北京平谷區(qū)2022屆高三零模數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

平谷區(qū)2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)控

數(shù)學(xué)試卷

2022.3

注1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分，考試時

意間為120分鐘.

事2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

項3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按要求保存好.

第I卷選擇題（共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，另有

：個選項符號題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

I.已知集合A={x[O<x<3},且Ac6={l},則集合3可以是（）

A.{小<1}B.C.{-1,0,1}D.

2

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z=——,則z的虛部是()

1+i

A.-1B.1c.2D.-2

3.下列函數(shù)中，定義域為R偶函數(shù)是（）

1

A.y=2xB.y=|tanx|c.D.y=xsinx

4.已知Q<Z;V0VC,下列不等式正確的是（)

ba

A.—>—B.a2<c2c.2"<2cD.log,,(-a)<log,(詢

ab

5.設(shè)拋物線的焦點為產(chǎn)，準線為/,拋物線上任意一點〃.則以點〃為圓心，以ME為半徑的圓與準線/

的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.都有可能

6.已知函數(shù)〃X）=log2（X+l）—國，則不等式〃X）>（）的解集是（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.（-1,0）D.0

7.已知邊長為2的正方形A8CD,設(shè)P為平面A8CD內(nèi)任一點，則“0?麗44”是“點在正方形及

內(nèi)部”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知公差不為零的等差數(shù)列{4},首項4=—5,若%,%，生成等比數(shù)列，記，=44…勺

(n=l,2,-??,),則數(shù)列{1}()

A.有最小項，無最大項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

9.已知函數(shù)/（x）=Asin（Ox+夕）（A＞（）,6y＞（）,［同＜］）部分圖象，如圖所示.則下列說法正確的

是（）

A.函數(shù)/（x）最小正周期為5

B-/（0＜/（2）

D.若/（不）=/（%）=a"產(chǎn)々），則|%-々|的最小值是女

10.生物學(xué)家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持恒溫.根據(jù)生物學(xué)常識，采集

\nW

了一些動物體重和脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)，經(jīng)過研究，得到體重和脈搏率的對數(shù)性模型：In/=lnk-----

（其中/是脈搏率（心跳次數(shù)/min）,體重為W（g）,左為正的待定系數(shù)）.已知一只體重為300g的豚鼠脈

搏率為300/min,如果測得一只小狗的體重5000g,那么與這只小狗的脈搏率最接近的是（）

A.130/minB.120/minC.110/minD.100/min

第n卷非選擇題（共uo分）

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線

上）

II.在（丁+2）的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

12.已知向量￡,b<2在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示.則(3+坂)?工=.

13.雙曲線C:W—y2=i的離心率為由，則。=____,焦點到漸近線的距離為______.

a22

14.能說明“若〃x),g(x)的定義域［—2,2］上是增函數(shù)，則〃x)-g(x)在［—2,2］上是增函數(shù)”為假命題

的一組函數(shù)：/(x)=,g(x)=.

15.設(shè)棱長為2正方體-,E是A￡>中點，點”、N分別是棱A3、CA上的動點，

給出以下四個結(jié)論：

①存在EN//MC}:

②存在MNJ_平面ECG：

③存在無數(shù)個等腰三角形EMN；

一24'

④三棱錐C-MVE的體積的取值范圍是y,-.

則所有結(jié)論正確的序號是.

三、解答題(本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

16.△ABC中,a—2-^>a~+c2—y/iac-b~-

(1)求￡)8；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確定，求

△ABC的面積.

條件①：6=3；條件②：cosA=1；條件③：AABC的周長為4+2JL

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

17.如圖，矩形ABCD和梯形硬尸，AF±AB,EF//AB，平面43石下，平面ABC。，且

AB=AF=2<4)=所=1，過。。的平面交平面A3砂于MN.

E

（1）求證：DC//MN；

（2）當(dāng)“為BE中點時，求點E到平面。CMN的距離；

RFM

（3）若平面ABCD與平面DOWN的夾角的余弦值為叱，求——的值.

