初中數(shù)學【二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(共7課時)】教學設(shè)計

初中數(shù)學【二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】教案教學設(shè)計

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)

［本課知識要點］

會用描點法畫出二次函數(shù)y=的圖象，概括出圖象的特點及函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

3

我們已經(jīng)知道，一次函數(shù)y=2x+l,反比例函數(shù)y=-的圖象分別

x

是___________、

,那么二次函數(shù)y=%2的圖象是什么呢？

(1)描點法畫函數(shù)y=/的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以什么數(shù)為中

心？當x取互為相反數(shù)的值時，y的值如何？

(2)觀察函數(shù)y=/的圖象，你能得出什么結(jié)論？

［實踐與探索］

例1?在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并指出它

們有何共同點？有何不同點？

(1)y=2/(2)y^-2x2

解列表

X.??-3-2-10123???

2

y-2x…188202818???

2

y=-2x-18-8-20-2-8-18…

分別描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，這兩個函數(shù)的圖象

者B是拋物線，如圖26.2.1.

共同點：都以y軸為對稱軸，頂點都在坐標原點.

不同點：y=2/的圖象開口向上，頂點是拋物線的最低點，在對稱軸的左邊，曲線

自左向右下降；在對稱軸的右邊，曲線自左向右上升.

y=-2/的圖象開口向下，頂點是拋物線的最高點，在對稱軸的左邊，曲線

自左向右上升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降.

回顧與反思在列表、描點時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因為圖象

是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變量從小到大或從大到小的11質(zhì)序連接.

例2.已知y=伏+是二次函數(shù)，且當尤〉()時，y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；

(2)求頂點坐標和對稱軸.

解(1)由題意，得卜+1=2,解得k=2.

(2)二次函數(shù)為y=4/,則頂點坐標為(0,0),對稱軸為y軸.

例3.已知正方形周長為Cem,面積為Senr.

(1)求S和C之間的函數(shù)關(guān)系式，并畫出圖象；

(2)根據(jù)圖象，求出S=1cm：時，正方形的周長；

(3)根據(jù)圖象，求出C取何值時，S>4加.

分析此題是二次函數(shù)實際應用問題，解這類問題時要注意自變量的取值范圍；畫圖

象時，自變量C的取值應在取值范圍內(nèi).

解(1)由題意，得5=二。2(。>0).

C2468???

]_9

S=—C214

1644

描點、連線，圖象如圖26.2.2.

(2)根據(jù)圖象得S=1cm?時，正方形的周長是4cm.

(3)根據(jù)圖象得，當C>8cm時，S>4cm2.

回顧與反思

(1)此圖象原點處為空心點.

(2)橫軸、縱軸字母應為題中的字母C、S,不要習慣地寫成x、y.

(3)在自變量取值范圍內(nèi)，圖象為拋物線的一部分.

［當堂課內(nèi)練習］

1.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并分別寫出它們的開口方向、對稱軸

和頂點坐標.

(l)y=3/(2)y=-3尤2(3)y=^x2

2.(1)函數(shù)y=：/的開口,對稱軸是,頂點坐標是________；

(2)函數(shù)y=-工/的開口______,對稱軸是________,頂點坐標是_________.

4

3.已知等邊三角形的邊長為2x,請將此三角形的面積S表示成x的函數(shù)，并畫出圖象

的草圖.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

(1)y=-4/(2)y=\x2

4

2.填空：

(1)拋物線V=-5x2,當x=時，y有最____值，是.

(2)當m=時，拋物線y=(加—Dx'/f開口向下.

(3)已知函數(shù)y=(k2+Q/Ji是二次函數(shù)，它的圖象開口當x時,

y隨x的增大而增大.

3.已知拋物線〉=取中，當x>()時，y隨x的增大而增大.

(1)求女的值；(2)作出函數(shù)的圖象(草圖).

4.已知拋物線y=*經(jīng)過點(1,3),求當y=9時，x的值.

