專(zhuān)題02相似三角形的判定(六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) )(原卷版)_第1頁(yè)
專(zhuān)題02相似三角形的判定(六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) )(原卷版)_第2頁(yè)
專(zhuān)題02相似三角形的判定(六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) )(原卷版)_第3頁(yè)
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專(zhuān)題02相似三角形的判定(六個(gè)知識(shí)點(diǎn)八大題型二個(gè)易錯(cuò)點(diǎn))【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法知識(shí)點(diǎn)2相似三角形預(yù)備定理(重點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1(重點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2(重點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3(重點(diǎn))知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理(重點(diǎn))【方法二】實(shí)例探索法題型一:添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似題型二:尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)題型三:相似三角形的判定定理應(yīng)用題型四:利用相似三角形證明等積式題型五:相似三角形應(yīng)用題型六:相似三角形與函數(shù)綜合題型七:與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題題型八:與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似【方法四】成果評(píng)定法期中期末中考真題練【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解相似三角形的定義,掌握相似三角形的判定定理,能正確地找出相似三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。2.能靈活地運(yùn)用三角形相似的判定定理,證明和解決有關(guān)問(wèn)題,提升邏輯推理的核心素養(yǎng)?!局R(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1相似三角形及其表示方法在和中,如果我們就說(shuō)與相似,記作∽.k就是它們的相似比,“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

