正確選項(xiàng).

【解答】解：由上述折線圖可知：

選項(xiàng)A,因?yàn)槌擎?zhèn)的系數(shù)一直在農(nóng)村居民的上方，故城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于

農(nóng)村居民，A正確；

選項(xiàng)B,城鎮(zhèn)和農(nóng)村的恩格爾系數(shù)整體上都在下降，說明城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕

程度越來越高，B正確；

對于C,1996-2000年我國農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)高于50%,C錯誤；

對于D,結(jié)合圖形得到城鎮(zhèn)和農(nóng)村家庭恩格爾系數(shù)之間的差距越來越小，說明城鎮(zhèn)和農(nóng)

村家庭生活富裕程度差別越來越小，。正確.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查居民家庭恩格爾系數(shù)的變化統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力與

運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.袋中有白球2個，紅球3個，從中任取兩個，則互斥且不對立的兩個事件是（）

A.至少有一個白球；都是白球

B.兩個白球；至少有一個紅球

C.紅球、白球各一個；都是白球

D.紅球、白球各一個；至少有一個白球

【分析】從裝有3個紅球和2個白球的紅袋內(nèi)任取兩個球，所有的情況有3利I“2個白

球”、“一個白球和一個紅球”、“2個紅球”.由于對立事件一定是互斥事件，且它們之中

必然有一個發(fā)生而另一個不發(fā)生，結(jié)合所給的選項(xiàng)，逐一進(jìn)行判斷，從而得出結(jié)論.

【解答】解：從裝有3個紅球和2個白球的紅袋內(nèi)任取兩個球，所有的情況有3種：“2

個白球”、“一個白球和一個紅球”、“2個紅球”.

由于對立事件一定是互斥事件，且它們之中必然有一個發(fā)生而另一個不發(fā)生，

對于A,至少有1個白球；都是白球，不是互斥事件.故不符合.

對于8兩個白球；至少有一個紅球，是互斥事件，但也是對立事件，故不符合.

對于C紅球、白球各一個；都是白球是互斥事件，但不是對立事件不是互斥事件，故符

合.

對于。紅球、臼球各一個；至少有一個白，不是互斥事件.故不符合.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查互斥事件與對立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.已知石，b,工是平面向量，K是單位向量，若向量b滿足塊一4鼠b+3=0,則V；,e>

=(a0),則|a—b|的最小值是()

A.V3-1B.V2-1C.V3+1D.V2+1

【分析】將條件點(diǎn)一4"1+3=。轉(zhuǎn)化為值-2e|=1,可知向量而勺終點(diǎn)落在以2"的終

點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，然后再結(jié)合向-小的幾何意義，直線與圓的位置關(guān)系求出

結(jié)果.

【解答】解：因?yàn)榛蚴菃挝幌蛄浚?/p>

由廣—4e-b+3=0得后—46-e+4e2=1,

即(b-)2=i,所以g—22|=1.

以。為原點(diǎn)，將"，a,甘的起點(diǎn)都設(shè)為0,"的方向作為x軸的正方向，如圖建立坐標(biāo)系：

設(shè)易=2e,結(jié)合值一2?=1,施終點(diǎn)P落在以N(2,0)為圓心，半徑為1的圓上.

因?yàn)閂,e>=l，結(jié)合對稱性，不妨設(shè)2的終點(diǎn)。落在射線OQ上，其中NQ0N=￡

結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可知，過N做N。，射線OQ,垂足為Q,且NQ與圓交于點(diǎn)P

(如圖所示)，此時PQ的長度最小.

結(jié)合“0N=g,故△QON為等腰直角三角形，由ON=2,可知NQ=&,

因?yàn)镻N=1,所以PQ的最小值為近一1.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積的性質(zhì)以及向量模的幾何意義，屬于中檔題.

{acosB+bcosA)cosB1

7.已知AABC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別是mb,c,若

2a+b2

且2SMBC-囪c=0,則當(dāng)浦取到最小值時，a=()

LLL百

A.2V3B.V3C.3V3D.一

2

【分析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得2sinBcosC=-sinB,

結(jié)合sinBWO,可求cosC=—亍,

結(jié)合范圍CW(0,n),可求C的值，利用已知及三角形的面積公式可求燦=2的由余弦

定理，基本不等式可求當(dāng)且僅當(dāng)〃=匕時等號成立，結(jié)合題可得)=3",且〃

=b,即可解得〃的值.

