北師版八年級數(shù)學(xué)我下冊培優(yōu)講義

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：八年級(下)課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第01講-等腰三角形

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

①掌握等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)、判定定理；

教學(xué)目標(biāo)②掌握含30。角的直角三角形的性質(zhì)定理及其證明；

③能夠用綜合法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)及其判定定理。

授課日期及時段

T(Textbook-Based)——同步課堂

體系搭建

等腰三角形的兩底角相等

等腰三角形中的三線合一

性質(zhì)定理?■

等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60。

有兩邊相等的三角形是等腰三角形

有兩角相等的三角形是等腰三角形

等腰三角形三邊都相等的三角形是等邊三角形

判定定理?■

三個角都相等的三角形是等邊三角形

有一個角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

在直角三角形中，30。角所對的直角邊是斜邊的一半

一、知識梳理

1、等腰三角形的性質(zhì)定理

(1)兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。(AAS)

(2)等腰三角形的兩底角相等。即等邊對等角。

(3)推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合。即三線合一。

(4)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理

(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形。即等角對等邊。

(3)三個角都相等的三角形是等邊三角形。

(4)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

3、在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

4、反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,

從而證明命題的結(jié)論一定成立。

’典例分析］t

—————

考點一：等腰三角形的性質(zhì)

例1、一個等腰三角形的兩邊長分別為4,8,則它的周長為()

A.12B.16

C.20D.16或20

例2、如圖，在aABC中，AB=AC,ZA=30°,E為BC延長線上一點，NABC與NACE的平分線相交于點D,

則/D的度數(shù)為（）

A.15°B.17.5°

C.20°D.22.5°

例3、一個三角形可被剖成兩個等腰三角形，原三角形的一個內(nèi)角為36度,

求原三角形最大內(nèi)角的所有可能值.

例4、如圖，在AABAi中，ZB=20°,AB=A.B,在A,B上取一點C,延長AA倒Az,使得Ai4=A￡；在A￡上取

一點D,延長A也到As,使得A2A3=AJ）；…，按此做法進(jìn)行下去，NA”的度數(shù)為

例5、如圖1,RtAABC中AB=AC,點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC,AM垂直BD,垂足為M,AM的延

長線交BC于點N,直線BD與直線NE相交于點F.試判斷ADEF的形狀，并加以證明.

說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求

至少寫3步）：（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或者更換已知條件,

完成你的證明.

1、畫出將ABAD沿BA方向平移BA長，然后順時針旋轉(zhuǎn)90°后圖形；

2、點K在線段BD上，且四邊形AKNC為等腰梯形（AC/7KN,如圖2）.

附加題：如圖3,若點D、E是直線AC上兩動點，其他條件不變，試判斷aDEF的形狀，并說明理由.

考點二：等腰三角形的判定

例1、AABC的三邊長a,b,c滿足關(guān)系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,則這個三角形一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.無法確定

例2、如圖，在AABC中，AB=AC,/A=36°,BD、CE分別是/ABC、/BCD的角平分線，則圖中的等腰三角

形有()

A.5個B.4個

C.3個D.2個

例3、如圖，ZkABC中，BF、CF分別平分NABC和/ACB,過點F作DE〃BC交AB于點D,交AC于點E,那

么下列結(jié)論：

①4BDE和4CEF都是等腰三角形；

②NDFB=/EFC；

③4ADE的周長等于AB與AC的和：

④BF=CF.

其中正確的是.(填序號，錯選、漏選不得分)

例4、如圖，以AABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角4ABE和aACD,M是BC的中點，請你探究線段

DE與AM之間的關(guān)系.

說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求

至少寫3步）；

（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換己知條件，完成你的證明.①

畫出將△ACM繞某一點順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖形；

②/BAC=90°（如圖）

附加題：如圖，若以aABC的邊AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角AABE和△ACD,其它條件不變，試探究

P（Practice-Oriented）---------頭戰(zhàn);典練

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1,等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm,則它的周長為（）

A.16cmB.17cm

C.20cmD.16cm或20cm

2、如圖，在aABC中，AB=AC,過點A作AD〃BC,若/1=70°

A.40°B.30°

C.70°D.50°

3、如圖,ZB=ZC,Z1=Z3,則N1與N2之間的關(guān)系是（

A.Z1=2Z2B.3Z1-Z2=180°

C.Zl+3Z2=180°D.2Z1+Z2=18O°

4、如圖，在aABC中，點D,E分別在邊AC,AB±,BD與CE交于點0,給出下列四

個條件：①NEB0=NDC0；②BE=CD；③0B=0C；?0E=0D.從上述四個條件中，選取兩

個條件，不能判定aABC是等腰三角形的是（）

A.①②B.①③C.③④D.②③

5、如圖，在aABC中AB=AC,ZA=36",BD平分NABC,則/1=度，圖中有一個等腰三角形.

