多次相遇問題

多次相遇問題(解析版)一、多次相遇與全程的關(guān)系兩地相向出發(fā)：第1次相遇，共走1個全程；第2次相遇，共走3個全程；第3次相遇，共走5個全程； , ;第N次相遇，共走2N-1個全程；注意：除了第1次，剩下的次與次之間都是2個全程。即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。同地同向出發(fā)：第1次相遇，共走2個全程；第2次相遇，共走4個全程；第3次相遇，共走6個全程； ， ；第N次相遇，共走2N個全程；3、 多人多次相遇追及的解題關(guān)鍵多次相遇追及的解題關(guān)鍵幾個全程多人相遇追及的解題關(guān)鍵路程差【例1】小明和小紅兩人在長100米的直線跑道上來回跑步，做體能訓(xùn)練，小明的速度為6米/秒，小紅的速度為4米/秒.他們同時從跑道兩端出發(fā)，連續(xù)跑了12分鐘.在這段時間內(nèi)，他們迎面相遇了多少次？【解析】第一次相遇時，兩人共跑完了一個全程，所用時間為：100：(6+4)=10(秒).此后，兩人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道長，也就是每20秒相遇一次，除去第一次的10秒，兩人共跑了12x60-10=710(秒).求出710秒內(nèi)兩人相遇的次數(shù)再加上第一次相遇，就是相遇的總次數(shù).列式計算為：100：(6+4)=10(秒)，(12x60-10)：Q0x2)=3510，共相遇35+1=36(次)。注：解決問題的關(guān)鍵是弄清他們首次相遇以及以后每次相遇兩人合跑的路程長.【例2】A、B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)，步行到B地，乙騎摩托車從B地出發(fā)，不停地往返于A、B兩地之間，他們同時出發(fā)，80分鐘后兩人第一次相遇，100分鐘后乙第一次追上甲，問:當甲到達B地時，乙追上甲幾次？【解析】由上圖容易看出：在第一次相遇與第一次追上之間，乙在100-80=20(分鐘)內(nèi)所走的路程恰等于線段FA的長度再加上線段AE的長度，即等于甲在(80+100)分鐘內(nèi)所走的路程，因此，乙的速度是甲的9倍(=180-20)，則BF的長為AF的9倍，所以，甲從A到B，共需走80x(1+9)=800(分鐘)乙第一次追上甲時，所用的時間為100分鐘，且與甲的路程差為一個AB全程.從第一次追上甲時開始，乙每次追上甲的路程差就是兩個AB全程，因此，追及時間也變?yōu)?00分鐘(=100x2)，

所以，在甲從A到B的800分鐘內(nèi)，乙共有4次追上甲，即在第100分鐘，300分鐘，500分鐘和700分鐘.【例3】【解析】【鞏固】【例3】【解析】【鞏固】【解析】（難度等級3）甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，乙的速度是甲的-，二人相3遇后繼續(xù)行進，甲到B地、乙到A地后立即返回.已知兩人第二次相遇的地點距第三次相遇的地點是100千米，那么，A、B兩地相距 千米.由于甲、乙的速度比是2:3，所以在相同的時間內(nèi)，兩人所走的路程之比也是2:3.第一次相遇時，兩人共走了一個AB的長，所以可以把AB的長看作5份，甲、乙分別走了2份和3份；第二次相遇時，甲、乙共走了三個AB，乙走了2x3=6份；第三次相遇時，甲、乙共走了五個AB，乙走了2x5=10份.乙第二次和第三次相距10—6=4（份）所以一份距離為：100次=25（千米），那么A、B兩地距離為：5x25=125（千米）（難度等級淤※※）小王、小李二人往返于甲、乙兩地，小王從甲地、小李從乙地同時出發(fā)，相向而行，兩人第一次在距甲地3千米處相遇，第二次在距甲地6千米處相遇（追上也算作相遇），則甲、乙兩地的距離為 千米.由于兩人同時出發(fā)相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本題中追上也算相遇，所以兩人第二次相遇可能為迎面相遇，也可能為同向追及.①如果第二次相遇為迎面相遇，如下圖所示，兩人第一次在A處相遇，第二次在B處相遇.由于第一次相遇時兩人合走1個全程，小王走了3千米；從第一次相遇到第二次相遇，兩人合走2個全程，所以這期間小王走了3x2=6千米，由于A、B之間的距離也是3千米，所以B與乙地的距離為（6-3）-2=1.5千米，甲、乙兩地的距離為6+1.5=7.5千米；TOC\o"1-5"\h\z—十 ■李 I I A B 乙王Z 叩 A甲 1 LA B②如果第二次相遇為同向追及，如上圖，兩人第一次在A處相遇，相遇后小王繼續(xù)向前走，小李走到甲地后返回，在B處追上小王.在這個過程中，小王走了6-3=3千米，小李走了6+3=9千米，兩人的速度比為3:9=1:3.所以第一次相遇時小李也走了9千米，甲、乙兩地的距離為9+3=12千米.所以甲、乙兩地的距離為7.5千米或12千米.【鞏固】（難度級別3）A，B兩地相距540千米。甲、乙兩車往返行駛于A，B兩地之間，都是到達一地之后立即返回，乙車較甲車快。設(shè)兩輛車同時從A地出發(fā)后第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到兩車第三次相遇為止，乙車共走了多少千米？

