北京市東城區(qū)東直門(mén)中學(xué)2023屆數(shù)學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）

1.已知U=R,A={x|x<0},B={-2,-1,0,1},貝（］（Q,A）c3=（）

A.{1}B.{-2,-1}

C.{0,l}D.0

2.已知@=（1,0）,b-（1,1）,且（M+45）J_@,則2=

A.2B.l

C.OD.-l

3.設(shè)a>0,b>0,若ab-5=4a+Z?,則ab的最小值是（）

A.5B.9

C.16D.25

4.若x=logs0.3,y=30,3,z=0.32,則x,y,z的大小關(guān)系是O

A.y>z>xB.z>y>x

C.z>x>yD,y>x>z

5."2,"為空間中不重合的兩條直線，％尸為空間中不重合的兩個(gè)平面，則

①若_La,〃_La,則加//〃；②若加_L貝！J〃//a；

③若加//a,〃_La,則加_L〃；④若aJ_尸，muc,〃//⑸則機(jī)_L〃

上述說(shuō)法正確的是

A.①@B.②③

C.（D@D.③④

6.已知“，b,c都是實(shí)數(shù)，貝！|“a〈”是“碇2<兒2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.下圖記錄了某景區(qū)某年3月至12月客流量情況：

根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A.景區(qū)客流量逐月增加

B.客流量的中位數(shù)為8月份對(duì)應(yīng)的游客人數(shù)

C.3月至7月的客流量情況相對(duì)于8月至12月波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

D.4月至5月的客流量增長(zhǎng)量與8月至9月的客流量回落量基本一致

8.對(duì)于任意實(shí)數(shù)給定下列命題正確的是（）

A.若a>b,則ac>力cB.若a>b,c>d,則a—d

C.若ac2>be2，則。>6D.若a<b,則L?>,

ah

9.已知幕函數(shù)/?（*）=*的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸"2,4）,則下列不等關(guān)系正確的是（）

A./（-1）</（2）B./（-3）</（3）

C./（4）>/（-5）D./（6）>/（^6）

10.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限〃約為3的，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)”約為10,則下列

M

各數(shù)中與一最接近的是

N

（參考數(shù)據(jù)：lg3??048）

A.1033B.1053

C.1073D.1093

二、填空題（本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）

11.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是,乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)

是

甲

乙

829

91345

254826

85535

667

12.一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里〃卜時(shí)，如果輪船希望用10分鐘的時(shí)間從河的南岸垂直

到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為;

13.若函數(shù)/(幻的定義域?yàn)閇-2,2],則函數(shù)f(3-2x)的定義域?yàn)?/p>

14.已知/(xblnlJTW+q+\j,若/(。)=2,貝！|/(一。)=；若/>0,則實(shí)數(shù)x的

取值范圍是

15.函數(shù)y=——2x(—14x42)的最大值為.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

16.已知向量白=(sina,J^cosa—sina),b=(cos/7-V5sin/?,cosJ3),且日?5=2?

(1)cos(a+/?)的值；

(2)若0<。<巳，0</3<~,且s山a=?,求2a+￡的值

2210

17.如圖，在同一平面上，已知等腰直角三角形紙片ABC的腰長(zhǎng)為3,正方形紙片CDE尸的邊長(zhǎng)為1,其中5、C、

D三點(diǎn)在同一水平線上依次排列.把正方形紙片向左平移a個(gè)單位，0<“43.設(shè)兩張紙片重疊部分的面積為S.

(1)求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

7

(2)若S=不,求〃的值.

O

18.節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境是中國(guó)的基本國(guó)策.某化工企業(yè)，積極響應(yīng)國(guó)家要求，探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的

污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為2mg/n?,首次改良后所排放的廢氣中含

有的污染物數(shù)量為1.94mg/n?.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為g,首次改良工藝后所排放的廢氣

中含有的污染物數(shù)量為、則第〃次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量可由函數(shù)模型

/="一(為一4>(peR,〃eN*)給出,其中〃是指改良工藝的次數(shù).

(1)試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型；

(2)依據(jù)國(guó)家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過(guò)0.08mg/n?,試問(wèn)至少進(jìn)行多少次改良工

藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).（參考數(shù)據(jù)：取lg2=0.3）

19.已知直線/：(2a-》)x+(a+b)y+a-6=0及點(diǎn)尸(1,3).

（1）證明直線/過(guò)某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P到直線/的距離最大時(shí)，求直線/的方程.

