選修4-4第二講-參數(shù)方程(曲線的參數(shù)方程)

曲線的參數(shù)方程第一頁第二頁，共34頁。？救援點(diǎn)投放點(diǎn)一架救援飛機(jī)在離災(zāi)區(qū)地面500m高處100m/s的速度作水平直線飛行。為使投放救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的地面（不記空氣阻力），飛行員應(yīng)如何確定投放時(shí)機(jī)呢？即求飛行員在離救援點(diǎn)的水平距離多遠(yuǎn)時(shí)，開始投放物資？如圖，建立平面直角坐標(biāo)系。因此,不易直接建立x,y所滿足的關(guān)系式。x表示物資的水平位移量，y表示物資距地面的高度，由于水平方向與豎直方向上是兩種不同的運(yùn)動(dòng)，第二頁第三頁，共34頁。xy500o物資投出機(jī)艙后，它的運(yùn)動(dòng)由下列兩種運(yùn)動(dòng)合成：（1）沿ox作初速為100m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)；（2）沿oy反方向作自由落體運(yùn)動(dòng)。在這個(gè)運(yùn)動(dòng)中涉及到哪幾個(gè)變量？這些變量之間有什么關(guān)系？t時(shí)刻，水平位移為x=100t，離地面高度y，即：y=500-gt2/2，物資落地時(shí)，應(yīng)有y=0，得x≈10.10m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，因此飛行員在距離救援點(diǎn)水平距離約為1010米時(shí)投放物資，可以使其準(zhǔn)確落在指定位置。第三頁第四頁，共34頁。

參數(shù)方程的概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)。并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上，參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁，可以是一個(gè)有物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。第四頁第五頁，共34頁。例1:已知曲線C的參數(shù)方程是（為參數(shù)）

(1)判斷點(diǎn)M1(0，1)，M2(5，4)與曲線C的位置關(guān)系；(2)已知點(diǎn)M3（6，a）在曲線C上，求a的值。解：(1)把點(diǎn)M1的坐標(biāo)(0,1)代入方程組，解得t=0，所以M1在曲線上．把點(diǎn)M2的坐標(biāo)(5,4)代入方程組，得到這個(gè)方程無解，所以點(diǎn)M2不在曲線C上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.第五頁第六頁，共34頁。練習(xí)：一架救援飛機(jī)以100m/s的速度作水平直線飛行.在離災(zāi)區(qū)指定目標(biāo)1000m時(shí)投放救援物資（不計(jì)空氣阻力,重力加速g=10m/s）問此時(shí)飛機(jī)的飛行高度約是多少？（精確到1m）x=100t=1000,t=10,y=gt2/2=10×102/2=500m.第六頁第七頁，共34頁。練習(xí)1、曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0)2、方程所表示的曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0)3已知曲線C的參數(shù)方程是點(diǎn)M(5,4)該曲線上.(1)求常數(shù)a;（2）求曲線C的普通方程(1)由題意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；代入第二個(gè)方程得:y=(x-1)2/4第七頁第八頁，共34頁。4動(dòng)點(diǎn)M作等速直線運(yùn)動(dòng),它在x軸和y軸方向的速度分別為5和12,運(yùn)動(dòng)開始時(shí)位于點(diǎn)P(1,2),求點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，依題意，得A一個(gè)定點(diǎn)B一個(gè)橢圓C一條拋物線D一條直線D第八頁第九頁，共34頁。ABCD5下列在曲線上的點(diǎn)是()B第九頁第十頁，共34頁。（4）證明這個(gè)參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法:

（1）建立直角坐標(biāo)系,設(shè)曲線上任一點(diǎn)P坐標(biāo)為;（2）選取適當(dāng)?shù)膮?shù);（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義,建立點(diǎn)P坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)式;第十頁第十一頁，共34頁。圓的參數(shù)方程第十一頁第十二頁，共34頁。yxorM(x,y)圓周運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)物體繞定軸作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體上的各個(gè)點(diǎn)都作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，怎樣刻畫運(yùn)動(dòng)中點(diǎn)的位置呢？第十二頁第十三頁，共34頁。那么θ=ωt.設(shè)|OM|=r，那么由三角函數(shù)定義，有如果在時(shí)刻t，點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是θ，坐標(biāo)是M(x,y)，即這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程參數(shù)t有物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻)考慮到θ=ωt，也可以取θ為參數(shù)，于是有第十三頁第十四頁，共34頁。圓心為原點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時(shí)，OM0轉(zhuǎn)過的角度

