專題06 二次函數(shù)的壓軸題型專訓(xùn)（解析版）

專題06二次函數(shù)的壓軸題型專訓(xùn)【精選最新30道二次函數(shù)的壓軸題型專訓(xùn)】1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且），滿足以下條件：①；②是方程的一個根；③當(dāng)時，．則該二次函數(shù)的圖象可以是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】采用排除法及特殊值法，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可完成．【詳解】解：∵，∴a、c異號，而選項D中，故選項D排除；∵是方程的一個根，∴，即當(dāng)時，二次函數(shù)的函數(shù)值為3，由前三個選項知，選項C排除；∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，即，而選項A中，選項A排除，則正確的是選項B；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知函數(shù)，且時，取到最大值，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)拋物線的解析式求得拋物線開口向下，對稱軸為直線根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即，即可選出最后答案．【詳解】解：函數(shù)中，拋物線開口方向向下，對稱軸直線為，當(dāng)時，隨增大而增大，當(dāng)時，隨增大而減小，當(dāng)時，，取到最大值，，即，故選：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，找到對稱軸確定二次函數(shù)的最值是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于，B兩點，對稱軸是直線，下列說法正確的是（

）

A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大C．點B的坐標(biāo)為（4，0） D．【答案】D【分析】根據(jù)該拋物線的開口方向，對稱軸，即可判斷A、B；根據(jù)點A的坐標(biāo)和對稱軸，可求出點B的坐標(biāo)，即可判斷C；根據(jù)點B的坐標(biāo)，即可判斷D．【詳解】解：∵該拋物線開口向下，該拋物線對稱軸是直線，∴時，y的值隨x值的增大而減少，∴y不一定大于0，故選項A、B不正確，不符合題意；∵，該拋物線對稱軸是直線，∴，故選項C不正確，不符合題意；∵該拋物線對稱軸是直線，∴當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小，∵，該拋物線開口向下，∴當(dāng)時，，∴，故D正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的增減性，對稱性，根據(jù)圖象確定各項系數(shù)的符號以及式子的正負(fù)．4．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，直線（a是常數(shù)，）與雙曲線交于點A，與直線交于點B，當(dāng)面積最小時，a的值是（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得、，得到，利用三角形面積公式列式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，有最小值，最小值為1，故選：B．【點睛】本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，利用函數(shù)的解析式表示點的坐標(biāo)，并表示線段的長，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知拋物線與軸的公共點是，，將該拋物線向右平移個單位長度與軸的交點坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點平移的規(guī)律得到點，向右平移個單位長度后對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，利用交點式，設(shè)平移后的拋物線解析式為，接著把把代入求得，于是原拋物線的解析式可設(shè)為，然后化為一般式得到、、的值，從而可計算出的值．【詳解】解：點，向右平移個單位長度后對應(yīng)點的坐標(biāo)為，，設(shè)平移后的拋物線解析式為，把代入得，解得，原拋物線的解析式為，即，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)(是常數(shù)，)與軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換．6．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③函數(shù)的最大值為；④若關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則．正確的個數(shù)為(