20.某水果經(jīng)銷(xiāo)商決定在八月份（30天計(jì)算）銷(xiāo)售一種時(shí)令水果.在這30天內(nèi)，日銷(xiāo)售量?。ń铮┡c時(shí)間t（天）滿(mǎn)

足一次函數(shù)發(fā),什2,每斤水果的日銷(xiāo)售價(jià)格1（元）與時(shí)間t（天）滿(mǎn)足如圖所示的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2

（I）根據(jù)提供的圖象，求出每斤水果的日銷(xiāo)售價(jià)格1（元）與時(shí)間t（天）所滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式；

（ED設(shè)y（元）表示銷(xiāo)售水果的日收入（日收入=日銷(xiāo)售量X日銷(xiāo)售價(jià)格），寫(xiě)出y與力的函數(shù)關(guān)系式，并求這30天

中第幾天日收入最大，最大值為多少元？

21.如圖，在三棱錐4戚中，ABLAD,BCLBD,平面/即JL平面加2點(diǎn)E,F（E馬A,。不重合）分別在棱物BD

上，且阮L4Z

求證：（1）成〃平面極?；

（2）AP±AG

參考答案

一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）

1、C

【解析】求出集合。乂，利用交集的定義可求得集合(Q,A)cB.

【詳解】已知U=R,4={x|x<0},3={-2,-1,0,1},則，,A={x|xNO},

因此，&A)cB={O,l}.

故選：C.

2、D

【解析】V5=(l,o),5=(1,1)

***a+Ab=(1+4%)

■:(2+丸日)_LM

:.(l+/l)xl+Ox/l=O

2=-l

故選D

3、D

【解析】結(jié)合基本不等式來(lái)求得必的最小值.

【詳解】>(),/?>(),ab-5=4a+h>2\l4a-h=4\[ab,

ab-4y[ab-5=+>0,

y[ab-5>0,>25,

,,[5

rb=4aa=—

當(dāng)且僅當(dāng)4〃=b時(shí)等號(hào)成立，由，廠)，=12.

Q/?-5=4Q+Z771八

i[b-10

故選：D

4、A

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題意，即可得X,y,z的大小關(guān)系，即可得答案.

【詳解】因?yàn)閥=log5%在(。,內(nèi))上為單調(diào)遞增函數(shù)，filog5l=0,

所以Iog5().3vlog51=0,即x<0,

因?yàn)閥=3、在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且30=1，

所以3°3>3°=1，即丁>1，

又Z=0.32=0.09，

所以y>z>x.

故選：A

5、A

【解析】由線面垂直的性質(zhì)定理知①正確；②中直線，"可能在平面。內(nèi)，故②錯(cuò)誤；m//a,則。內(nèi)一定有直線

anm,nLa,則有〃_La,所以機(jī)_L〃，③正確；④中“4〃可能平行，相交，異面，故④錯(cuò)誤，故選A

6、B

【解析】利用充分、必要條件的定義，結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可知條件間的充分、必要關(guān)

系.

【詳解】當(dāng)。<匕時(shí)，若c=0時(shí)ac?〈Ac?不成立；

當(dāng)ac2<be2時(shí)，則必有a<b成立，

“a<力”是“ac1<be2”的必要不充分條件.

故選：B

7、C

【解析】根據(jù)折線圖，由中位數(shù)求法、極差的意義，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.

【詳解】A：景區(qū)客流量有增有減，故錯(cuò)誤；

B；由圖知：按各月份客流量排序?yàn)椋?,9,5,6,3,7,8,12,11,10｝且是10個(gè)月份的客流量，因此數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3月份和

7月份對(duì)應(yīng)客流量的平均數(shù)，故錯(cuò)誤；

C：由3月至7月的客流量相對(duì)于8月至12月的客流量：極差較小且各月份數(shù)據(jù)相對(duì)比較集中，故波動(dòng)性更小，正確;

D：由折線圖知：4月至5月的客流量增長(zhǎng)量與8月至9月的客流量回落量相比明顯不同，故錯(cuò)誤.

