2020年中考數(shù)學(xué)圖形的旋轉(zhuǎn)真題訓(xùn)練(含答案)

2020年中考數(shù)學(xué)圖形的旋轉(zhuǎn)真題訓(xùn)練

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1.如圖1,“BC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上,AD與BE

交于點(diǎn)。，A。與BC交于點(diǎn)P,。與BE交于點(diǎn)。，連接P。.

(1)求證：AD=BE；

(2)ZAOB的度數(shù)為；PQ^AE的位置關(guān)系是；

(3)如圖2,XABC固定，將ACDE繞點(diǎn)C按順時(shí)專t(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角

度a,在旋轉(zhuǎn)過程中，(1)中的結(jié)論是否總成立？NAOB的度數(shù)是否改變？并說明理

由.

2.如圖1,"3。和△￡>8C都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

圖1圖2

(1)以圖1中的某個(gè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△DBC,就能使ADBC與AABC重合，則

滿足題意的點(diǎn)為：（寫出符合條件的所有點(diǎn)）；

（2）將小。8（；沿BC方向平移得到△￡＞向Ci,如圖2、圖3,則四邊形AM]C]是平

行四邊形嗎？證明你的結(jié)論；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)BBi=時(shí)，四邊形A8D1G為矩形.

3.如圖1,已知NAC5=90。，AC=BC,BD±DE,AEA.DE,垂足分別為D、E.（這

幾何模型具備“一線三直角”）如下圖1：

（1）①請(qǐng)你證明：AACE/4CBD；②若AE=3,BD=5,求。E的長(zhǎng)；

（2）遷移：如圖2：在等腰RSA3C中，且/C=90。，CD=2,BD=3,D、E分別

是邊BC,AC上的點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)E剛好落在邊AB上的點(diǎn)F

處，則CE=.（不要求寫過程）

4.將R3ABC繞點(diǎn)直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到MB。，A8的延長(zhǎng)線與AB交于

點(diǎn)D,連接DC.

①求證：ABIA'D;

②求/A75C的度數(shù).

A

5.如圖，?在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(3,4X?(1,2\C(5,

3)

(1)將AABC平移，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-2,4),在如圖的坐標(biāo)系中

國(guó)出平移后的AAlBlC];

(2)將反4道1。繞點(diǎn)C]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后的aA282G并直接寫出A2、

B2的坐標(biāo)；

(3)求△/1282cl的面積.

6.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上任意一點(diǎn)，將線段

EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線，段EG

(1)按請(qǐng)按要求補(bǔ)全圖形：連接BG過點(diǎn)G作GH1BG,交對(duì)角線AC于點(diǎn)”，連

接

(2)判斷DH與GH的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

7.圖，將正方形ABCD中的AABO繞對(duì)稱中心。旋轉(zhuǎn)至AGEF的位置，交AB于M,

GF交BD于N.求證：BM=FN.

8.已知，△力8c中，ZACB=90°,AC=5C,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)AE^ZBAC時(shí)，EHLAB于H,xEHB的周長(zhǎng)為10療，求A6的

長(zhǎng)；

(2)如圖2,延長(zhǎng)8c至。，使OC=8C,將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段

AF,連接DF,過點(diǎn)B作BGLBC,交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：8G=8E.

9.如圖，在“8C中，/45C=90。，A8=8C,點(diǎn)。為8c邊上任意一點(diǎn)(與民C不

重合)，以8。為直角邊構(gòu)造等腰直角三角形BDE,F為AD的中點(diǎn).

(1)將"DE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E與f重合時(shí)，求證：/BAE+NBCD=45。；

(2)將"DE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在BE上且AB=AQ時(shí)，求證：2CD=BE.

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得△8D4,連接OD.

(1)求證：△BO。是等邊三角形；

(2)當(dāng)a=150。時(shí)，，試判斷的形狀，并說明理由；

(3)若△AO。是等腰三角形，請(qǐng)你直接寫出a的度數(shù).