5EB

18.為了迎接北京冬奧會，弘揚奧林匹克精神，某學(xué)校組織全體高一學(xué)生開展了冬奧知識競賽活動.從參加

該活動的學(xué)生中隨機抽取了12名學(xué)生的競賽成績，數(shù)據(jù)如下表：

男生818486868891

女生728084889297

（1）從抽出的男生和女生中，各隨機選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；

（2）從該校的高一學(xué)生中，隨機抽取3人，記成績?yōu)閮?yōu)秀（>90分）的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

（3）表中男生和女生成績的方差分別記為S；,S；,現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取學(xué)生，成績?yōu)?9

分，組成新的男生樣本，方差計為試比較S；、$、s；的大小.（只需寫出結(jié)論）

19.設(shè)函數(shù)/（》）=“111（》+1）+爐（aeR）.

（1）當(dāng)a=T時，

①求曲線y=f（x）在點（0,/（0））處的切線方程；

②求函數(shù)/（x）的最小值.

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=G>1,證明：當(dāng)“42時，函數(shù)H（x）=/（x）—g（x）至多有一個零點

221

20.已知橢圓C：「+1=1（。>6>0）上一點P到兩個焦點的距離之和為4,離心率為

a1b22

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓。的左右頂點分別為A、B，當(dāng)P不與A、B重合時，直線AP,3P分別交直線x=4于點

M.N,證明：以MN為直徑的圓過右焦點尸.

21.已知S"={x|x…=0或(n>2),對于4=(4,%,…,

3=(〃也,…也)eS“，A—B=(|4—優(yōu)|,|4一可，…，|“”一仇|)，定義A與8之間的距離為

d(A,B)=5|aj].

f=l

(1)若U，VeS4,寫出一組u，V的值，使得d(U,V)=2；

(2)證明：對于任意的U，V,WeS?,d{U-W,V-W)=d(U,Vy,

(3)若。=…,a,J,若VeS“，求所有。(U,V)之和.

平谷區(qū)2021-2022學(xué)年度第二學(xué)期高三年級質(zhì)量監(jiān)控

數(shù)學(xué)試卷

2022.3

注1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共4頁.共150分，考試時

意間為120分鐘.

事2.試題所有答案必須書寫在答題紙上，在試卷上作答無效.

項3.考試結(jié)束后，將答題紙交回，試卷按要求保存好.

第I卷選擇題（共40分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分；在每小題給出的四個選項中，另有

：個選項符號題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）

I.已知集合人={叩<》<3},且Ac6={l},則集合3可以是（）

A.{x|x<l}B.C.{-1,0,1}D.{x|尤21}

【1題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合交集的運算，將選項逐個代入進行排除即可.

【詳解】對于A：AcB={x[0<x<l},故A錯；

對于B：AnB={x|0<x<l）,故B錯；

對于C：AnB={l},故C正確；

對于D：AcB={x|1Wx<3},故D錯

故選：C

2

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=—,則z的虛部是（）

1+i

A.-1B.1C.2D.-2

【2題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法解題即可.

22（l-i）2-2i,.

【詳解】由題z=~；—=所以z的虛部為t,

l+i（l+i）（l-i）2

故選:A

3.下列函數(shù)中，定義域為R的偶函數(shù)是（）

A.j=TB.^=|tanx|c.y=±D.y=xsinx

【3題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定方法，以及初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)>=2',為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；

對于B,函數(shù)/（幻=隨才滿足/（一力=即（一何=阿（力|=/3為偶函數(shù)，但定義域為

+女ez},不為R,不符合題意；

對于C,函數(shù)y=J為偶函數(shù)，但定義域為{x|xwO},不為R,不符合題意；

對于D,函數(shù)y=xsinx,定義域為R,且滿足/（一幻=一％5畝（-6=%5皿％=/0）為偶函數(shù)，符合題

思T*T-、..

故選：D.

4.已知a<h<O<c,下列不等式正確的是（）

22C

A.->7B.a<cc.2"<2D.log（.（一a）<log（.（~b）

ab

【4題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】A作差法比較大小；B特殊值法，令。=-2,。=1即可判斷正誤；C根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大

小關(guān)系；D令c>l,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】A：2一3="二土，又a<b<0,則。2_/<0,而>（）,故即錯誤；

abahabab

B：當(dāng)a=-2,c=l時，不成立，錯誤;

C：由a<O<c,則0<2"<l<2°，正確;

D：由a＜/?＜（）,即一a＞—b＞0,當(dāng)c＞1時有a）＞log,.（一/），錯誤.

