高二上學期數(shù)學期末測試卷01-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一、二冊）含解析

高二上學期數(shù)學期末測試卷01高二上學期數(shù)學期末測試卷01-【好題匯編】備戰(zhàn)2023-2024學年高二數(shù)學上學期期末真題分類匯編（人教A版2019選擇性必修第一、二冊）含解析（范圍：選擇性必修第一、二冊）一、單選題1．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谀┮阎本€：的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在軸上的截距為3，則直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．2．（2023上·新疆烏魯木齊·高二?？计谀┮阎瑒t向量與的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項之積等于（

）A．50 B． C． D．4．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎p曲線的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且，的周長為20，則該雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．7．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀┰O橢圓的左、右焦點為、，過作x軸的垂線與C交于A、B兩點，與y軸交于點D，若，則橢圓C的離心率等于（

）A． B． C． D．8．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）如果質(zhì)點A運動的位移S（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的函數(shù)關系為那么該質(zhì)點在秒時的瞬時速度為：（

）（單位：米/秒）A． B． C． D．二、多選題9．（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于M，N兩點，則下列結論正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標是B．焦點到準線的距離是4C．若點P的坐標為，則的最小值為5D．若Q為線段MN中點，則Q的坐標可以是10．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知直線和圓，則（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．存在使得直線與直線垂直 D．若，直線被圓截得的弦長為11．（2023上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，分別為的中點，則以下結論正確的是（

）

A．B．平面平面C．平面D．異面直線與所成角的余弦值是12．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學校考期末）已知函數(shù)的圖象在處切線的斜率為9，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞減C．D．的圖象關于原點中心對稱三、填空題13．（2023上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）圓在點處的切線方程為.14．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．15．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中校考期末）設橢圓的上頂點為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點，則直線過定點．16．（2023上·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）設雙曲線的左右焦點分別是，，點在雙曲線上，則；若為直角，則點的縱坐標的是.四、解答題17．（2023上·吉林長春·高二長春市解放大路學校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.18．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學校考期末）已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．19．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐中，是正方形，平面，點分別是棱、對角線上的動點（不是端點），滿足．

(1)證明：∥平面；(2)求距離的最小值，并求此時二面角的正弦值．20．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎p曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標原點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.22．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)若在處有極大值，求的值；(2)若，求在區(qū)間上的最小值.高二上學期數(shù)學期末測試卷01（范圍：選擇性必修第一、二冊）一、單選題1．（2023上·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谀┮阎本€：的傾斜角為，直線的傾斜角為，且直線在軸上的截距為3，則直線的一般式方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正切二倍角公式，斜截式方程求解即可.【詳解】解：∵直線：的傾斜角為，斜率為，∴，∵直線的傾斜角為，∴斜率為，∴的方程為，即.故選：B．2．（2023上·新疆烏魯木齊·高二?？计谀┮阎瑒t向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的夾角公式求解.【詳解】由已知得，所以,因為空間向量的夾角范圍是，所以向量與的夾角為，故選：D.3．（2023上·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學?？计谀┰诘缺葦?shù)列中，若，則此數(shù)列的前10項之積等于（

）A．50 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到，從而求出.【詳解】∵為等比數(shù)列，∴，，，.故選：C4．（2023上·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（

）A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【分析】分別將兩圓化成標準方程，求出圓心距并和兩半徑差與和相比較即可求解.【詳解】因為圓可化為：，圓心坐標為，半徑；圓可化為：，圓心坐標為，半徑；圓心距，因為，所以圓與圓內(nèi)切，故選：.5．（2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件建立空間直角坐標系，求異面直線和的方向向量，利用向量夾角公式求其夾角可得結論.【詳解】因為平面，為正三角形，故以為原點，以為軸的正方向，建立空間直角坐標系，設，則，由，，可得，所以，所以，所以異面直線和所成角的余弦值等于.故選：A.6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎p曲線的漸近線方程為，左、右焦點分別為，，過的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且，的周長為20，則該雙曲線的標準方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)漸近線方程可得，再根據(jù)雙曲線的定義及的周長可求得，即可得出答案.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以，因為過的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，所以，即，則的周長為，所以，則，所以雙曲線的標準方程為.故選：C.7．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·高二?？计谀┰O橢圓的左、右焦點為、，過作x軸的垂線與C交于A、B兩點，與y軸交于點D，若，則橢圓C的離心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖中的幾何特點和橢圓定義即可求解.【詳解】根據(jù)題意，平行于軸，又（坐標原點）是的中點，所以是三角形的中位線，所以是的中點，所以，所以，又，所以為等邊三角形，所以，所以,當時，所以