6、如圖，AD是直角三角形△ABC斜邊上的中線，把ADC沿AD對折，點C落在點C'處，連接CC',則圖

中共有等腰三角形個.

7、如圖1,是我們平時使用的等臂圓規(guī)，即CA=CB.若n個相同規(guī)格的等臂圓規(guī)的兩腳依次擺放在同一條

直線上如圖2所示，其張角度數(shù)變化如下：2〃也=160°,NAC2A3=80°,NA3c3AF40°,NA4aAs=20°,

8、如圖，在AABC中，AB=AC,點D是BC邊上的中點，DE,DF分別垂直AB、AC于點E和F.

求證:DE=DF.

9、如圖，在AABC中，AD平分NBAC,點D是BC的中點，DE_LAB于點E,DF_LAC于點F.

求證：AABC是等腰三角形.

C

A課后反擊

1、己知等腰三角形的一個底角的度數(shù)為70°,則另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是（）

A.55°,55°B.70°,40°

C.55°,55°或70°,40°D.以上都不對

2、等腰三角形頂角是84°,則一腰上的高與底邊所成的角的度數(shù)是（

A.42°B.60°

C.36°D.46°

3、如圖，在Z\PAB中,PA=PB,M,N,K分別是PA,PB,AB上的點,

且AM=BK,BN=AK,若NMKN=44°,則NP的度數(shù)為（）

A.44°B.66°

C.88°D.92。

4、如圖，D是直角aABC斜邊BC上一點，AB=AD,記NCAD=a,

ZABC=0.若a=10°,則B的度數(shù)是（）

A.40°B.50°

C.60°D.不能確定

5、如圖，在△ABC,ZA=36°,ZB=72°,AC的垂直平分線分別交AC、AB于點D,E,

則圖中等腰三角形的個數(shù)為（）

A.2個B.3個

C.4個D.5個

6,如圖，^ABC中，AB=AC,AD是/BAC的平分線，若AABD的周長為12,AABC的周長為16,則AD的長

7、如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點0.給出下列

三個條件：①NEB0=/DC0；②NBE0=/CD0；③BE=CD.上述三個條件中，哪兩

個條件可判定aABC是等腰三角形（用序號寫出--種情形）：.

8、如圖，ZBAC=9（0°<6<90°）,現(xiàn)只用4根等長的小棒將NBAC固定，從點兒開始依次向右擺放,

其中A也為第1根小棒，且AIA2=AA”則角9的取值范圍是

9、數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探究下面命題的正確性：頂角為36°的等腰三角形具有一種特性，即經(jīng)過它某一頂點

的一條直線可把它分成兩個小等腰三角形.為此，請你解答問題（1）.

（1）已知：如圖①，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,直線BD平分/ABC交AC于點D.求證：^ABD與4

DBC都是等腰三角形；

（2）在證明了該命題后，小喬發(fā)現(xiàn)：下面兩個等腰三角形如圖②、③也具有這種特性.請你在圖②、圖③

中分別畫出一條直線，把它們分成兩個小等腰三角形，并在圖中標(biāo)出所有等腰三角形兩個底角的度數(shù)；

（3）接著，小喬又發(fā)現(xiàn)：其它一些非等腰三角形也具有這樣的特性，即過它其中一個頂點畫一條直線可以

將原三角形分成兩個小等腰三角形.請你畫出兩個不同類型且具有這種特性的三角形的示意圖，并在圖中

標(biāo)出可能的各內(nèi)角的度數(shù).（說明：要求畫出的兩個三角形不相似，且不是等腰三角形.）

（4）請你寫出兩個符合（3）中一般規(guī)律的非等腰三角形的特征.

直擊中考

1、【2015?長沙】下列條件中，不能判定AABC是等腰三角形的是()

A.a=3,b=3,c=4B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°，ZC=80°D.ZA：ZB：ZC=1：1：2

2、【2016?山東】如下圖中，將AABC沿BD對折,使得點C落在AB上的點C'處，且NO2NCBD,已知Z

A=360.