故選：C

5.設(shè)拋物線的焦點為產(chǎn)，準線為/,拋物線上任意一點則以點“為圓心，以為半徑的圓與準線/

的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交C.相離D.都有可能

【5題答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷即可；

【詳解】解：根據(jù)拋物線的定義可知拋物線上任意一點M到焦點F的距離等于到準線/的距離，

即以點〃為圓心，以叱為半徑的圓與準線/的相切：

故選：A

6.己知函數(shù)/（x）=iog2（x+i）-N，則不等式/?（%）＞o的解集是（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.（-1,0）D.0

【6題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】分別畫出函數(shù)y=log2（x+i）和y=|x|的圖象，利用函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】不等式/（x）＞0=log2（x+l）＞N,

分別畫出函數(shù)y=log2（x+l）和y=N的圖象，

由圖象可知y=log2（x+1）和y=W有兩個交點，分別是（0,0）和（1,1）,

由圖象可知log2（x+l）＞|x|的解集是（0,1）

即不等式/(x)>0的解集是(0,1).

故選：B

7.已知邊長為2的正方形ABC。，設(shè)P為平面ABC。內(nèi)任一點，則“04福.麗W4”是"點在正方形及

內(nèi)部”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【7題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】建立直角坐標系，利用向量的坐標運算可證明必要不充分性.

【詳解】解：必要性證明：邊長為2的正方形A8CQ,設(shè)尸為正方形ABC。及內(nèi)部任意一點，以zf為原點

建立直角坐標系如圖：

由題意可知A(0,0),B(2,0),P(x,y)(0<x<2)

則通=(2,0),麗=(x,y)

ABAP^2x>0<2x<4

故0W福?而W4

"0<ABAP<4”是“點在正方形及內(nèi)部'’的必要條件；

充分性證明：?.?福?麗=2x

若0W2xW4,則0WxW2,但是N可以為任意值，故點P不一定在正方形及內(nèi)部.

所以“0W荏?麗W4”是“點在正方形及內(nèi)部”的不充分條件.

故“0?荏?/K4”是“點在正方形及內(nèi)部”的必要非充分條件.

故選：B

8.己知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝,首項q=-5,若4，%,%成等比數(shù)列，記…%

(n=l,2,-??,),則數(shù)列｛4｝()

A.有最小項，無最大項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

【8題答案】

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比中項可求出公差，得出通項公式，由4%…?！钡捻椀奶攸c求解即可.

【詳解】設(shè)｛4｝的公差為d，

則(-5+1)(—5+4d)=(―5+3d產(chǎn)，

解得d=l,

—5+(〃-l)xl=〃-"6,

Tn=(-5)x(-4)x(-3)x(-2)x(-1)x0x1x…

當(dāng)〃=5時，有最小值，當(dāng)〃=4時有最大值.

故選：D

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(a)x+0)(A>(),⑦>(),冏)部分圖象，如圖所示.則下列說法正確的

A.函數(shù)/(x)的最小正周期為］

B./(1)</(2)

D.若/'(%,)=/⑸=6(玉f),則歸一X2I的最小值是三

【9題答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)的圖像求得函數(shù)的解析式為/(x)=2sin(2x-f1,利用函數(shù)的周期公式可判斷A,利用函

數(shù)/(x)關(guān)于直線x=(對稱結(jié)合1-1<2-1可判斷B；求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間可判斷C；令/(x)=百,

7T54

可得x=—+左乃或x=---1?匕T,keZ,進而判斷D.

412

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可得：A=2,

1冗—冗77T殂,.八_2)

—T=-----=—,可得7=萬，.,co——=2

43124T

又圖象過點件21.?.2=2sin(2xq+“，解得0=—32皿卜eZ

由|同<^，:.(p=-^,f(x)=2sin[2x-

6

對于A,函數(shù)/(x)的最小正周期為兀，故A錯誤;

對于B,函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=q對稱，結(jié)合圖形由1<2-。，可得/⑴>/(2),故B錯誤;

JTTT71\冗

對于C,令一+2brW2x---W——+2k7T,keZ,解得一+Z萬＜無K——+k/jkeZ,

26236

令4=1,得子4x4—,所以函數(shù)“X)一個單調(diào)遞減區(qū)間是(牛，等)，故C正確；

對于D,令/(幻=2可2%一5=百，即S山(2%—看)=告，解得2%—2=。+2%萬或

712開

2x---=----卜2k7T,kGZ,

63

即x=?+或戶苦+4萬，keZ,則歸一百的最小值是監(jiān)一(=看，故D錯誤；

故選：C

10.生物學(xué)家認為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持恒溫.