12.在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本一道習(xí)題“如圖1,A,B,C,。四家工廠分別坐

落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上.倉庫E和Q分別位于A。和。C上，且ED=QC.證

明兩條直路8E=AQ且BELAQ.”為背景開展數(shù)學(xué)探究.

(1)獨(dú)立思考：將上題條件中的ED=QC去掉，將結(jié)論中的BEA.AQ變?yōu)闂l件，,

其他條件不變，那么BE=AQ還成立嗎？請(qǐng)寫出答案并說明理由;

」(2)合作交流：“祖沖之”小組的同學(xué)受此問題的啟發(fā)提出：如圖2,在正方形ABCD

內(nèi)有一點(diǎn)尸，過點(diǎn)P作EF±GH，點(diǎn)瓦F分別在正方形的對(duì)邊A。、8c上，點(diǎn)G、

H分別在正方形的對(duì)邊AB、CO上，那么EF與GH相等嗎？并說明理由.

(3)拓展應(yīng)用：“楊輝”小組的同學(xué)受祖沖之”小組的啟發(fā)，想到了利用圖2的結(jié)論

解決以下問題：

如圖3,將邊長(zhǎng)為10c〃7的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A落在DC的中點(diǎn)E處，折

痕為MN點(diǎn)N在邊上點(diǎn)M在A。邊上請(qǐng)你畫出折痕則折痕MN的長(zhǎng)是；

線段DM的長(zhǎng)是

EDEDAD

（圖D（圖2）（圖3）

13.已知，在RSQ48中，NOAB=90°,ZABO=30。，=4.將RsOAB繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。.得到RtAODC.點(diǎn)4B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，C.連接8c.

（I）如圖①，。。的長(zhǎng)=,NBOC的大小=（度），/08C的大小

=（度）；

（n）動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，在邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)M沿OTCTB路徑

勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N沿O-B-C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止.已知點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)速度為L(zhǎng)5個(gè)單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位/秒,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒（f

>0）,△OMN的面積為S.

①如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在邊OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)N作NE1OC,

垂足為點(diǎn)E,試用含f的式子表示S,并直接寫出t的取值范圍；

②求當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出S的最大值（直接寫出結(jié)果即可）.

14.等邊4ABC,AB=6,CE=DB,等腰直角,NDFE=90°,求BF最小值.

15.如圖1,在正方形A8C。中，EF分別是BC,C。上的點(diǎn)，且NE4F=45。，探究圖

中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題的方法是將AA8E繞A

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。使得8與。重合，連結(jié)AG,由此得到,再證明,可得出

結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

G

圖1

拓展延伸：

如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,AB=BC,點(diǎn)G,”在邊AC上，且

NGBH=45。，寫出圖中線段AG,GH,C”之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

參考答案

1.(1)證明：???△ABC和△COE為等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

:.ZACD=ZBCE,

在"CO和△BCE中，

AC=BC,ZACD=ZBCE,CD=CEf

：.AACD^ABCE(SAS),

:?AD=BE;

(2)B：VAACD^ABCE,

：.ZDAC=ZEBC,

由三角形的外角，性質(zhì)，ZAOB=ZBEA+ZDAC,

ZACB=NEBC+NBEA,

：.ZAOB=ZACB=60°;

?；NDCP=60。=NECQ,

???在△COP和aCEQ中，

^ZADC=ZBEC,CD=CE,ZDCP=ZECQ,

：.△COPg△CEQ(A^SA).

：.CP=CQ,

???ZCPQ=ZCQP=60。，^PCQ是等邊三角形，

：.ZQPC=ZBCA,

：.PQ//AE;

故答案為：60。，PQ//AE;

(3)解：在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)中的結(jié)論總成立,NA08的度數(shù)不會(huì)改變，理由如下：

△ABC和△COE者B是等邊三角開鄉(xiāng)，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=NDCE+NBCD,

即/ACQ=N8CE,

在AAC。和"CE中，

'AC=BC

-ZACD=ZBCE,

,CD=CE

△AC。?△BCE(SAS),

：.AD=BE,ZDAC=ZEBC,

AZBOA=180°-ZABO-/BAO=180°-ZABC-ZBAC=60°.