，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.8．（2023上·福建南平·高二統(tǒng)考期末）如果質(zhì)點A運動的位移S（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的函數(shù)關系為那么該質(zhì)點在秒時的瞬時速度為：（

）（單位：米/秒）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義求解即可.【詳解】，所以.故選：D.二、多選題9．（2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于M，N兩點，則下列結論正確的是（

）A．拋物線的焦點坐標是B．焦點到準線的距離是4C．若點P的坐標為，則的最小值為5D．若Q為線段MN中點，則Q的坐標可以是【答案】BD【分析】根據(jù)拋物線方程即可判斷AB；過點作垂直于準線，垂足為，根據(jù)拋物線得定義結合圖象即可判斷C；假設Q的坐標是，利用點差法求出直線的方程，再判斷焦點是否在直線上，即可判斷D.【詳解】由題意，焦點到準線的距離是，故A錯誤，B正確；對于C，過點作垂直于準線，垂足為，則，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，假設Q的坐標是，設，則，由直線l交拋物線于M，N兩點，得，兩式相減得，即，所以，即，所以直線的方程為，即，將代入得，所以直線過點，符合題意，所以Q的坐標可以是，故D正確.故選：BD.

10．（2023上·浙江紹興·高二統(tǒng)考期末）已知直線和圓，則（

）A．直線恒過定點 B．直線與圓相交C．存在使得直線與直線垂直 D．若，直線被圓截得的弦長為【答案】ABD【分析】對于A，利用直線系方程求得直線過定點即可判斷；對于B，由直線所過的頂點在圓內(nèi)部即可判斷；對于C，由兩條直線的位置關系中垂直關系即可判斷；對于D，由垂徑定理求弦長可以判斷.【詳解】對于A，直線，即，則直線恒過定點，故選項A正確；對于B，直線恒過的定點在圓的內(nèi)部，直線與圓相交，故選項B正確；對于C，若直線與直線垂直，則，顯然不成立，故選項C錯誤；對于D，當，直線化成，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，故選項D正確；故選：ABD.11．（2023上·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）如圖，在正方體中，分別為的中點，則以下結論正確的是（

）

A．B．平面平面C．平面D．異面直線與所成角的余弦值是【答案】BCD【分析】由題意可得出，可判斷A；因為四點共面，所以平面平面可判斷B；由線面平行的判定定理可判斷C；由異面直線所成角可判斷D.【詳解】對于A，連接，易證，因為平面，而平面，所以，所以在中，與不垂直，所以不垂直，故A不正確；

對于B，連接，因為分別為的中點，所以，所以四點共面，所以平面平面，故B正確；

對于C，連接，易證，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以平面，平面，所以平面，故C正確；

對于D，連接，易知，異面直線與所成角即直線與所成角，即，設正方體的邊長為，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值是，故D正確.故選：BCD.

12．（2023上·江蘇南京·高二南京大學附屬中學?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象在處切線的斜率為9，則下列說法正確的是（