根據(jù)生物學(xué)常識，采集了一些動物體重和脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)，經(jīng)過研究，得到體重和脈搏率的對數(shù)性模

型：ln/=ln女一?（其中/是脈搏率（心跳次數(shù)/min）,體重為W（g）,人為正的待定系數(shù)）.已知一

只體重為300g的豚鼠脈搏率為3（X）/min,如果測得一只小狗的體重5000g,那么與這只小狗的脈搏率最

接近的是（）

A.130/minB.120/minC.110/minD.100/min

【10題答案】

【答案】B

【解析】

【分析】理解題意，將數(shù)據(jù)代入解析式，即可求解.

【詳解】由條件可知In300=InA—見必，求得InA=ln300+舊叫，

33

......In5000_In300In5000

小狗的體重5000g時，In/=In&------------=In300+---------------------

333

31n/=31n300+ln300-ln5000=41n300-ln5000,

In/3=lnl620000,尸=1620000

比較選項，1303=2197000.1203=1728000.

1103=1331000.1003=1000000.最接近的脈搏率/=120/min.

故選：B

第n卷非選擇題（共uo分）

二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線

±）

11.在（丁+2）的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

[11題答案】

【答案】12

【解析】

【分析】由二項式寫出展開式的通項，進而確定常數(shù)項對應(yīng)的，?值，即可求常數(shù)項.

2

【詳解】由題設(shè)，&=932尸（一"2'6尸,

X

當(dāng)r=2時，常數(shù)項為n=22仁=12.

故答案為：12.

12.已知向量b<2在正方形網(wǎng)格中的位置，如圖所示.則(3+坂)?)=.

【12題答案】

【答案】6

【解析】

【分析】將￡,B，2平移至同一個起點并構(gòu)建直角坐標系，令單元格長度為1,標出相關(guān)向量的坐標，再

應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標表示求(a+b^-c.

【詳解】將￡,b，"平移至同一個起點位置，如下圖。點位置，并構(gòu)建直角坐標系xQy,

若每個單元格長度為1,又￡+石=礪，則況=(4,1),2=(1,2),

所以(a+B).c=OA.c=4xl+lx2=6.

故答案為：6.

13.雙曲線C：士->2=1的離心率為且，則。=____,焦點到漸近線的距離為______.

a22

【13題答案】

【答案】①.2②.1

【解析】

【分析】由雙曲線離心率及參數(shù)關(guān)系求“，再寫出漸近線方程和焦點坐標，應(yīng)用點線距離公式求焦點到漸近

線的距離.

【詳解】由題設(shè)，￡=叱，又/+62=/+1=02,解得a=2,

a2

v-2YL

所以雙曲線C：—_y2=\,故漸近線方程為y=±±且焦點為(±逐,()),

42

故答案為：2,1.

14.能說明“若"X),g(x)的定義域［-2,2］上是增函數(shù),則/(力超(力在［—2,2］上是增函數(shù)”為假命題

的一組函數(shù)：/(x)=，g(x)=.

【14題答案】

【答案】①./(x)=x+l②.g(x)=x-l(答案不唯一)

【解析】

【分析】利用增函數(shù)與增函數(shù)的積不一定是增函數(shù)可分析.

【詳解】/(力=%+1在［—2,2］上是增函數(shù)，g(x)=x-l在［-2,2］上是增函數(shù)，

但〃x>g(x)=f-1在12,0］上是減函數(shù),在［0,2］上是增函數(shù)，

故答案：/(x)=x+l,g(x)=x-l

15.設(shè)棱長為2的正方體ABCO—AgGR,E是AO中點，點M、N分別是棱A3、&A上的動

點，給出以下四個結(jié)論：

①存在EN〃MG；

②存在MN_L平面ECG；

③存在無數(shù)個等腰三角形EMN：

'24

④三棱錐C-M7VE的體積的取值范圍是

則所有結(jié)論正確的序號是.

【15題答案】

【答案】③④

【解析】

【分析】結(jié)合正方體的性質(zhì)，利用棱錐的體積公式以及空間向量的坐標運算逐一判斷即可.