2.解：(1)???等邊△ABC和等邊△QBC有公共的底邊8c,

：.AB=BC=CD=AD,

四邊形ABC。是菱形.

二要旋轉(zhuǎn)△OBC,使△O8C與dBC重合,有三點(diǎn)分別為：B點(diǎn)、C點(diǎn)、BC的中點(diǎn)，

故答案為：8點(diǎn)、C點(diǎn)、8c的中點(diǎn)；

(2)四邊形ABD?是平行四邊形.理由如下：

根據(jù)平移的性質(zhì)，得到BB】=CG,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得至!JAC=BI5,NBB]D】=ZACC,,

.,.△BS,￡)l^AACC),

：.AC\=BD],

又A8=G￡>],

???四邊形ABDXCX是平行四邊形；

(3)當(dāng)移動(dòng)距離BB]=2時(shí)，四邊形ABCXDX是矩形.

理由：連接BQ,ADi,

VAABD，△瓦W都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

：.AD=BD=：DDi,ZADB=60°,

：.ADADX=ZDD^A=30°,

.\ZBA￡>=60°+30°=90°,

??,由(2)可得出四邊形A3cid是平行四邊形，

???平行四邊形A8G。]是矩形.

故答案為：2.

AZAEC=ZBDC=90°,

.?.ZCAE+ZACE=90°,

丁ZACB=90°z

AZACE+ZBCD=90°,

：.ZCAE=ZBCD,

，ZAEC=ZCDB

在aACE和△C8￡>中,ZCAE=ZBCD,

,AC=BC

△ACE絲△C6D(A4S);

②由①知，AACE^ACBD,

：.CD=AE=3,CE=BD=5,

：.DE=CD+CE=3+5=8;

(2)如圖2,

，過點(diǎn)下作FG_LBC于G,

：.ZDGF=9()°,

；.NGDF+NDFG=90。，

由旋轉(zhuǎn)知，?！辏琙EDF=9Q0,

：.NCDE+NGDF=96°,

：.ZCDE=NDFG,

fZDCE=ZFGD=90°

在△COE和△GFD中,<ZCDE=ZGFD

DE=DF

ACDE父AGFD(AAS),

：.CE=DE,FG=CD=2,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

/.ZB=45°,

在RtziBGF中,BG=FG=2,

：.DG=BD-BG=\,

：.CE=1,

故答案為：1.

4.解：(1)??,將RSA及C繞點(diǎn)直角頂點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到△48C,

???NA=NA,NB=ZA'B'C.BC=B'C,AC=A'C,

VZA+ZB=90°,

???ZA*+ZB=90°

???ZA'DB=90°,

：.AB.LA'D

(2)如圖，過點(diǎn)。作C—AD于E,CFLAB于F,

?rZA'=ZA,A'C=AC,ZA'EC=ZAFC=90°,

???AA'EC^AAFC(A4S)

：.CE=CF,且CE.LA'D,CF_LAB,

：.ZCDF=ZCDE,fiZA'DB=90°,

???ZA'DC=45°

5.解：（1）如圖所示，△A[8]Ci即為所求.

-6-5-4-3-2

,“al”“"…”沁’2，

：：：：

（2）如圖所示，△4282。即為所求，其中A2的坐標(biāo)為（-1,11%的坐標(biāo)為（1,

-1)；

(3)“282G的面積為2x4-￡X2X2-yxlx2-yxlx4=3.

6.解：（1）如圖1所示：

D

E

C

圖1

(2)結(jié)論：DH=42PH.

理由：如圖2中，連接8。交AC于。，連接64,OG.