M…(acosB+bcosA)cosB1

【解答】解：：——-一=?

ab2R{sinAcosB-\-sinBcosA)cosB1

.?.結(jié)合一,

sinAsinB2sinA+sinB2

sinCcosB1

一,

2sinA+sinB2

.?.2sinCcosjB=2sin(B+C)+sinB,

即2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,

則2sinBcosC=-sinB,

VsinB^O,

cosC=一亍

/.CG(0,7T),

.-2

??C=^-TT.

?2s&ABC~=0,

/.2xiahx=V3c,可得：ab=2c,

由余弦定理可得：c2=cr+b2+ab2ab+ab=3ab,當(dāng)且僅當(dāng)a—b時等號成立，

???則當(dāng)4。取到最小值時，C取得最小值，

此時，c2=3〃6,且〃=〃，解得：a=2V3.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形的面積公式，余

弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔

題.

8.已知三棱錐尸-ABC中，ZVIBC是以角A為直角的直角三角形，AB=AC=29PB=PC,

B4=V14,Oi為AABC的外接圓的圓心，cos/以O(shè)尸孥，那么三棱錐P-ABC外接球

的體積為（）

【分析】作出圖象，連結(jié)PO\,OO\,PO,AO,在△以01中，由余弦定理得到P。1=2V2,

再由正弦定理得到NPOM=120°,在RtZXAOOi中，。。/=/?2-2,在△po°i中，由

余弦定理可求出產(chǎn)，利用球的體積公式求解即可.

【解答】解：如圖，設(shè)三棱錐尸-A2C外接球的球心為0,半徑為R,連結(jié)尸Oi，。01，

PO,AO,

由已知可得，BC為圓01的直徑，BC=2V2,則4。1=a,因?yàn)閏os/BAO尸竽，

在△陽Oi中，由余弦定理可得，POi2=P42+4Oi2-2PA.4Oi.cosNPAOi=8,則

POi=2V2.

又40/+P。/=10<PA2=14,所以/附0］為鈍角，

由正弦定理可得，.P~A人=——POTi—,即=A/14;=F2V2，解得s譏"。遇=苧%，

sinZ.PO^Sinz-PAO1sinZ.PO^V212

7

所以NPOiA=l20°,

因?yàn)锳Oi，。。1，尸Oi三線共面，00i_LA0i，則NPOOi=30°,

在RtzMOOi中，。。/=腔一2,

在△P0Q中，P02=。。/+PO^-2。。1?POi-cos乙POi。,

所以R2=R2_2+8_27R2-2-2\[2-cos30°,解得R2=

故三棱錐P-ABC的外接球的體積為V=盤R3=9：x度=名券.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了三棱錐外接球體積的求解，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)

生空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二.多選題(共4小題)

9.若(1+i)”=(1-z)",則〃可以是()

A.104B.106C.108D.109

【分析】利用(l+i)2=l+2i-l=2i,(1-/)2=1-2i-1=-2i,將(1+i)”=(1-z)

nnnnn

”變形為22.(i)2=(-1)2.22.(i)2,從而確定w滿足的條件，得到答案.

【解答】解：因?yàn)?1+力2=l+2i-l=2i,(1-力2=11=-2i,

又(l+i)"=(1-i)",

nnnn

所以(1+i)n=[(1+i)2]2=(2?,(1-i)n=[(1-I)2]2=(-21)2,

nnnnnnn

故⑵)2=(-2i)2,即22-(i)2=(-1)2.22-(i)2,

故當(dāng)t為偶數(shù)時，(1+。”=(1-z)

故選：AC.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于中檔題.

10.某研究機(jī)構(gòu)為了實(shí)時掌握當(dāng)?shù)匦略龈咚龠\(yùn)行情況，在某服務(wù)區(qū)從小型汽車中抽取了80

名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速km/h')分成六段：[60,65)[65,

70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90],得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列

結(jié)論正確的是()

A.這80輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計(jì)值為77.5

B.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛車，估計(jì)車速超過"km/h的概率為0.65