【詳解】對于①：取8c中點P,當(dāng)點N在2G上移動時，直線ENu平面EPq。，同時當(dāng)點M在直線

AB上移動時MGU平面ABC}Dt,因為EPC}DtnABC.=CR,故EN與MCt不可能平行，①錯誤.

對于②：如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，所以￡(1,0,0),C(0,2,0),。1(0,2,2),設(shè)二(0,。為)

(O<?<2),M(2,b,O)(0<b<2),

所以反=(—1,2,0),忑=(0,0,2),NM=(2,b-a,-2),

設(shè)平面ECC,的法向量為3=(x,y,z),

_1+2y=0—

c八，令y=l得x=2,z=o,所以〃=（2,1,0）,

/—fl\/

所以麗05=4+a-bHO，故MV與平面ECG不垂直，②錯誤.

對于③：令|詆|=|麗]即J(1一0)2+(0—〃)2+(0-2)2=J(2—0.+(b—4)2+(0—2)2,化簡得

〃一2出?+3=0,即2a=/?+?,2aG(0,4),b+：N2&,因為2百<4,所以該式在

bb

0<a<2,0<》<2的范圍中存在無數(shù)組解，故說明有無數(shù)組。與b可使|亞卜|而"，故③正確.

對于④：根據(jù)等體積性質(zhì)可知匕』ME=KN-CM￡，所以該三棱錐高可以看作CG，所以體積的取值范圍即

底面積S^CME的取值范圍，根據(jù)點M位置的變化可知，當(dāng)點M在A點時S&CME最小，當(dāng)點”在8點時

I2「24-

最大,計算得SACMEc[L2],VNWME=^CCI.SACME=鼻SACME，所以匕V-CMEW

DJJD

,故④正確.

故答案為：③④

三、解答題（本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

16.在AABC中，a=26,a2+c2-y/3ac=b2.

（1）求D3；

（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使AABC存在且唯一確定，求

△ABC的面積.

條件①：〃=3；條件②：cosA=1；條件③：AABC的周長為4+2百.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得。分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

【16~17題答案】

【答案】（1）7

6

（2）選①：AABC不唯一；選②：S=4+36；選③：s=6

2

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合已知條件可得解；

（2）選①，余弦定理知,2—6c+3=0，知c有兩個，不符合題意；

選②，由正弦定理知b,再利用sinC=sin（A+B）結(jié)合面積公式即可得解;

選③：由已知得匕+c=4,再結(jié)合余弦定理及面積公式求解.

【小問1詳解】

利用余弦定理結(jié)合a2+c2-+ac=/，

zgu~+c~-h~>/3

侍----------=---即cosB也

2ac2

jr

因為0<6<乃，所以NB=7；

6

【小問2詳解】

選擇條件①：

因為。=26，b=3,6由余弦弦定理知a2+c2—J^c=/,

6

即c2—6c+3=0，解得c=3+^6或c=3-瓜都符合三角形的性質(zhì)，

故此時滿足條件的△ABC有兩個，不符合題意.

選擇條件②：

43

因為cosA=一,所以sinA=—

55

因。=2百，由正弦定理一^=」一二人=逆

sinBsinA3

又sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=

所以AABC的面積S='absinC=㈠3m

22

選擇條件③:

因為△ABC的周長為4+2百，a=25即〃+c=4①

又〃2+/-y/3ac=b1，即12+c?-6c=〃2②

由①②解方程組〃=c=2

所以AABC的面積S=‘a(chǎn)csinB=JL

2

17.如圖，矩形ABC。和梯形ABE/,AF±AB,EF//AB，平面A8ERJ_平面A8CD,且

AB=AF=2<AD=EF=1,過。。的平面交平面回防于MN.

（1）求證：DC//MN；

（2）當(dāng)“為砥中點時，求點E到平面OCMN的距離；

RFM

（3）若平面ABCO與平面0cMN的夾角的余弦值為出，求——的值.

5EB

【17~19題答案】

【答案】（1）證明見解析

⑵孝

(3)0或2.

【解析】

【分析】(1)先證明線面平行，再由線面平行的性質(zhì)定理可證：

(2)建立空間直角坐標系，用向量法可解；

EM

(3)利用比值——設(shè)點M坐標，然后用向量法可得.