(1)求NBDC的度數(shù);

(2)寫出圖中所有的等腰三角形(不用證明)

S(Summary-Embedded)--------932內(nèi)/忌名吉

重點回顧M

1、等腰三角形的性質(zhì)定理

(1)兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。(AAS)

(2)等腰三角形的兩底角相等。即等邊對等角。

(3)推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合。即三線合一。

(4)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理

(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。

(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形。即等角對等邊。

(3)三個角都相等的三角形是等邊三角形。

(4)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

名師點撥

i＞涉及等腰三角形腰上的高的問題時，需要注意分類討論；

2、等腰三角形"三線合一"的成立的條件一定要明確；

3、等腰三角形需要滿足一般三角形的性質(zhì)。

學(xué)霸經(jīng)驗a

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

1“；b

*

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：八年級（下）課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第02講-直角三角形

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

④掌握直角三角形的性質(zhì)與判定方法；

教學(xué)目標(biāo)

⑤進(jìn)一步掌握推理證明的方法，培養(yǎng)演繹推理能力；

授課日期及時段

T(Textbook-Based)——同步課堂

體系搭建

二、知識梳理

1、直角三角形的性質(zhì)和判定方法

定理：直角三角形的兩個銳角互余。

定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

4、逆命題、逆定理

互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個

命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一

個定理的逆命題。

5、斜邊、直角邊定理

定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。簡述為“斜邊、直角邊定理”或“HL”定理。

f典例分析

考點一：直角三角形全等的判定

例1、在如圖中，AB=AC,BE1ACTE,CF_LAB于F,BE、CF交于點D,則下列結(jié)論中不正確的是()

A.AABE^AACFB.點D在/BAC的平分線上

C.ABDF^ACDED.點D是BE的中點

例2、如圖，AB=12,CA_LAB于A,DB_LAB于B,且AC=4m,P點從B向A

運動，每分鐘走Im,Q點從B向D運動，每分鐘走2m,P、Q兩點同時出發(fā)，運動分鐘后4CAP與

△PQB全等.

例3、如圖，ZA=ZB=90°,E是AB上的一點，且AE=BC,Z1=Z2.

(1)RtaADE與Rtz^BEC全等嗎？并說明理由；

(2)Z\CDE是不是直角三角形？并說明理由.

例4、CD經(jīng)過/BCA頂點C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點，且/BEC=/CFA=/a.

（1）若直線CD經(jīng)過NBCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1,若NBCA=90°,Za=90°,

則BECF；EFBE-AF|（填“>”，或“=”）；

②如圖2,若0°<ZBCA<180°,請?zhí)砑右粋€關(guān)于Na與NBCA關(guān)系的條件,使①中的兩個結(jié)論

仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立.

（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過/BCA的外部，Za=ZBCA,請?zhí)岢鯡F,BE,AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜

想（不要求證明）.

考點二：直角三角形的性質(zhì)

例1、如圖，ZAOB=40°,OC平分NAOB,直尺與OC垂直，則/I等于（）

A.60°B.70°

C.50°D.40°

例2、如圖，已知/AOD=30。,點C是射線OD上的一個動點.在點C的運動過程

中，△AOC恰好是直角三角形，則此時NA所有可能的度數(shù)為.

0D

例2、如圖，CD是RtZ\ABC斜邊AB上的高，將4BCD沿CD折疊，B點恰好落在AB的中點E處，則N

A等于度.

例3、如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是BC邊上的中線，EDJ_BC于D,交BA延長線于點E,

若/E=35。，求NBDA的度數(shù).

例4、如圖，在aABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,求證：AD=J-DC.

2

例5、在AABC中，ZACB=90°,M是AB的中點，E、F分別是AC、BC延長線上的點，且CE=CF=1AB,

2

則/EMF的度數(shù)為

F

P(Practice-Oriented)--------頭戰(zhàn);奧練

實戰(zhàn)演練.

丹

＞課堂狙擊

1、下列條件中，能判定兩個直角三角形全等的是（）

A.一銳角對應(yīng)相等B.兩銳角對應(yīng)相等

C.一條邊對應(yīng)相等D.兩條直角邊對應(yīng)相等

A

2、如圖，若要用"HL"證明為△ABCgRtA.ABD,則還需補充條件（）/

A.ZBAC=ZBADB.AC=AD或BC=BD/k

C.AC=AD且BC=BDD.以上都不正確

石

3、如圖，BD平分NABC,CD1BD,D為垂足，NC=55。，則NABC的度數(shù)是（）

A,

A.35。B.55°/

C.60°D.70°/

bA

4、如圖，Z\ABC中，CD_LAB于D,且E是AC的中點.若AD=6,DE=5,則CD的長等干()

A.5B.6

§A

C.7D.8

2

5、如圖，AC1BC,AD1DB,要使AABC絲4BAD,還需添加條件_.（只需寫出符合條件一種情況)

C

三&

A課后反擊

1、要判定兩個直角三角形全等，下列說法正確的有（）

①有兩條直角邊對應(yīng)相等；②有兩個銳角對應(yīng)相等；

③有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等；④有一條直角邊和一個銳角相等;

⑤有斜邊和一個銳角對應(yīng)相等；⑥有兩條邊相等.