C.若從樣本中車速在［60,70）的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在［65,

、.10

70）的概率為G

D.若從樣本中車速在［60,70）的車輛中任意抽取2輛，則車速都在［65,70）內(nèi)的概率

【分析】時于A：眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的值，可判斷4是否正確；對于B：

計(jì)算車速超過75切7/〃的頻率，可判斷8是否正確；對于C：通過計(jì)算得從樣本中車速在

160,70）的車輛有12輛，車速在［60,65）的車輛有4輛，車速在［65,70）的車輛有8

輛，進(jìn)而可得至少有一輛車的車速在［65,70）的概率，可判斷C是否正確，車速都在［65,

70）內(nèi)的概率，可判斷。是否正確.

yr?on

【解答】解：對于4由圖可知，眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對應(yīng)的值=77.5,

故4正確，

對于B：車速超過75加/〃的（0.06+0.05+0.02）X5=0.65,故B正確,

對于C：從樣本中車速在［60,70）的車輛有（0.01+0.02）X5X80=12輛，

車速在［60,65）的車輛有0.01X5X80=4輛，車速在［65,70）的車輛有8輛，

中任意抽取2輛，車速都在［60,65）的概率為昔=二，

C1211

則至少有一輛車的車速在［65,70）的概率為1-1=當(dāng)，故C正確，

&14

對于。：車速都在［65,70）內(nèi)的概率為6=/，故。錯誤.

C-1o33

故選：A8C.

【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖，解題中注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組,則下列說法正確的是()

A.4位女同學(xué)分到同一組的概率為二；

35

3

B.男生甲和女生乙分到甲組的概率為一

14

32

C.有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為不

35

34

D.4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為:

35

【分析】利用古典概型、排列組合直接求解.

【解答】解：8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為得以=70,

A選項(xiàng)，4位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有2利，，其概率為三=三，故A正確；

7035

153

8選項(xiàng)，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為量以=15,其概率為五=五，故8正

確；

C選項(xiàng)，有且只有3位女同學(xué)分到同一組不同分法為雷瑪-2=32種，

則有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為兀=—,故C錯誤；

。選項(xiàng)，4位男同學(xué)同時分到甲組只有I種，其概率為高，

則4位男同學(xué)不同時分到甲組的概率為1-4=黑，故。錯誤，

故選：AB.

【點(diǎn)評】本題考查概率的運(yùn)算，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題.

12.若長方體ABCQ-AiBiCiDi的底面是邊長為2的正方形，高為4,E是。功的中點(diǎn)，

則()

A.B\E.LA\B

B.平面BiCE〃平面AiB。

8

C.三棱錐Cl-BlCE的體積為§

D.三棱錐Ci-B\CD\的外接球的表面積為24n

【分析】在4中，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AO為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，利用向量法推導(dǎo)出BiE與48不垂直；在8中，求出平面BCE的法向量和平面

AiB。的法向量，利用向量法能求出平面BiCE與平面48。相交；在C中，三棱錐Ci

-B\CE的體積為％L&CE=VB.-C.CE=*在。中，三棱錐Ci-B\CD\的外接球就是長

122+22+42

方體ABC。-A\B\C\D\的外接球，從而三棱錐Ci-B\CD\的外接球半徑R=4―々-------=

V6,由此求出三棱錐Ci-B\CD\的外接球的表面積為241r.

【解答】解：長方體4BC0-4B1C1。的底面是邊長為2的正方形，高為4,E是DDi

的中點(diǎn)，

在A中，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則81(2,0,4),E(0,2,2),Ai(0,0,4),B(2,0,0),

蠢=(-2,2,-2),A；B=(2,0,-4),

"：B^E-A1B=-4+0+8=4^0,與AiB不垂直,故A錯誤;

在8中，B\(2,0,4),C(2,2,0),E(0,2,2),Ai(0,0,4),B(2,0,0),D

(0,2,0),

CB1=(0,-2,4),CE=(-2,0,2),=(-2,0,4),5D=(-2,2,0),

設(shè)平面8iCE的法向量%=(x,y,z),

dn-CB1=-2y+4z=01取—得j],2,1),

n-CE=-2x+2z=0

設(shè)平面AiBZ)的法向量？n=(a,b,c),

'TT

.m-BA--2x+4z=0殂-1

則m一t，取Hx=l,得?n=(1,1,-)，

.m?BD=-2x+2y=0”

"m,1不共線，.?.平面為CE與平面48。相交，故8錯誤：

在C中，三棱錐Ci-BiCE的體積為:

118?