)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由圖象可知，圖像開口向下，，對稱軸為，故，故，且，則圖象與軸的交點為正半軸，則，由此可知，故①錯誤，由圖象可知當(dāng)時，函數(shù)取最大值，將，代入，中得：，計算出函數(shù)圖象與軸的另一交點為設(shè)函數(shù)解析式為：，將交點坐標(biāo)代入得化簡得：，將，代入可得：，故函數(shù)的最大值為，變形為：有兩個相等的實數(shù)根，，則，將，，代入得：，因為，則，則，結(jié)合以上結(jié)論可判斷正確的項．【詳解】解：由圖象可知，圖像開口向下，，對稱軸為，故，故，且，則故②正確，圖象與軸的交點為正半軸，，則，故①正確，由圖象可知當(dāng)時，函數(shù)取最大值，將，代入，中得：，由圖象可知函數(shù)與軸交點為，對稱軸為將，故函數(shù)圖象與軸的另一交點為，設(shè)函數(shù)解析式為：，將交點坐標(biāo)代入得：，故化簡得：，將，代入可得：，故函數(shù)的最大值為，故③正確，變形為：有兩個相等的實數(shù)根，則，將，，代入得：，因為，則，則，，故④不正確則①②③正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的一般式，二次函數(shù)的交點式，二次函數(shù)的最值，對稱軸，以及交點坐標(biāo)掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）關(guān)于某個函數(shù)表達(dá)式，甲、乙、丙三位同學(xué)都正確地說出了該函數(shù)的一個特征．甲：函數(shù)圖像經(jīng)過點；乙：函數(shù)圖像經(jīng)過第四象限；丙：當(dāng)時，y隨x的增大而增大．則這個函數(shù)表達(dá)式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A.對于，當(dāng)時，，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時，y隨x的增大而減小．故選項A不符合題意；B.對于，當(dāng)時，，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過在一、二、三象限；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．故選項B不符合題意；C.對于，當(dāng)時，，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過在一、二象限；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．故選項C不符合題意；D.對于，當(dāng)時，，故函數(shù)圖像經(jīng)過點；函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．故選項D符合題意；故選：D【點睛】本題考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，拋物線與直線交于A、B兩點，與直線交于點P，將拋物線沿著射線平移個單位，在整個平移過程中，點P經(jīng)過的路程為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個單位時，相當(dāng)于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設(shè)拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，則平移后的解析式為，再根據(jù)點P在直線，直接把代入得到點P的縱坐標(biāo)與a的二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由題意得，當(dāng)拋物線沿著射線平移個單位時，相當(dāng)于將點A先向右平移3個單位，再向上平移3個單位，設(shè)拋物線向右平移個單位，向上平移個單位，∵原拋物線解析式為，∴平移后的解析式為令時，則，∴當(dāng)時，，∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，在平移過程中點P的運(yùn)動路程為，當(dāng)時，在平移過程中點P的運(yùn)動路程為，∴整個平移過程中，點P的運(yùn)動路程為，故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平移的性質(zhì)解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．9．（2022秋·九年級單元測試）若關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，且關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）．A．1 B． C．8 D．4【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，得到；整理分式方程，得到y(tǒng)=，根據(jù)分式方程有整數(shù)解，且y=1時，對應(yīng)a值不能取，確定符合題意的a值，最后求和即可．【詳解】∵關(guān)于x的二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x的增大而減小，∴即a≤2；∵，∴(a-1)y=-4，當(dāng)y=1時，a=-3，此值要舍去；∴y=，∵關(guān)于y的分式方程有整數(shù)解，∴1-a=±1；1-a=±2；1-a=±4；∴a=0或a=2；a=-1或a=3；a=-3或a=5；∵a≤2，且a≠-3，∴a=0或a=2或a=-1；∴符合條件的所有整數(shù)a的和-1+0+2=1，故選A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，分式方程的整數(shù)解，正確判定拋物線對稱軸的屬性，正確求得整數(shù)解的a值是解題的關(guān)鍵．10．（2022·九年級單元測試）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x＝﹣1，有以下結(jié)論：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4ac﹣b2＜8a；④3a+c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b），其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與軸的交點即可得結(jié)論；②根據(jù)拋物線的對稱軸即可得結(jié)論；③根據(jù)拋物線與軸的交點個數(shù)即可得結(jié)論；④根據(jù)拋物線的對稱軸和等于1時小于0即可得結(jié)論；⑤根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)及其它任何坐標(biāo)的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較即可得結(jié)論．【詳解】解：①根據(jù)拋物線可知：，，，，所以①錯誤；②因為對稱軸，即，，．