交大有限元課件

第一講

彈性力學(xué)基礎(chǔ)主要內(nèi)容1彈性力學(xué)問(wèn)題微分提法23彈性力學(xué)問(wèn)題變分提法45變分初步張量初步緒論一、緒論彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性-外力消失后，物體恢復(fù)原狀的特性。彈性體-僅僅有彈性性質(zhì)的一種理想物體。彈性力學(xué)-研究彈性體在外界因素影響下，其內(nèi)部所生成的位移和應(yīng)力分布的學(xué)科。

人類(lèi)利用物體的彈性可以追溯到無(wú)窮久遠(yuǎn)的年代，但是彈性力學(xué)作為一門(mén)科學(xué)卻是伴隨著工業(yè)革命而誕生的，并被廣泛應(yīng)用于土木、航空、船舶、機(jī)械等工程領(lǐng)域。彈性力學(xué)的內(nèi)容彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，而固體力學(xué)最古老的分支學(xué)科則是材料力學(xué)。材料力學(xué)研究構(gòu)件正常工作時(shí)必須滿(mǎn)足的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性問(wèn)題。為了解決這些問(wèn)題，自然要研究外力作用下物體內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。但材料力學(xué)主要只解決了幾何形狀為桿的構(gòu)件，而對(duì)板、殼、實(shí)體等非桿件結(jié)構(gòu)，一般不能解決。就是對(duì)于桿，也解決的比較粗糙和不徹底。彈性力學(xué)的內(nèi)容 以上問(wèn)題在材料力學(xué)中都解決不了，而在彈性力學(xué)中則可得到精確的解答。在工程中還有很多類(lèi)似的問(wèn)題。矩形截面桿受扭轉(zhuǎn)帶小孔的平板受拉伸發(fā)展概述彈性力學(xué)迄今已有三百余年的發(fā)展歷史1678年Hooke提出變形與外力成正比的定律1821年Navier和1823年Cauchy建立了關(guān)于應(yīng)力的平衡方程，形成了彈性力學(xué)的初步理論Saint-Venant(1855)關(guān)于扭轉(zhuǎn)與彎曲的解答，Muskhelishvili(俄語(yǔ)為Мусхелишвили）(1933)的復(fù)變解法是彈性理論發(fā)展中的經(jīng)典之作前面提到的矩形截面扭轉(zhuǎn)就是通過(guò)保角變換將其映射為圓形截面進(jìn)行求解二十世紀(jì)下半葉，彈性理論進(jìn)一步深化和擴(kuò)展，許多基本概念和基本問(wèn)題被深入和細(xì)致的研究，并與其它物理因素相互耦合出現(xiàn)了許多交叉領(lǐng)域熱彈性力學(xué)粘彈性力學(xué)……發(fā)展概述如前所述，彈性力學(xué)研究的是彈性體受力變形的一般規(guī)律，它對(duì)彈性的幾何形狀和外力作用方式原則上沒(méi)有任何限制。在處理上也解除了材料力學(xué)中一些很不自然的假設(shè)，如桿彎曲時(shí)的平截面假設(shè)。這必然要求在理論上有更高的嚴(yán)密性和更強(qiáng)的邏輯性，同時(shí)數(shù)學(xué)工具必然用的更多、更復(fù)雜、更完備。隨之，在應(yīng)用上必然更普遍、更廣泛、更精確。任何一門(mén)工程學(xué)科向高級(jí)、成熟發(fā)展，都會(huì)有這種“假設(shè)減少、數(shù)學(xué)增多”的特征。發(fā)展概述通過(guò)彈性力學(xué)的學(xué)習(xí)、或者通過(guò)數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)，我們知道求解偏微分方程的邊值問(wèn)題，一般說(shuō)來(lái)是非常困難的。邊界形狀稍微復(fù)雜一些，就難以求得解析形式的精確解。然而，工程中又提出了越來(lái)越多的無(wú)法獲得精確解析解的問(wèn)題，并且對(duì)這些問(wèn)題的解又提出了較高的精度要求。于是，人們轉(zhuǎn)而尋求彈性力學(xué)問(wèn)題的近似解法。甚至?xí)霈F(xiàn)這樣的情況：某些問(wèn)題可以獲得精確解，但如果求解過(guò)程十分復(fù)雜，最后結(jié)果的形式又不簡(jiǎn)便（如以某種無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式表達(dá)）。這時(shí)，工程師們很可能不歡迎這種所謂的“精確解”，寧愿拋棄它而轉(zhuǎn)向求近似解。本講主要目標(biāo)復(fù)習(xí)、鞏固彈性力學(xué)知識(shí)引入、應(yīng)用張量的表述形式簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)透視本質(zhì)方便文獻(xiàn)閱讀……介紹數(shù)學(xué)中的變分概念，建立彈性力學(xué)問(wèn)題的變分提法，為理解有限元分析鋪墊基礎(chǔ)二、張量初步概述設(shè)有某一物理定律，確定了各種物理量在某個(gè)坐標(biāo)系K中的分量a，b，c，……之間的關(guān)系。那么在另一坐標(biāo)系K’下，該定律寫(xiě)成包含分量a’，b’，c’，……的式子應(yīng)當(dāng)與原坐標(biāo)系下的式子具有相同的形式。它們都反映了這些物理量之間的同一客觀規(guī)律，也就是說(shuō)，物理規(guī)律在坐標(biāo)變換下應(yīng)該是不變的。引入張量的意義就在于保持物理規(guī)律表達(dá)式的不變性。當(dāng)然，簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)也是其重要意義。正如標(biāo)量是特殊的矢量，標(biāo)量和矢量都是特殊的張量。下面將從坐標(biāo)變換的觀點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)一描述。為此首先介紹指標(biāo)記號(hào)和求和約定接著介紹了兩個(gè)常用的記號(hào)δij和eijk然后復(fù)習(xí)線性代數(shù)中坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換最后統(tǒng)一地在坐標(biāo)變換下介紹向量、矢量和張量為對(duì)比，可以回憶一下彈性力學(xué)中平衡方程在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)形式。2.1指標(biāo)與求和許多物理量不能用一個(gè)標(biāo)量加以表述，必須用一組標(biāo)量變量才能描述。每個(gè)標(biāo)量稱(chēng)為該物理量的分量，并且這些分量與坐標(biāo)系密切相關(guān)。如點(diǎn)的位置：用三個(gè)坐標(biāo)x，y，z表示位移：用三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量u，v，w表示速度：用三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量vx，vy，vz表示應(yīng)力狀態(tài)：用九個(gè)應(yīng)力分量σx，σy，σz，τxy

，τyx

，τyz，τzy，τxz，τzx表示……2.1指標(biāo)與求和為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)潔，便于采用求和約定，在張量符號(hào)中，都采用相同字母標(biāo)號(hào)。即將某一物理量的所有分量用一個(gè)符號(hào)表示，并附加標(biāo)號(hào)以區(qū)分各個(gè)分量。

位移：u1，u2，u3。用ui表示應(yīng)力狀態(tài)：σ11，σ22，σ33，σ12，σ21，σ23，σ32，σ13，σ31。用σij表示。本章中，如果未加說(shuō)明，字母標(biāo)號(hào)中的字母（如i，j）都可取為1、2、3。即字母的約定域?yàn)?、2、3。2.1指標(biāo)與求和同一項(xiàng)中反復(fù)出現(xiàn)的字母標(biāo)號(hào)稱(chēng)為求和標(biāo)號(hào)(部分文獻(xiàn)中稱(chēng)為啞指標(biāo))，表示將該標(biāo)號(hào)按順序1、2、3輪換所得各項(xiàng)之和，這就是求和約定。不重復(fù)出現(xiàn)的字母標(biāo)號(hào)稱(chēng)為自由標(biāo)號(hào)，表示一般項(xiàng)，可取1、2、3中任何一個(gè)值。