???GE是AB的垂直平分線,

...點(diǎn)E,G,。共線,

???四邊形A8CD是正方形，

：.ZBOH=NBGH=90°,

.?.8,G,O,H四點(diǎn)共圓，

：.ZG0B=ZGHB=45°,

是等腰直角三角形，

'：AB=AD,NBAH=ZDAH,AH=AH,

：.^AHB^AAHD(SAS'),

：.DH=BH,

7.證明：在正方形ABCD中，BD為對(duì)角線，。為對(duì)稱中心，

,0B=0D,NBDA=ADBA=45°,

AGEF為AABD繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得：

OF=OD,NF=ZBDA.

：.0B=0F,

ADBA=NF,

即N0BM=ZOFN,

fZ0BM=Z0FN,

在AOMB和aONF中，,0B=0F,,

ZBOM=ZFON,

40MB義AONF(ASA),

：.BM=FN.

8.解：(1)?.?ZACB=90°,AC=BC,

AZB=45°r

*：AE平分NBAC時(shí)，EHLAB于H,

：.CE=EH=BH,

'CE二EH

在RtAACE與RtA/IHE中,<比二AE，

???Rt^ACE與Rt^AHE(HL),

：.AH=AC,

：.AH=BC,

?.?△￡/"的周長(zhǎng)為10〃7,

???AB=AH+BH=BC+BH=\Ont;

(2)如圖所示，連接A。，

線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段AF,則AE=AFtZEAF=90°,

9：ACA.BD,DC=BC,

：.AD=AB,ZABE=ZADC=45°,

???/BAD=90。=NEAF,

??.ZBAE=ZDAF,

：.AABE^/\ADF(SAS),

：.DF=BE,ZADF=NABE=45。，

???ZFDC=90°f

VBG±BCf

：.ZCBG=ZCDF=90°,

又?：BC=DCiZBCG=ZDCF,

：.ABCG義XDCF(ASA),

：.DF=BG,

：.BG=BE.

圖2

??,△HOE是等腰直角三角形，△BOE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與尸重合，

???△3FQ是得把直角三角形，

：.ZDBF=ZBFD=45°,BD=DF,

???尸為4。的中點(diǎn)，

:?AF=DFI

：.BD=AF,

?/ZABC=90°,

：.NABF+/DBC=ZABF+ZBAF=45°f

：.ZBAF=ZDBC,

*：AB=BC,

:?△ABF9XBCD(SAS),

：.ABF=ABCD,

???NBAE+NBCD=45。；

證明：如圖3中，作ANJ_5歸于N交5石于G,于M.

圖3

由(1)可知妾/XBAN,

：.BN=CM,AN=BM,

9：AB=AD,ANLBD,

：.BN=DN,,:EDLBD,

：.AN//DE,

：.ZGAF=ZFDE,BG=GE,

：.DE=2GN,

在△4GF和中，

<ZGAF=ZFDE

<ZAFG=ZDFE,

AF=DF

，AAGF^ADEF(AAS),

：.AG=DE=BD,

：.AN=3BN,BM=3CM,

'：BN=DN,

：.DM=CM,

.?.△COM是等腰直角三角形，

：.CD=y[2CM,

,：CM^BN=—BD,

2

CD=返8。,

2

'：BE=-j2BD,

：.BE=2CD.

1。.解：(1)如圖甲中“iBig即為所求.

(2)如圖乙中，“282c2即為所求.

(3)線段BC掃過的面積=SAOBC+S扇形OBB「5扇形OCC,-SA0B,C,=5扇形OBB,

11.(1)證明：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，8。=8。，ZOBD=60°,

.?.△30。是等,邊三角形；

(2)解：當(dāng)a=150。時(shí),hAOD是直角三角形.

