中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)復(fù)習(xí)《幾何模型》專題04 角平分線模型在三角形中的應(yīng)用（教師版）

專題04角平分線模型在三角形中的應(yīng)用在初中幾何證明中，常會(huì)遇到與角平分線有關(guān)的問題。不少同學(xué)遇到這類問題時(shí)，不清楚應(yīng)該怎樣去作輔助線。實(shí)際上這類問題是有章可循的，其策略是:明確輔助線作用，記清相應(yīng)模型輔助線作法，理解作輔助線以后的目的。能做到這三點(diǎn)，就能在解題時(shí)得心應(yīng)手?！局R(shí)總結(jié)】【模型】一、角平分線垂兩邊角平分線+外垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線、SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0即可.即有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】二、角平分線垂中間角平分線+內(nèi)垂直當(dāng)已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線,SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，輔助線的作法大都為延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0即可.即有SKIPIF1<0是等腰三角形、SKIPIF1<0是三線等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.【模型】三、角平分線構(gòu)造軸對(duì)稱角平分線+截線段等當(dāng)已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線、SKIPIF1<0不具備特殊位置時(shí)，輔助線的作法大都為在SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0即可.即有SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.

【模型】四、角平分線加平行線等腰現(xiàn)角平分線+平行線當(dāng)已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，點(diǎn)SKIPIF1<0角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0或SKIPIF1<0//SKIPIF1<0即可.即有SKIPIF1<0是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.1、如圖,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，并且SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求證：SKIPIF1<0.分析：條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線,SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，屬于角平分線基本模型一.輔助線的作法可嘗試過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0等，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.2、如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0//SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證:SKIPIF1<0.分析：已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，屬于角平分線基本模型二.輔助線的作法可嘗試延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0是等腰三角形、SKIPIF1<0是三線，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：延SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.3、已知:如圖7,SKIPIF1<0，求證:SKIPIF1<0.分析：已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，SKIPIF1<0不具備特殊位置，屬于角平分線基本模型三.輔助線的作法可嘗試在SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0.即有SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.證明：SKIPIF1<0上截取SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0

4、如圖,SKIPIF1<0//SKIPIF1<0,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.探究:在線段SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.分析：已知條件中出現(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別平分SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，猜側(cè)屬于角平分線基本模型四.輔助線的作法可嘗試過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0//SKIPIF1<0.即有SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問題.解析：點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0//SKIPIF1<0.SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.以上四個(gè)例題并不復(fù)雜，但對(duì)研究含有角平分線的幾何證明題具有指導(dǎo)意義.在教學(xué)過程中，要利用基本模型將復(fù)雜的幾何證明簡(jiǎn)單化，要真正看透問題的本質(zhì)，并將課本知識(shí)內(nèi)化為自己的知識(shí)，從而提高自己探究問題的能力和數(shù)學(xué)繪合素養(yǎng).

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1、如圖所示，在四邊形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，ACSKIPIF1<0BC，AC=BC，∠ABC的平分線交AD，AC于點(diǎn)E、F，則SKIPIF1<0的值是___________.分析：要求SKIPIF1<0的值，一般來說不會(huì)直接把BF和EF都求出來，所以需要轉(zhuǎn)化SKIPIF1<0，當(dāng)過點(diǎn)F作FGSKIPIF1<0AB時(shí)，即可將SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，又會(huì)出現(xiàn)模型1，所以這個(gè)輔助線與思路值得一試.解析：FGSKIPIF1<0AB于點(diǎn)GSKIPIF1<0∠DAB-90°，SKIPIF1<0FG/AD，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0ACSKIPIF1<0BC，SKIPIF1<0∠ACB=90°又SKIPIF1<0BF平分∠ABC，SKIPIF1<0FG=FC在Rt△BGF和Rt△BCF中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△BGF≌△BCF（HL），SKIPIF1<0BC=BGSKIPIF1<0AC=BC，SKIPIF1<0∠CBA=45°，SKIPIF1<0AB=SKIPIF1<0BCSKIPIF1<0

2、如圖，D是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，AESKIPIF1<0CE于點(diǎn)E，且AB=10，AC=16，則DE的長(zhǎng)度為______分析：有AE平分∠BAC，且AESKIPIF1<0EC，套用模型2，即可解決該題.解析：如圖，延長(zhǎng)CE，AB交于點(diǎn)FSKIPIF1<0AE平分∠BAC，AESKIPIF1<0ECSKIPIF1<0∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°在△AFE和△ACE中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△AFE≌ACE（ASA）。SKIPIF1<0AF=AC=16，EF=EC，SKIPIF1<0BF=6又SKIPIF1<0D是BC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0BD=CDSKIPIF1<0DE是△CBF的中位線SKIPIF1<0DE=SKIPIF1<0BF=3故答案為：3.