上面第二式中i即為自由指標(biāo)，因此實(shí)際上表達(dá)了三個(gè)式子。2.1指標(biāo)與求和比如對(duì)下面的線性方程組

采用指標(biāo)記號(hào)，可將其簡(jiǎn)寫(xiě)為(i為自由指標(biāo))求和標(biāo)號(hào)可以任意變換字母，因?yàn)榇颂幰呀?jīng)不是將其用來(lái)區(qū)分所代表的各個(gè)分量，而僅是一種約定的求和標(biāo)志。2.2常用符號(hào)按照前面約定，δij有九個(gè)分量，稱(chēng)為Kronecker符號(hào)。該符號(hào)也稱(chēng)為換標(biāo)符號(hào)?，F(xiàn)在來(lái)考察表達(dá)式根據(jù)δij定義：當(dāng)j＝1時(shí)，δi1Ai＝A1當(dāng)j＝2時(shí)，δi2Ai＝A2當(dāng)j＝3時(shí)，δi3Ai＝A3由此可見(jiàn)δijAi＝AjAi的下標(biāo)i換為j2.2常用符號(hào)按照前面約定，eijk

有27個(gè)分量，稱(chēng)為L(zhǎng)evi-Civita

符號(hào)。該符號(hào)也稱(chēng)為排列符號(hào)，即指i,j,k按1，2，3順序輪換排列時(shí)等于+1，按逆序輪換排列時(shí)等于-1，而三個(gè)指標(biāo)中有兩個(gè)或兩個(gè)以上相等時(shí)等于0。δij和eijk關(guān)系eijk

eist＝δjs

δkt

－δjtδks后面我們將會(huì)證明并應(yīng)用這個(gè)式子。1232.2常用符號(hào)例子對(duì)于下面的方程組應(yīng)用δij可將上列九式寫(xiě)成2.2常用符號(hào)例子 三階行列式：利用代數(shù)余子式，展開(kāi)并整理可得分析上式各項(xiàng)，可見(jiàn)列標(biāo)號(hào)都是按1、2、3順序輪換。而行號(hào)則不然，前三項(xiàng)（都是正項(xiàng)）是順序輪換，后三項(xiàng)（負(fù)項(xiàng)）都是逆序輪換。因此，應(yīng)用eijk可將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為1232.2常用符號(hào)例子三階行列式：上面展開(kāi)整理是按照列進(jìn)行的，如果按照行進(jìn)行則有如果行列式有相鄰兩列對(duì)調(diào)一次位置，行列式將改變一次符號(hào)。而上式中行列式的輪換性質(zhì)將改變，由順序變?yōu)槟嫘?。同樣，?duì)重新編號(hào)后的行列式利用指標(biāo)符號(hào)按行進(jìn)行展開(kāi)，則有ijkijk2.2常用符號(hào)例子三階行列式：因此，列的次序變換奇數(shù)次，將改變行列式的值，也將改變行標(biāo)號(hào)的輪換次序。反之，行的次序變換偶數(shù)次，則不改變行列式的值，也不改變行標(biāo)號(hào)的輪換次序。于是，當(dāng)列號(hào)不是按照順序輪換1、2、3排列，而是按照某種次序r、s、t排列，則知：當(dāng)r、s、t排列為順序輪換時(shí)，表示列變換了偶數(shù)次，行列式值不變；同時(shí)，指標(biāo)rst由123經(jīng)偶數(shù)次變換后得到，仍為順序。當(dāng)r、s、t排列為逆序輪換時(shí)，表示列變換了奇數(shù)次，行列式值改變正負(fù)號(hào)；同時(shí)，指標(biāo)rst由123經(jīng)奇數(shù)次變換后得到，為逆序。所以行列式的換列和變號(hào)信息可由eijk表示類(lèi)似的，對(duì)于行的情況可以得出2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)矢量與坐標(biāo)設(shè){O;x1,x2,x3}是三維空間的直角坐標(biāo)系,e1,e2和e3分別為沿Ox1,Ox2

,Ox3軸正向的單位向量(基向量)，則任一向量OP＝r可以唯一的表示為

r

＝x1e1+x2e2+x3e3x1，x2，x3稱(chēng)為向量r的坐標(biāo)。e1,e2和e3分別是兩兩垂直的一組單位向量，通常也稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。顯然，矢量本身與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。但是它的分量將隨坐標(biāo)系的不同而異，一般說(shuō)來(lái)，同一個(gè)矢量在不同坐標(biāo)系中，將由不同的分量來(lái)表示。2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)基向量變換建立三維空間的坐標(biāo)系{O;x1,x2,x3}，其基向量為{e1,e2,e3}。假設(shè)空間另有一坐標(biāo)系{O;x1’,x2’,x3’}，其基向量為{e1’,e2’,e3’}。如果li’j表示，即軸xi’和軸xj夾角的余弦軸軸x1x2x3x'1l1’1l1’2l1’3x'2l2’1l2’2l2’3x'3l3’1l3’2l3’32.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)基向量變換上式給出的是基向量ei’

(i=1,2,3)和ei(i=1,2,3)之間的變換關(guān)系。表示為矩陣形式，即采用指標(biāo)記號(hào)，可以簡(jiǎn)潔的記為記為矩陣形式，即2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)基向量變換故矩陣L正交矩陣。由正交矩陣性質(zhì)，知L-1＝LT，容易反解得到基向量間的逆變換表達(dá)式如下即2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)坐標(biāo)變換設(shè)從坐標(biāo)原點(diǎn)O至點(diǎn)A的矢量為a，它在舊新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為{a1,a2,a3}和{a1’,a2’,a3’}。則a可以表示為利用前面得到的基向量變換公式，則有2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)坐標(biāo)變換即采用指標(biāo)記號(hào)，即上式就是矢量a的分量從新坐標(biāo)系變換到原坐標(biāo)系的公式。同理，可以導(dǎo)出從原坐標(biāo)系變換到新坐標(biāo)系的公式2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)矩陣變換由線性代數(shù)可知，空間中線性變換完全由基向量的變換規(guī)則確定。矩陣就是線性變換在選定基下的坐標(biāo)化表達(dá)。對(duì)任意矢量a， 其中，Ψ為線性變換算子，A為該線性變換在基{e1,e2,e3}下的矩陣表達(dá)。同理，在基{e1’,e2’,e3’}下則有基向量的變換規(guī)則2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)矩陣變換由前面的基變換公式和向量變換公式，知將其代入上述舊坐標(biāo)系下線性變換表達(dá)式，則有對(duì)比新坐標(biāo)系下線性變換表達(dá)式由a‘的任意性，得上式即為坐標(biāo)變換下矩陣變換。采用指標(biāo)記號(hào)可將其簡(jiǎn)寫(xiě)為大家可以自己推導(dǎo)其逆變換。2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)向量?jī)?nèi)積由標(biāo)準(zhǔn)正交基向量定義，可知有

δij＝ei?ejδi′j′＝ei′?ej′故，任意兩向量?jī)?nèi)積 a?b

＝(aiei)?(bjej)

＝aibjei?ej＝aibjδij

=aibi特別有向量外積利用前面有關(guān)行列式的討論，則外積定義行列式換行換標(biāo)2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)下面證明δij和eijk關(guān)系，并借此進(jìn)一步熟悉張量運(yùn)算 ekspeipj

＝δisδjk

-δikδjs雙重外積公式（可查閱高數(shù)課本）

a×(b×c)＝(a?c)b-(a?b)c將式中三個(gè)向量表示為分量形式，即 a＝aiei，b＝bkek，c＝cses代入上式左右兩邊，得到 a×(b×c)＝aiei

×(bkcseksp

ep) ＝aibkcs

eksp

eipjej (a?c)b-(a?b)c＝aics

δisbk

ek

-aibk

δikcs

es

＝aibkcs

(δisδjk

-δikδjs)ej

2.3線性代數(shù)復(fù)習(xí)利用雙重外積公式，證明δij和eijk關(guān)系即 aibkcs

eksp

eipjej＝aibkcs

(δisδjk

-δikδjs)ej

移項(xiàng)，合并則有aibkcs[ekspeipj

-(δisδjk

-δikδjs)]ej=0由于ai，bk，cs的任意性，從而可得 ekspeipj

＝ekspejip

=δisδjk

-δikδjs習(xí)題1：大家可以嘗試用Lagrange公式來(lái)證明 (a×b)?(c×d)=(a?c)(b?