【解析】第一次相遇，甲乙總共走了2個全程，第二次相遇，甲乙總共走了4個全程，乙比甲快，相遇又在P點，所以可以根據(jù)總結(jié)和畫圖推出：從第一次相遇到第二次相遇，乙從第一個P點到第二個P點，路程正好是第一次的路程。所以假設(shè)一個全程為3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。這樣根據(jù)總結(jié)：2個全程里乙走了（540^3）x4=180x4=720千米，乙總共走了720x3=2160千米?！纠?】（難度級別淤※※）小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？【解析】畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5x3=10.5（千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是2=8.5（千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（3+2+2）倍的行程.其中張走了3.5x7=24.5（千米），24.5=8.5+8.5+7.5（千米）.就知道第四次相遇處，離乙村7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點離乙村1千米.二、解多次相遇問題的工具——柳卡柳卡圖，不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。折線示意圖往往能夠清晰的體現(xiàn)運動過程中'相遇的次數(shù)”，“相遇的地點”，以及“由相遇的地點求出全程”，使用折線示意圖法一般需要我們知道每個物體走完一個全程時所用的時間是多少。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。【例5】（難度級別淤※※）每天中午有一條輪船從哈佛開往紐約，且每天同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛.輪船在途中均要航行七天七夜.試問：某條從哈佛開出的輪船在到達紐約前（途中）能遇上幾艘從紐約開來的輪船？【解析】這就是著名的柳卡問題.下面介紹的法國數(shù)學家柳卡?斯圖姆給出的一個非常直觀巧妙的解法.他先畫了如下一幅圖：~ f————4——0-―4——~ f————4——0-―4——音——a——這是一張運行圖.在平面上畫兩條平行線，以一條直線表示哈佛，另一條直線表示紐約.那么，從哈佛或紐約開出的輪船，就可用圖中的兩組平行線簇來表示.圖中的每條線段分別表示每條船的運行情況.粗線表示從哈佛駛出的輪船在海上的航行，它與其他線段的交點即為與對方開來輪船相遇的情況.從圖中可以看出，某天中午從哈佛開出的一條輪船（圖中用實線表示）會與從紐約開出的15艘輪船相遇（圖中用虛線表示）.而且在這相遇的15艘船中，有1艘是在出發(fā)時遇到（從紐約剛到達哈佛），1艘是到達紐約時遇到（剛好從紐約開出），剩下13艘則在海上相遇；另外，還可從圖中看到，輪船相遇的時間是每天中午和子夜.如果不仔細思考，可能認為僅遇到7艘輪船.這個錯誤，主要是只考慮以后開出的輪船而忽略了已在海上的輪船.【鞏固】（難度級別3）一條電車線路的起點站和終點站分別是甲站和乙站，每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站，全程要走15分鐘.有一個人從乙站出發(fā)沿電車線路騎車前往甲站.他出發(fā)的時候，恰好有一輛電車到達乙站.在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車.到達甲站時，恰好又有一輛電車從甲站開出.問他從乙站到甲站用了多少分鐘？【解析】先讓學生用分析間隔的方式來解答：騎車人一共看到12輛車，他出發(fā)時看到的是15分鐘前發(fā)的車，此時第4輛車正從甲發(fā)出.