B組

5.底面是邊長為x的正方形，高為0.5cm的長方體的體積為yen?.(1)求y與x之

間的函數(shù)關(guān)系式；(2)畫出函數(shù)的圖象；(3)根據(jù)圖象，求出y=8cm：'時底面邊長x

的值；(4)根據(jù)圖象，求出x取何值時，y".5cm3.

6.二次函數(shù)V=a/與直線y=2x—3交于點P(1,b).

(1)求a、b的值；

(2)寫出二次函數(shù)的關(guān)系式，并指出x取何值時，該函數(shù)的y隨x的增大而減小.

1.一個函數(shù)的圖象是以原點為頂點，y軸為對稱軸的拋物線，且過M(-2,2).

(1)求出這個函數(shù)的關(guān)系式并畫出函數(shù)圖象；

(2)寫出拋物線上與點M關(guān)于y軸對稱的點N的坐標，并求出/MON的面積.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(2)

［本課知識要點］

會畫出y=ax2+k這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

同學們還記得一次函數(shù)y=2x與y=2x+1的圖象的關(guān)系嗎？

，你能由此推測二;欠函數(shù)y=/與y=/+］的圖象之間的關(guān)系嗎？

那么y=』與＞=--2的圖象之間又有何關(guān)系？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y=2/與y=2/+2的圖象.

解列表.

-3-2-10123

y=2x~188202818

y=2*2+2…20104241020

描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖26.2.3所示,

回顧與反思當自變量x取同一數(shù)值時，這兩個函數(shù)的函數(shù)值之間有什么關(guān)系？反映

在圖象上，相應的兩個點之間的位置又有什么關(guān)系？

探索觀察這兩個函數(shù)，它們的開口方向、對稱軸和頂點坐標有那些是相同的？又有

哪些不同？你能由此說出函數(shù)y=2/與y=2/-2的圖象之間的關(guān)系嗎？

例2.在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)y=-/+1與y=-/-1的圖象，并說明，通

過怎樣的平移，可以由拋物線y=-x2+l得到拋物線y=-x2-].

解列表.

-3-2-10123

y=-x2+1-8-3010-3-8

y=-x2-1…-10-5-2-1-2-5-10

描點、連線，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如

圖26.2.4所示.

可以看出，拋物線y=-x2-l是由拋物線y=-x2+1向下平移兩個單位得到的.

回顧與反思拋物線y=-x2+1和拋物線y=-x2-\分別是由拋物線y=-x2向上、

向下平移一個單位得到的.

探索如果要得到拋物線y=-/+4,應彳降拋物線y=-x2-l作怎樣的平移？

例3.一條拋物線的開口方向、對稱軸與〉=(/相同，頂點縱坐標是-2,且拋物線經(jīng)

過點(1,1),求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

解由題意可得，所求函數(shù)開口向上，對稱軸是y軸，頂點坐標為(0,-2),

因此所求函數(shù)關(guān)系式可看作y=ax2-2(a>0),又拋物線經(jīng)過點(1,1),

所以，1一2,解得。=3.

故所求函數(shù)關(guān)系式為y=3/一2.

回顧與反思y^ax2+k(a,k是常數(shù)，aHO)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐

標歸納如下：

開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=ax2+kQ>0

a<0

［當堂課內(nèi)練習］

1.在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

1212c12c

y=—x,y=—x+2,y=—x-2.

222

觀察三條拋物線的相互關(guān)系，并分別指出它們的開口方向及對稱軸、頂點的位置.你

能說出拋物線y=gV+攵的開口方向及對稱軸、頂點的位置嗎？

2.拋物線y=工工2一9的開口____,對稱軸是__________頂點坐標是_________,它

4

可以看作是由拋物線y=」/向—平移一個單位得到的.

4

3.函數(shù)y=-3/+3,當x時，函數(shù)值y隨x的增大而減小.當x時,

函數(shù)取得最—值，最—值y=.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)丫=］/，y=-x2+3,y=-x2-2.

3'33

(1)分別畫出它們的圖象；

(2)說出各個圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；

(3)試說出函數(shù)>=；/+5的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標.