所以②正確；③因為拋物線與軸有兩個交點，所以，所以．所以③正確；④當(dāng)時，，即，所以，所以．所以④正確；⑤當(dāng)時，有最大值，所以當(dāng)時，的值最大，當(dāng)時，，所以，即．所以⑤錯誤．所以有②③④正確．故選C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是掌握拋物線的相關(guān)性質(zhì)．11．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點在拋物線上，若，則；若，則m的取值范圍是．【答案】或【分析】若，先求二次函數(shù)的對稱軸，再利用二次函數(shù)的對稱性對稱兩點的橫坐標(biāo)之和的一半等于對稱軸橫坐標(biāo)即可解答；若，分兩種情況：當(dāng)對稱軸在y軸右側(cè)時，當(dāng)對稱軸在y軸左側(cè)時，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特性分別進(jìn)行解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸是直線，①∵，∴點P、Q關(guān)于對稱軸對稱，∴，解得；②∵拋物線與y軸的交點為，當(dāng)時，或，∴與關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)對稱軸在y軸右側(cè)時，，∵，∴，且，解得；當(dāng)對稱軸在y軸左側(cè)時，，此時，P、Q兩點都在對稱軸的右側(cè)，y的值隨x值增大而增大，∵，∴，解得；∴綜上，m的取值范圍是或．故答案為：；或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，并能夠熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）二次函數(shù)，若函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，且，則與所滿足的關(guān)系式為．【答案】【分析】先根據(jù)頂點坐標(biāo)公式得到兩個函數(shù)的頂點坐標(biāo)，再分別代入對應(yīng)的解析式表示出來，最后通過化簡，根據(jù)，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：，函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，函數(shù)的圖象的頂點在函數(shù)的圖象上，，，整理得：，，，，得：，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)公式，是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)?？计谀┮阎cA是直線上一動點，以點A為頂點的拋物線交y軸于點B，作點B關(guān)于x軸的對稱點C，連接AB、AC．若△ABC是直角三角形，則點A的坐標(biāo)為．【答案】或或【分析】分兩種情況：∠BAC=90°，則由題意得OA=OB，從而得到關(guān)于m的方程，解方程即可；∠ACB=90°，則點A、C的縱坐標(biāo)相同，可得關(guān)于m的方程，解方程即可．【詳解】由題意得：A(m，h)，且，上式中令x=0，得，∴．∵點A在直線上，∴，即，，∵點B、點C關(guān)于x軸的對稱，則．①當(dāng)∠BAC=90°，則OA是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，∴OA=OB，∵，，則，由于m≠0，解得：或，所以點A的坐標(biāo)為或；②當(dāng)∠ACB=90°時，如圖，則AC⊥BC，此時點A、C的縱坐標(biāo)相同，即，∴，m=0（舍去），所以點A的坐標(biāo)為；綜上所述，點A的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象，直角三角形的性質(zhì)等知識，注意分類討論，避免遺漏．14．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知實系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c＝0有兩個實根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，設(shè)，則d的取值范圍為．【答案】/【分析】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出d2的表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求其取值范圍即可．【詳解】解：∵實系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c＝0有兩個實根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1·x2＝，∴d2＝|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1·x2＝（﹣）2﹣＝﹣==＝4[（）2++1]＝4[（+）2+]，∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，解得：﹣2＜＜﹣，∵y＝4[（+）2+]的對稱軸為：＝﹣，∴當(dāng)﹣2＜＜﹣時，y隨增大而減小，∴3＜d2＜12，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值問題等知識點．掌握是解題關(guān)鍵．15．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若拋物線的頂點為，拋物線的頂點為B，且滿足頂點A在拋物線上，頂點B在拋物線上，則稱拋物線與拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，已知頂點為M的拋物線與頂點為N的拋物線互為“關(guān)聯(lián)拋物線”，直線MN與軸正半軸交于點D，如果，那么頂點為N的拋物線的表達(dá)式為【答案】【分析】設(shè)頂點為N的拋物線頂點坐標(biāo)N為（a，b），由題意可知，即可求得D點坐標(biāo)為（6，0），則有直線MD解析式為，因為N點過直線MD，N點也過拋物線，故有，解得，故N點坐標(biāo)為（，），可設(shè)頂點為N的拋物線的表達(dá)式為，又因為M點過，即可解得a=-1，故頂點為N的拋物線的表達(dá)式為．【詳解】設(shè)頂點為N的拋物線頂點坐標(biāo)N為（a，b）已知拋物線的頂點坐標(biāo)M為（2，3）∵∴即解得∵直線MN與軸正半軸交于點D∴D點坐標(biāo)為（6，0）則直線MD解析式為N點在直線MD上，N點也在拋物線故有化簡得聯(lián)立得化簡得解得a=或a=2（舍）將a=代入有解得故N點坐標(biāo)為（，）則頂點為N的拋物線的表達(dá)式為將（2，3）代入有化簡得解得a=-1故頂點為N的拋物線的表達(dá)式為故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．