d)-(a?d)(b?

c)習(xí)題2： 甚至可以采用枚舉法，對(duì)i,j,k,s的所有81種取值情況逐個(gè)證明。2.4笛卡爾張量張量（Tensor）是表征一類(lèi)物理狀態(tài)或幾何性質(zhì)的物理量或幾何量。它包括諸如表征連續(xù)介質(zhì)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)的量，表征物體彈性性質(zhì)的量等等。“張量”這個(gè)名稱(chēng)就來(lái)源于它與應(yīng)力（張力）有關(guān)的歷史。實(shí)際上，理論力學(xué)中剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是一個(gè)二階張量，但在理論力學(xué)教科書(shū)中，對(duì)此通常都是避而不談。后面我們將來(lái)證明這一點(diǎn)。在討論張量之前，先對(duì)標(biāo)量和向量（或矢量）作進(jìn)一步的考察，這將有助于我們更清楚的理解張量的概念。2.4笛卡爾張量標(biāo)量（Scalar） 由一個(gè)實(shí)數(shù)即可確定的物理量或幾何量。 標(biāo)量可以分為兩種一種在坐標(biāo)系的變換下不變，即與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，稱(chēng)為絕對(duì)標(biāo)量。如物體的質(zhì)量、溫度等，也稱(chēng)為純量、數(shù)量、……另一種則是與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，比如作為矢量分量的標(biāo)量，稱(chēng)為非絕對(duì)標(biāo)量。作為張量范疇的標(biāo)量指的都是絕對(duì)標(biāo)量。2.4笛卡爾張量例子

設(shè)A、B是空間的兩點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系{O;x1,x2,x3}中它們的坐標(biāo)分別為ai、bi（i=1,2,3）。用Δs表示兩點(diǎn)間距離，即線段AB的長(zhǎng)度，則Δs為標(biāo)量。證明：

根據(jù)線段長(zhǎng)度公式有： 據(jù)前所述，坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換為

A、B在直角坐標(biāo)系{O;x1',x2',x3'}中它們的坐標(biāo)分別為ai'、bi',令

Δxi＝ai－bi，Δxi'＝ai'－bi' 利用以上變換有故有參照定義，線段長(zhǎng)度為標(biāo)量。2.4笛卡爾張量矢量（Vector）通常矢量的定義是具有大小和方向的量。為了進(jìn)一步推廣，下面引入新的定義。由3個(gè)與坐標(biāo)系選擇有關(guān)，并且服從轉(zhuǎn)軸公式的標(biāo)量所確定的物理量或幾何量。矢量可以用一個(gè)黑體字表示，也可以用它的三個(gè)分量表示，有時(shí)也將其表示為向量。（彈性力學(xué)中的基本變量通常表示為列向量）但并非任何三元素列矩陣均為矢量。比如a1表示年齡，a2表示身高，a3表示體重，則可以組成一個(gè)向量（a1，a2，a3）T。此向量也可以參加矩陣加法、數(shù)乘等運(yùn)算來(lái)求得一群人的年齡、身高、體重的平均值。但并不是矢量。此處定義的矢量是狹義的矢量，或者是嚴(yán)格意義上的矢量。

2.4笛卡爾張量例子

空間中任一點(diǎn)的位移為矢量。證明： 設(shè)點(diǎn)P在坐標(biāo)系{O;x1,x2,x3}下的坐標(biāo)為 xi＝xi(t)則P在時(shí)間間隔（t，t+Δt）中的位移為 ui＝xi(t+Δt)-xi(t) 在新坐標(biāo)系{O;x1′,x2′,x3′}中，它們成為 ui′＝xi′(t+Δt)-xi′(t) 由坐標(biāo)變換公式得同理，可證速度、加速度都是矢量。參照定義，位移為矢量2.4笛卡爾張量張量（Tensor）由9個(gè)與坐標(biāo)選擇有關(guān)，并且滿(mǎn)足如下轉(zhuǎn)軸公式的標(biāo)量所定義的量。二階張量通常也可以記成矩陣形式。自然，并非任何3×3矩陣都能稱(chēng)為張量，只有服從轉(zhuǎn)軸公式的才可以。有時(shí)也把標(biāo)量稱(chēng)為零階張量，矢量稱(chēng)為一階張量。一個(gè)張量的分量的個(gè)數(shù)就等于維的階次方。二維矢量（二維一階張量）：21＝2個(gè)分量(平面矢量)

三維矢量（三維一階張量）：31＝3個(gè)分量(空間矢量)空間的維數(shù)與張量的階次是兩個(gè)完全不同的概念。 對(duì)比矢量定義維數(shù)是指標(biāo)的取值范圍，階數(shù)是腳標(biāo)的個(gè)數(shù)。相對(duì)論中維數(shù)就是四。2.4笛卡爾張量例子

1Kronecker符號(hào)證明：

由基向量間的變換公式以及標(biāo)準(zhǔn)正交基的內(nèi)積，得

δi’j’＝ei’?ej’＝li’kek?lj’ses

＝li’klj’sδks故Kronecker符號(hào)實(shí)際上是二階張量。習(xí)題：類(lèi)似的，證明排列符號(hào)eijk是三階張量

參照張量定義2.4笛卡爾張量例子

2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量證明： 設(shè)剛體的角速度為ω，則剛體內(nèi)任一點(diǎn)的速度為

v＝ω

×r 式中r為質(zhì)點(diǎn)的位置矢量。 剛體的角動(dòng)量矩為其中，下式即為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

指標(biāo)輪換對(duì)稱(chēng)性2.4笛卡爾張量例子

2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 利用δij和eijk關(guān)系代入轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)式，有坐標(biāo)變換公式為

換標(biāo)2.4笛卡爾張量例子

2剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 由前一例子可知δij為二階張量。 由有關(guān)線段長(zhǎng)度的定義知xpxp為標(biāo)量，即在坐標(biāo)變換下不變。并且由求和指標(biāo)性質(zhì)知 對(duì)于xixj，有綜上：

參照張量定義可知轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為二階張量2.4笛卡爾張量張量運(yùn)算加減法，與矩陣加法規(guī)律相同。標(biāo)量與張量相乘，與矩陣數(shù)乘規(guī)律相同。張量的微分記號(hào)張量分解分解為對(duì)稱(chēng)張量和反對(duì)稱(chēng)張量分解為球張量和偏張量張量不變量類(lèi)比與矩陣中的特征值和特征向量理論。張量是一種數(shù)學(xué)工具，早期只是把它作為一種方便的速記符號(hào)來(lái)用，使公式變得簡(jiǎn)潔明了。但在近幾十年，張量理論得到很大發(fā)展，成為研究連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的銳利工具。這里只是引出了張量最基本的概念，希望能夠有助于大家對(duì)于課本的理解，乃至文獻(xiàn)的閱讀。本頁(yè)列出的三個(gè)論題，將在后面結(jié)合具體問(wèn)題來(lái)討論。三、彈性力學(xué)問(wèn)題的微分提法概述本節(jié)回顧了彈性力學(xué)中的一些基本概念，但由于主要目的是以張量為工具，對(duì)彈性力學(xué)進(jìn)行表述，因此并不追求彈性理論上的完備性。除熟悉張量工具外，某些力學(xué)概念也做了適當(dāng)?shù)募由?。?nèi)力分析部分點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分量的計(jì)算主應(yīng)力及應(yīng)力不變量，應(yīng)力張量的分解變形分析部分應(yīng)變張量的推導(dǎo)及其物理意義剛體變形分析本構(gòu)理論從熱力學(xué)出發(fā)建立應(yīng)變能函數(shù)線彈性理論的推導(dǎo)彈性力學(xué)方程匯總張量的降階矩陣算子表達(dá)式不同坐標(biāo)系下方程的推導(dǎo)3.1內(nèi)力分析點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

若一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量被確定，則該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)就完全被確定了。