）A．B．在上單調(diào)遞減C．D．的圖象關于原點中心對稱【答案】ABC【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得的值，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，即可判斷B；由導數(shù)的定義可判斷C；由函數(shù)的對稱性即可判斷D.【詳解】，則，因為函數(shù)的圖象在處切線的斜率為9，所以，解得，故A正確；，則，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，故B正確；由于，故C正確；函數(shù)，則，所以，則的圖象關于點中心對稱，故D不正確.故選：ABC.三、填空題13．（2023上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）圓在點處的切線方程為.【答案】【分析】因為點在圓上，所以過點的切線和圓心)垂直，求出斜率，用點斜式求出方程.【詳解】設圓的圓心，點將代入圓的方程成立，所以在圓上，與切線垂直，所以切線斜率，切線方程為，即.故答案為：14．（2023上·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項和前項和的函數(shù)性可證得數(shù)列為等差數(shù)列，結合已知等式可求得，由可構造不等式組求得結果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，解得：；，，解得：，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】結論點睛：若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，為數(shù)列的前項和，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.15．（2023上·山東棗莊·高二棗莊八中?？计谀┰O橢圓的上頂點為，且長軸長為，過任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于，兩點，則直線過定點．【答案】【分析】根據(jù)題意求出橢圓C的方程，設直線AB的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理與，求得的值，進而可得答案．【詳解】根據(jù)題意橢圓的焦點在軸上，設橢圓的方程為∵上頂點為，∴，又長軸長為，∴，則橢圓C的方程為，

易知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為，由可得，∴，又，∴，解得或．當時，直線AB經(jīng)過點D，不滿足題意，則直線AB的方程為，故直線AB過定點．故答案為：．16．（2023上·北京懷柔·高二統(tǒng)考期末）設雙曲線的左右焦點分別是，，點在雙曲線上，則；若為直角，則點的縱坐標的是.【答案】【分析】根據(jù)雙曲線的方程及定義可求出，設，再利用向量數(shù)量積為零求解即可.【詳解】由可知，故，，，設，則，因為為直角，所以,因為，所以，解得或故答案為：；.四、解答題17．（2023上·吉林長春·高二長春市解放大路學校?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，且數(shù)列的前n項和.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題目條件得到為公差為2的等差數(shù)列，首項為1，求出通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）因為，所以，故為公差為2的等差數(shù)列，中，令得，解得，則；（2），故①，則②，兩式①-②得，故.18．（2023上·甘肅蘭州·高二蘭州西北中學校考期末）已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線的距離，根據(jù)弦長的幾何求法即可求得答案.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過圓與圓交點的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長為.19．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）如圖，已知四棱錐中，是正方形，平面，點分別是棱、對角線上的動點（不是端點），滿足．

(1)證明：∥平面；(2)求距離的最小值，并求此時二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)最小值為2；正弦值為【分析】（1）作交于，作交于，根據(jù)題意結合平行線的性質(zhì)可證，進而可得結果；（2）建系，利用空間向量可知當是中點時，取到最小值，進而利用空間向量求二面角.【詳解】（1）作交于，則，可得，作交于，連接，則，可得，在直角三角形和中，因為，所以．則，且，可得，因為，則，所以四邊形是平行四邊形，可得，且平面平面，所以∥平面．

（2）因為平面是正方形．所以以為原點，

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，可得，當，即是中點時，的最小值為2，此時，可得，設平面的一個法向量，則，令，則，可得，平面的一個法向量，所以，設二面角的平面角為，可知為銳角，，所以，即二面角的正弦值為．20．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中校考期末）已知雙曲線的離心率，，分別為其兩條漸近線上的點，若滿足的點在雙曲線上，且的面積為8，其中為坐標原點．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線的右焦點的動直線與雙曲線相交于，兩點，在軸上是否存在定點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率得關系，從而可得關系，即可得雙曲線漸近線方程，不妨設，，確定點為的中點代入雙曲線方程可得與的關系，再由的面積即可求得的值，從而可得雙曲線的方程；（2）當直線的斜率存在時，設直線方程與交點坐標，代入雙曲線方程后可得交點坐標關系，設，滿足為常數(shù)即可求得的值，并且檢驗直線的斜率不存在時是否滿足該定值即可.【詳解】（1）由離心率，得，所以，則雙曲線的漸近線方程為，因為，分別為其兩條漸近線上的點，所以，不妨設，，由于，則點為的中點，所以，又點在雙曲線上，所以，整理得：因為的面積為8，所以，則，故雙曲線的方程為；（2）由（1）可得，所以為當直線的斜率存在時，設方程為：，，則，所以，則恒成立，所以，假設在軸上是否存在定點，設，則要使得為常數(shù)，則，解得,定點，；又當直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入雙曲線可得，不妨取，若，則，符合上述結論；綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù)，且.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是利用交點