理解題意所述“關(guān)聯(lián)拋物線”的特點，即若拋物線的頂點為，拋物線的頂點為B，且滿足頂點A在拋物線上，頂點B在拋物線上是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·上海青浦·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸，y軸分別相交于點A，點B，將它繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，與x軸相交于點C，我們將圖像過點A，B，C的二次函數(shù)叫做與這個一次函數(shù)關(guān)聯(lián)的二次函數(shù)．如果一次函數(shù)的關(guān)聯(lián)二次函數(shù)是（），那么這個一次函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】由題意可知二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的三個交點坐標(biāo)為（0，k），（1，0），（-k，0），將其代入拋物線（）即可得m、k的二元一次方程組，即可解出，故這個一次函數(shù)的解析式為．【詳解】一次函數(shù)與y軸的交點為（0，k），與x軸的交點為（1，0）繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，與x軸的交點為（-k，0）即（0，k），（1，0），（-k，0）過拋物線（）即得將代入有整理得解得k=3或k=-1（舍）將k=3代入得故方程組的解為則一次函數(shù)的解析式為故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解二元一次方程組，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖象得出拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·九年級單元測試）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為邊AD上一動點，連接CE，以CE為邊向右側(cè)作正方形CEFG，連接DF，DG，則面積的最小值為．【答案】/1.5【分析】設(shè)，則，過點D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，證明四邊形EQPF是矩形，得到EC=EF=PQ，即可推出，從而得到，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDE=90°，設(shè)，則，過點D作PQ∥EF交CE于Q，GF于P，∵四邊形CEFG是正方形，∴∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG，∴∠EQP=90°，∴四邊形EQPF是矩形，∴EC=EF=PQ，∴，，當(dāng)時，面積的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．18．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，正方形的邊長為1，點E為邊上的一動點（不與B，C重合），過點E作，交于F．則線段長度的最大值為．【答案】【分析】由三角形相似，得出比例關(guān)系，構(gòu)建二次函數(shù)，把函數(shù)式變換成頂點式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出答案．【詳解】由題意知，是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．設(shè)，正方形的邊長為1，則，∴，∴．∴，∴可知拋物線的頂點為開口向下，∴時，函數(shù)有最大值，最大值為：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合了三角形相似的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過相似三角形的性質(zhì)列出二次函數(shù)解析式．19．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)這一條件分兩種情況討論：一次函數(shù)和二次函數(shù)，又因為與縱軸必有一個交點，再根據(jù)與坐標(biāo)軸有兩個交點分情況討論，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①當(dāng)a=2時，原函數(shù)解析式為y=-3x+8此時b=8≠0故一次函數(shù)圖象不過原點，則該函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點②當(dāng)a≠2時，原函數(shù)為二次函數(shù)故該函數(shù)一定與y軸有一個交點，且僅有一個交點，其坐標(biāo)為(0，4a)當(dāng)該交點是原點時，a=0，此時函數(shù)解析式為方程的判別式△=25＞0故此時函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，其中一個點是原點，即與坐標(biāo)軸有兩個交點當(dāng)該交點不是原點時，a≠0因為該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點所以該函數(shù)與x軸有且僅有一個交點則方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=整理，得8a-25=0解，得a=綜上可知a=2，0，．故答案為：2,0，．【點睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想解決本題，需要注意兩個詞：①函數(shù)，②與坐標(biāo)軸的交點．20．（2021·九年級專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+x+2上有一動點P，直線y=﹣x﹣2上有一動線段AB，當(dāng)P點坐標(biāo)為時，△PAB的面積最?。敬鸢浮浚?1，2）【分析】因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，平移直線與拋物線的切點即為P點，然后求得平移后的直線，聯(lián)立方程，解方程即可．【詳解】因為線段AB是定值，故拋物線上的點到直線的距離最短，則面積最小，若直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點，設(shè)平移后的直線為y=-x-2+b，∵直線y=-x-2+b與拋物線y=x2+x+2相切，∴x2+x+2=-x-2+b，即x2+2x+4-b=0，則△=4-4（4-b）=0，∴b=3，∴平移后的直線為y=-x+1，解得x=-1，y=2，∴P點坐標(biāo)為（-1，2），故答案為（-1，2）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積以及解方程等，理解直線向上平移與拋物線相切，切點即為P點是解題的關(guān)鍵．21．（2023·河北石家莊·?？级＃┤鐖D1，某橋拱截面可視為拋物線的一部分，以為坐標(biāo)原點、所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．在某一時刻，橋拱內(nèi)的水面寬米，橋拱頂點到水面的距離是4米．