3、如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=SKIPIF1<0CE時(shí)，EP+BP=________.分析：這里出現(xiàn)角平分線，又有平行，應(yīng)該想到模型3，即可構(gòu)造出等腰三角形，結(jié)合相似模型，即可解出答案.解析：如圖，延長(zhǎng)BQ交射線EF于點(diǎn)M.SKIPIF1<0E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0EF//BCSKIPIF1<0∠CBM=∠EMBSKIPIF1<0BM平分∠ABC，SKIPIF1<0∠ABM=∠CBMSKIPIF1<0∠EMB=∠EBM，SKIPIF1<0EB=EMSKIPIF1<0EP+BP=EP+PM=EMSKIPIF1<0CQ=SKIPIF1<0CE，SKIPIF1<0EQ=2CQ由EF//BC得，△EMQ∽△CBQSKIPIF1<0SKIPIF1<0

【鞏固提升】1、如圖，F(xiàn)，G是OA上兩點(diǎn)，M，N是OB上兩點(diǎn)，且FG=MN，S△PFG=S△PMN，試問點(diǎn)P是否在∠AOB的平分線上？解析：過點(diǎn)P分別向OA、OB作垂線，SKIPIF1<0S△PFG=SKIPIF1<0PGSKIPIF1<0PE，S△PMN=SKIPIF1<0MNSKIPIF1<0PH，F(xiàn)G=MNSKIPIF1<0PH=PESKIPIF1<0點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.2、已知：在△ABC中，∠B的平分線和外角∠ACE的平分線相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求證：GF=BGSKIPIF1<0CF.證明：SKIPIF1<0BD平分∠ABC，SKIPIF1<0∠1=∠2，SKIPIF1<0DF//BC，SKIPIF1<0∠2=∠3，SKIPIF1<0∠1=∠3，SKIPIF1<0BF=DF.同理：DE=CE.SKIPIF1<0EF=DFSKIPIF1<0DF,SKIPIF1<0EF=BFSKIPIF1<0CE.

3、在四邊形ABCD中，∠ABC是鈍角，∠ABC+∠ADC=180°，對(duì)角線AC平分∠BAD.（1）求證：BC=CD；（2）若AB+AD=AC，求∠BCD的度數(shù)；解析:(1)如圖，過點(diǎn)C作CM⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M;作CN⊥AD，垂足為N，SKIPIF1<0AC平分∠DAB，SKIPIF1<0CM＝CN又SKIPIF1<0∠ABC+∠ADC＝180°，∠MBC+∠ADC＝180°

SKIPIF1<0∠NDC＝∠MBC，在△NDC與△MBC中，SKIPIF1<0，BC=DC

(2)如圖，延長(zhǎng)AB到B，使BB＝ADSKIPIF1<0AB+AD＝AC，∴AB＝AC

由(1)知∠ADC＝∠BBC;在△ADC與△BBC中

SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴△ADC≌△EBC，故AD＝EC

又SKIPIF1<0AE＝AC，∴AE＝AC＝EC故△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°;

∴∠BAD＝120°，∠BCD＝360°-180°-120°＝60°

即∠BCD＝60°

4、如圖，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊AB上，△BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a、AC=b、AB=c.（1）求線段BG的長(zhǎng)（2）求證：DG平分∠EDF.解析：（1）SKIPIF1<0△BDG與四邊形ACDG的周長(zhǎng)相等，∴BD+BG+DG＝AC+CD+DG+AG

SKIPIF1<0D是BC的中點(diǎn)

∴BD＝CD

∴BG=AC+AG

SKIPIF1<0BG+(AC+AG)=AB+AC,

∴BG=SKIPIF1<0（AB+AC)=SKIPIF1<0（b+c)

