空間向量與立體幾何教材分析

普通高中課程標準實驗教科書

選修2—1

空間向量與立體幾何

教學指導意見解讀一、內(nèi)容與要求本章共分兩節(jié)：3．1空間向量及其運算3．2立體幾何中的向量方法空間向量章首語二、地位與作用1.本章是必修數(shù)學4“平面向量〞在空間的推廣，又是必修數(shù)學2“立體幾何初步〞的延續(xù)。2.空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角(“立體幾何初步〞側(cè)重于定性研究，本章那么側(cè)重于定量研究)。3.進一步體會向量方法在研究幾何問題中的作用。三、主要內(nèi)容3.1空間向量及其運算空間向量及其加減法運算空間向量數(shù)乘運算〔直線的方向向量,共面向量定理〕空間向量的數(shù)量積運算空間向量的正交分解及其坐標表示〔空間向量根本定理〕空間向量運算的坐標表示三、主要內(nèi)容3.2立體幾何中的向量方法平面的法向量空間線面關(guān)系的判定空間角的計算立體幾何中的向量方法〔三部曲〕1.向量表示2.向量運算3.回歸幾何知識結(jié)構(gòu)空間向量及其運算知識結(jié)構(gòu)3.1節(jié)的重點與難點“空間向量及其運算〞是本章的根底，這一節(jié)的重點是空間向量的根本概念和根本運算、空間向量的根本定理。難點是空間向量的根本定理。

3.2節(jié)的重點與難點“立體幾何中的向量方法〞從一個側(cè)面〔立體幾何〕反映了空間向量的應用，同時也是對空間向量的再認識。重點是理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法〔“三步曲〞〕。難點是建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。課時分配〔12課時〕3.1.1空間向量及其加減運算1課時3.1.2空間向量的數(shù)乘運算1課時3.1.3空間向量的數(shù)量積運算1課時3.1.4空間向量的正交分解及其坐標表示1課時3.1.5空間向量運算的坐標表示1課時復習小結(jié)1課時3．2立體幾何中的向量方法5課時復習小結(jié)1課時四、教材解讀課程目標空間向量為處理立體幾何問題提供了新工具和新方法。通過學習本章，可以使學生在對平面向量已有認識的根底上，進一步學習空間向量，并運用空間向量研究立體幾何中的問題，進一步體會向量方法在解決幾何問題中的作用。學習目標1.經(jīng)歷向量及其運算由二維平面情形向三維空間情形推廣的過程。2.了解空間向量的概念，了解空間向量的根本定理，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示。3.掌握空間向量的線性運算及其表示。4.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線〔平行〕與垂直。5.理解直線的方向向量與平面的法向量。6.能用向量語言描述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系。7.能用向量方法證明有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些定理。8.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角等的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。與原大綱教材的比較大綱教材新教材重點立體幾何知識空間向量和向量方法空間向量知識對空間向量只是作為解決部分問題的工具強調(diào)對向量方法的一般性認識立體幾何知識有系統(tǒng)性要求不作系統(tǒng)性要求與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述1.理解空間向量的概念掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.2.了解空間向量基本定理；理解空間向量的坐標的概念，掌握空間向量運算.3.掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式.1.經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程.2.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.3.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.4.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述1.理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影.1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系.與原大綱教材的比較原大綱目標表述新課標目標表述2.掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會利用給出公垂線計算距離）；掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理；掌握兩個平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.3.能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.4.能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.五、教學要求1.注重聯(lián)系本章從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把對向量及其運算的認識從二維情形提升到三維情形。這是“由此及彼，由淺入深〞的認識開展過程。