圓心為，半徑為r的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。第十四頁第十五頁，共34頁。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))例1已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。練習(xí)：第十五頁第十六頁，共34頁。例2如圖,圓O的半徑為2，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q(6,0)是x軸上的定點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2cosθ,2sinθ).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第十六頁第十七頁，共34頁。例3已知x、y滿足,求的最大值和最小值．解：由已知圓的參數(shù)方程為第十七頁第十八頁，共34頁。2點(diǎn)P(x,y)是曲線為參數(shù))上任意一點(diǎn)，則的最大值為()A1B2CD練習(xí)1P(x,y)是曲線(α為參數(shù))上任意一點(diǎn),則的最大值為()AA．36B．6C．26D．25D3圓的圓心的軌跡是()A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線A第十八頁第十九頁，共34頁。(為參數(shù))上任意一點(diǎn),則4點(diǎn)P(x,y)是曲線的最大值為

..5已知點(diǎn)P是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)A(12,0)，點(diǎn)M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡．解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由題設(shè)∴(x-12,y)=

因此，點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程是第十九頁第二十頁，共34頁。例4(1)點(diǎn)P(m,n)在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Q(m+n,2mn)的軌跡方程;(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個(gè)圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程.已知P(x,y)圓C：x2+y2－6x－4y+12=0上的點(diǎn)。(1)求的最小值與最大值(2)求x－y的最大值與最小值例5最值問題例6參數(shù)法求軌跡已知點(diǎn)A(2,0),P是x2+y2=1上任一點(diǎn),的平分線交PA于Q點(diǎn),求Q點(diǎn)的軌跡.AQ:QP=2:1第二十頁第二十一頁，共34頁。例7已知A（―1，0）、B（1，0）,P為圓上的一點(diǎn),求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)P點(diǎn)的坐標(biāo).

第二十一頁第二十二頁，共34頁。參數(shù)方程和普通方程的互化第二十二頁第二十三頁，共34頁。把它化為我們熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了在例1中，由參數(shù)方程直接判斷點(diǎn)M的軌跡是什么并不方便，一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價(jià)的.把參數(shù)方程化為普通方程：第二十三頁第二十四頁，共34頁。例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？解:(1)由得代入得到這是以（1，1）為端點(diǎn)的一條射線；所以把得到第二十四頁第二十五頁，共34頁。(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）練習(xí)、將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：（1）消參；（2）求定義域。第二十五頁第二十六頁，共34頁。練習(xí)將下列參數(shù)方程化為普通方程(2)第二十六頁第二十七頁，共34頁。B例2求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支,這支過點(diǎn)（1,1/2）;（B）拋物線的一部分,這部分過（1,1/2）;（C）雙曲線的一支,這支過點(diǎn)（–1,1/2);（D）拋物線的一部分,這部分過（–1,1/2).第二十七頁第二十八頁，共34頁。參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,整體上消去化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。小結(jié)第二十八頁第二十九頁，共34頁。普通方程化為參數(shù)方程：普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)：如：直線l的普通方程是2x-y+2=0，可以化為參數(shù)方程:一般地,如果知道變量x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一個(gè)變量與參數(shù)t的關(guān)系y=g(t)，那么:就是曲線的參數(shù)方程。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值范圍保持一致第二十九頁第三十頁，共34頁。例3求橢圓的參數(shù)方程：(1)設(shè)為參數(shù)；(2)設(shè)為參數(shù).為什么兩個(gè)參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？第三十頁第三十一頁，共34頁。在y=x2中，x∈R,y≥0，因而與y=x2不等價(jià)；練習(xí):曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.在A、B、C中，x,