故選：c

8、C

【解析】利用特殊值判斷A、B、D,根據(jù)不等式的性質(zhì)證明C；

【詳解】解：對(duì)于A：當(dāng)c=0時(shí)，若貝!|ac=Z?c=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若a=0,b--\>c--\>d=-10.滿(mǎn)足a>>,c>d,則a-c=l,b—d=9,a-c>Z?-d不成立，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若比2>從2,則c2>0,所以故C正確；

對(duì)于D：若。=一1,6=1滿(mǎn)足。<人，但是,<,，故D錯(cuò)誤；

ab

故選：C

9、A

【解析】根據(jù)第函數(shù)〃x)=x'的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-2,4),可得函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)單調(diào)性即可比較得出大小關(guān)

系

【詳解】因?yàn)榛莺瘮?shù)"X)=x"的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—2,4),

所以/(_2)=(—2)"=4,解得0=2,

所以函數(shù)解析式為：/(x)=f,

易得/(x)為偶函數(shù)且在(…,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增

A：/(-1)=/(1)</(2),正確；B：/(-3)=/(3),錯(cuò)誤；

C：/(-5)=/(5)>/(4),錯(cuò)誤；D：/(6)=/(-6),錯(cuò)誤

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系：奇函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的函數(shù)單調(diào)性相

同；偶函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的函數(shù)單調(diào)性相反

10、D

M33613361

【解析】設(shè)彳*=談,兩邊取對(duì)數(shù)，lgx=lg歷行=lg336i-Igl()8o=361xlg3-8O=93.28,所以

即"最接近1093,故選D.

N

【名師點(diǎn)睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實(shí)際問(wèn)題的形式給出，但本質(zhì)就是對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，以及指數(shù)與對(duì)

3361

數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，難點(diǎn)是令x,并想到兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解,對(duì)數(shù)運(yùn)算公式包含log“M+log“N=log?MN,

log”Af-logaA^=logo—,log?M"=〃log”M.

二、填空題(本大題共5小題，請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)

11、①.45②.35

【解析】利用中位數(shù)的概念及百分位數(shù)的概念即得.

【詳解】由題可知甲組數(shù)據(jù)共9個(gè)數(shù)，

所以甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是45,

由莖葉圖可知乙組數(shù)據(jù)共9個(gè)數(shù)，又9x25%=2.25,

所以乙組數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是35.

故答案為：45；35.

12、15血海里/小時(shí)

【解析】先求出船的實(shí)際速度，再利用勾股定理得到輪船的速度.

【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為恐，船速斗，水的流速月，

I-I_3.5_,

則凹海里/小時(shí)，

6

:.間=5耳2+|可2=,2/+32=15&海里/小時(shí).

故答案為：15C海里/小時(shí)

【解析】???函數(shù)”X)的定義域?yàn)閇-2,2]

-2<3-2x<2,-<x<-

22

二函數(shù)〃3—2x)的定義域?yàn)椋?|

14、①?-2②.—^-,0u°,_y*

2

【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，由/(。)=2求解；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，由/loglx-l20求解.

k3>

【詳解】因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且〃—x)=In(J?TT—x)+1■，=]!![(JZTT+xJ+黃7,

=-ln(Jx2+]+x)+|^1=-/(%),所以/(x)是奇函數(shù)，

又/(a)=2,貝!I/(-a)=-2；

因?yàn)閥=ln(G7T+x),y=l-不\在(O,+a)上是增函數(shù),

所以/(x)在(0,笆)上是增函數(shù)，又/(力是R上的奇函數(shù)，

所以f(x)=ln(V?W+q+l—在R上遞增，且/(0)=(),

所以由，唾/2_。20,得log/2-iNO,

I5)3

jX2>0

即log]X2>10g,所以41,

l3

解得一旦x<0或0<%4走，

33

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是-斗,。Up),g，

_7\.

'Ry(R'

故答案為：一2,-*,0U0,*

_7\.

15、3

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合給定的區(qū)間求最大值即可.

【詳解】由y=Y—2x=(x—1y—1,則開(kāi)口向上且對(duì)稱(chēng)軸為x=l,又—lWx<2,

???)(=T=3,田.,=2=0,故函數(shù)最大值為3.

故答案為：3.

三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.)

16、(1)cos(a+￡)=苓；(2)2a+A=(

【解析】(1)首先應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得￡3=6cos(c+￡),結(jié)合無(wú)5=2,求得cos(a+/7)=手，得

到結(jié)果；

(2)結(jié)合題的條件，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cosa=M°，結(jié)合角的范圍以及(1)的結(jié)論，求得

10

sin(a+￡)=舍，再應(yīng)用余弦和角公式求得cos(2o+￡)的值，結(jié)合角的范圍求得2&+4=",得到結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)?=卜后私石cosa-sina),5=(cos〃-&sinW，cos0,

所以無(wú)5=sina[os△—V^sin/)+(右cosa—sina卜os尸

J^cosacos/?-VSsinasin/?

=Gcos(a+/J)

即cos(a+/?)=2^?