2.不畫圖象，說出函數(shù)＞=-1爐+3的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并說明它是

由函數(shù)y=—4，通過怎樣的平移得到的

3.若二次函數(shù)y=辦2+2的圖象經(jīng)過點(-2,10)，求a的值.這個函數(shù)有最大還

是最小值？是多少？

4.在同一直角坐標系中y=ax2+〃與y=ax+b(a*Q,b豐0)的圖象的大致位置是

()

5.已知二次函數(shù)y=8---l)x+Z-7,當k為何值時，此二次函數(shù)以y軸為對

稱軸？寫出其函數(shù)關(guān)系式.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(3)

［本課知識要點］

會畫出y=a(x-〃尸這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)了解到，函數(shù)y=以2+上的圖象，可以由函數(shù)y=一的圖象上下平移

所得，那么函數(shù)y=；(X-2)2的圖象，是否也可以由函數(shù),y=1x2平移而得呢？畫圖

試一試，你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

［實踐與探索］

例1?在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=,y=；(x+2)2,y=g(x—2)2，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂點

坐標.

解列表.

它們的開口方向都向上；對稱軸分別是y軸、直線X=-2和直線x=2;頂點坐標分別是

(0,0),(-2,0),(2,0).

回顧與反思對于拋物線)，=g(x+2)2,當X.時，函數(shù)值y隨x的增大而減

??；當x時，函數(shù)值y隨x的增大而增大；當x時，函數(shù)取得最

值，最―值丫=.

探索拋物線y=g(x+2)2和拋物線y=g(x-2尸分別是由拋物線y=gd向左、向

右平移兩個單位得到的.如果要得到拋物線y=；(x-4)2,應將拋物線y=g/作怎

樣的平移？

例2.不畫出圖象，你能說明拋物線y=-3/與y=-3(x+2-之間的關(guān)系嗎？

解拋物線＞=-3/的頂點坐標為(0,0);拋物線y=-3。+2)2的頂點坐標為(-

2,0).

因此,拋物線y=-3/與y=-3(x+2＞形狀相同，開口方向都向下，對稱軸分別是

y軸和直線x=-2.拋物線y=-3(x+2＞是由y=-3爐向左平移2個單位而得的.

回顧與反思y=a(x-h)2(a、h是常數(shù)，aHO)的圖象的開口方向、對稱軸、頂點

坐標歸納如下：

開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=a(x-h)2a>0

a<0

［當堂課內(nèi)練習］

1.畫圖填空：拋物線y=(x-的開口,對稱軸是,頂點坐標

是_________,它可以看作是由拋物線y=/向—平移個單位得到的.

2.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=-2x2,y=-2(x-3)2,y=-2(x+3)2,并指出它們的開口方向、對稱軸和頂

點坐標.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知函數(shù)＞=_白2,y=_；(x+l)2,y=_g(x_］)2.

(1)在同一直角坐標系中畫出它們的圖象；

(2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；

(3)分別討論各個函數(shù)的性質(zhì).

2.根據(jù)上題的結(jié)果，試說明：分別通過怎樣的平移，可以由拋物線y=/得到拋

物線y=_］(x+］)-和y=—'(X—1)-?

3.函數(shù)y=-3U+1)2,當x時，函數(shù)值y隨x的增大而減小.當x時,

函數(shù)取得最—值，最—值y=.

4.不畫出圖象，請你說明拋物線y=5/與y=5(x-4)2之間的關(guān)系.

B組

5.1各拋物線y=ax?向左平移后所得新拋物線的頂點橫坐標為-2,且新拋物線經(jīng)過

點

(1,3),求。的值.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(4)

［本課知識要點］

1,掌握把拋物線y="2平移至y=?X-力)2+k的規(guī)律；

2.會畫出y=a(x-h)2+k這類函數(shù)的圖象，通過比較，了解這類函數(shù)的性質(zhì).