A.6個B.5個C.4個D.3今

2、如圖，0是/BAC內(nèi)一點，且點0到AB,AC的距離OE=OF,則△AEO之△AFO的依據(jù)是（）

A.HLB.AASB

C.SSSD.ASA

A

3、直角三角形兩個銳角平分線相交所成的鈍角的度數(shù)為（）FC

A.90°B.135°

C.120°D.45?；?35。

°,/A=60°,過點C的直線與AB交于點D,且去、

4、如圖，在RtZkABC中,ZACB=90

則/CDA=()/\

將4ABC的面積分成相等的兩部分，

D\B

A.30°B.45°'

C.60°D.75°

B

5、如圖，AABC中，AB=AC=10,AD平分NBAC交BC于點D,點E為Z\

AC的中點，連接DE,則DE的長為（

A.10B.6

C.8D.5

6、如圖，已知ABJ_CD,垂足為B,BC=BE,若直接應(yīng)用“HL〃判定△ABCgZ\DBE,

A

則需要添加的一個條件是_____.

DR

7、如圖，在Rtz^ABC中，ZACB=90°,將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB，，若NB=50°,則N

ACB'=

8、如圖，在AABC中，NC=90。，NB=30。，AB的垂直平分線ED交AB于點E,交BC于點D,若CD=3,

則BD的長為.

9、如圖所示，AB±BC,DC±AC,垂足分別為B,C,過D點作BC的垂線交BC于E交AC于E,AB=EC,

試判斷AC和ED的長度有什么關(guān)系并說明理由.

10、在直角aABC中，ZACB=90°,NB=30。，CDJ_AB于D,CE是AABC的角平分線.

(1)求/DCE的度數(shù).

(2)若＞CEF=135°,求證：EF/7BC.

■B

11、已知：如圖，在△ABC,AB=AC,AD是BC邊上的中線，E是AC的中點，BF_LCA延長線于點F.求

證:ZCBF=NADE.

12、在等腰aABC中，AB=AC=8,ZBAC=100°,AD是NBAC的平分線，交BC于D,點E是AB

的中點，連接DE.

(1)求NBAD的度數(shù);

(2)求NB的度數(shù)；

(3)求線段DE的長.

直擊中考

1、【2016?丹東】如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,BD=BC,CE±BD

于點E.求證：AD=BE.

2、【2016秋?靖江】如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,M、N分別是AC、BD的中點，試說

明：

(1)MD=MB；

(2)MN1BD.

S(Summary-Embedded)--------932內(nèi)/忌名吉

重點回顧

1、直角三角形的性質(zhì)和判定方法

定理：直角三角形的兩個銳角互余。

定理：有兩個角互余的三角形是直角三角形。

2、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。

名師點撥

1、在運用勾股定理的逆定理判定直角三角形時，誤認(rèn)為a,b一定是直角邊，c一定是斜邊。

2、在直角三角形中，不能確定第三邊是直角邊還是斜邊時，需要分類討論。

3、忽略用HL定理證明三角形全等的前提條件。

學(xué)霸經(jīng)驗

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號：年級：八年級（下）課時數(shù)：3

學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課主題第03講-垂直平分線與角平分線

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

⑥能夠證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理以及三角形三邊的垂直平分線的

教學(xué)目標(biāo)性質(zhì)定理；

⑦掌握角平分線的性質(zhì)定理、判定定理以及相關(guān)結(jié)論；

授課日期及時段

T(Textbook-Based)——同步課堂

三、知識梳理

1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理

定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）

定理：到一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

3、三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)

性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個定點的距離相等。

4、尺規(guī)作圖

5、角平分線的性質(zhì)定理

定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

6、角平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）

定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

7、三角形三內(nèi)角的角平分線性質(zhì)

性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等。

1典例分析］.

