專(zhuān)題02相似三角形的判定（六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) ）（原卷版）

專(zhuān)題02相似三角形的判定（六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法知識(shí)點(diǎn)2相似三角形預(yù)備定理（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理（重點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型一：添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似題型二：尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四：利用相似三角形證明等積式題型五：相似三角形應(yīng)用題型六：相似三角形與函數(shù)綜合題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似【方法四】成果評(píng)定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義，掌握相似三角形的判定定理，能正確地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。2.能靈活地運(yùn)用三角形相似的判定定理，證明和解決有關(guān)問(wèn)題，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?！局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法在和中，如果我們就說(shuō)與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.例1：下列說(shuō)法一定正確的是（ ）（A）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似（B）對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似（C）有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的預(yù)備定理（重點(diǎn)）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．如圖，已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，則．知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果、，那么．常見(jiàn)模型如下：例3：如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)．求證：．知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，，，那么．要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍朔椒ㄒ笥萌切蔚膬蛇吋捌鋳A角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.例4:如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，且．求證：．知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3（重點(diǎn)）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．可簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似．如圖，在與中，如果，那么∽．要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂卸▋蓚€(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.例5：如圖，點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為外一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．求證：∽．知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理（重點(diǎn)）如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．可簡(jiǎn)述為：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似．如圖，在和中，如果，，那么∽．例6：如圖，在和中，，，垂足為D和，且 ．求證：∽．【方法二】實(shí)例探索法題型一：添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似例7：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)（DE不平行BC），若使△ADE與△ABC相似，則需要添加_____即可（只需添加一個(gè)條件）．題型二：尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)例8：如圖，是平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)．圖中 有哪幾對(duì)相似三角形？題型三：相似三角形的判定定理應(yīng)用例9：如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，且與不平行．下列條件中，能判定與相似的是（）A． B． C． D．題型四：利用相似三角形證明等積式例10．如圖，、分別是的邊、上的點(diǎn)，且．求證：．例11.如圖，是等邊三角形，，求證．題型五：相似三角形應(yīng)用例12.（2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模）小明和小杰去公園游玩，小明給站在觀景臺(tái)邊緣的小杰拍照時(shí)，發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖所示）．已知小明的眼睛離地面的距離為米，涼亭的高度為米，小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米，涼亭與觀景臺(tái)底部的距離為米，小杰身高為米．那么觀景臺(tái)的高度為_(kāi)_______________米．題型六：相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處，三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F．（1）求證：△GBE∽△GEF．（2）設(shè)AG=x，GF=y，求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量取值范圍．（3）如圖2，連接AC交GF于點(diǎn)Q，交EF于點(diǎn)P．當(dāng)△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長(zhǎng)．題型七：與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題例14.如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．（1）如圖1，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí)，∠DFE的正切值是否會(huì)發(fā)生變化，如果變化請(qǐng)說(shuō)出變化情況；如果保持不變，請(qǐng)求出∠DFE的正切值；（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)△CQF是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng)．題型八：與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證∽，則 此時(shí)______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問(wèn)的值是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中，直線DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E，下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是（）A． B．∠ADE=∠ACBC．AE﹒AC=AB﹒AD D．易錯(cuò)總結(jié)：找兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí)，容易受思維定式的影響，想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對(duì)應(yīng)邊，∠A與∠A1當(dāng)成對(duì)應(yīng)角。易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似例17.根據(jù)下列條件，判斷和是否是相似三角形；如果是，那么用符號(hào)表示出來(lái)．（1），，，，，；（2），，，，，；（3），，，，，．易錯(cuò)總結(jié)：利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的方法判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意這個(gè)角是對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角，若不是，則不能判定這兩個(gè)三角形一定相似?！痉椒ㄋ摹砍晒υu(píng)定法一、單選題1．（2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市華東模范中學(xué)?？计谥校┫铝形宸鶊D均是由邊長(zhǎng)為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，如果，那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定的是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┤鐖D，在正三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，且，，那么有（

）A． B．C． D．4．（2022秋·上海·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（

）A．平分 B． C． D．5．（2022秋·上海寶山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)D為垂足，為了證明∠BAC＝90°，以下添加的等積式中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題6．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC中，DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB，圖中與△ADG相似的三角形共有______個(gè)．7．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，△ABC中，D、E分別在BA、CA延長(zhǎng)線上，DE∥BC，，DE＝1，BC的長(zhǎng)度是_________．8．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，添加一個(gè)條件____________，可以利用定理“斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似”證明．9．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，點(diǎn)E是DC上一點(diǎn)，∠DAE=∠BAC，則EC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．10．（2020秋·九年級(jí)?？颊n時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，則=______．11．（2022春·上海金山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q，當(dāng)BP＝5時(shí)，CQ＝_____．12．（2022秋·上海奉賢·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件__________，可以使與相似．三、解答題13．（2021秋·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于點(diǎn)G．（1）求證：△AED∽△ABC；（2）如果BE平分∠ABC，求證：DE=CE．14．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且,求證：15．（2017秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F，作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)G，設(shè)，．（1）求證：；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（3）以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG能否相似？如果能相似，請(qǐng)求出.BP的長(zhǎng)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（備用圖）16．（2022·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合），過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE，交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點(diǎn)G，連接AC．(1)求證：△AEF∽△DAC；(2)如果FE平分∠AFB，聯(lián)結(jié)CG，求證：四邊形AGCE為菱形．17．（2022秋·上海徐匯·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，梯形中，AD//BC，是對(duì)角線上一點(diǎn)，(1)求證：(2)求證：18．（2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模）如圖，線段AB=5，AD=4，∠A=90°，DP∥AB，點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn)，BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E（不與端點(diǎn)A、D重合）．（1）當(dāng)∠ABC為銳角，且tan∠ABC=2時(shí)，求四邊形ABCD的面積；（2）當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)；（3）設(shè)CD=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域．19．（2019秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考期中）若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的AC的長(zhǎng)；如圖1，在四邊形ABCD中，，對(duì)角線BD平分，求證：是比例三角形．如圖2，在的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．20．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).①