(1)書(shū)寫(xiě)兩個(gè)三角形相似時(shí),要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致,即∽,則說(shuō)明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A′,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B′,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C′;(2)對(duì)于相似比,要注意順序和對(duì)應(yīng)的問(wèn)題,如果兩個(gè)三角形相似,那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí),兩個(gè)三角形全等.例1:下列說(shuō)法一定正確的是( )(A)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一角相等的兩個(gè)三角形相似(B)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似(C)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似(D)一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似知識(shí)點(diǎn)2相似三角形的預(yù)備定理(重點(diǎn))平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形與原三角形相似.如圖,已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點(diǎn)和點(diǎn),則.知識(shí)點(diǎn)3判定兩個(gè)三角形相似定理1(重點(diǎn))如果一個(gè)三角形的兩角與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.可簡(jiǎn)述為:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩個(gè)三角形相似.如圖,在與中,如果、,那么.常見(jiàn)模型如下:例3:如圖,在中,,于點(diǎn),點(diǎn)是邊上一點(diǎn),聯(lián) 結(jié)交于點(diǎn),交邊于點(diǎn).求證:.知識(shí)點(diǎn)4判定兩個(gè)三角形相似定理2(重點(diǎn))如果一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例,并且?jiàn)A角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.可簡(jiǎn)述為:兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等,兩個(gè)三角形相似.如圖,在與中,,,那么.要點(diǎn)詮釋?zhuān)捍朔椒ㄒ笥萌切蔚膬蛇吋捌鋳A角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似,應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角,否則,判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.例4:如圖,點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn),且.求證:.知識(shí)點(diǎn)5判定兩個(gè)三角形相似定理3(重點(diǎn))如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)三角形相似.可簡(jiǎn)述為:三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)三角形相似.如圖,在與中,如果,那么∽.要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂卸▋蓚€(gè)三角形是否相似,只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可,對(duì)于直角三角形而言,若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.例5:如圖,點(diǎn)D為內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)E為外一點(diǎn),且滿(mǎn)足.求證:∽.知識(shí)點(diǎn)6判定兩個(gè)直角三角形相似定理(重點(diǎn))如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.可簡(jiǎn)述為:斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)直角三角形相似.如圖,在和中,如果,,那么∽.例6:如圖,在和中,,,垂足為D和,且 .求證:∽.【方法二】實(shí)例探索法題型一:添加條件來(lái)說(shuō)明三角形相似例7:如圖,△ABC中,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)(DE不平行BC),若使△ADE與△ABC相似,則需要添加_____即可(只需添加一個(gè)條件).題型二:尋找圖形中的相似三角形個(gè)數(shù)例8:如圖,是平行四邊形的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),交于點(diǎn).圖中 有哪幾對(duì)相似三角形?題型三:相似三角形的判定定理應(yīng)用例9:如圖,點(diǎn)、分別在的邊、上,且與不平行.下列條件中,能判定與相似的是()A. B. C. D.題型四:利用相似三角形證明等積式例10.如圖,、分別是的邊、上的點(diǎn),且.求證:.例11.如圖,是等邊三角形,,求證.題型五:相似三角形應(yīng)用例12.(2023·上海徐匯·統(tǒng)考一模)小明和小杰去公園游玩,小明給站在觀景臺(tái)邊緣的小杰拍照時(shí),發(fā)現(xiàn)他的眼睛、涼亭頂端、小杰的頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上(如圖所示).已知小明的眼睛離地面的距離為米,涼亭的高度為米,小明到?jīng)鐾さ木嚯x為米,涼亭與觀景臺(tái)底部的距離為米,小杰身高為米.那么觀景臺(tái)的高度為_(kāi)_______________米.題型六:相似三角形與函數(shù)綜合例13.如圖1,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,把三角板的直角頂點(diǎn)放置BC中點(diǎn)E處,三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊分別交邊AB、CD于點(diǎn)G、F.(1)求證:△GBE∽△GEF.(2)設(shè)AG=x,GF=y,求Y關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式,并寫(xiě)出自變量取值范圍.(3)如圖2,連接AC交GF于點(diǎn)Q,交EF于點(diǎn)P.當(dāng)△AGQ與△CEP相似,求線段AG的長(zhǎng).題型七:與相似三角形有關(guān)的存在性問(wèn)題例14.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,cosA=,D是AB邊的中點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn),聯(lián)結(jié)DE,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥DE交BC邊于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF.(1)如圖1,當(dāng)DE⊥AC時(shí),求EF的長(zhǎng);(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí),∠DFE的正切值是否會(huì)發(fā)生變化,如果變化請(qǐng)說(shuō)出變化情況;如果保持不變,請(qǐng)求出∠DFE的正切值;(3)如圖3,聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q,當(dāng)△CQF是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng).題型八:與相似三角形有關(guān)的圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題例15.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起,使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合,其中,,AB= DE=4,把三角板ABC固定不動(dòng),讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P,射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q.(1)如圖1,當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),易證∽,則 此時(shí)______;(2)將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為.其 中,問(wèn)的值是否改變?請(qǐng)說(shuō)明理由.【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊的概念理解不透徹例16.在△ABC中,直線DE分別與AB、AC相交于點(diǎn)D、E,下列條件不能推出△ABC與△ADE相似的是()A. B.∠ADE=∠ACBC.AE﹒AC=AB﹒AD D.易錯(cuò)總結(jié):找兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系時(shí),容易受思維定式的影響,想當(dāng)然地把AB與A1B1當(dāng)成對(duì)應(yīng)邊,∠A與∠A1當(dāng)成對(duì)應(yīng)角。易錯(cuò)點(diǎn)2誤用兩邊成比例且?jiàn)A角相等來(lái)證明兩個(gè)三角形相似例17.根據(jù)下列條件,判斷和是否是相似三角形;如果是,那么用符號(hào)表示出來(lái).(1),,,,,;(2),,,,,;(3),,,,,.易錯(cuò)總結(jié):利用兩邊成比例且?jiàn)A角相等的方法判定兩個(gè)三角形相似時(shí),一定要注意這個(gè)角是對(duì)應(yīng)成比例的兩邊的夾角,若不是,則不能判定這兩個(gè)三角形一定相似?!痉椒ㄋ摹砍晒υu(píng)定法一、單選題1.(2022秋·上海靜安·九年級(jí)上海市華東模范中學(xué)??计谥校┫铝形宸鶊D均是由邊長(zhǎng)為1的16個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格中的三角形的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上,那么在下列右邊四幅圖中的三角形,與左圖中的△ABC相似的個(gè)數(shù)有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.(2021·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,如果,那么添加下列一個(gè)條件后,仍不能確定的是(