考點一：線段垂直平分線的性質(zhì)

例1、下列命題中正確的命題有（）

①線段垂直平分線上任一點到線段兩端距離相等；

②線段上任一點到垂直平分線兩端距離相等；

③經(jīng)過線段中點的直線只有一條；

④點P在線段AB外且PA=PB,過P作直線MN,則MN是線段AB的垂直平分線;

⑤過線段上任一點可以作這條線段的中垂線.

A.1個B.2個C.3個D.4個

例2、如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,BCJ_CD于點C,點M在AB上，MN垂直平分AC,垂足為點

BC4,…，

N,若AB=8,-=則BM的長為（）

MC5

A.3B.5

C.4D.6

例3、如圖，在aABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E,D兩點，EC=4,z^ABC的周長為23,

則aABD的周長為（）

A.13B.15C.17D.19

例4、如圖，在已知的aABC中，按以下步驟作圖：

①分別以B,C為圓心，以大于*BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；

②作直線MN交AB于點D,連接CD.

若CD=AC,ZA=50°,則/ACB的度數(shù)為（）

A.90°B.95°C.100°D.105°

例5、如圖，在AABC中，BC邊上的垂直平分線DE交邊BC于點D,交邊AB于點E.若^EDC的周長

為24,ZiABC與四邊形AEDC的周長之差為12,則線段DE的長為.

BD

例6、兩組鄰邊分別相等的四邊形我們稱它為箏形.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC與

BD相交于點O,下列判斷正確的有.(填序號).

①AC_LBD；②AC、BD互相平分；③AC平分/BCD；④NABC=/ADC=90°；

例7、在AABC中，AB邊的垂直平分線h交BC于D,AC邊的垂直平分線12交BC于E,h與匕相交于

點O.4ADE的周長為6cm.

(1)求BC的長；

(2)分別連結(jié)OA、OB、OC,若aOBC的周長為16cm,求OA的長.

1C

考點二：角平分線的性質(zhì)

例1、如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC,AB于點M,N,

再分別以點M,N為圓心，大于工MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP

2c

交邊BC于點D,若CD=4,AB=15,則4ABD的面積是()\山

A.15B.30

C.45D.60

例2、如圖，AABC中，NABC、NEAC的角平分線PA、PB交于點P,下列結(jié)論:

①PC平分NACF；

(2)ZABC+ZAPC=180°；

③若點M、N分別為點P在BE、BF上的正投影，則AM+CN=AC；

④NBAC=2NBPC.

其中正確的是()

A.只有①②③B.只有①③④

C.只有②③④D.只有①③

例3、如圖所示,已知aABC的周長是20,OB、0C分別平分NABC和NACB,0D_LBC于D,且OD=3,則Z\ABC

的面積是

例4、如圖，AABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60.其三條角平分線交于點O,則S^ABO：S

ABCO：SACAO=

例5、如圖，已知：E是NAOB的平分線上一點，EC±OB,ED1OA,C、D是垂足，連接CD,且交OE

于點F.

(1)求證：OE是CD的垂直平分線.

(2)若NAOB=60。，請你探究OE,EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

P(Practice-Oriented)--------頭戰(zhàn);奧練

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、4ABC中，AB=AC,BC=10,AB的垂直平分線與AC的垂直平分線分別交BC于點D、E且DE=4,則

AD+AE的值為（）

A.6B.10C.6或14D.6或10

2、如圖，OP為NAOB的角平分線，PC1OA,PD1OB,垂足分別是C、D,則下列結(jié)論錯誤的是（）

則/BAD的度數(shù)為（)

A.65°B.60°

C.55°D.45°

6、如圖，在aABC中，AB=BC,ZABC=110%AB的垂直平分線DE交AC于點D,連接BD,則/ABD=

度.

7、如圖,Z\ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線BP交于點P,若/BPC=40。,則/CAP=_.

8、己知：如圖，AD是aABC的角平分線，且AB：AC=3：2,則4ABD與4ACD的面積之比為

9、如圖，在AABC中，AB<AC,BC邊上的垂直平分線DE交BC于點D,交AC于點E,BD=4,AABE

的周長為14,則aABC的周長為.

10、探究：如圖①，在aABC中，DE是邊BC的垂直平分線，交BC于點D,交AB于點E,連結(jié)CE,

求證：CE+AE=AB.