［MM及創(chuàng)新思維］

由前面的知識，我們知道，函數(shù)y=2無2的圖象，向上平移2個單位，可以得到

函數(shù)y=2/+2的圖象；函數(shù)y=2x2的圖象，向右平移3個單位，可以得到函數(shù)

y=2(x-3尸的圖象，那么函數(shù)y=2/的圖象，如何平移，才能得到函數(shù)

、=2(》一3)2+2的圖象呢？

［實踐與探索］

例1.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=^x2,y=；(x—1)2,y=；(x—l)2_2，并指出它們的開口方向、對稱軸和頂

點坐標.

描點、連線，畫出這三個函數(shù)的圖象，如圖26.2.6所示.

它們的開口方向都向?qū)ΨQ軸分別為、_頂

點坐標分別為、、,請同學們完成填空，并觀察三個圖

象之間的關(guān)系.

回顧與反思二次函數(shù)的圖象的上下平移，只影響二次函數(shù)y=a(x-h)2+k中k的

值；左右平移，只影響h的值，拋物線的形狀不變，所以平移時，可根據(jù)頂點坐標的

改變，確定平移前、后的函數(shù)關(guān)系式及平移的路徑.此外，圖象的平移與平移的順序

無關(guān).

探索你能說出函數(shù)y=a(x-/7)2+k(a、h、k是常數(shù)，aHO)的圖象的開口方向、

對稱軸和頂點坐標嗎？試填寫下表.

開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標

y=a(x-h)2+ka>Q

a<0

例2.把拋物線y=/+法+。向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物線

y=V,求b、c的值.

分析拋物線y=Y的頂點為(0,0),只要求出拋物線y=/+"+c的頂點，根

據(jù)頂點坐標的改變，確定平移后的函數(shù)關(guān)系式，從而求出b、c的值.

的2/_2,b-b2仁、b2

y=x+bx+c=x+bxH-------Fc=(xH—)+c---.

4424

Ah2

向上平移2個單位，得到y(tǒng)=(x+Z)2+c——+2,

24

再向左平移4個單位，得到y(tǒng)=(無+^+4)2+。-彳+2,

卜A2

其頂點坐標是(-2-4,，-丁+2)，而拋物線>=/的頂點為(0,0),則

24

---4=0

2

c--+2=0

4

b=-S

解得

c=14

探索把拋物線y=x2+bx+c向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到拋物

線>=一,也就意味著把拋物線y=/向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得

到拋物線y=/+云+c.那么，本題還可以用更簡潔的方法來解，請你試一試.

［當堂課內(nèi)練習］

1.將拋物線y=2(x-4)2-l如何平移可得到拋物線y=2/

()

A.向左平移4個單位，再向上平移1個單位

B.向左平移4個單位，再向下平移1個單位

C.向右平移4個單位，再向上平移1個單位

D.向右平移4個單位，再向下平移1個單位

2.把拋物線y=-1/向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得的拋物線的函

數(shù)關(guān)系式為.

3.拋物線y=l+2x-^x2可由拋物線y=-g/向平移個單位，再向

平移個單位而得到.

［本課課外作業(yè)］

A組

1.在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象.

y=,y=—3(x+2/，y=—3(x+2)2—l,并指出它們的開口方向、對稱軸和

頂點坐標.

2.將拋物線y=-/+2%+5先向下平移1個單位，再向左平移4個單位，求平移后

的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

1Q1

3.將拋物線)，+X+］如何平移，可得到拋物線y=一］*2+2X+3?

B組

4.把拋物線〉=/+-+，向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線

y=x2-3x+5,則有

()

A.b=3,c=7B.b=一9,c=-15C.b=3,c=3D.b=一9,c=21

2

5.拋物線y=-3/+hx+c是由拋物線y=-3x-hx+\向上平移3個單位，再向左

平移2個單位得到的，求b、c的值.