2．表達思想本章以立體幾何問題為載體，表達向量的工具作用和向量方法的根本步驟和原理，再次滲透符號化、模型化、運算化和程序化的數(shù)學思想。主要要思想方法是：〔1〕類比、猜測、歸納、推廣〔讓學生經(jīng)歷由平面向空間推廣的過程〕；〔2〕能靈活選擇向量法、坐標法與綜合法解決立體幾何問題。3.溫故知新空間向量的根本概念及其性質(zhì)是后續(xù)學習的前提，由于空間向量是平面向量的推廣，空間向量及其運算所涉及的內(nèi)容與平面向量及其運算類似，所以，空間向量的教學上要注重知識間的聯(lián)系，溫故而知新，運用類比的方法認識新問題，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程。4.強調(diào)通法向量法有別于傳統(tǒng)的純幾何方法，而是將幾何元素用向量表示，進行向量運算，再回歸到幾何問題。這種“三步曲〞式的解決問題過程，在數(shù)學中具有一般性。三步曲：空間向量表示幾何元素→利用向量運算研究幾何元素間的關(guān)系→把運算結(jié)果翻譯成相應的幾何意義。向量運算時注意其幾何意義，聯(lián)系幾何問題〔如三垂線定理及其逆定理等〕加深對有關(guān)運算的認識。5.螺旋上升必修2中，已經(jīng)討論過空間中直線、平面的平行、垂直等位置關(guān)系，當時沒有對相關(guān)判定定理進行證明，只證明了相關(guān)性質(zhì)定理。本章以三垂線定理、線面垂直的判定定理等為例，用向量方法對其進行證明，然后指出運用向量方法可以證明關(guān)于線面位置關(guān)系的其他判定定理，并引導學生進行嘗試。這樣可以加強所學前后知識的聯(lián)系，對空間位置關(guān)系提高認識水平。六、內(nèi)容解析空間向量及其運算1.關(guān)于共面向量的定義——平行于同一平面的向量，叫做共面向量〔coplanarvector〕：理解：能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。對共面向量的理解要突出“自由向量〞的特征，向量與平面平行的概念有別于直線與平面的平行，要幫助學生理解。2.關(guān)于共面向量定理——如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x,y)，使p=xa+yb．空間向量共面向量定理與平面向量根本定理不僅在形式上是相同的，而且在本質(zhì)上也是一致的．這是因為任意兩個空間向量a，b都可以平移到同一個平面，當a，b不共線時，可以作為基向量，向量p與它們共面，也就是向量p也可以平移到這個平面，所以就能用a，b線性表示．3.關(guān)于空間向量根本定理:如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使p=xa+yb+zc．開展路線：共線向量定理(一維)→平面向量根本定理(二維)→空間向量根本定理(三維)。通過向量分解惟一性定理的推廣，引導學生積極主動地探索．目的：為空間向量的坐標表示做準備．注意：“惟一性〞的證明要用反證法(了解)．4.關(guān)于空間向量的數(shù)量積(1)由于任意兩個空間向量都可以轉(zhuǎn)化為平面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和符號、兩個空間向量的數(shù)量積等等，都與平面向量相同。(2)要正確使用兩個向量夾角的符號〈a，b〉。(3)空間向量數(shù)量積的幾何意義只要求學生了解。(4)空間向量數(shù)量積運算律的證明不作要求。

a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|·cos<a，b>的乘積?；蛘叩扔赽的長度|b|與a在b的方向上的投影|a|·cos<a，b>的乘積。空間向量數(shù)量積的幾何意義空間向量數(shù)量積運算律〔分配律〕的說明a·(b+c)=a·b+a·c，對于平面向量因為|b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2|a||b+c|cosθ=|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2所以：a·

(b+c)=a·b+a·ca·

(b+c)=a·b+a·c，對于空間向量因為

|b+c|cosθ=|b|cosθ1+|c|cosθ2|a|·|b+c|cosθ=|a|·|b|cosθ1+|a|·|c|cosθ2所以a·

(b+c)=a·b+a·c代數(shù)證明〔運算的坐標表示〕：設(shè)a=x1i+y1j+z1k，b=x2i+y2j+z2k，c=x3i+y3j+z3k那么b+c=(x2+x3)i+(y2+y3)j+(z2+z3)k，a·(b+c)=x1(x2+x3)+y1(y2+y3)+z1(z2+z3)=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3又因為：a·b=x1x2+y1y2+z1z2，a·c=x1x3+y1y3+z1z3a·b+a·c=x1x2+x1x3+y1y2+y1y3+z1z2+z1z3所以：a·(b+c)=a·b+a·c立體幾何中的向量方法直線的方向向量與平面的法向量如何用向量來刻畫直線、平面的“方向〞？直線的方向向量不惟一，這些方向向量是共線向量；兩條平行直線的方向向量是共線向量．可以用直線的方向向量研究空間線線、線面的平行與垂直關(guān)系．平面的法向量不惟一，這些法向量是共線向量；兩個平行平面的法向量是共線向量．可以用平面的法向量研究空間線面、面面的平行與垂直關(guān)系．平面的法向量的計算：〔1〕待定系數(shù)法例如：在棱長為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB與BC的中點，求平面B1EF的法向量。