應(yīng)用：如圖②，在RtaABC中，ZB=90°,DE垂直平分斜邊AC交AB于點D,交AC于點E,連結(jié)CD,

若AB=8,BC=4,則CD的長為

A課后反擊

1、三角形紙片上有一點P,量得PA=3cm,PB=3cm,則點P一定（）

A.是邊AB的中點B.在邊AB的中線上

C.在邊AB的高上D.在邊AB的垂直平分線上

2、觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說法錯誤的是（）

A.OE是NAOB的平分線B.OC=OD

C.點C、D到OE的距離不相等D.ZAOE=ZBOE

3、如圖，OP是ZAOB的平分線,點C,D分別在角的兩邊OA,OB上,添加下列條件，不能判定△POC

^△POD的選項是（)

A.PC1OA,PD±OBB.OC=OD

C.ZOPC=ZOPDD.PC=PD

4、如圖所示，線段AC的垂直平分線交線段AB于點D,ZA=50°,則NBDC=（

A.50°B.100°

C.120°D.130°

5、如圖，在aABC中，DE是AC的垂直平分線，^ABC的周長為19cm,ZiABD的周長為13cm,則AE

的長為（）

A.3cmB.6cm

C.12cmD.16cm

6、如圖,Z\ABC的邊BC的垂直平分線MN交AC于D,若AADB的周長是10cm,AB=4cm,則AC=cm.

7、如圖，已知AB=AC,DE垂直平分AB,若NA=40。，則/EBC='

8、如圖，AABC中，ZA=80°,ZB=40°,BC的垂直平分線交AB于點D,連結(jié)DC,如果AD=3,BD=8,

那么AADC的周長為.

9、如圖，z\ABC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于點D.已知BD：CD=3：2,點D到AB的距離是

6,則BC的長是.

10、如圖，AABC中，AD_LBC,EF垂直平分AC,交AC于點E交BC于點E,且BD=DE.

(1)若/BAE=40。，求/C的度數(shù)；

(2)若aABC周長13cm,AC=6cm,求DC長.

直擊中考

1、【2016?河南】如圖，ZiABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=4cm,4ABD的周長為14cm,貝iJaABC

的周長為.

2、【2015?濟(jì)南】如圖，四邊形ABDC中，/D=/ABD=90。，點。為BD的中點，且OA平分/BAC.

(I)求證：OC平分NACD；

(2)求證：OA±OC；

(3)求證：AB+CD=AC.A——B

/U。

CD

S(Summary-Embedded)--------932內(nèi)/忌名吉

重點回顧，

1、線段垂直平分線的性質(zhì)定理

定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）

定理：到一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

3、三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)

性質(zhì)：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個定點的距離相等。

4、角平分線的性質(zhì)定理

定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理（判定定理）

定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

6、三角形三內(nèi)角的角平分線性質(zhì)

性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等。

名師點撥

1、不注意運用分類討論思想，漏掉某些符合條件的情況或者結(jié)論。

2、受全等思維定式的影響，不習(xí)慣用角平分線的性質(zhì)定理證明。

學(xué)霸經(jīng)驗

＞本節(jié)課我學(xué)到

＞我需要努力的地方是

學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

學(xué)員編號:年級：八年級（下）課時數(shù)：3

學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師:

授課主題第04講-不等式的基本性質(zhì)與解集

授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)

⑧了解不等關(guān)系；

教學(xué)目標(biāo)⑨掌握不等式的基本性質(zhì)；

⑩掌握不等式解與解集的概念與表示方法。

授課II期及時段

T(Textbook-Based)——同步課堂

體系搭建

表示不等的數(shù)量關(guān)系

比較大小

不等關(guān)系<3-

列出不等式

基本性質(zhì)1

不等式基本性質(zhì)2

不等式的基本性質(zhì)?

基本性質(zhì)3

用數(shù)軸表示不等式的解集

不等式的解集解不等式

四、知識梳理

1、不等式的定義：一般的，用符號"<"（或"<（或"2"）連接的式子叫做不等式。

2、常用的不等號：

種類符號實際意義讀法

小于號<小于、不足小于

-1-*_占;111

大于號>AJ、向出大于

小于或等于

不大于、不超過、至多小于或等于（不大于）

號

大于或等于

不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）

號

不等號不相等不等于

3、列不等式：

不等式表示代數(shù)式之間的關(guān)系，與方程表示的相等關(guān)系相對應(yīng)，列不等式表示不等關(guān)系的方法步驟:

（1）分析題意，找出題中的各種量；

（2）尋找各種量之間的相等或者不等關(guān)系；

（3）用代數(shù)式表示各種量；

（4）用適當(dāng)?shù)牟坏忍枌⒈硎静坏汝P(guān)系的量連接起來。

4、不等式的基本性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個整式，不等號的方向不變