6.將拋物線y=ax\a豐0)向左平移網(wǎng)個單位，再向上平移悶個單位，其中h>0,k

<0,求所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(5)

［本課知識要點］

1,能通過配方把二次函數(shù)y=++Zu+c化成y=a(x-/?)2+k的形式，從而確定開

口方向、對稱軸和頂點坐標；

2.會利用對稱性畫出二次函數(shù)的圖象.

［MM及創(chuàng)新思維］

我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)y=2(x-3)2+1的圖象，可以由函數(shù)y=2x2的圖象先

向一平移一個單位，再向—平移一個單位得到，因此，可以直接得出：函數(shù)

y=2(x-3)2+1的開口,對稱軸是________頂點坐標是,那么,

對于任意一個二次函數(shù)，如y=——+3》一2,你能很容易地說出它的開口方向、對稱

軸和頂點坐標，并畫出圖象嗎？

［實踐與探索］

例1.通過配方，確定拋物線y=-2%2+4x+6的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再

描點畫圖.

ft?y——2x~+4x+6

=-2(/-2x)+6

=—2(尸—2.x+1—1)+6

=_[2(X-1)2_1]+6

=-2(x-l)2+8

因此，拋物線開口向下，對稱軸是直線x=l,頂點坐標為

(1,8).

由對稱性列表：

x…-2；01234

y=-2x2+4x+6...1006860

描點、連線，如圖26.2.7所示.

回顧與反思(1)列表時選值，應以對稱軸x=l為中心，函數(shù)值可由對稱性得到，.

(2)描點畫圖時，要根據(jù)已知拋物線的特點，一般先找出頂點，并用虛線畫對稱軸，

然后再對稱描點，最后用平滑曲線順次連結(jié)各點.

探索對于二次函數(shù)y=a/+以+c,你能用配方法求出它的對稱軸和頂點坐標嗎？

請你完成填空：對稱軸,頂點坐標.

例2.已知拋物線y=——(〃+2)x+9的頂點在坐標軸上，求a的值.

分析頂點在坐標軸上有兩種可能：(1)頂點在x軸上，則頂點的縱坐標等于0;(2)

頂點在y軸上，則頂點的橫坐標等于0.

解y=/-(a+2)x+9=(x-a+2)2+9-(4+2),

24

則拋物線的頂點坐標是空2,9-絲空.

24

當頂點在x軸上時，有-生工=0,

2

解得a=-2.

當頂點在y軸上時，有9-("戶=0,

4

解得。=4或。=一8.

所以,當拋物線y=x2-(a+2)x+9的頂點在坐標軸上時,a有三個值，分別是-2,

4,8.

［當堂課內(nèi)練習］

1.(1)二次函數(shù)y=---2x的對稱軸是_______.

(2)二次函數(shù)y=2——2x-1的圖象的頂點是___________當x時，y隨X

的增大而減小.

(3)拋物線y=?_以_6的頂點橫坐標是-2,貝!］a=.

2.拋物線y=ax2+2x+c的頂點是(g,-1),則a、c的值是多少？

［本課課外作業(yè)］

A組

1.已知拋物線y=3/-3x+|,求出它的對稱軸和頂點坐標，并畫出函數(shù)的圖象.

2.利用配方法，把下列函數(shù)寫成y=a(x-/z)2+k的形式，并寫出它們的圖象的開口

方向、對稱軸和頂點坐標.

(1)y——x~+6x+1(2)y=2r—3x+4

(3)y=-x1+njc(4)y=x1px+q

3.已知y=(左+是二次函數(shù)，且當尤>0時，y隨x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)求開口方向、頂點坐標和對稱軸.

B組

4.當a<0時，求拋物線y=x2+2ax+l+2a2的頂點所在的象限.

5.已知拋物線y=x2-4x+h的頂點A在直線y=-1上，求拋物線的頂點坐標.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(6)

［本課知識要點］

1.會通過配方求出二次函數(shù),V=ax2+bx+c{a豐0)的最大或最小值；

2.在實際應用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實

際問題中的最大或最小值.

