山東建筑大學(xué)+高等數(shù)學(xué)+筆記

匯報(bào)人：鄭老師2023-12-31山東建筑大學(xué)高等數(shù)學(xué)筆記目錄筆記函數(shù)極限連續(xù)綜合應(yīng)用01筆記函數(shù)定義與性質(zhì)定義函數(shù)是數(shù)學(xué)中表示變量之間關(guān)系的工具，通常用符號(hào)y=f(x)表示。函數(shù)定義域和值域的集合分別是函數(shù)的輸入和輸出。性質(zhì)函數(shù)具有一些基本性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、周期性等。這些性質(zhì)描述了函數(shù)在不同輸入值下的變化規(guī)律。對(duì)數(shù)函數(shù)以冪運(yùn)算為基礎(chǔ)，表示輸入與輸出之間的對(duì)數(shù)關(guān)系。一次函數(shù)形如y=kx+b的函數(shù)，其中k和b是常數(shù)，k≠0。它是一條直線，斜率為k，截距為b。二次函數(shù)形如y=ax^2+bx+c的函數(shù)，其中a、b和c是常數(shù)，a≠0。它的圖像是一個(gè)拋物線，開口方向由a的正負(fù)決定。三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)等，主要用于描述周期性變化的現(xiàn)象。常見函數(shù)類型工程設(shè)計(jì)在工程領(lǐng)域，函數(shù)被廣泛應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)問題，如機(jī)械運(yùn)動(dòng)、電路分析等。數(shù)據(jù)分析在數(shù)據(jù)處理和分析中，函數(shù)用于描述數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，如回歸分析、趨勢(shì)預(yù)測(cè)等。經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)在經(jīng)濟(jì)研究中，函數(shù)用于預(yù)測(cè)各種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化趨勢(shì)，如GDP增長(zhǎng)率、消費(fèi)物價(jià)指數(shù)等。物理建模在物理學(xué)中，許多現(xiàn)象可以用函數(shù)來(lái)描述，如速度與時(shí)間的關(guān)系、位移與力的關(guān)系等。函數(shù)的應(yīng)用場(chǎng)景02極限極限的定義極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)的變化趨勢(shì)的一種數(shù)學(xué)概念，它反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化規(guī)律。函數(shù)極限的表示方法用“l(fā)im”表示函數(shù)在某點(diǎn)的極限，記作lim(x→x0)f(x)=A，其中x0是自變量的某一點(diǎn)，A是函數(shù)的極限值。單側(cè)極限函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)的極限稱為單側(cè)極限。極限的定義一個(gè)函數(shù)的極限值是唯一的。唯一性有界性局部保號(hào)性函數(shù)的極限值所在的區(qū)間稱為函數(shù)的收斂區(qū)間，函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是有限的，即有界。如果lim(x→x0)f(x)=A，且A>0，則在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)，f(x)的符號(hào)與A的符號(hào)相同。030201極限的性質(zhì)在自變量趨于某一點(diǎn)或無(wú)窮大的過程中，函數(shù)值趨于零的量稱為無(wú)窮小量。在自變量趨于某一點(diǎn)或無(wú)窮大的過程中，函數(shù)值趨于無(wú)窮大的量稱為無(wú)窮大量。無(wú)窮小量與無(wú)窮大量無(wú)窮大量無(wú)窮小量03連續(xù)連續(xù)的定義如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限相等，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。左極限函數(shù)在某點(diǎn)的左側(cè)趨于該點(diǎn)的極限值。右極限函數(shù)在某點(diǎn)的右側(cè)趨于該點(diǎn)的極限值。連續(xù)的定義030201連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)、可積?？蓪?dǎo)性連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，意味著該點(diǎn)附近函數(shù)值的增量與自變量的增量成正比?？煞e性連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可積，意味著該區(qū)間內(nèi)函數(shù)的積分值存在且有限。連續(xù)的性質(zhì)處理方法通過分析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的行為或使用特殊方法（如洛必達(dá)法則）處理。第二類不連續(xù)點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)或震蕩間斷點(diǎn)，函數(shù)在第二類不連續(xù)點(diǎn)處的左右極限至少有一個(gè)不存在。處理方法通過求極限或使用定義法證明不連續(xù)點(diǎn)處函數(shù)的性質(zhì)。不連續(xù)點(diǎn)的類型第一類不連續(xù)點(diǎn)、第二類不連續(xù)點(diǎn)。第一類不連續(xù)點(diǎn)跳躍不連續(xù)點(diǎn)，函數(shù)在第一類不連續(xù)點(diǎn)處的左右極限存在但不相等。不連續(xù)點(diǎn)的類型與處理方法04綜合應(yīng)用極限與連續(xù)是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，它們之間存在密切的關(guān)系。極限是研究函數(shù)在某一點(diǎn)的行為，而連續(xù)性則研究函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值與其左右極限值之間的關(guān)系。了解極限與連續(xù)的關(guān)系對(duì)于解決實(shí)際問題非常重要，因?yàn)樵S多實(shí)際問題可以通過數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，而函數(shù)的連續(xù)性是解決這些問題的關(guān)鍵。在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)的連續(xù)性可以通過其極限的性質(zhì)來(lái)判斷。例如，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。極限與連續(xù)的關(guān)系筆記函數(shù)在極限中的應(yīng)用筆記函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中常用的工具之一，它在極限的計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用。02在計(jì)算極限時(shí)，我們經(jīng)常需要用到一些基本的極限公式和性質(zhì)，例如等價(jià)無(wú)窮小、洛必達(dá)法則等。這些公式和性質(zhì)都可以通過筆記函數(shù)來(lái)推導(dǎo)和證明。03筆記函數(shù)在解決一些復(fù)雜函數(shù)的極限問題時(shí)非常有用，它可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，提高解題效率。01極限與連續(xù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用010203極限與連續(xù)作為高等數(shù)學(xué)中的基本概念，在解決許多實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，許多問題都可以通過建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，而函數(shù)的連續(xù)性和極限行為是解決這些問題的關(guān)鍵。例如，在物理學(xué)中，物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可以