空間線面關(guān)系的判定用向量語言〔符號語言〕描述空間線面關(guān)系：平行垂直l1與l2e1∥e2e1⊥e2l1與

1e1⊥n1e1∥n1

1與

2n1∥n2n1⊥n2其中e1，e2分別為直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別為平面

1，

2的法向量?？臻g線面關(guān)系的判定：三垂線定理，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理?？臻g角的計算1．線線角設(shè)e1，e2分別為直線l1，l2的方向向量，直線l1，l2所成的角為，那么22.線面角設(shè)e為直線l的方向向量，n為平面的法向量，l與平面所成的角為，那么3．二面角設(shè)n1，n2分別為平面1，2的法向量，平面1，2所成的二面角為，那么七、教學建議

1.重點是空間向量和向量方法空間向量和向量方法是重點內(nèi)容，而對于立體幾何知識并不作系統(tǒng)安排，只是通過幾個立體幾何具體問題的例子，表達空間向量在解決立體幾何問題時的應用，要使學生加強對幾何中向量方法的一般性認識。本章的教學應突出重點，不是立體幾何問題本身為重點，而是把具體的立體幾何問題作為學習向量方法的載體，以向量方法作為主要教學目標。2.注意數(shù)與形的關(guān)聯(lián)向量的特征之一是其本身具有數(shù)與形兩重含義。本章教學中，除了要關(guān)注前面屢次提及的知識縱向聯(lián)系之外，還要特別關(guān)注知識的橫向聯(lián)系，從不同角度研究同一問題，認識與運用向量及其運算中數(shù)與形的關(guān)聯(lián)。教學中應結(jié)合幾何圖形予以探討，特別要重視平行六面體的模型作用，引導學生借助圖形理解它們，注意防止不聯(lián)系幾何意義的死記硬背。3.深化理解向量運算的作用空間向量的線性運算〔加、減、數(shù)乘〕和數(shù)量積。正是有了向量運算，向量才顯示其重要性。要引導學生結(jié)合幾何問題，關(guān)注向量運算在分析解決問題中的作用。4.根據(jù)特點選擇方法重視綜合方法、向量方法、坐標方法各自特點的分析與歸納，綜合方法以邏輯推理作為工具解決問題；向量方法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標方法利用數(shù)及其運算來解決問題，坐標方法常與向量運算結(jié)合起來使用，根據(jù)它們的具體條件和特點選擇適宜的方法。教學指導意見解讀選修4—2矩陣與變換矩陣與變換：2023年高考考試說明:自選模塊1．了解二階矩陣的概念,了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系。2．了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示。3．了解變換和矩陣相等的概念，了解矩陣與向量的乘積表示線性變換。4.了解線性變換的根本性質(zhì)。5.了解復合變換的意義。6．了解矩陣與矩陣相乘的意義，了解矩陣的乘法表示復合變換及矩陣乘法的性質(zhì)。

六條要求全部用的是了解，這說明考的可能性非常小。（江蘇數(shù)學附加題第21題B）選修4—2矩陣與變換在矩陣對應的變換作用下得到曲線F，求F的方程．2001在平面直角坐標系xoy中，設(shè)橢圓新課程IB高考考查情況

教學建議▲以變換為主線貫穿于整個教學過程，使學生真正理解矩陣對向量作用▲旋轉(zhuǎn)變換以坐標原點為中心▲通過圖形變換理解并掌握初等變換▲重點難點：初等變換、矩陣的特征值和特征向量教學建議1.課時分配第一講