上面這句話只有在做到下面這件事后，才能認(rèn)為是正確的：該點(diǎn)任何斜截面上的應(yīng)力都可用這9個(gè)分量表示。

彈性力學(xué)中已經(jīng)證明這一點(diǎn)，此處直接引用相關(guān)結(jié)論。右圖為彈性力學(xué)中常見(jiàn)的四面體微元。對(duì)三個(gè)軸向考察合力平衡，可以得到斜截面應(yīng)力公式n的三個(gè)方向余弦用l1,l2,l3表示，即l1＝cos(n,x1),

l2＝cos(n,x2),

l3＝cos(n,x3)左式通常也用來(lái)表示應(yīng)力邊界條件3.1內(nèi)力分析點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)上式就是著名的Cauchy應(yīng)力公式，將其表示為矩陣形式，即可以采用指標(biāo)記號(hào)，將其進(jìn)一步簡(jiǎn)寫(xiě)為如果對(duì)三個(gè)軸向考察彎矩平衡，即可得到剪力互等定理所以3.1內(nèi)力分析坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分量的計(jì)算利用上面的結(jié)果，可以把某新坐標(biāo)系{O;x1’,x2’,x3’}中的9個(gè)分量用原坐標(biāo)系中{O;x1,x2,x3}的9個(gè)量表示出來(lái)。在斜截面上建立直角坐標(biāo)系，其三軸為r，m，n。n軸與法線重合，r和m在平面任取，只要求互相垂直。將應(yīng)力矢在r，m，n三個(gè)軸上的投影用σnr,σnm,σmr表示。m軸的方向余弦記為lm1，lm2，lm3，依次類(lèi)推n、r。根據(jù)矢量投影為其分量投影之熟悉張量式最好的辦法是將其寫(xiě)成展開(kāi)式，進(jìn)而寫(xiě)成矩陣式。多次練習(xí)之后就可以建立起它們之間的聯(lián)系，也就能體會(huì)到張量式清晰簡(jiǎn)潔的優(yōu)點(diǎn)。3.1內(nèi)力分析坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分量的計(jì)算應(yīng)用Cauchy公式則有利用矩陣形式表達(dá)，即3.1內(nèi)力分析坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)力分量的計(jì)算仿照不難寫(xiě)出新坐標(biāo)系下9個(gè)應(yīng)力分量，以σ2′3′為例采用自由指標(biāo)表達(dá)，即表達(dá)為矩陣形式，即x1x2x3x'1l11l12l13x'2l21l22l23x'3l31l32l33新舊坐標(biāo)系夾角的余弦由張量定義知，應(yīng)力為二階張量3.1內(nèi)力分析主應(yīng)力由下式 看出，在坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的情況下，張量分量的變換和矩陣分量的變換是一樣的。由剪力互等定理，應(yīng)力張量是對(duì)稱(chēng)的。線性代數(shù)矩陣?yán)碚撝赋?，在坐?biāo)旋轉(zhuǎn)的情況下，如果矩陣滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件矩陣元素為實(shí)數(shù)矩陣對(duì)稱(chēng) 則一定可以找到一組可以將矩陣對(duì)角化的坐標(biāo)系這個(gè)結(jié)論對(duì)應(yīng)的物理意義即：對(duì)于物體內(nèi)任意一點(diǎn)，必定存在三個(gè)實(shí)數(shù)值的主應(yīng)力及一組正交的主方向。3.1內(nèi)力分析主應(yīng)力主應(yīng)力問(wèn)題的力學(xué)提法 我們知道，經(jīng)過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)的任意截面上的應(yīng)力矢量，不僅與該點(diǎn)的應(yīng)力張量有關(guān)，而且依賴(lài)于截面的方向。因此，很自然會(huì)提出下面的問(wèn)題：是否存在這樣一個(gè)截面，其應(yīng)力矢量沿著截面法向？也就是說(shuō)，應(yīng)力矢量就是作用在截面上的正應(yīng)力，切應(yīng)力等于零。以下的討論中將具有上述特性的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力，它是應(yīng)力張量的主值。而起作用的截面稱(chēng)為主平面，主平面的法向則為應(yīng)力張量的主方向。假設(shè)右圖中的斜截面是符合上述要求的面元，并且作用于其上的應(yīng)力為σ，利用前面的Cauchy公式則有表達(dá)為矩陣形式即一點(diǎn)的主應(yīng)力3.1內(nèi)力分析主應(yīng)力上面實(shí)際是一個(gè)矩陣特征值問(wèn)題，非零解存在的條件就是相應(yīng)的行列式系數(shù)為零，即

可以采用指標(biāo)符號(hào)，更簡(jiǎn)潔的記為展開(kāi)行列式為3.1內(nèi)力分析主應(yīng)力與應(yīng)力張量不變量上式也可改寫(xiě)為式中I1、I2、I3為應(yīng)力張量不變量，表達(dá)式為3.1內(nèi)力分析應(yīng)力張量不變量這是個(gè)一元三次方程，設(shè)以σ1，σ2，σ3表示它的三個(gè)根根據(jù)代數(shù)方程的系數(shù)與根的關(guān)系，I1、I2、I3可以寫(xiě)為由于主應(yīng)力的值與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，即由上述三式可知I1、I2、I3可以也是與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)的量。這就是不變量名稱(chēng)的意義。下面以第一不變量為例，利用轉(zhuǎn)軸公式證明3.1內(nèi)力分析應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量可以分解為兩部分，一部分為均勻應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力相等，切等于平均應(yīng)力。表示為矩陣即這叫做球應(yīng)力張量，只與材料的體積應(yīng)變有關(guān)。應(yīng)力張量的其余部分稱(chēng)為偏應(yīng)力張量，至于材料的形狀改變（剪切變形）有關(guān)，其分量為可以類(lèi)似的求出偏應(yīng)力張量的三個(gè)不變量，它們?cè)谒苄粤W(xué)中有著重要的應(yīng)用。其中3.1內(nèi)力分析平衡方程Gauss公式（該公式以后經(jīng)常用到，希望大家能夠復(fù)習(xí)）對(duì)于彈性力學(xué)中的應(yīng)力，該公式可以寫(xiě)為更簡(jiǎn)潔的形式隔離體平衡 在物體內(nèi)用封閉曲面S包圍體積V，得到隔離體。作用在S外表面上的應(yīng)力矢用Ti表示，作用在V上的體力用Fi表示。由合力為零，得 代入Cauchy公式，得3.1內(nèi)力分析平衡方程Gauss公式隔離體平衡結(jié)合以上兩式注意到V是任意取的，要上式成立必然有被積函數(shù)恒為零。即

由于建立了連續(xù)函數(shù)體積分與面積分之間的關(guān)系，Gauss公式是應(yīng)用數(shù)學(xué)中最有用的公式之一。這里的思想方法，以后經(jīng)常遇到。3.2變形分析構(gòu)形與位移在小變形假設(shè)下，由于變形很小，因而忽略了物體受力后在空間位置的變化。但更一般的情況是，變形比較大，必須考慮這種改變。為了描述物體變形前后的兩種不同狀態(tài)，引入了構(gòu)形的概念。構(gòu)形(configuration)：在某一瞬時(shí)，物體在空間所占據(jù)的區(qū)域。有時(shí)也將其稱(chēng)為位形，顧名思義，就是描述了物體的位置和形狀。是指由坐標(biāo)系所描述的變形體的幾何形貌。在時(shí)間t＝0，物體的初始構(gòu)形為V0，并參考于一固定的坐標(biāo)系{xi}。 物體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)P可由矢徑r或其質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)（x1，x2，x3）來(lái)表示。構(gòu)形V0被稱(chēng)為初始構(gòu)形。在后來(lái)某一瞬時(shí)t，物體被移動(dòng)到空間另一位置，其構(gòu)形為V，稱(chēng)為當(dāng)前構(gòu)形。描述這一構(gòu)形，用直角坐標(biāo)系{ξi}。 初始構(gòu)形中的P點(diǎn)，變形后被移動(dòng)到空間位置的Q點(diǎn)，可由矢徑R或質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)（ξ1，ξ

2，ξ

3）來(lái)表示。如右圖所示，可以令坐標(biāo)系{xi}和{ξi}重合。3.2變形分析構(gòu)形與位移可以把物體由初始構(gòu)形到當(dāng)前構(gòu)形的變化，看作是一種數(shù)學(xué)上的變換。因而同一質(zhì)點(diǎn)變形前后的關(guān)系有ξi＝ξi（x1，x2，x3，t