(2)證明:SKIPIF1<0點(diǎn)D.F分別是BC、AB的中點(diǎn)

∴DF＝SKIPIF1<0AC=SKIPIF1<0b，BF=SKIPIF1<0AB=SKIPIF1<0c

又SKIPIF1<0FG＝BGSKIPIF1<0BF=SKIPIF1<0（b+c)-SKIPIF1<0c=SKIPIF1<0b∴DF=FG

∴∠FDG＝∠FGD

SKIPIF1<0點(diǎn)D.E分別是BC、AC的中點(diǎn)，∴DB∥AB，∴∠EDG＝∠FGD,∴∠FDG＝∠BDG,即DG平分∠EDF5、如圖，BASKIPIF1<0MN，垂足為A，BA=4，點(diǎn)P是射線AN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），∠BPC=∠BPA，BCSKIPIF1<0BP，過點(diǎn)C作CDSKIPIF1<0MN，垂足為D，設(shè)AP=x.CD的長(zhǎng)度是否隨著x的變化而變化？若變化，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示CD的長(zhǎng)度；若不變化，請(qǐng)求出線段CD的長(zhǎng)度.解：CD的長(zhǎng)度不變

理由如下:

如圖，延長(zhǎng)CB和PA，記交點(diǎn)為點(diǎn)QSKIPIF1<0∠BPC＝∠BPA，BC⊥BP

∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性質(zhì))SKIPIF1<0BA⊥MN，CD⊥MM∴AB∥CD，

∴△QAB∽△△QDCAB/CD=QB/QC=1/2

∴CD＝2AB＝2×4＝8即CD＝8

6、已知：平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)分別為0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）問：是否存在這樣的m，使得在邊BC上總存在點(diǎn)P，使∠OPA=90°？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.（2）當(dāng)∠AOC與∠OAB的平分線的交點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，求m的值.解析：(1)存在.SKIPIF1<0O(0，0)、A(5，0)、B(m，2)、C(m-5，2)，OA＝BC＝5，BC∥OA，

以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點(diǎn)E.F，則∠OEA＝∠OFA＝90°，如圖1

作DG⊥EF于G，連DB，則DB＝OD＝2.5，DG＝2，EG=GF

∴DE=SKIPIF1<0=1.5，∴E(1,2),F(4,2),

∴當(dāng)SKIPIF1<0，即1≤m≤9時(shí)，邊BC上總存在這樣的點(diǎn)P，使∠OPA＝90(2)如圖2，SKIPIF1<0BC＝OA＝5，BC∥OA，∴四邊形OABC是平行四邊形∴OC∥AB，∴∠AOC+∠OAB＝180°，

SKIPIF1<0OQ平分∠AOC，AQ平分∠OAB，∴∠AOQ＝0.5∠AOC，∠OAQ＝0.5∠OAB，

∴∠AOQ+∠OAQ＝90°∴∠AQO＝90°，

以O(shè)A為直徑作D，與直線BC分別交于點(diǎn)E.F，則∠OEA＝∠OFA＝90°，∴點(diǎn)Q只能是點(diǎn)E或點(diǎn)F，

當(dāng)Q在F點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0OF、AF分別是∠AOC與OAB的平分線，BC∥OA∴∠CFO＝∠FOA＝∠FOC，∠BFA＝∠FAO＝∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB而OC＝AB，∴CF＝BF，即F是BC的中點(diǎn)。而F點(diǎn)為(4，2)，此時(shí)m的值為6.5，

當(dāng)在E點(diǎn)時(shí)，同理可求得此時(shí)m的值為3.5，綜上所述，m的值為3.5或6.5.7、我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準(zhǔn)等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準(zhǔn)等腰梯形”。其中∠B=∠C。（1）在圖1所示的“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個(gè)頂點(diǎn)引一條直線將四邊形ABCD分割成一個(gè)等腰梯形和一個(gè)三角形或分割成一個(gè)等腰三角形和一個(gè)梯形（畫出一種示意圖即可）；（2）如圖2，在“準(zhǔn)等腰梯形”ABCD中∠B=∠C，E為邊BC上一點(diǎn)，若AB//DE，AE/DC，求證：SKIPIF1<0；（3）在由不平行于BC的直線AD截△PBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠A