專題02相似三角形的判定（六個知識點八大題型二個易錯點 ）（原卷版）

專題02相似三角形的判定（六個知識點八大題型二個易錯點）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法知識點2相似三角形預(yù)備定理（重點）知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四：利用相似三角形證明等積式題型五：相似三角形應(yīng)用題型六：相似三角形與函數(shù)綜合題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似【方法四】成果評定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。2.能靈活地運用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點詮釋：

(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應(yīng)點是A′，點B的對應(yīng)點是B′，點C的對應(yīng)點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時，兩個三角形全等.例1：下列說法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對應(yīng)成比例且一角相等的兩個三角形相似（B）對應(yīng)角相等的兩個三角形不一定相似（C）有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似知識點2相似三角形的預(yù)備定理（重點）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點，則．知識點3判定兩個三角形相似定理1（重點）如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見模型如下：例3：如圖，在中，，于點，點是邊上一點，聯(lián) 結(jié)交于點，交邊于點．求證：．知識點4判定兩個三角形相似定理2（重點）如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，在與中，，，那么．要點詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.例4:如圖，點是的邊上的一點，且．求證：．知識點5判定兩個三角形相似定理3（重點）如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．要點詮釋：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.例5：如圖，點D為內(nèi)一點，點E為外一點，且滿足．求證：∽．知識點6判定兩個直角三角形相似定理（重點）如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．例6：如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．【方法二】實例探索法題型一：添加條件來說明三角形相似例7：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點（DE不平行BC），若使△ADE與△ABC相似，則需要添加_____即可（只需添加一個條件）．題型二：尋找圖形中的相似三角形個數(shù)例8：如圖，是平行四邊形的邊延長線上的一點，交于點．圖中 有哪幾對相似三角形？題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用例9：如圖，點、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．題型四：利用相似三角形證明等積式例10．如圖，、分別是的邊、上的點，且．求證：．例11.如圖，是等邊三角形，，求證．題型五：相似三角形應(yīng)用例12.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺邊緣的小杰拍照時，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭的高度為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米，涼亭與觀景臺底部的距離為米，小杰身高為米．那么觀景臺的高度為________________米．題型六：相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1，正方形ABCD的邊長為4，把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達式，并寫出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點Q，交EF于點P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長．題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問題例14.如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點，E是AC邊上一點，聯(lián)結(jié)DE，過點D作DF⊥DE交BC邊于點F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時，求EF的長；（2）如圖2，當(dāng)點E在AC邊上移動時，∠DFE的正切值是否會發(fā)生變化，如果變化請說出變化情況；如果保持不變，請求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時，請直接寫出BF的長．題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運動問題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．【方法三】差異對比法易錯點1對兩個三角形中的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．易錯總結(jié)：找兩個三角形的對應(yīng)關(guān)系時，容易受思維定式的影響，想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對應(yīng)邊，∠A與∠A1當(dāng)成對應(yīng)角。易錯點2誤用兩邊成比例且夾角相等來證明兩個三角形相似例17.根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號表示出來．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．易錯總結(jié)：利用兩邊成比例且夾角相等的方法判定兩個三角形相似時，一定要注意這個角是對應(yīng)成比例的兩邊的夾角，若不是，則不能判定這兩個三角形一定相似。【方法四】成功評定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·九年級上海市華東模范中學(xué)校考期中）下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個條件后，仍不能確定的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上海·九年級?？计谥校┤鐖D，在正三角形ABC中，點D、E分別在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．4．（2022秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．5．（2022秋·上海寶山·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，△ABC中，DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，圖中與△ADG相似的三角形共有______個．7．（2022秋·九年級單元測試）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長度是_________．8．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，添加一個條件____________，可以利用定理“斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似”證明．9．（2021·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點E是DC上一點，∠DAE=∠BAC，則EC的長為________．10．（2020秋·九年級?？颊n時練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．11．（2022春·上海金山·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點P為射線BC上的一個動點，過點P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點Q，當(dāng)BP＝5時，CQ＝_____．12．（2022秋·上海奉賢·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，點是邊上一點，添加一個條件__________，可以使與相似．三、解答題13．（2021秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．14．（2022秋·九年級單元測試）如圖，點D，E在BC上，且,求證：15．（2017秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤鐖D，在邊長為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點P為邊AB上一個動點，過點P作PF∥AC交線段BD于點F，作PG⊥AB交AD于點E，交線段CD于點G，設(shè)，．（1）求證：；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）以P、E、F為頂點的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請求出.BP的長，如果不能，請說明理由．

（備用圖）16．（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD上任意一點（點E與點C、D不重合），過點A作AF⊥AE，交邊CB的延長線于點F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點G，連接AC．(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．17．（2022秋·上海徐匯·九年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對角線上一點，(1)求證：(2)求證：18．（2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點C為射線DP上一點，BE平分∠ABC交線段AD于點E（不與端點A、D重合）．（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時，求四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時，求線段CD的長；（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．19．（2019秋·上海浦東新·九年級校聯(lián)考期中）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；如圖1，在四邊形ABCD中，，對角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當(dāng)時，求的值．20．（2021·上海·九年級專題練習(xí)）在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).①