)A. B.C. D.3.(2022秋·上?!ぞ拍昙?jí)??计谥校┤鐖D,在正三角形ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、AB上,且,,那么有(

)A. B.C. D.4.(2022秋·上海·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在四邊形中,已知,那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是(

)A.平分 B. C. D.5.(2022秋·上海寶山·九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在△ABC中,AD⊥BC,點(diǎn)D為垂足,為了證明∠BAC=90°,以下添加的等積式中,正確的有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題6.(2020秋·九年級(jí)??颊n時(shí)練習(xí))如圖,△ABC中,DG、DF、EG分別平行于BC、AC、AB,圖中與△ADG相似的三角形共有______個(gè).7.(2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試)如圖,△ABC中,D、E分別在BA、CA延長(zhǎng)線上,DE∥BC,,DE=1,BC的長(zhǎng)度是_________.8.(2022秋·上海奉賢·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在四邊形中,添加一個(gè)條件____________,可以利用定理“斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例,兩個(gè)直角三角形相似”證明.9.(2021·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,點(diǎn)E是DC上一點(diǎn),∠DAE=∠BAC,則EC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.10.(2020秋·九年級(jí)??颊n時(shí)練習(xí))如圖,在△ABC中,DE∥BC,則=______.11.(2022春·上海金山·九年級(jí)校考階段練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)P為射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線PQ垂直于AP與直線CD相交于點(diǎn)Q,當(dāng)BP=5時(shí),CQ=_____.12.(2022秋·上海奉賢·九年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),添加一個(gè)條件__________,可以使與相似.三、解答題13.(2021秋·上海浦東新·九年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,且∠ABE=∠ACD,BE、CD交于點(diǎn)G.(1)求證:△AED∽△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求證:DE=CE.14.(2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試)如圖,點(diǎn)D,E在BC上,且,求證:15.(2017秋·上?!ぞ拍昙?jí)校考期中)如圖,在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中,AD⊥BC,點(diǎn)P為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F,作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E,交線段CD于點(diǎn)G,設(shè),.(1)求證:;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出x的取值范圍;(3)以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG能否相似?如果能相似,請(qǐng)求出.BP的長(zhǎng),如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(備用圖)16.(2022·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊CD上任意一點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C、D不重合),過(guò)點(diǎn)A作AF⊥AE,交邊CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)EF交邊AB于點(diǎn)G,連接AC.(1)求證:△AEF∽△DAC;(2)如果FE平分∠AFB,聯(lián)結(jié)CG,求證:四邊形AGCE為菱形.17.(2022秋·上海徐匯·九年級(jí)??茧A段練習(xí))已知:如圖,梯形中,AD//BC,是對(duì)角線上一點(diǎn),(1)求證:(2)求證:18.(2018·上海黃浦·校聯(lián)考一模)如圖,線段AB=5,AD=4,∠A=90°,DP∥AB,點(diǎn)C為射線DP上一點(diǎn),BE平分∠ABC交線段AD于點(diǎn)E(不與端點(diǎn)A、D重合).(1)當(dāng)∠ABC為銳角,且tan∠ABC=2時(shí),求四邊形ABCD的面積;(2)當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí),求線段CD的長(zhǎng);(3)設(shè)CD=x,DE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域.19.(2019秋·上海浦東新·九年級(jí)校聯(lián)考期中)若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積,我們把這個(gè)三角形叫做比例三角形.已知是比例三角形,,,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的AC的長(zhǎng);如圖1,在四邊形ABCD中,,對(duì)角線BD平分,求證:是比例三角形.如圖2,在的條件下,當(dāng)時(shí),求的值.20.(2021·上?!ぞ拍昙?jí)專(zhuān)題練習(xí))在矩形ABCD中,點(diǎn)P在AD上,AB=2,AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處,直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)E、F,連接EF(如圖1).(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).①

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