［MM及創(chuàng)新思維］

在實際生活中，我們常常會碰到一些帶有"最"字的問題，如

問題：某商店將每件進價為80元的某種商品按每件100元出售，一天可銷出約100

件.該店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤.經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種

商品單價每降低1元，其銷售量可增加約10件.將這種商品的售價降低多少時，能使

銷售利潤最大？

在這個問題中，設(shè)每件商品降價x元，該商品每天的利潤為y元，則可得函數(shù)關(guān)系式

為二次函數(shù)y=-10x2+100x+2000.那么，此問題可歸結(jié)為：自變量x為何值時函

數(shù)y取得最大值？你能解決嗎？

［實踐與探索］

例1.求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y=2x2-3x-5；(2)y=-x2-3x+4.

分析由于函數(shù)y=2/一3x-5和y=-x2-3x+4的自變量x的取值范圍是全體實

數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最高點或最低點，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值.

解(1)二次函數(shù)>=2/_3x-5中的二次項系數(shù)2>0,

因此拋物線y=2/-3%-5有最低點，即函數(shù)有最小值.

349

因為y=2x2-3x-5=2(x——)2------,

48

349

所以當x==時，函數(shù)y=2/一3x-5有最小值是——.

48

(2)二次函數(shù)y=-x2-3x+4中的二次項系數(shù)-1<0,

因此拋物線>=---3x+4有最高點,即函數(shù)有最大值.

因為y=~x~—3x+4——(x+—)~+,

所以當戶-士時，函數(shù)y=一3x+4有最大值是f.

24

回顧與反思最大值或最小值的求法，第一步確定a的符號，a>0有最小值，a<0有

最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值.

探索試一試，當2.5<x<3.5時，求二次函數(shù)y=/-28-3的最大值或最小值.

例2.某產(chǎn)品每件成本是120元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售

量y(件)之間關(guān)系如下表：

X(元)130150165

y(件)705035

若日銷售量V是銷售價X的一次函數(shù)，要獲得最大銷售利潤，每件產(chǎn)品的銷售價定為

多少元？此時每日銷售利潤是多少？

分析日銷售利潤=日銷售量X每件產(chǎn)品的利潤，因此主要是正確表示出這兩個量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函數(shù)的關(guān)系式為y=r+200.

設(shè)每日銷售利潤為s元，則有

s=y(x-120)=—(x—160)2+1600.

因為一x+20020,x-120N0，所以120Wx<200.

所以，當每件產(chǎn)品的銷售價定為160元時，銷售利潤最大，最大銷售利潤為1600元.

回顧與反思解決實際問題時，應先分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式，再研

究所得的函數(shù)，得出結(jié)果.

例3.如圖26.2.8,在Rt/ABC中,ZC=9O°,BC=4,AC=8，點D在斜邊AB上,分別

作DE±AC,DF±BC,垂足分別為E、F,得四邊形DECF,設(shè)l)E=x,DF=y.

(1)用含丫的代數(shù)式表示人￡；A

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；/\

(3)設(shè)四邊形DECF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系，并/

求出S的最大值.4——E

解(1)由題意可知，四邊形DECF為矩形，因此/

BpC

AE=AC-DF=S-y.圖26.2.8

(2)由陽心得器嚏，即日空,

所以，y=8-2x,x的取值范圍是0<x<4.

(3)S-xy=x(8-2x)--2A:2+8x=-2(x-2)2+8,

所以，當x=2時，S有最大值8.

［當堂課內(nèi)練習］

1.對于二次函數(shù)y=x2-2x+m，當x=時，y有最小值.

2.已知二次函數(shù)y=a(x-l)2+b有最小值-1,則a與b之間的大小關(guān)系是

()

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能確定

3.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，為了擴大銷售，增

加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每

件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件.

(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？

(2)每件^彩降價多少元時，商場平均每天盈利最多?

［本課課外作業(yè)］

A組

1,求下列函數(shù)的最大值或最小值.

(1)y=-x2-2x;(2)y=2x2-2x+l.