UQ-BIC￡=%i-qcE=可*2*4*2工2=彳故C正確；

在。中，三棱錐Ci-BiCDi的外接球就是長方體ABC。-AiBCiOi的外接球,

...三棱錐Cl-B1CDI的外接球半徑R=L2—=V6,

2

三棱錐Ci-B\CD\的外接球的表面積為S=47rx（V6）=24m故。正確.

故選：CD.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查推理論證能力，是中檔題.

三.填空題（共4小題）

13.歐拉公式戶=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，被譽(yù)為“數(shù)

學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限.

【分析】根據(jù)於=cos2+isin2,以及2￡（一，2）,即可判斷出.

2

【解答】解：e2/=cos2+/sin2,

TC

V26（一，2）,

2

ACOS2G（-1,0）,sin2G（0,1）,

??.e2,表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限.

故答案為：二.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的歐拉公式、三角函數(shù)的值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

14.己知一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s,將這組數(shù)據(jù)都擴(kuò)大3倍，所得到的一組新數(shù)據(jù)的方差是

952.

【分析】方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，每個數(shù)都乘以3,所以平均數(shù)變，方差

也變.設(shè)原來的平均數(shù)為五新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)?元，（a=3）,利用方差公式，計(jì)算出

新數(shù)據(jù)的方差即可.

【解答】解：由題意知，原來的平均數(shù)為元，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)變?yōu)??？偅ā?3）

原來的方差$2=3（用一元）2+（X2-元）2+（X3-X）2],

現(xiàn)在的方差S'2=（0X1-（ZX）~+（0X2-ax）2+（0X3-衣）2]

222

=1[a（xi-x）~+（JC2-X）+"-+（xn—x）J

—t^s2,

...求得新數(shù)據(jù)的方差為9s2.

故答案為9?.

【點(diǎn)評】本題說明了一個一般規(guī)律：當(dāng)數(shù)據(jù)都乘以一個數(shù)。時，方差變?yōu)樵瓉淼?倍.

15.已知點(diǎn)。，4,B,C在同一平面上，4,B,C三點(diǎn)不共線，且滿足后+辦+品=3,

其中|&|=V6,\OB\=2,\OC\=V14,則&?辦的值為2,則AABC的面積為3星.

【分析】通過&+荒+左=￡|0C|=V14,求出后?茄=2,推出sin/408,然后

求解SAAOB，同理求解SAAOC，SASOC然后推出結(jié)果.

【解答】解：由題意力+OB+OC=0,\OC\=V14,可知：|&+而I=I一兒J=I后I=

V14,

所以辦2+OB2+20A-0B=14,解得辦-0B=2,

又因?yàn)?-OB=\0A\-\OB\cosZAOB^2,

所以cosNAOB=4，所以sin/40B=

66

|（M|=V6,\0B\=2,

故SMOB=/04|08卜訪/4。8=V5.

OA+OB+0C=0,|辦|=2,可知：|&+展|=|一晶|=|晶|=2,

|(￡1|=V6,\0C\=V14,

所以&2+OC2+2OA-OC=4,解得A-OC=-8,

又因?yàn)?-OC=|tM|-|OC|cosZAOC=-8,

所以cos/AOC=所以sin/40C=

\0A\=V6,|0C|=V14,

故S&AOC=^OA\\OC\sinZAOC=A/5.

O4+OB+OC=0,|04=乃可知：\0B+0C|=|-0A\=\0A\=V6,

|茄|=2,\0C\=V14,

所以。依+OC2+20B-OC=6,解得OB?OC=-6,

又因?yàn)榱?OC=\OB\?|OC|cosZBOC=-6,

所以cos/8OC=--X=,所以sin/BOC=

V14V14

|麗=2,\OC\=<14,

故S&BOC=知例OC|sin/8OC=V5.

所以△4BC的面積為：SAAOB+S/\AOC+S^BOC=3V5.

故答案為：2；3>/5.

【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算

能力，是中檔題.

16.如圖，己知菱形ABC3邊長為3,NBA￡)=60°,點(diǎn)E為對角線AC上一點(diǎn)，AC=6AE.將

△ABO沿8。翻折到△4'8。的位置,E記為E',且二面角A'-BQ-C的大小為120°,

則三棱錐A'8CO的外接球的半徑為回；過E'作平面a與該外接球相交，所得

-2-

97r

截面面積的最小值為—.