因?yàn)椤?方=2，所以瓜os(a+/?)=2,

(2)因?yàn)?<a<￡,sina=^^,所以cosa二士麗

21010

TTTT

因?yàn)?<a<一,￡<0<—,所以0<。+/?V兀.

22

因?yàn)閏os(a+0)=2￡,所以sin(a+夕)=(?,

所以cos(2a+尸)=cos[a+(a+用)]=cosacos(a+/)-sinasin(a+0)=—

7TTT-STT7T

因?yàn)?<a<一,0<夕〈一，所以0<2a+A<—,所以2a+/?=J.

2224

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，余

弦的和角公式，利用角的三角函數(shù)值的大小，結(jié)合角的范圍求角的大小，屬于簡(jiǎn)單題目.

a,0<a<\

17、(1)S=，l,l<aK2；

(2)a=—或。=一.

82

【解析】(1)討論0<aWl、1<。42、2<a<3分別求對(duì)應(yīng)的S,進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)解析式的分段形式.

7

(2)根據(jù)(1)所得解析式，將S=(代入求。值即可.

【小問(wèn)1詳解】

FG2

如下圖，延長(zhǎng)瓦'到AB上的G,又AC=3/C=3,則一=—=一,

ACCB3

:.FG=2,

當(dāng)0<aWl時(shí)，S=a；

當(dāng)l<aW2時(shí)，S=l；

當(dāng)2<aW3時(shí)，5=l-1(a-2)2=-y+2a-l.

a,U<a<\

綜上，S=<l,l<tz<2.

——+2。-1,2<?！?

I2

小問(wèn)2詳解】

7

由（1）知：在（0」上，S=Q=W；

27QC

在（2,3］上，S=-—+2a-l^~,整理得4/—16a+15=（2?！?）（2。-5）=0,解得“=一（舍）或。=—.

2822

757

綜上，。=一或。=一時(shí)，5=-.

828

18、（1）4=2—0.06x5°，5"M5（〃eN*）；（2）至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染

物數(shù)量達(dá)標(biāo).

【解析】（1）由題設(shè)可得方程1.94=2-（2-1.94）-5°&"求出〃，進(jìn)而寫(xiě)出函數(shù)模型；

（2）由（1）所得模型，結(jié)合題設(shè)〃<008,并應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解不等式，即可知要使該企業(yè)所排放的廢氣中

含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)至少要改良的次數(shù).

【詳解】（1）由題意得：4=2,（=1.94,

.?.當(dāng)〃=］時(shí)，彳=為一（“一彳>5°5+。，即］.94=2_（2_］.94）-5°3+。，解得”

=2-0.06X5(,-5),-0-5〃eN,故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為

G=2-0.06x5°-5"3("eN*).

八1Q2

(2)由題意得，4=2—0.06x5°-5,,-°-5<0.08,整理得：,即5°5"加>2,

0.063

103251e2

兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得：0.5〃-0.52子/，整理得：〃22*1亍<+1,

1g5l-lg2

將口=。.3代入，得2、母+1=T+又〃wN*，

/.n>6,

綜上，至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).

19、⑴證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為(2)15x+24j+2=0.

2%+y+l=0

【解析】(1)直線/的方程可化為a(2x+y+l)+6(-x+y-l)=0,由',八，即可解得定點(diǎn)；

-x+y-1=0

(2)由(1)知直線/恒過(guò)定點(diǎn)一■![:當(dāng)直線/垂直于直線R1時(shí)，點(diǎn)尸到直線,的距離最大，利用點(diǎn)斜式求直

線方程即可.

試題解析：

(1)證明：直線，的方程可化為。(2x+y+l)+伙一x+y—1)=0,

J2x+y+l=0

田19

—x+y—1=0

2

x=——

3

得,所以直線/恒過(guò)定點(diǎn)一

1羽

y=-

3

(21}

(2)由(1)知直線，恒過(guò)定點(diǎn)4一鼻,鼻,

當(dāng)直線/垂直于直線時(shí)，點(diǎn)尸到直線，的距離最大.

3--

,385

又直線H的斜率/=(所以直線/的斜率心=一,

故直線，的方程為=

即15x+24y+2=0.

30,0<r<10

20、(I)/(，)=<；（II）見(jiàn)解析.

-z+40,10<r<30

【解析】（I）利用已知條件列出時(shí)間段上的函數(shù)的解析式即可.

（H）利用分段函數(shù)的解析式求解函數(shù)的最值即可

【詳解】解：（I）當(dāng)