2.已知二次函數(shù)y=J—6x+m的最小值為1,求m的值.，

3.心理學家發(fā)現(xiàn)，學生對概念的接受能力y與提出概念所用的時間x(單位：分)之

間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-O.lx2+2.6x+43(0<x<30).y值越大，表示接受能力越強.

(l)x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力逐步增強？x在什么范圍內(nèi)，學生的接受能力

逐步降低？

(2)第10分時，學生的接受能力是多少？

(3)第幾分時，學生的接受能力最強？

B組

4.不論自變量x取什么數(shù)，二次函數(shù)y=2/-6x+m的函數(shù)值總是正值，求m的取

值范圍.

5.如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度a為10m),圍成中間

隔有一道籬笆的長方形花圃.設(shè)花圃的寬AB為xm,面積為Sm2.

(1)求$與*的函數(shù)關(guān)系式；k---------a------

I////////////////////

AlD

(2)如果要圍成面積為45k的花圃，AB的長是多少米？

BC

(3)能圍成面積比45球更大的花圃嗎？如果能，請求

出

最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由.

6.如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,舜殳EF在對角線AC

上,EG±AD,FH±BC,垂足分別是G、H,且EG+FH=EF.

(1)求線段EF的長；

(2)設(shè)EG=x,/AGE與/CFH的面積和為S,

寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍,

并求出S的最小值.

［本課學習體會］

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(7)

［本課知識要點］

會根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式.

［MM及創(chuàng)新思維］

一般地，函數(shù)關(guān)系式中有幾個獨立的系數(shù)，那么就需要有相同個數(shù)的獨立條件才

能求出函數(shù)關(guān)系式.例如：我們在確定一次函數(shù)y=kx+b(k豐0)的關(guān)系式時，通常

需要兩個獨立的條件：確定反比例函數(shù)y=-(k^Q)的關(guān)系式時，通常只需要一個條

X

2

件：如果要確定二次函數(shù)y=ax+bx+c(a豐0)的關(guān)系式,

又需要幾個條件呢？

［實踐與探索］:

/6\x

例1,某涵洞是拋物線形，它的截面如圖26.2.9所示，現(xiàn)測

得水面寬1.6m,涵洞頂點0到水面的距離為2.4m,在圖中

直角坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？

圖26.2.9

分析如圖，以AB的垂直平分線為y軸，以過點()的y軸的垂線為x軸，建立了直角

坐標系.這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以可

設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是y=ax\a<^.此時只需拋物線上的一個點就能求出拋物線的

函數(shù)關(guān)系式.

解由題意，得點B的坐標為(0.8,-2.4),

又因為點B在拋物線上，將它的坐標代入y=ax2(a<0),得

—2.4=ax0.82

所以a=~—.

4

因此，函數(shù)關(guān)系式是y=-"/.

4

例2.根據(jù)下列條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式.

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1).B(1,0)、C(-l,2)；

(2)已知拋物線的頂點為(1,-3)，且與y軸交于點(0,1)；

(3)已知拋物線與x軸交于點M(-3,0)、(5,0)，且與y軸交于點(0,-3)；

(4)已知拋物線的頂點為(3,-2)，且與x軸兩交點間的距離為4.

分析(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

y=ax2+bx+c的形式;(2)根據(jù)已知拋物線的頂點坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

y=a(x--3,再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值；(3)根據(jù)拋物線與x

軸的兩個交點的坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+3)(x-5),再根據(jù)拋物線與y軸的

交點可求出a的值；(4)根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(3,-2),可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為

y=a(x-3)2-2,同時可知拋物線的對稱軸為x=3,再由與x軸兩交點間的距離為4,

可得拋物線與x軸的兩個交點為(1,0)和(5,0),任選一個代入

y=a(x-3)2-2,即可求出a的值.

解(1)設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+Z?x+c,由已知，這個函數(shù)的圖象過(0,-

1),可以得到c=-1.又由于其圖象過點(1,0)、(T,2)兩點，可以得到

Q+/?=1

a-h=3

解這個方程組，得

a=2,b二一1.

所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y=