線性變換與二階矩陣

一、線性變換與二階矩陣2課時二、二階矩陣與平面向量的乘法

1課時三、線性變換的基本性質(zhì)2課時第二講變換的復合與二階矩陣的乘法

一、復合變換與二階矩陣的乘法2課時二、矩陣乘法的性質(zhì)2課時第三講逆變換與逆矩陣

一、逆變換與逆矩陣

2課時二、二階行列式與逆矩陣

1課時三、逆矩陣與二元一次方程組1課時第四講變換的不變量與矩陣的特征向量

一、變換的不變量——矩陣的特征向量2課時二、特征向量的應用2課時學習總結(jié)、復習小結(jié)1課時本專題分為四講，共18課時，具體分配如下：教學建議2.重點難點第一講的重點是通過幾何圖形變換，學習線性變換與二階矩陣的根本概念、性質(zhì)和思想，線性變換的根本性質(zhì)，矩陣與向量乘法的意義。難點是切變變換，線性變換的根本性質(zhì)與幾何意義。第二講的重點是復合變換與二階矩陣的乘法，矩陣乘法的性質(zhì)。難點是矩陣乘法的運算律，特別是矩陣乘法不滿足交換律、消去律的運算。第三講重點是逆變換、逆矩陣和矩陣的特征向量的概念與性質(zhì)，以變換的觀點理解解線性方程組的意義。難點是逆變換與逆矩陣的概念，逆矩陣的求法與性質(zhì)。第四講重點是變換的不變量的概念，矩陣的特征向量的概念與性質(zhì)，特征向量的應用。難點是矩陣的特征值與特征向量的概念的理解。教學建議〔1〕準確把握教學要求?！熬仃嚺c變換〞是課程標準中的新增內(nèi)容，教學中應準確把握內(nèi)容的要求。本專題只對具體的二階矩陣加以討論，而不討論一般m×n(aij)階矩陣以及形式的表示。二階矩陣的內(nèi)容比較抽象，應通過具體的線性變換的實例來組織教學，切忌從理論到理論只進行抽象的推導。矩陣的引入要從具體的實例開始，通過具體的實例讓學生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學生對矩陣幾何意義的理解。要引導學生用映射的觀點來認識矩陣、解線性方程組。要從具體的線性變換直觀地理解矩陣的乘法，并通過具體的實例讓學生理解矩陣乘法的運算律；要在具體的實例中使學生理解逆矩陣、理解特征向量的實際意義及其不變性；結(jié)合具體實例能用線性方程組或用行列式來求解簡單二階矩陣的逆矩陣和特征值；逆矩陣的唯一性也要結(jié)合具體的線性變換來理解其合理性。3.分析說明教學建議3.分析說明〔2〕加強幾何直觀。從具體實例入手，突出矩陣的幾何意義，遵循從具體到一般，從直觀到抽象的教學原那么。緊密結(jié)合幾何變換〔線性變換〕，引入矩陣的有關(guān)概念、得出矩陣的性質(zhì)。矩陣作為幾何變換的一種表示，著重突出矩陣的幾何意義，矩陣的運算的幾何意義，矩陣的逆的幾何意義，矩陣的特征值、特征向量的幾何意義。為進一步從代數(shù)的角度認識矩陣提供了一個直觀的、生動的、具體的模型。教學中從引入二階矩陣的有關(guān)概念到得出矩陣的性質(zhì)，都應緊緊抓住二階矩陣與平面上的線性變換一一對應的關(guān)系，緊密結(jié)合幾何變換〔線性變換〕。通過幾類重要的幾何變換引入二階矩陣；通過旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換，引入矩陣與向量的乘積來表示這個旋轉(zhuǎn)變換，這樣，使學生認識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學生對矩陣幾何意義的理解。