）（i＝1，2，3） 顯然，ξi應(yīng)當(dāng)是xj的單值連續(xù)函數(shù)。并且由定義可得ξi＝ξi（x1，x2，x3，0

）＝xi（i＝1，2，3）位移(displacement) 如果令ui表示質(zhì)點(diǎn)沿xi軸方向的位移，則 ui＝ξi

-xi（i＝1，2，3） 或改寫(xiě)為向量形式有

u=R-r3.2變形分析構(gòu)形與位移物體內(nèi)的位移可分為兩種：剛體位移：位移發(fā)生后物體內(nèi)各點(diǎn)依然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位置不變，位移由物體在空間作剛體運(yùn)動(dòng)而引起。變形位移：位移發(fā)生時(shí)改變了物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移。這也是彈性力學(xué)感興趣的位移，因?yàn)檫@種位移與物體內(nèi)的應(yīng)力有關(guān)系。如右圖，在變形前物體上取三個(gè)鄰點(diǎn)P、P′、P″，變形后這三個(gè)點(diǎn)分別移動(dòng)到Q、Q′、Q″，。顯然，如果能知道三角形的三邊長(zhǎng)度的變化，那么變形后三角形的形狀和夾角就可以完全確定。如果把物體內(nèi)所有這種微小三角形拼合在一起，那么除了物體在空間的位置之外，變形后的新形態(tài)可以完全確定。所以，描述物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間距離的變化，將是分析物體變形的關(guān)鍵。3.2變形分析應(yīng)變張量考察物體內(nèi)兩相鄰點(diǎn)P(x1,x2,x3)、P′(x1+dx1,x2+dx2,x3+dx3)。變形前，線元PP′的原始長(zhǎng)度ds0的平方為P、P′變形后移動(dòng)到Q(ξ1,ξ

2,ξ

3),Q′(ξ1+dξ1,ξ

2+dξ

2,ξ

3+dξ

3) 線元QQ′的長(zhǎng)度ds的平方為由于構(gòu)形的變化看作從xi（i＝1，2，3）到ξi（i＝1，2，3）上的一種數(shù)學(xué)變換，即

ξi＝ξi（x1，x2，x3）（i＝1，2，3）故有3.2變形分析應(yīng)變張量于是，線元長(zhǎng)度平方之差可寫(xiě)成引進(jìn)應(yīng)變項(xiàng)上式可以寫(xiě)為應(yīng)變Eij稱(chēng)為Green應(yīng)變，為大變形分析條件下常用的應(yīng)變度量。為了得到應(yīng)變和位移的關(guān)系，考慮前面的位移場(chǎng)3.2變形分析應(yīng)變張量于是，代入Green應(yīng)變表達(dá)式，并注意δij的換標(biāo)作用由于小變形的假設(shè)，上式中位移導(dǎo)數(shù)的二次項(xiàng)相對(duì)于它的一次項(xiàng)可以忽略，因此Green應(yīng)變可以退化為小位移情況下的無(wú)限小應(yīng)變張量εij，即大家可以嘗試證明，應(yīng)變也是二階張量。因此，同樣可對(duì)其進(jìn)行應(yīng)變狀態(tài)分析、確定主應(yīng)變及主應(yīng)變方向、求解應(yīng)變不變量……3.2變形分析應(yīng)變張量的物理意義 現(xiàn)在我們考察如何通過(guò)應(yīng)變張量確定線元的相對(duì)伸長(zhǎng)。設(shè)已知任意線元ds0變形前與x1軸平行，其分量為dx1=ds0，dx2=dx3=0；變形之后為ds，于是線元的相對(duì)伸長(zhǎng)為根據(jù)前面討論，在小變形假設(shè)下有將其代入上式，并注意到dx1=ds0，得注意相對(duì)伸長(zhǎng)比就是通常意義下的正應(yīng)變！因此ε11數(shù)值上等于工程正應(yīng)變?chǔ)舩。同理可討論ε22和ε33。3.2變形分析應(yīng)變張量的物理意義 考察如何通過(guò)應(yīng)變張量確定兩垂直線元間角度的變化。設(shè)變形前線元ds0與x1軸平行，其分量為dx1=ds0，dx2=dx3=0；變形前線元ds′0與x2軸平行，其分量為dx2=ds0，dx1=dx3=0。變形后為ds(dξi)和ds′(dξ′i)，列出變形后線元ds與ds′的內(nèi)積根據(jù)Green應(yīng)變定義，并注意到其中δij＝δ12＝0，得將其代入上式，得由前面分析知3.2變形分析應(yīng)變張量的物理意義整理以上各式得則變形前相互垂直的ds0與ds′0兩線元間夾角的變化于是有在小變形情況下上式即工程剪切應(yīng)變?chǔ)脁y：變形體內(nèi)一點(diǎn)沿x1和x2方向兩線元間直角的變化。同理可討論其他分量。3.2變形分析剛體變形前面我們以物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離變化為出發(fā)點(diǎn)，詳細(xì)討論了物體的應(yīng)變。然而，物體在外力作用下產(chǎn)生的位移是由剛體運(yùn)動(dòng)和變形共同引起的。 例如右圖中任意線元AB變形后移動(dòng)到新位置A’B”。它的運(yùn)動(dòng)可以看作：線元AB先做剛體平動(dòng)到A’B’，然后經(jīng)過(guò)伸長(zhǎng)變形和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)到A’B”。下面來(lái)考察剛體轉(zhuǎn)動(dòng)部分，并限于討論小變形情況。 顯然，在考慮剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，只與線元AB端點(diǎn)的相對(duì)位移有關(guān)。 設(shè)A點(diǎn)和B點(diǎn)的位移分別為uA和uB。 如將鄰點(diǎn)B的位移展開(kāi)為A點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)， 并略去二次以上微量，得到

線元AB兩端點(diǎn)的相對(duì)位移為3.2變形分析剛體變形采用指標(biāo)記號(hào)，上式可以寫(xiě)為可以證明位移的一階偏導(dǎo)數(shù)是二階張量。寫(xiě)成矩陣形式，即

通常將其稱(chēng)為位移梯度張量。3.2變形分析剛體變形在一般情況下 所以位移梯度張量一般是不對(duì)稱(chēng)的。為了將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)和伸長(zhǎng)變形分開(kāi)，可以將位移梯度張量分解為一個(gè)對(duì)稱(chēng)張量和一個(gè)反對(duì)稱(chēng)張量之和： 上式右端的對(duì)稱(chēng)張量就是小變形的應(yīng)變張量εij，而反對(duì)稱(chēng)張量與線元的轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)，稱(chēng)為小變形的轉(zhuǎn)動(dòng)張量，記作ωij。故上式可寫(xiě)為其中由該式可知，僅當(dāng)εij<<1，并且ωij<<1時(shí)才有ui,j<<1。也就是說(shuō)，小變形的情況要求變形和轉(zhuǎn)動(dòng)都是微小的。3.2變形分析轉(zhuǎn)動(dòng)張量的物理意義現(xiàn)在我們考察變形體內(nèi)過(guò)某點(diǎn)在x1x2平面上的線元繞過(guò)該點(diǎn)且垂直于x1x2平面的軸作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)引起的角位移。 取x1x2平面上過(guò)P點(diǎn)且分別平行于x1軸和x2軸的兩線元PA和PB。如圖 小變形時(shí)，設(shè)它們?cè)谄矫鎯?nèi)相對(duì)x1