EB

【小問1詳解】

因為矩形所以。C//A8,

AB\平面A3EF,DCa平面A5EF,

所以￡>C//平面4組尸.

因為過DC的平面交平面ABEF于MN,

由線面平行性質(zhì)定理，得DC//MN；

【小問2詳解】

由平面ABEF_L平面ABCD其交線為A3,AE，AB,AFu平面ABEF

所以AF_L平面43。

又四邊形4BCD為矩形，所以以A為原點，以A。、AB，A/為％%z軸建立空間直角坐標系.

由A8=AE=2,AD=EF=1,得8(0,2,0),E(0,l,2),D(l,0,0),C(l,2,0),則

DC=(0,2,0),￡>M=(-1,3,1)

2

〃oc=o2y=0

設(shè)平面。C7WN法向量3=(x,y,z),貝卜一即〈3八，取z=l得3=(1,0,1).

”?DM=0-x+-y+z=0

2

\n-CE\

1

因為麗=(一1,-1,2),所以點E到平面OCMN的距離1=%^忑F；

【小問3詳解】

設(shè)M(x,y,z),因為----=2,即麗=彳麗，則M(0,2+1,2—2/1),

EB

DM=(-1,2+1,2-2/1)

-/、”?DC=0

設(shè)平面OCW/V法向量”=(x,y,z),則，______.

-n-DM=0

即［:；：+］）），+（2_2可2=0,取z=l得三（2一2九°，】）

記平面ABCD與平面DCMN的夾角為。，

2

因為■，平面A8CD,所以cos6>=旦

2x^l+（2-2/l）25

解得4=0或2.

即2EM=0或2.

EB

18.為了迎接北京冬奧會，弘揚奧林匹克精神，某學(xué)校組織全體高一學(xué)生開展了冬奧知識競賽活動.從參加

該活動的學(xué)生中隨機抽取了12名學(xué)生的競賽成績，數(shù)據(jù)如下表：

男生818486868891

女生728084889297

（1）從抽出的男生和女生中，各隨機選取一人，求男生成績高于女生成績的概率；

（2）從該校的高一學(xué)生中，隨機抽取3人，記成績?yōu)閮?yōu)秀（>90分）的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

（3）表中男生和女生成績的方差分別記為s；,s；,現(xiàn)在再從參加活動的男生中抽取學(xué)生，成績?yōu)?9

分，組成新的男生樣本，方差計為歐,試比較s；、s；的大小.（只需寫出結(jié)論）

【18~20題答案】

【答案】（1）—;

36

3

（2）分布列見解析，一；

4

（3）<5；<$?

【解析】

【分析】（1）由古典概型的列舉法求男生成績高于女生成績的概率.

（2）由題設(shè)，成績優(yōu)秀人數(shù)X可取0」,2,3且服從分布，應(yīng)用二項分布的概率求法求各可能

值的概率，即可寫出分布列，進而求期望即可.

（3）應(yīng)用方差公式求出s：、s；,進而比較它們的大小關(guān)系.

【小問1詳解】

設(shè)“從抽出的男生和女生中，男生成績高于女生成績”為事件A,

由表格得：從抽出的12名學(xué)生中男女生各隨機選取一人，共有C：C；=36種組合，

其中男生成績高于女生⑻,72）,⑻,80）,（84,72）,（84,80）,（86,72）,（86,80）,（86,84）,

（86,72）,（86,80）,（86,84）,（88,72）,（88,80）,（88,84）,（91,72）,（91,80）,（91,84）,（91,88）.

所以事件4有17種組合，因此P（A）=一；

36

【小問2詳解】

由數(shù)據(jù)知，在抽取的12名學(xué)生中，成績?yōu)閮?yōu)秀（>90分）的有3人，即從該校參加活動的高一學(xué)生中隨機

抽取1人，該學(xué)生成績優(yōu)秀的概率為

4

因此從該校高一學(xué)生中隨機抽取3人，成績優(yōu)秀人數(shù)X可取0,1,2,3且*~89,：），

9=。）=目嗡心尸吟目今P（X=2）=哈用4

尸—3唱W

所以隨機變量X的分布列

X0123

272791

P

64646464

279I483

數(shù)學(xué)期望E（X）=0+lx±+2x二+3x--="

646464644

【小問3詳解】

十-81+84+86+86+88+9116-

男生平均成績?yōu)殂?------------------------=86,則s：=WZ（七一九|）2y9.667；

66/=i

,j_,j,?,,-72+80+84+88+92+97.21~、2公

女生的平均成績?yōu)槟?-------------------------=85.5,則s；=7'(七一也>R65.92；

66,=|

由于從參加活動的男生中抽取成績?yōu)?9分的學(xué)生組成新的男生樣本，

-81+84+86+86+88+89+91605.21_、2_

所r以X3=--------------------------=—,則￥=32(七一毛)a9n.38oo8；

777,=|

所以S；<S；<s；.