理由是：：將ABOC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得ABDA,將ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)60。得AAOC,

NADB=ZBOC=150°,

又?.?△80。是等邊三角形，

：.ZODB=6Q°,

ZADO=ZADB-ZODB=90°,

VZa=150°,ZAOC=100°,ZBOD=60°,

.?.NAO。=360°-Na-ZAOC-ZBOD=360°-150°-100°-60°=50°,

.?.△A。。不是等腰直角三角形，即△A。。是直角三角形.

(3)解：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，NADB=ZBOC=a,

，4ADO=a-60°,

ZAOD=360°-a-100°-60°=200°-a,

ZOAD=180°-(200°-a)-(a-60°)=40°,

當(dāng)AO=A。時(shí)，ZAOD=/ADO,即200°-a=a-60°,

解得，a=130。，

當(dāng)AO=0。時(shí)，ZOAD=ZADO，即40。=a-60°,

解得，a=100°,

當(dāng)OO=A。時(shí)，ZOAD=ZAOD,即200°-a=40°,

解得，a=160。，

綜上所述，當(dāng)a為130?；?00?；?60。時(shí)，“a)是等腰三角形.

12.(1)解：8￡=人。，

理由如下：-BELAQ,

：.ZAEB=90°-ZDAQ=ZAQD,

又???A5=AD,ZBAE=ZQDA=90°,

：./\ABE^/\DAF(AAS),

：.BE=AQ;

(2)解：EF=GH,理由如下：

如圖1,作BM〃EF交AD于M,作AN〃GH交CD于N,

圖1

VAB//CD,AD//BC,

???四邊形AGHN四邊形BMEF都是平行四邊形，

：.BM=EF,AN=GH,

由(1)知,BM=AN,

:?EF=GH;

(3)解：如圖2,

為。C的中點(diǎn)，

/.￡>￡=5cm,

?*-AE=7AD2+DE2=V102+52=5后m,

'JMNLAE，由(2)可知，

/.MN-AE=5,

設(shè)DM=xcm,則AM=ME=(10-x)cm,

在RtADME中，DM^DE2=ME2,

即7+52=(10-x)2,

解得犬=尊.

4

二線段OM的長(zhǎng)為學(xué).

故答案為：5小m,~cm.

13.解：(I)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：08=OC,ZBOC=6Q0,

.?.△08C是等邊三角形，

：.ZOBC=60°,

故答案為2,60,60;

(H)

①當(dāng)M在。C上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由（1）知，AOBC是等邊三角形,

：.OB=OC=BC=4,

由運(yùn)動(dòng)知，1.5也4,

即：0<W，

由運(yùn)動(dòng)知，ON=t,OM=].5t,

過點(diǎn)N作NE1_0C且交OC于點(diǎn)E.

???S^OMN=/OM?NE=-j-x1.5/x苧,

...5=可32（0<眉.）；

oS

②當(dāng)0(江全寸，由①知,5=^X2(0</<-1),

此時(shí)，當(dāng)仁1?時(shí)，S最大=蜉；

當(dāng)蔣時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在。3上運(yùn)動(dòng).

作MH_LOB于H.貝!!BM=8-1.5/,MH=BM?sin60。=返（8-1.5r）,

...S=f<ONx叱一雪+2中一挈（謁戶+挈,

而-￥<o,

O

???S由軍逐漸減小，減小到2?,

當(dāng)4<W空時(shí)，M、N都在8c上運(yùn)動(dòng)，作OG_LBC于G.

MN=12-25t,OG=AB=273,

S=^MN*OG=1273-,

而一歲<0,

S由2y逐漸減小，減小到接近于0,

由此可知，當(dāng)/為今少時(shí)，S取得最大值，最大值為軍.

14.解：當(dāng)BF與NABC的平分線重合時(shí)，即F在NABC的平分線上，BF最小;

作FGLAB于G,FHLBC于H,如圖所示：

?"在NA8C的平分線上，

ZDBF=NEBF,FG=FH,

?.?△OEF是等腰直角三角形，

：.DF=EF,

(DF=EF

在RtA