、x2軸轉(zhuǎn)角為α1和α2。 對(duì)此兩線段位置改變可看作PAB作為整體（即PA和PB保持垂直）逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角度（α1–α2)/2到虛線位置，然后線段PA再逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度（α1+α2)/2，而線段PB則順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)角度（α1+α2)/2。3.2變形分析轉(zhuǎn)動(dòng)張量的物理意義這樣，PA與PB的剪切變形為或應(yīng)變張量分量為若按右手螺旋規(guī)則用矢量Ω表示點(diǎn)P的剛性轉(zhuǎn)角，那么矢量在x3方向的分量，即點(diǎn)P處微元體繞x3軸的剛性轉(zhuǎn)角，可記為Ω3。由上面分析顯然有利用排列符號(hào)，可將轉(zhuǎn)動(dòng)張量和轉(zhuǎn)動(dòng)矢量之間的關(guān)系用指標(biāo)記為3.3本構(gòu)關(guān)系在前面兩節(jié)，我們分別從力學(xué)和幾何的觀點(diǎn)出發(fā)，導(dǎo)出了平衡方程和幾何方程。 這些方程只反映物體變形過(guò)程中所應(yīng)遵循的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和連續(xù)性條件，而不涉及具體材料的物理特性，因此對(duì)一切連續(xù)體均適用。彈性力學(xué)的目的是研究彈性體在外因（包括荷載、溫度……）作用下的力學(xué)響應(yīng)（包括應(yīng)力、變形……）。 顯然，僅從上述方程出發(fā)，不足以解決問(wèn)題。必須建立一組把應(yīng)力、變形和溫度等聯(lián)系起來(lái)的方程。

3.3本構(gòu)關(guān)系一般將描述物質(zhì)特性的方程稱(chēng)為該物質(zhì)的本構(gòu)方程。應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系描述了物質(zhì)的力學(xué)特性，因此也可以稱(chēng)為本構(gòu)關(guān)系（方程）。 研究描述變形體力學(xué)特性的本構(gòu)關(guān)系，從根本上講，應(yīng)從熱力學(xué)定律出發(fā)。因?yàn)槲矬w在外力作用下的變化過(guò)程，實(shí)際上是一個(gè)熱力學(xué)過(guò)程。由于具體材料物質(zhì)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和變形機(jī)理的多樣性，要通過(guò)理論分析得出一個(gè)對(duì)任何連續(xù)介質(zhì)和工作條件下都適用的本構(gòu)關(guān)系是不可能的。3.3本構(gòu)關(guān)系通常的做法是，先根據(jù)熱力學(xué)定律確定本構(gòu)方程的基本框架，在配合適當(dāng)?shù)牟牧显囼?yàn)測(cè)定必要的材料特性常數(shù)，從而得到某類(lèi)材料在特定工作條件下便于應(yīng)用的本構(gòu)關(guān)系。本節(jié)將按照這種思路介紹線彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，并且限于等溫過(guò)程和絕熱過(guò)程。利用這兩類(lèi)條件可以近似考慮絕大多數(shù)工程問(wèn)題。 如前所述，在從一種狀態(tài)變化到另一種狀態(tài)的過(guò)程中，外力對(duì)物體作了功，同時(shí)該物體還同外界交換（吸收或放出）了熱量，因而物體的總能量發(fā)生了變化。這一過(guò)程應(yīng)遵循熱力學(xué)的兩個(gè)基本定律。3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 熱力學(xué)第一定律在無(wú)限小的時(shí)間間隔內(nèi)，物體所具有的總能量的改變等于作用在該物體上的全部外力所作的功加上該物體向外界吸收（或放出）的熱量。物體的總能量應(yīng)包括物體各部分的動(dòng)能K和內(nèi)能U。前者與物體的質(zhì)量和速度分布有關(guān)，而后者可以認(rèn)為是取決于變形（應(yīng)變）狀態(tài)及溫度的函數(shù)（更確切的說(shuō)是泛函）。如果用A表示外力功，用Q表示熱量，則按照熱力學(xué)第一定律有 dA+dQ＝dK+dU 或

dU-dQ＝dA-dK為使分析簡(jiǎn)單，下面只討論靜力問(wèn)題，于是dK＝0，從而有 dU-dQ＝dA3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 熱力學(xué)第一定律若某瞬時(shí)作用在物體上的外力，即體力Fi和面力pi給定。在無(wú)限小時(shí)間間隔內(nèi)，物體內(nèi)各點(diǎn)的位移變化為dui，則這一過(guò)程中的外力功為將應(yīng)力邊界條件代入上式并利用Gauss公式，化面積分為體積分，得3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 熱力學(xué)第一定律繼續(xù)展開(kāi)上式利用前面討論的平衡方程和幾何方程，得因此有3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 熱力學(xué)第二定律由于我們研究的問(wèn)題是理想彈性體，其變形過(guò)程是可逆的。在從一狀態(tài)到鄰近另一狀態(tài)的熱平衡過(guò)程中，每一瞬間有一確定的溫度T（取絕對(duì)溫度）。對(duì)于可逆過(guò)程，按照熱力學(xué)第二定律，有 TdS＝dQ 其中，S稱(chēng)為熵，是一個(gè)與狀態(tài)有關(guān)的量。將其代入前式，則有上式是在可逆的變形過(guò)程中，利用熱力學(xué)第一定律和熱力學(xué)第二定律得到的結(jié)果。下面我們要說(shuō)明，在某些特定情況下，對(duì)于變形可逆的理想彈性體，存在應(yīng)變能函數(shù)，并可通過(guò)它確定應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 熱力學(xué)自由能前面已經(jīng)指出，變形過(guò)程為熱力學(xué)過(guò)程。描述固體變形過(guò)程的熱力學(xué)參數(shù)，通常除了前面提到的應(yīng)變?chǔ)舏j、應(yīng)力σij、溫度T、熵S、內(nèi)能U外，有時(shí)還引入用內(nèi)能U、溫度T及熵S表示的自由能F，即 F＝U-ST以上各量都是狀態(tài)參量，可以證明，所有這些參數(shù)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的，其余參數(shù)均可表示為這兩個(gè)參數(shù)的函數(shù)。也就是說(shuō)，任何一個(gè)參數(shù)都可以而且只須用兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示。例如，一般可將內(nèi)能U或自由能F表示為應(yīng)變和溫度的狀態(tài)函數(shù)。只有在下述兩種特定情況下，U或F才可僅表示為應(yīng)變的單值函數(shù)，這兩種情況便是絕熱過(guò)程和等溫過(guò)程。下面分別進(jìn)行說(shuō)明。3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 絕熱過(guò)程快速加載（如沖擊）可視為絕熱過(guò)程。由于過(guò)程變化很快，物體與外界熱量來(lái)不及交換，故有dQ＝0。因此有

物體在絕熱過(guò)程中，溫度將略有變化，因而應(yīng)力也隨著變化。但在小變形時(shí)，熱量dQ與外力功dA相比很小，溫度T的變化可以略去不計(jì)，于是應(yīng)力僅是應(yīng)變的函數(shù)。3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 等溫過(guò)程若加載十分緩慢，物體在變形時(shí)，可充分與外界進(jìn)行熱交換，因而溫度保持不變，這就是所謂的等溫過(guò)程。由自由能定義可得 dF＝dU-TdS–SdT代入下式

并注意等溫過(guò)程中，dT＝0，于是有3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù) 以上分析表明，上述兩種過(guò)程中，從某一狀態(tài)到鄰近的另一狀態(tài)，理想彈性的內(nèi)能變化dU或dF都可以視為僅由應(yīng)變狀態(tài)的變化引起的。從而U、F可僅表示為與應(yīng)變有關(guān)的函數(shù)。以上兩個(gè)狀態(tài)函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為應(yīng)變能函數(shù)。若以W表示單位體積的應(yīng)變能，并稱(chēng)為應(yīng)變能密度（簡(jiǎn)稱(chēng)應(yīng)變能），則有

應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，同一材料在兩種過(guò)程中的W可能有差別，但差別僅僅是由于該材料在兩種過(guò)程中的彈性系數(shù)不同而引起的。

小變形時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的形式是相同的（都可表示為線性關(guān)系）。試驗(yàn)表明，兩種過(guò)程中的彈性常數(shù)差別十分微小，可不必區(qū)分。因而在一定溫度下，同一材料在兩種過(guò)程中的本構(gòu)關(guān)系可以認(rèn)為是完全相同的。3.3本構(gòu)關(guān)系理想彈性體的應(yīng)變能函數(shù)由于對(duì)于任何一個(gè)理想彈性體（絕熱或等溫過(guò)程中），下式都是成立的，即式中的積分區(qū)域可以是任意的，