在線性變換的教學中，先通過重要的幾何變換感知，再得出線性變換的根本性質(zhì)。教學建議3.分析說明在矩陣乘法的教學中，通過兩個連續(xù)施行兩次具體的線性變換的實例，引入二階矩陣的乘法；并且通過學生熟悉的幾何變換的實例，說明矩陣的乘法不滿足交換律和消去律。通過旋轉(zhuǎn)變換、切變變換等具體的線性變換，并借助于幾何圖形、充分利用幾何直觀，引入逆矩陣的概念，引出并理解逆矩陣的性質(zhì)；通過考察在關(guān)于軸的反射變換、伸縮變換作用下的不變直線，進而考察“不變〞向量，引入矩陣的特征值、特征向量的概念，并通過這兩個幾何變換感知特征向量的性質(zhì)等都充分表達了幾何直觀在學習矩陣與變換中的重要作用?！?〕加強幾何直觀。教學建議3.分析說明〔3〕加強知識間的聯(lián)系性，強調(diào)數(shù)學思想方法的滲透和運用。首先函數(shù)——映射的思想是貫穿本專題始終的重要思想。其次是類比的思想，在解析幾何中研究曲線與方程的方法，討論線性變換與二階矩陣。曲線與方程是一一對應的，由曲線的性質(zhì)可以研究對應的方程，由方程的性質(zhì)也可以研究對應的曲線。與此類似，二階矩陣與平面上的線性變換也是一一對應的，因此既可以通過二階矩陣來研究對應的線性變換，也可以通過平面上的線性變換來研究對應的二階矩陣。本專題中，更多地是通過線性變換來研究對應的二階矩陣。同時還類比實數(shù)乘法的運算律研究矩陣乘法的運算律等。要引導學生從線性變換的角度來認識解二元一次方程組的意義。本專題還表達了數(shù)形結(jié)合的思想、算法的思想、代數(shù)的思想等，在教學中要始終滲透和運用數(shù)學的思想來指導教學。教學建議3.分析說明〔4〕不過分追求數(shù)學體系的完整性，控制運算的難度。本專題著重通過平面圖形的變換，介紹矩陣中具有明顯幾何變換背景的根本知識和根本思想，對幾何變換背景不太明顯的內(nèi)容不作介紹，如不介紹矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法等根本運算。這里不追求數(shù)學系統(tǒng)本身的完整性，也不追求數(shù)學上的一些細致的技巧和方法，而且僅限于討論二階矩陣，應控制矩陣形式上的復雜程度和運算上的難度，不做難題、怪題。對二階行列式，只是利用它來求逆矩陣和求解矩陣的特征值，不作為重點，也不應展開討論。教學建議3.分析說明〔5〕教學中要處理好的幾對關(guān)系。①具體與抽象。通過學生熟悉的情境提出問題，引入內(nèi)容〔包括數(shù)學理論、思想方法〕，并在分析和解決問題過程中，加深對數(shù)學的理解。力圖通過學生熟悉的語言、實例、圖形等多種方式介紹有關(guān)數(shù)學內(nèi)容，盡量防止過度形式化。②操作與理解。在本專題的教學中應在充分的活動、操作的根底上，使學生理解專題中的核心概念和根本數(shù)學思想。③根底與拓展。從已有的內(nèi)容出發(fā)，引導學生自主探究，做適當?shù)耐卣古c延伸，在處理問題的思想方法、在思維開展上獲得突破。④局部與整體。突出學生解決問題的思想方法，不求完美的科學體系。⑤總結(jié)與提高。學會查閱資料，整理、思考本專題所學的內(nèi)容并與同學交流。1.以映射和變換的觀點認識矩陣與向量乘法的意義。2.證明矩陣變換把平面上的直線變成直線，即證明