(1)①直接寫出、兩點的坐標(biāo)：（），（）；②求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)要保證高米的小船能夠通過此橋（船頂與橋拱的距離不小于米），求小船的最大寬度是多少？(3)如圖2，橋拱所在的拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖像，將新函數(shù)圖像向右平移個單位長度，平移后的函數(shù)圖像在時，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)①，②(2)米(3)【詳解】（1）①∵，且點A在x軸上，∴，根據(jù)拋物線的特點確定拋物線的對稱軸為直線，∴點，故答案為：，．②設(shè)拋物線的解析式為，把原點代入得，解得，∴此二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式，令得：，解得：，，∴小船的最大寬度為：米．（3）根據(jù)平移規(guī)律得到點O平移后的對應(yīng)點為，對稱軸平移后的對稱軸為，點A平移后的對應(yīng)點為，根據(jù)圖像性質(zhì)，得到函數(shù)在上，滿足y隨x的增大而減小，∴或，解得或（舍去），故n的取值范圍是．

【點睛】本題考查了拋物線的解析式，拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應(yīng)用，熟練掌握拋物線的平移，函數(shù)的增減性，拋物線的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．22．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象稱為“類拋物線T”，已知“類拋物線T”經(jīng)過原點，．(1)求m，c的值；(2)當(dāng)時，①若點B在“類拋物線T”上，判斷是否可能為以點A為直角頂點的等腰直角三角形？并說明理由；②，是“類拋物線T”上的任意兩點，其中，．試探究是否存在實數(shù)b，使得當(dāng)時，始終有x1＋x2＜0，若存在，求實數(shù)b的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)①不可能為以點A為直角頂點的等腰直角三角形，理由見解析；②存在實數(shù)，使得，，當(dāng)時，始終有【分析】（1）將和代入函數(shù)解析式求出c、m的值即可；（2）①如圖，過點A作x軸的垂線，垂足為D，過點B作直線的垂線，垂足為C，證明，得出，，求出，將代入中，求出，與矛盾，得出不可能為以點A為直角頂點的等腰直角三角形；②根據(jù)，，且當(dāng)時，始終有，得出，，設(shè)點N關(guān)于y軸的對稱點為P，根據(jù)點N在拋物線上，得出點P在拋物線上，過點P作x軸垂線，與拋物線交于點，得出時，函數(shù)在上隨x的增大而增大，根據(jù)題意得出，求出即可．【詳解】（1）解：將原點代入中，解得，將代入中，則有，解得∴，.（2）解：①不可能；理由如下：如圖，過點A作x軸的垂線，垂足為D，過點B作直線的垂線，垂足為C，如圖所示：