所以對(duì)于任意域V內(nèi)任一點(diǎn)均有由于應(yīng)變能W為應(yīng)變狀態(tài)的單值函數(shù)，與變形過(guò)程無(wú)關(guān)，因此有上式給出了建立應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的一般準(zhǔn)則，即應(yīng)力分量等于應(yīng)變能對(duì)相應(yīng)應(yīng)變分量的偏導(dǎo)數(shù)。這一結(jié)果首先由Green得到，因此也稱(chēng)為Green公式。3.3本構(gòu)關(guān)系線彈性體的本構(gòu)關(guān)系將應(yīng)變能W在εij＝0附近展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)（Taylor級(jí)數(shù)），在小應(yīng)變時(shí)一般應(yīng)變分量很?。é舏j<<1），可以略去εij的三階小量，于是有進(jìn)而有3.3本構(gòu)關(guān)系線彈性體的本構(gòu)關(guān)系當(dāng)εij＝0時(shí)，σij＝0，即得aij＝0。若令則得式中cijkl為材料的特性常數(shù)，一般可隨坐標(biāo)、溫度改變。它是一個(gè)四階張量，一般的四階張量有81個(gè)分量。由于σij和εkl各自的對(duì)稱(chēng)性，可以證明分別cijkl關(guān)于i、j和關(guān)于k、l對(duì)稱(chēng)，即最多只有36個(gè)不同的值。另外，由定義式可知，cijkl關(guān)于ij和kl也是對(duì)稱(chēng)的，即 cijkl＝cklij 所以，實(shí)際上在線彈性的本構(gòu)關(guān)系中，在最極端的各向異性的情況下，一點(diǎn)最多也只有21個(gè)獨(dú)立常數(shù)。對(duì)于具有各種對(duì)稱(chēng)面的材料，其彈性常數(shù)還會(huì)減少！3.3本構(gòu)關(guān)系各向同性線彈性體的本構(gòu)關(guān)系在一定的應(yīng)變狀態(tài)下，應(yīng)變能僅是點(diǎn)的位置的函數(shù)，與坐標(biāo)的取向無(wú)關(guān)，即應(yīng)變能是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，或者說(shuō)是一個(gè)不變量。對(duì)于各向同性線彈性體，彈性系數(shù)也是不變量。于是應(yīng)變能的表達(dá)式可知W為應(yīng)變分量的二次齊次式。同應(yīng)力張量相同，應(yīng)變張量也有且只有三個(gè)獨(dú)立的不變量I1，I2，I3。它們依次為應(yīng)變分量的一次、二次、三次齊次式。根據(jù)多項(xiàng)式代數(shù)的結(jié)論，高次齊次式可以表達(dá)為低次齊次式的組合。所以各向同性線彈性材料的應(yīng)變能可表示為下面的形式 其中A、B是與材料彈性性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)。3.3本構(gòu)關(guān)系各向同性線彈性體的本構(gòu)關(guān)系為了明確力學(xué)意義，下面用另外兩個(gè)常數(shù)代替上式中的A、B。并且應(yīng)變不變量用工程應(yīng)變分量表達(dá)，故W可用工程應(yīng)變分量表示為 其中λ、μ稱(chēng)為L(zhǎng)ame彈性常數(shù)。以上分析表明，各向同性彈性體只有兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為根據(jù)下式分別把應(yīng)變能W對(duì)各工程應(yīng)變分量進(jìn)行求導(dǎo)3.3本構(gòu)關(guān)系各向同性線彈性體的本構(gòu)關(guān)系由上面的應(yīng)變能函數(shù)可以求得以應(yīng)變表示的應(yīng)力為

式中 為體積應(yīng)變。采用指標(biāo)記號(hào)，上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為3.3本構(gòu)關(guān)系Hooke定律各向同性材料的兩個(gè)彈性常數(shù)可由試驗(yàn)測(cè)定，但通常在材料力學(xué)中介紹的拉伸試驗(yàn)測(cè)定的并不是前面的兩個(gè)Lame常數(shù)λ和μ，而是另外兩個(gè)工程彈性常數(shù)E和ν。我們已經(jīng)證明，各向同性材料獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)。因此可以肯定，這些彈性常數(shù)間必有確定的關(guān)系。下面將作簡(jiǎn)單的推導(dǎo)。3.3本構(gòu)關(guān)系Hooke定律 簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)在簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)中 式中E稱(chēng)為楊氏模量（Young’smodulus），ν稱(chēng)為泊松比（Poisson’sratio）。將上述結(jié)果代入用Lame常數(shù)表示的本構(gòu)方程，得3.3本構(gòu)關(guān)系Hooke定律 簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)因此有求解得上式表明了Lame常數(shù)λ、μ和工程彈性常數(shù)E和ν之間的關(guān)系。3.3本構(gòu)關(guān)系Hooke定律 純剪試驗(yàn)工程中通常還會(huì)引入另一彈性常數(shù)：剪切模量G。有前面討論可知，它不是獨(dú)立的，與E、ν有確定的關(guān)系。通過(guò)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)的純剪試驗(yàn)表明