A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ。3.通過大量具體的矩陣對平面上給定圖形〔如正方形〕的變換，認識到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、伸縮、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。課標內(nèi)容第一講線性變換與二階矩陣教學要求基本要求1．理解二階矩陣的概念。2．了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系。3．掌握旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示。4．了解變換和矩陣相等的概念。5．理解二階矩陣與向量相乘的概念，會用矩陣與向量的乘積表示線性變換。6．掌握線性變換的基本性質(zhì)。7．了解一些重要的線性變換對單位正方形區(qū)域的作用。發(fā)展要求1．反射變換中的對稱軸可以拓展為過原點的直線。2．投影變換中的對稱軸可以拓展為過原點的直線。說明反射變換和投影變換中對稱軸和投影直線限于坐標軸或過原點的直線。第一講線性變換與二階矩陣第二講變換的復合與二階矩陣的乘法1.通過變換的實例，了解矩陣與矩陣的乘法的意義。2.通過具體的幾何圖形變換，說明矩陣乘法不滿足交換律。3.驗證二階方陣乘法滿足結(jié)合律。4.通過具體的幾何圖形變換，說明乘法不滿足消去律。

課標內(nèi)容第二講變換的復合與二階矩陣的乘法教學要求基本要求1．理解復合變換的意義。2．了解矩陣與矩陣相乘的意義，會用矩陣的乘法表示復合變換。3．掌握矩陣乘法的性質(zhì)。發(fā)展要求從代數(shù)和幾何的角度理解矩陣乘法的性質(zhì)。說明矩陣乘法的性質(zhì)只限于交換律、結(jié)合律、消去律這三種運算律的討論。第三講逆變換與逆矩陣1.通過具體圖形變換，理解逆矩陣的意義；通過具體的投影變換，說明逆矩陣可能不存在。2.會證明逆矩陣的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。3.了解二階行列式的定義，會用二階行列式求逆矩陣。4.能用變換與映射的觀點認識解線性方程組的意義。5.會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組。6.會通過具體的系數(shù)矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性，唯一性。

課標內(nèi)容第三講逆變換與逆矩陣基本要求1．理解逆變換的概念，根據(jù)變換與矩陣的關(guān)系理解逆矩陣的意義。2．會利用二元一次方程組求逆矩陣，了解逆矩陣可能不存在。3．會證明逆矩陣的唯一性和(AB)-1=B-1A-1等簡單性質(zhì)，并了解其在變換中的意義。4．了解二階行列式的定義，會用二階行列式求逆矩陣。5．能用變換與映射的觀點認識解線性方程組的意義。6．會用系數(shù)矩陣的逆矩陣解方程組。7．會通過具體的系數(shù)矩陣，從幾何上說明線性方程組解的存在性，唯一性。發(fā)展要求了解各種變換矩陣逆矩陣的意義。說明1．

二階行列式，只是利用它來求逆矩陣和求解矩陣的特征值，不必展開。2．對于用逆矩陣的方法解二元一次方程組，只要求了解其意義，不必作大量練習。教學要求1.掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。2.會求二階方陣的特征值與特征向量〔只要求特征值是兩個不同實數(shù)的情形〕。3.利用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡單的表示，并能用它來解決問題。4.初步了解三階或高階矩陣。5.了解矩陣的應用。6.完成一個學習總結(jié)報告。報告應包括三方面的內(nèi)容：①知識的總結(jié)。理解本專題的整體思路、結(jié)構(gòu)和內(nèi)容，進一步認識變換的思想。②拓展。通過查閱資料、調(diào)查研究、訪問求教、獨立思考，對矩陣變換及其應用做進一步探討。③學習本專題的感受、體會。第四講變換的不變量與矩陣的特征向量課標內(nèi)容第四講變換的不變量與矩陣的特征向量基本要求1．掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。2．會求二階方陣的特征值與特征向量。3．會利用矩陣A的特征值、特征向量給出Anα簡單的表示，并能用它來解決問題。4．初步了解三階或高階矩陣。5．了解矩陣的應用。發(fā)展要求特征向量與特征值的應用說明對于特征值，只求它們是兩個不同實數(shù)的情形。教學要求矩陣的變換

xyOP·αP′(x′,y′)P(x,y)x′y′=xyP′1.旋轉(zhuǎn)cosα-sinαsinαcosαxyOP·P′2.伸縮x′y′=k100k2映射幾何意義xy操作要求矩陣的變換xyOP·x′y′=xyP′3.反射100-1xyOP·P′x′y′=xy0110關(guān)于直線對稱表示向量(x,y)關(guān)于x軸對稱表示向量(x,y)關(guān)于直線y=x軸對稱P′(x′,y′)P(x,y)映射幾何意義矩陣的變換xyOP·x′y′=xyP′4.投影1000xyOP·x′y′=xy10K1表