南京大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第8章

南京大學(xué)《數(shù)值分析》課件-第8章匯報(bào)人：鄭老師2023-12-31目錄第8章引言第8章線性方程組的迭代法第8章矩陣的分解第8章數(shù)值微積分第8章插值法和最小二乘法第8章引言01掌握數(shù)值分析的基本概念和原理。掌握數(shù)值分析中的誤差分析和數(shù)值穩(wěn)定性概念。理解數(shù)值分析在科學(xué)計(jì)算和工程領(lǐng)域的應(yīng)用。了解數(shù)值分析的發(fā)展趨勢(shì)和前沿研究領(lǐng)域。本章學(xué)習(xí)目標(biāo)科學(xué)計(jì)算和工程領(lǐng)域的應(yīng)用介紹數(shù)值分析在科學(xué)計(jì)算和工程領(lǐng)域的應(yīng)用，如數(shù)值求解微分方程、積分方程、線性方程組等。發(fā)展趨勢(shì)和前沿研究領(lǐng)域介紹數(shù)值分析的發(fā)展趨勢(shì)和前沿研究領(lǐng)域，如并行計(jì)算、非線性問(wèn)題求解、智能優(yōu)化算法等。誤差分析和數(shù)值穩(wěn)定性詳細(xì)介紹誤差的來(lái)源、分類和估計(jì)，以及數(shù)值穩(wěn)定性的概念和原理，如收斂性、誤差傳播等。數(shù)值分析的基本概念和原理介紹數(shù)值分析的定義、研究?jī)?nèi)容和基本概念，如近似計(jì)算、誤差分析、數(shù)值穩(wěn)定性等。本章主要內(nèi)容概述第8章線性方程組的迭代法02迭代法的概念和分類迭代法是一種求解線性方程組的數(shù)值方法，通過(guò)迭代過(guò)程逐步逼近方程的解。迭代法可以分為多種類型，包括雅可比迭代法、賽爾迭代法、高斯-賽爾迭代法等。迭代法的選擇取決于方程組的系數(shù)矩陣和所需的精度。01雅可比迭代法是一種簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)的迭代方法，適用于系數(shù)矩陣為對(duì)角占優(yōu)或正定的線性方程組。02賽爾迭代法是一種基于雅可比迭代法的改進(jìn)方法，適用于系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或正定的線性方程組。雅可比迭代法和賽爾迭代法的收斂速度與系數(shù)矩陣的性質(zhì)有關(guān)，通常需要多次迭代才能達(dá)到所需的精度。雅可比迭代法和賽爾迭代法0201迭代法的收斂性是指隨著迭代的進(jìn)行，解的近似值會(huì)逐漸接近方程的真實(shí)解。02誤差估計(jì)是對(duì)迭代法求解過(guò)程中產(chǎn)生的誤差進(jìn)行定量分析，以確定解的精度。03迭代法的收斂速度和誤差估計(jì)取決于系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，以及初始近似值的選擇。迭代法的收斂性和誤差估計(jì)第8章矩陣的分解03LU分解是將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積。LU分解是數(shù)值計(jì)算中常用的方法之一，它可以用于解決線性方程組、線性最小二乘問(wèn)題等。LU分解的步驟包括高斯消元法和選主元等。LU分解的算法復(fù)雜度為O(n^3)，其中n為矩陣的階數(shù)。矩陣的LU分解QR分解是將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三角矩陣R的乘積。QR分解在數(shù)值計(jì)算中有廣泛的應(yīng)用，如求解線性最小二乘問(wèn)題、求解對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量等。QR分解的步驟包括正交化、放縮和正交化等。QR分解的算法復(fù)雜度也為O(n^3)，其中n為矩陣的階數(shù)。矩陣的QR分解奇異值分解是將一個(gè)矩陣分解為一個(gè)正交矩陣U、一個(gè)鏡像矩陣Σ和一個(gè)正交矩陣V^T的乘積。奇異值分解在信號(hào)處理、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。奇異值分解的步驟包括對(duì)角化、放縮和正交化等。奇異值分解的算法復(fù)雜度為O(n^3)，其中n為矩陣的階數(shù)。矩陣的奇異值分解第8章數(shù)值微積分04近似計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或變化率的方法。常用的方法有差商法、泰勒展開(kāi)法等。近似計(jì)算函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分的方法。常用的方法有梯形法則、辛普森法則等。數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值微分和數(shù)值積分的基本概念用于計(jì)算定積分的公式，其核心思想是利用不定積分和微分的知識(shí)來(lái)計(jì)算定積分。一種數(shù)值積分的方法，通過(guò)將積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上構(gòu)造梯形，然后求和來(lái)近似計(jì)算定積分。牛頓-萊布尼茲公式梯形法則牛頓-萊布尼茲公式和梯形法則一種數(shù)值積分的方法，與梯形法則類似，但在每個(gè)小區(qū)間上構(gòu)造的是矩形而不是梯形。辛普森法則一種數(shù)值積分的方法，通過(guò)將積分區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，并在每個(gè)小區(qū)間上構(gòu)造梯形，然后求和來(lái)近似計(jì)算定積分。與梯形法則不同的是，復(fù)化梯形法則在每個(gè)小區(qū)間的端點(diǎn)處進(jìn)行近似計(jì)算，而不是在小區(qū)間的中點(diǎn)處進(jìn)行近似計(jì)算。復(fù)化梯形法則辛普森法則和復(fù)化梯形法則第8章插值法和最小二乘法05多項(xiàng)式插值利用已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造多項(xiàng)式來(lái)逼近或擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而得到函數(shù)在未知點(diǎn)的取值。常用的多項(xiàng)式插值方法有拉格朗日插值、牛頓插值等。樣條插值通過(guò)構(gòu)造樣條函數(shù)（如多項(xiàng)式樣條、立方樣條等）來(lái)逼近或擬合已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而得到函數(shù)在未知點(diǎn)的取值。樣條插值具有更好的連續(xù)性和光滑性，適用于處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)變化。多項(xiàng)式插值和樣條插值03最小二乘法的基本性質(zhì)包括線性性、正定性、同態(tài)性和最小性等。01最小二乘法是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，通過(guò)最小化誤差的平方和來(lái)找到最佳函數(shù)匹配。02它通常用于回歸分析、曲線擬合、函數(shù)逼近等領(lǐng)域，具有簡(jiǎn)單易行、穩(wěn)定性和可靠性高等優(yōu)點(diǎn)。最小二乘法的基本概念和性質(zhì)線性最小二乘法非線性最小二乘法適用于非線性回歸問(wèn)題，通過(guò)最小化誤差的平方和來(lái)求解非線性函數(shù)的參數(shù)。最小二乘法的實(shí)現(xiàn)可以通過(guò)迭代法、高斯-牛頓法、雅可比法等數(shù)值計(jì)算方法來(lái)實(shí)現(xiàn)最小二乘法的