將上述結(jié)果代入用Lame常數(shù)表示的本構(gòu)方程3.3本構(gòu)關(guān)系Hooke定律 純剪試驗(yàn)可知

5個(gè)藍(lán)色的式子自然滿(mǎn)足，余下一個(gè)黑色的式子。比較其中的工程剪應(yīng)變?chǔ)脁y，得上式表明了工程彈性常數(shù)E、ν、G三者的關(guān)系，也表明了Lame常數(shù)中μ的即剪切模量G。3.4彈性力學(xué)微分方程綜合前面三節(jié)，我們獲得了彈性力學(xué)的全部方程。這是一組泛定方程，必須給出相應(yīng)的定解條件，才能構(gòu)成一個(gè)完整的彈性力學(xué)定解問(wèn)題。本節(jié)主要內(nèi)容匯總基本方程，并通過(guò)回顧其建立過(guò)程來(lái)討論其適用范圍和精度。討論定解條件，即邊界條件的正確提法。在理論分析時(shí)，采用張量形式是很簡(jiǎn)潔的。但在有限元編程中，常常需要將對(duì)稱(chēng)的高階張量寫(xiě)成矩陣形式，為此介紹Voigt規(guī)則。為便于有限元中方程離散的推導(dǎo)，結(jié)合Voigt規(guī)則給出了各基本方程的矩陣算子表達(dá)。介紹以矩陣算子作為工具，采用坐標(biāo)變換的方法，以直角坐標(biāo)系下的基本方程為基礎(chǔ)直接推導(dǎo)其他坐標(biāo)系中基本方程的方法。3.4彈性力學(xué)微分方程基本方程 把前面得到的平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程合并在一起，即構(gòu)成了彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方程組。可用張量形式歸納如下平衡方程幾何方程本構(gòu)方程 式中三個(gè)平衡方程聯(lián)系著六個(gè)應(yīng)力分量六個(gè)幾何方程聯(lián)系著三個(gè)位移分量和六個(gè)應(yīng)變分量六個(gè)本構(gòu)方程聯(lián)系著六個(gè)應(yīng)力分量和六個(gè)應(yīng)變分量以上各式合在一起是包含15個(gè)未知函數(shù)的15個(gè)方程。這就是彈性力學(xué)基本方程組3.4彈性力學(xué)微分方程基本方程 應(yīng)注意到，上述15個(gè)方程均為線性方程。這里有必要回顧一下上述方程與基本假設(shè)的關(guān)系，即分析連續(xù)性、均勻性、各向同性、線彈性、小變形等5個(gè)假設(shè)在各方程中所起的作用。上述所有方程的建立都是基于所有未知函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)均是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，因而，連續(xù)性假設(shè)對(duì)平衡方程、幾何方程和本構(gòu)方程均是必不可少的。容易得知，均勻性、各向同性及線彈性對(duì)平衡方程和幾何方程均無(wú)影響。即，上述兩組方程也適用于非均勻、各向異性以及不服從Hooke定律的材料。注意，小變形假設(shè)是線性的平衡方程和幾何方程成立的前提！在平衡方程的推導(dǎo)中，采用了變形前位置代替變形后位置，這只有在小變形系才允許。在幾何方程中，僅含位移偏導(dǎo)數(shù)的線性項(xiàng)，這也只有滿(mǎn)足小變形假設(shè)時(shí)才是正確的。3.4彈性力學(xué)微分方程基本方程如前所述，本構(gòu)關(guān)系需由試驗(yàn)確定，但要直接由試驗(yàn)建立6個(gè)應(yīng)力分量和6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系，幾乎是不可能的，必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)睦碚摲治觥Ｔ诜治鲋?，基于小變形假設(shè)可以略去有關(guān)的高次小量，于是得到應(yīng)力－應(yīng)變的線性關(guān)系。這就是所謂的線彈性假設(shè)。一般說(shuō)來(lái)，線彈性與小變形并沒(méi)有必然的聯(lián)系。某些時(shí)候，在大變形情況下，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也可能是線性的。但對(duì)于多數(shù)情況，只有小變形條件下，材料的應(yīng)力－應(yīng)變才服從線彈性規(guī)律，所以可以認(rèn)為線彈性本構(gòu)方程是基于小變形假設(shè)的。綜上：連續(xù)性均勻性各向同性線彈性小變形平衡方程√√幾何方程√√本構(gòu)方程√√√√√3.4彈性力學(xué)微分方程基本方程現(xiàn)在來(lái)討論的方程的精度平衡方程是牛頓基本定律在變形體中的應(yīng)用。只要我們研究的對(duì)象不接近光速，即不進(jìn)入相對(duì)論力學(xué)的范疇，該方程的精度是足夠高的。對(duì)于絕大多數(shù)工程問(wèn)題，這一點(diǎn)顯然滿(mǎn)足。對(duì)于幾何方程，只要構(gòu)件的實(shí)際應(yīng)變足夠小，例如在千分之幾的量級(jí)，則精度也是很高的。本構(gòu)方程的精度在很大程度上取決于材料的彈性常數(shù)，而彈性常數(shù)的標(biāo)定又和試驗(yàn)有著密切的關(guān)系?？梢?jiàn)，在三組方程中，本構(gòu)方程的精度最低?？偟恼f(shuō)來(lái)，只要材料足夠精確的符合Hooke定律，變形又很微小，則上述15個(gè)方程就非常精確的反映了彈性體內(nèi)部的應(yīng)力和變形規(guī)律。只要給定適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，所得的應(yīng)力、應(yīng)變和位移就能十分接近問(wèn)題的真實(shí)值。3.4彈性力學(xué)微分方程邊界條件 如前所述，彈性力學(xué)基本方程組只是反映了任何一個(gè)彈性體內(nèi)部的應(yīng)力、應(yīng)變和位移變化所必須遵循的普遍規(guī)律。 對(duì)于每一個(gè)具體的問(wèn)題，還必須根據(jù)其邊界狀況提出適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，與基本方程構(gòu)成一個(gè)完整的微分方程邊值問(wèn)題，這樣才能獲得特定問(wèn)題的解答。可見(jiàn)邊界條件的重要性并不亞于基本方程組。 常見(jiàn)的邊界條件可以分為三類(lèi)：應(yīng)力邊界條件位移邊界條件混合邊界條件3.4彈性力學(xué)微分方程邊界條件

1.應(yīng)力邊界條件

它給出了物體全部邊界上的面力分布，即給出了物體表面上每一點(diǎn)處的三個(gè)面力分量。結(jié)合前面的Cauchy應(yīng)力公式，可用張量形式將其表達(dá)為 式中，為給定的面力分量，它是已知邊界面上坐標(biāo)的函數(shù)。

2.位移邊界條件

它給出了物體全部邊界上的位移，反映了邊界上的幾何約束。即不允許在邊界上發(fā)生位移不連續(xù)的情形。采用張量形式表達(dá)為式中，表示已知邊界面處的位移分布規(guī)律。3.4彈性力學(xué)微分方程邊界條件

3.混合邊界條件

它包括兩種情況：一種是在一部分邊界上（用Sσ表示）給出應(yīng)力邊界條件，另一部分邊界（用Su表示）給出位移邊界條件。通常表示如下另一種情況是，在彈性體的某部分或全部邊界上，同一點(diǎn)的一些方向給定面力分量，其余方向則給定位移分量。特別要注意的是，邊界條件必須提的合適，既不能多，也不能少。對(duì)于空間問(wèn)題，邊界上每一點(diǎn)必須且只需給定三個(gè)正交方向的邊界條件。同一方向如果給定面力就不能再給定位移，反之亦然。當(dāng)然，在實(shí)際工程中還有其它邊界條件。不一一列舉……3.4彈性力學(xué)微分方程彈性力學(xué)微分提法 現(xiàn)在我們可以得到完整的彈性力學(xué)微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即其中本構(gòu)關(guān)系適用于最一般的線性彈性體。3.4彈性力學(xué)微分方程彈性力學(xué)微分提法 上式是彈性力學(xué)問(wèn)題完整而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)提法。由于它是從對(duì)微元體進(jìn)行分析研究后，歸結(jié)為偏微分方程的邊值問(wèn)題，通常也稱(chēng)為彈性力學(xué)問(wèn)題的微分提法。 應(yīng)該指出，作為對(duì)一種物理規(guī)律的研究，對(duì)微元體進(jìn)行分析固然是一種常用的方法。我們還可以用另一種方法。 即不是從微元體而是從整體的角度，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)姆汉姆汉O值的條件來(lái)研究。這種方法就是彈性力學(xué)問(wèn)題的變分提法。 可以證明，作為這種泛函極值條件的Euler方程，對(duì)應(yīng)于彈性力學(xué)問(wèn)題的基本方程和邊界條件。即以上兩種提法本質(zhì)上是等價(jià)的。3.4彈性力學(xué)微分方程彈性力學(xué)微分提法 在微分提法的定解問(wèn)題中，基本方程具有普遍性，對(duì)于任何問(wèn)題都可以直接應(yīng)用。 邊界條件則要結(jié)合具體問(wèn)題才能寫(xiě)出，只有正確的給出某問(wèn)題的邊界條件，才能獲得該問(wèn)題的正確解答。 因而，能夠根據(jù)具體問(wèn)題正確地寫(xiě)出邊界條件，對(duì)于工程人員是非常重要的。3.5附注“張量”一詞最初由Hamilton在1846年引入，但他把這個(gè)詞用于指代現(xiàn)在稱(chēng)為模量(modulus)的對(duì)象。張量的現(xiàn)代意義是Voigt在1899年開(kāi)始使用的。

1900年Levi-Civita經(jīng)典文章《絕對(duì)微分》的出版使張量為許多數(shù)學(xué)家所知。隨著1915年左右Einstein的廣義相對(duì)論的引入，張量微積分獲得了更廣泛的承認(rèn)。（廣義相對(duì)論完全由張量語(yǔ)言表述)

張量在理論推導(dǎo)上有著巨大的優(yōu)勢(shì)，但在工程應(yīng)用中有時(shí)未必方便。我們可以通過(guò)Voigt規(guī)則將張量與傳統(tǒng)的彈性力學(xué)矢量建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。將高階自由指標(biāo)的張量寫(xiě)成低階張量形式的過(guò)程叫做Voigt標(biāo)記，其規(guī)則叫做Voigt規(guī)則。例如，在有限元編程中，常常將對(duì)稱(chēng)的二階張量寫(xiě)成列矩陣。相應(yīng)的，對(duì)應(yīng)于傳統(tǒng)彈性力學(xué)矢量，我們引入相應(yīng)的矩陣算子。并對(duì)涉及到的符號(hào)作如下約定：黑體表示張量。[]表示矩陣。{}表示列向量。最后，簡(jiǎn)要介紹了利用坐標(biāo)變換下算子的符號(hào)運(yùn)算推導(dǎo)其他坐標(biāo)系中基本方程的方法。3.5附注Voigt規(guī)則

Voigt規(guī)則的具體約定，取決于一個(gè)張量是一個(gè)動(dòng)力學(xué)量（諸如應(yīng)力）還是一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)量（諸如應(yīng)變）。動(dòng)力學(xué)Voigt規(guī)則二維σijσaija111222123規(guī)則3.5附注Voigt規(guī)