∵是以點A為直角頂點的等腰直角三角形，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，將代入中，得，解得．∵，矛盾，∴不可能為以點A為直角頂點的等腰直角三角形．②∵，，且當(dāng)時，始終有，∴，，設(shè)點N關(guān)于y軸的對稱點為P，∴，∵點N在拋物線上，∴點P在拋物線上，過點P作x軸垂線，與拋物線交于點．∵函數(shù)在上隨x的增大而增大，又∵，

∴當(dāng)時，函數(shù)在上隨x的增大而增大，∵，∴，又，∴，∵點在拋物線上，在拋物線上．∴當(dāng)時，拋物線在拋物線上方，即在上，，整理得，在成立，∵，∴，要使得，只需當(dāng)時，，即，解得：，綜上所述存在實數(shù)，使得，，當(dāng)時，始終有．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出相應(yīng)的輔助線，數(shù)形結(jié)合．23．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點．已知，該拋物線的對稱軸為直線．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)假設(shè)將線段平移，使得平移后線段的一個端點在這條拋物線上，另一個端點在軸上，若將點、平移后的對應(yīng)點分別記為點、，當(dāng)點在點右側(cè)時，求以、、、為頂點的四邊形周長的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）根據(jù)平移的圖像可得，當(dāng)在這條拋物線上，且滿足點在點右側(cè)時，以、、、為頂點的四邊形周長的最大，過點作于點，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，代入求得，根據(jù)勾股定理可得，，即可求得．【詳解】（1）∵拋物線的對稱軸為直線，∴將，代入拋物線得解得∴拋物線的解析式為：（2）當(dāng)在這條拋物線上時，如圖：

當(dāng)在這條拋物線上時，且滿足點在點右側(cè)，如圖：

故當(dāng)在這條拋物線上，且滿足點在點右側(cè)時，以、、、為頂點的四邊形周長的最大∵拋物線與軸交于點∴坐標(biāo)為如圖，過點作于點

∵線段平移后得到故四邊形為平行四邊形∴∴∴∴將代入解得，（舍去）所以在中，在中，以、、、為頂點的四邊形周長為【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是通過圖像分析得到當(dāng)在這條拋物線上，且滿足點在點右側(cè)時，以、、、為頂點的四邊形周長的最大．24．（2023春·北京·九年級首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有這樣一個問題：探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)．小明對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究．下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完成：(1)函數(shù)的自變量的取值范圍是_______；(2)下表是與的幾組對應(yīng)值．…0123456……00062460…①________；②若，為該函數(shù)圖象上的兩點，則________0（填“>”、“<”或“=”）；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，，為該函數(shù)圖象上的兩點，且為范圍內(nèi)的最低點，點的位置如圖所示．①標(biāo)出點的位置；②畫出函數(shù)的圖象；③利用函數(shù)圖象寫出不等式的解集________．【答案】(1)全體實數(shù)(2)①；②(3)①見解析；②見解析；③或【分析】（1）根據(jù)題意可知函數(shù)的自變量沒有任何限制，即自變量的取值范圍為全體實數(shù)；（2）①把代入函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可；②分別求出，，由此即可得到答案；（3）①觀察給定表格中的數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象上的點關(guān)于點對稱，作點A關(guān)于點的對稱點，再在函數(shù)圖象上找與點縱坐標(biāo)相等的點即可；②先描點，再連線畫出函數(shù)圖象即可；③畫出函數(shù)的函數(shù)圖象，利用圖象法求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實數(shù)，故答案為：全體實數(shù)；（2）解：①在中，當(dāng)時，，∴，故答案為：；②∵為該函數(shù)圖象上的兩點，∴，同理，∴，故答案為：；（3）解：①如圖所示，即為所求；②如圖所示，即為所求；

③由函數(shù)圖象可知，不等式的解集為或，故答案為：或．

【點睛】本題主要考查了多次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，畫函數(shù)圖象，函數(shù)的三種表示方法：列表法、圖象法、解析式法等等，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．25．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于，B兩點，交y軸于點C，軸，交拋物線于點D，．

(1)求拋物線的解析式；(2)在直線上方的拋物線上是否存在一點Q，連接，，使，若存在，求點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，或【分析】(1)根據(jù)拋物線解析式確定點，根據(jù)勾股定理，得到，確定拋物線的對稱軸，把點A代入解析式計算即可．(2)設(shè)，分類用m的代數(shù)式表示三角形的面積，建立方程計算即可．【詳解】（1）∵，令，得.∴.∴.∵，∴.∴.∴.∴拋物線對稱軸為，∴.∴.將點代入中，得.∴，∴拋物線解析式為．（2）∵，，∴.設(shè)，當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為.過點A作軸，交于點E，

則,∴,∴,∵,∴，解得（舍去）故Q的橫坐標(biāo)為；當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為.過點D作軸，交于點G，則,∴,