19,設(shè)函數(shù)+/(?eR).

(1)當(dāng)a=T時，

①求曲線y=/(%)在點(0,/(0))處的切線方程；

②求函數(shù)“X)的最小值.

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=ac-l,證明：當(dāng)aW2時，函數(shù)H(x)=/(x)-g(x)至多有一個零點.

[19-20題答案】

【答案】(1)①y=-4x；②l-41n2

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)①利用求導(dǎo)求出切線的斜率，然后寫出直線方程；

②求導(dǎo)后分析函數(shù)的單調(diào)性可求得最小值；

(2)對參數(shù)進行分類討論，利用倒數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性來確定函數(shù)的零點.

【小問1詳解】

解：由題意得：

函數(shù)f(x)定義域為(-1,+8)，

、2x2+2x+a

2x2+2x-4_2(x+2)(x-l)

當(dāng)a=T時/，(%)=

x+1x+1

①〃o)=o,r(o)=T

所以曲線y=/(x)在點(O,/(O))處的切線方程是y=-4x.

②令/'(x)=0,x=l,當(dāng)一l<x<l,/'(x)<0,即函數(shù)f(x)遞減區(qū)間為(-1,1)；

當(dāng)x>1時，/'(x)>0,即函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為(1,+8)

所以函數(shù)/(x)的最小值=41n2；

【小問2詳解】

...,，/、x(2x+2-a)

因為=△_—~L(%>一1)

令//(x)=0,=0,x2=^—1

①a=2時，H(x)>0,函數(shù)"(x)定義域(一L”)上單調(diào)遞增，至多有一個零點;

②aVO時，1<—1,令H(x)>0,得x>0,令得-l<x<0

所以函數(shù)H(x)在區(qū)間(-1,0)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增

則函數(shù)”(x)在x=0時有最小值"(0)=1>0,此時函數(shù)”(力無零點.

③0<a<2時，一1<4—1<0,令”'(x)>0,得—l<x<0—1或x>0

22

令〃'(x)<0,得羨—l<x<0

所以函數(shù)"(x)在區(qū)間(一1,'|一1),(0,+co)單調(diào)遞增，在區(qū)間￡一1,0單調(diào)遞減

因為函數(shù)"(0)=1>0,所以“e―1>0,且”(x)>0在區(qū)間展一1,+8上恒成立.

所以函數(shù)u(X)在區(qū)間上至多有一個零點.

綜上,當(dāng)aV2時，函數(shù)〃(x)=/(x)—g(x)至多有一個零點.

=1（a>Z?>0）上一點P到兩個焦點的距離之和為4,離心率為之.

20.已知橢圓C：

L瓦2

（1）求橢圓。的方程；

（2）設(shè)橢圓。的左右頂點分別為A、B,當(dāng)P不與A、B重合時，直線AP,BP分別交直線1=4于點

M、N,證明：以MN為直徑的圓過右焦點

[20-21題答案】

22

【答案】（1）三+匯=1

43

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于a,4c的式子，即可求解;

⑵解法一：首先設(shè)P（%,為）,M（4,y）,N（4，M），利用相似關(guān)系，求得坐標間的關(guān)系，并且證明

MF-NF^O-解法二：首先設(shè)直線AP方程y=k（x+2）（女聲。），與拋物線方程聯(lián)立，求得點

P,M,N的坐標，可用攵表示，最后利用坐標表示數(shù)量積赤.標=0.

【小問1詳解】

122

由題干可得〃=2,￡=—，所以》2=a2一。2=3,即橢圓C的方程上+匕=1；

a243

【小問2詳解】

解法一：設(shè)尸伍,%）,Af（4,yi）,N（4,%）

|y||通