騎車中，甲站發(fā)出第4到第12輛車，共9輛，有8個5分鐘的間隔，時間是5x8=40（分鐘）.再引導(dǎo)學生用柳卡的運行圖的方式來分析：第一步：在平面上畫兩條平行線分別表示甲站與乙站.由于每隔5分鐘有一輛電車從甲站出發(fā)，所以把表示甲站與乙站的直線等距離劃分，每一小段表示5分鐘.I234567891011 …乙站 o fl—-a白曰 o ? c o~fqo—第二步：因為電車走完全程要15分鐘，所以連接圖中的1號點與P點（注意：這兩點在水平方向上正好有3個間隔，這表示從甲站到乙站的電車走完全程要15分鐘），然后再分別過等分點作一簇與它平行的平行線表示從甲站開往乙站的電車.第三步：從圖中可以看出，要想使乙站出發(fā)的騎車人在途中遇到十輛迎面開來的電車，那么從P點引出的粗線必須和10條平行線相交，這正好是圖中從2號點至12號點引出的平行線.從圖中可以看出，騎車人正好經(jīng)歷了從P點到Q點這段時間，因此自行車從乙站到甲站用了5x8=40（分鐘）.對比前一種解法可以看出，采用運行圖來分析要直觀得多！【例6】（難度級別3）甲、乙兩人在一條長為30米的直路上來回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒0.6米.如果他們同時分別從直路的兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘后，共相遇幾次？

【解析】采用運行圖來解決本題相當精彩!首先，甲跑一個全程需30-1=30（秒），乙跑一個全程需30-0.6=50（秒）.與上題類似，畫運行圖如下（實線表甲，虛線表示乙，那么實虛兩線交點就是甲乙相遇的地點）：I一個周期內(nèi)共有5次相遇，其中第1,2,4,5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇.從圖中可以看出，當甲跑5個全程時，乙剛好跑3個全程，各自到了不同兩端又重新開始，這正好是一周期150秒.在這一周期內(nèi)兩人相遇了5次，所以兩人跑10分鐘，正好是四個周期，也就相遇了5x4=20（次）【例7】 （難度等級3）（2009年迎春杯復(fù)賽高年級組皿、B兩地位于同一條河上，B地在A地下游100千米處.甲船從A地、乙船從B地同時出發(fā)，相向而行，甲船到達B地、乙船到達A地后，都立即按原來路線返航.水速為2米/秒，且兩船在靜水中的速度相同.如果兩船兩次相遇的地點相距20千米，那么兩船在靜水中的速度是米/秒.【解析】本題采用折線圖來分析較為簡便.如圖，箭頭表示水流方向，ArCrE表示甲船的路線，BrDrF表示乙船的路線，兩個交點M、N就是兩次相遇的地點.由于兩船在靜水中的速度相同，所以兩船的順水速度和逆水速度都分別相同，那么兩船順水行船和逆水行船所用的時間都分別相同，表現(xiàn)在圖中，就是BC和DE的長度相同，AD和CF的長度相同.那么根據(jù)對稱性可以知道，M點距BC的距離與N點距DE的距離相等，也就是說兩次相遇地點與A、B兩地的距離是相等的.而這兩次相遇的地點相距20千米，所以第一次相遇時，兩船分別走了（100-20）+2=40千米和100-40=60千米，可得兩船的順水速度和逆水速度之比為60:40=3:2.而順水速度與逆水速度的差為水速的2倍，即為4米/秒，可得順水速度為4+（3-2）x3=12米/秒，那么兩船在靜水中的速度為12-2=10米/秒.【例8】 （難度等級3）A、B兩地相距1000米，甲從A地、乙從B地同時出發(fā)，在A、B兩地間往返鍛煉.乙跑步每分鐘行150米，甲步行每分鐘行60米.在30分鐘內(nèi)，甲、乙兩人第幾次相遇時距B地最近（從后面追上也算作相遇）？最近距離是多少？【解析】甲、乙的運行圖如上，圖中實現(xiàn)表示甲，虛線表示乙，兩條線的交點表示兩人相遇.在30分鐘內(nèi)，兩人共行了(15060)306300=x+米，相當于6個全程又300米，由圖可知，第3次相遇時距離A地最近，此時兩人共走了3個全程，即1000x3=3000千米，用時3000：(150+60)=100/7分鐘，甲行了60x100/7=6000/7米，相遇地點距離B地1000-6000/7-143米.【鞏固】(難度等級3)A、B兩地相距950米.甲、乙兩人同時由A地出發(fā)往返鍛煉半小時.甲步行，每分鐘走40米；乙跑步，每分鐘行150米.則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B地最近？【解析】半小時內(nèi)，兩人一共行走(40+150)x30=5700米，相當于6個全程，兩人每合走2個全程就會有一次相遇，所以兩人共有3次