一4一

A

【分析】（1）過△CBD,8D的重心分別作平面的垂線，交于一點(diǎn)。，。即為三棱

錐A'-BC。外接球的球心，結(jié)合已知線段長度求半徑；

（2）首先確定出當(dāng)截面面積最小時，0E'，截面，再根據(jù)線段長度求出截面圓的面積.

【解答】解：（1）VZB/l￡>=60°,且四邊形ABCD為菱形，zM'BD均為

等邊三角形，

取△CBO,AAZBO的重心分別為M,N,過例，N分別作平面CBC,平面A'8。的垂

線，且交于一點(diǎn)O,

此時。即為三棱錐A'-8。外接球的球心，記ACn8Z）=O',連接CO,00',

.二面角4'-8。-C的大小為120°,且A'O'A.BD,CO'±BD,

二面角A'-BO-C的平面角為NA'O'C=120°,

'：O'M=0'N,：.cosAMO'0=cosNNO'O,則/MO'0=NNO'0=60°,

又,：BC=3,：.C0'=A'O'=3sin60°=竽，則M。'=NO'=|coz=孚,

：.OM=O,Mtan60°二會

又CM=|CO,=V3,：.OC=7cM2+0M2=J3+1=要.

即三棱錐A'BCD的外接球的半徑為亨；

當(dāng)截面面積最小時，此時OE'，截面，又截面是個圓，設(shè)圓的半徑為廣，外接球的半徑

為R,

又?:NE，=#O'=|COZ=搭，且0N=0M=|,

：.OE'=VO/V2+NE'2=J1+1=V3.

r=V/?2-OE'2=J^-3=I，

,此時截面面積5=TC-

皿抬4dV219

故答案為：——：-n.

24

A

【點(diǎn)評】本題考查空間幾何體外接球的體積與表面積的求法，考查球截面面積最值的求

法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬難題.

四.解答題(共6小題)

17.已知復(fù)數(shù)名=(m^+m-6)+(nz2-3m+2)z(/nGR).

(I)當(dāng)相取何值時，z為純虛數(shù)？

(II)如果復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的基本概念：復(fù)數(shù)。+6為純虛數(shù)得到實(shí)部為0,虛部不為0解之；

(2)利用復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限得到實(shí)部小于0,虛部大于0解不等式即可.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=(nr+m-6)+(m2-3m+2)i(mGR).

(I)當(dāng)〃/+〃?-6=0并且-3，"+2W0,z為純虛數(shù)，解得m--3；

(ID如果復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，那么［血：土小一6<0

Lm2-3m+2>0

解得實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3〈機(jī)<1.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義；關(guān)鍵是由題意等價得到關(guān)于

m的式子解之.

18.如圖，在△ABC中，已知CA=1,CB=2,/ACB=60°.

(1)求疝I：

(2)已知點(diǎn)。是A8上一點(diǎn)，滿足疝)=九4k點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足康=人院.

1TT

①當(dāng)入=*時，求4E+CD；

②是否存在非零實(shí)數(shù)入，使得6，2)?若存在，求出入的值；若不存在，請說明理由.

c

B

【分析】（1）利用余弦定理求出AB的長即得|nI；

（2）①人=即寸，D、E分別是BC,AB的中點(diǎn)，求出旗、E）的數(shù)量積即可;

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)入，使得戰(zhàn)，cb,利用晶、&分別表示出2）和晶，

求出族用=0時的入值即可.

【解答】解：（1）△4BC中，CA=\,CB=2,ZACB=60°,

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2C4?CB?cos/ACB

=12+22-2X1X2XCOS60°

=3,

.\AB=V3,即|贏=V5；

（2）①人=/時，AD=^AB,BE=^BC,

：.D.E分別是8C,AB的中點(diǎn)，

：.AE=AC+CE=AC+^CB,

T1TT

CD=(CA+CB),

1

：.AE-CD=(AC+^ICXB、)—(CA+CB)

22

=^AC'CA+^AC'CB+^CB-CA+^CB2

=-1xl2+|xlX2Xcosl20°+1x2XIXcos60°+1x22

1

4;

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)入，使得力E_LCD,

由40=九4B,得40=入(C8-C71),

???cB=&+G=%+入（&-人）=入屆+（1-入）CA；

又尾=入院，

：.AE=AB+BE=（CB-CA）+入（-&）=（1-入）CB-CA；

C.AE^D=入（1-入）所-