∴,∵,

∴，解得（舍去）故Q的橫坐標(biāo)為；∴點Q的橫坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，交點法求三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活分割表示三角形的面積是解題的關(guān)鍵．26．（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．(1)求、兩點的坐標(biāo)（用含的式子表示）；(2)將該二次函數(shù)圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其他部分保持不變，得到一個新的函數(shù)圖象．若當(dāng)時，這個新函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍；(3)已知直線：，點在二次函數(shù)的圖象上，點的橫坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象在、之間的部分記為（包括點，），圖象上恰有一個點到直線的距離為，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）當(dāng)時，，解方程即可求解；（2）畫出函數(shù)圖象，當(dāng)時，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減??；當(dāng)時，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減?。唬?）由題可知，到直線的距離為2的點在直線和上，分別求出，，畫出函數(shù)圖象，分①當(dāng)C點在B點左側(cè)，同時C點在直線上方時；②當(dāng)C點在B點右側(cè)，且在的下方時，兩種情況討論．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）當(dāng)時，即解得：∴，（2）解：當(dāng)時，，解得或，∵，∴拋物線的對稱軸為直線，如圖1，當(dāng)時，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減??；

如圖2，當(dāng)時，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減小；

綜上所述：或時，新函數(shù)G的函數(shù)值y隨x的增大而減??；（3）解：由題可知，到直線的距離為2的點在直線和上，當(dāng)時，，∴，如圖當(dāng)點在點左側(cè)，同時點在直線上方時，都符合題意，如圖所示，

當(dāng)在上時，∴解得：或∴如圖所示，當(dāng)點在上或者的下方時，且在對稱軸的右側(cè)時，解得：或（舍去）

綜上所述，或時，圖象M上恰有一個點到直線l距離為2；【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．27．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直線AB與拋物線相交于A、B兩點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若直線AB的解析式為，且的面積為35，求k的值；(3)如圖2，若，則直線AB必經(jīng)過一個定點C，求點C的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把代入函數(shù)解析式即可得到荅案；（2）先求出，可得，結(jié)合，可得方程，結(jié)合，即可求解；（3）設(shè)，，過點P作直線軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、M，由可得，聯(lián)立方程組，可得，，進(jìn)而即可求解.【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖1，已知直線AB的解析式為，令，則，∴直線AB過定點，∵，∴軸，，∴，∴，令，整理得，∴，，∴，整理得，解得或；（3）設(shè)，，如圖2，過點P作直線軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、M，設(shè)直線AB的解析式為，∵，，∴，∴，即，∴，∴①，聯(lián)立方程組，∴，∴，②，將②代入①，得化簡，得，∴直線AB的解析式為，即，∴直線AB經(jīng)過定點．

【點睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，掌握待定系數(shù)法，把函數(shù)問題化為一元二次方程問題是關(guān)鍵.28．（2023·福建泉州·南安市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，且）與軸從左至右依次交于，兩點，與軸交于點，經(jīng)過點的直線與拋物線的另一交點為．

(1)若點的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在（1）條件下，設(shè)為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位的速度運(yùn)動到，再沿線段以每秒2個單位的速度運(yùn)動到后停止．當(dāng)點的坐標(biāo)是多少時，點在整個運(yùn)動過程中用時最少?【答案】(1)(2)【分析】（1）由點的坐標(biāo)求出直線的解析式，再由點的橫坐標(biāo)代入直線的解析式求出點的坐標(biāo)，然后將點的坐標(biāo)代入拋物線解析式求，從而得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點作軸于點，過點和點分別作軸的平行線和軸的平行線，交于點，過點作于點，由點和點的坐標(biāo)求線段、和的長度，得到，結(jié)合速度可知時間為，然后利用“角所對的直角邊是斜邊的一半”得，從而得到，進(jìn)而求得此時點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：對于，當(dāng)時，或，∴，，將點代入，得：∴，則直線的解析式為：，當(dāng)時，，∴，將點代入，得：，∴，∴拋物線的表達(dá)式為：；（2）由題意得：點的運(yùn)動時間為，過點作軸于點，

∵，，∴，，，∴，過點和點分別作軸的平行線和軸的平行線，交于點，∴，∴，∴，過點作于點，此時，∴與直線的交點即為所求點，∵，∴當(dāng)時，，∴點的坐標(biāo)為時，點在整個運(yùn)動過程中用時最少．【點睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函