第一章 空間向量與立體幾何（選拔卷）-【單元測試】2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)尖子生選拔卷（人教A版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第一章空間向量與立體幾何

選拔卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號(hào)等信息2.請將答案正確填寫在答題卡上

第I卷（選擇題）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是對邊OB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在

線段MN上，MG=2GN,現(xiàn)用基向量,OB,OC,表示向量。6,設(shè)

OG=xOA+yOB+zOC,貝Ux,y,z的值分別是

x=-fz=—B.x=—,y=—，z=—

3尸3,3336

1i1111

x=一，y=-fz=—D.x=—,y=一，z=—

363633

【答案】C

【解析】N分別是對邊08、AC的中點(diǎn)，

OM=-OB,ON=-(OA+OC),

22

__________9___.__,2__._.i____9__,

OG=OM+MG=OM+-MN=OM+-(ON-OM)=--dM+-ON

3333

11―.21—?―-

=-x—O8+—x—(OA+OC)

3232

1—1—1—

=-OA+—Q8+-OC,

363

*/OG=xOA+yOB+zOC,

故選C.

ot

A

2.如圖，在平行六面體ABCO-AMG。中，羽=",AB=b,而=3.點(diǎn)尸在4。上，且

AiP:PC=2:3,則AA=

/夕----

23rn3_2廠2一

A.4+與+：B,船+生+^C.-4+—br+—cD.—a——b——c

555555555555

【答案】B

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P在AC上，且42:PC=2:3,

7___O__.

所以4尸=14。，所以平=14。，

所以入戶=A<+A戶=

=羽+|(/-麗j

___2—.—.2—?

=AAi+-(AB+AD)--AAi

32--2—?

=-A4+-AB+-AD

5-55

32-2

=-a+-b+-c.

555

故選B.

3.已知石、尸分別為正方體ABCD-A4GQ的棱BC,CG的中點(diǎn)，設(shè)a為二面角。一AE-。

的平面角，求sina

D.還

C

-T3

【答案】B

【解析】建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

令正方體4BCD-ASG.的棱長為2,

則荏=(2,1,0),珂=(0,2,2),

設(shè)平面4EFR的法向量為比=(無，y,z),

m?AE=02x+y=0

則由?_,得zrl

m?AD、=02y+2z=0

令x=1,則y=-2,z=2,

故rn=(l,一2,2),

又由羽=(0,0,2)為平面AECD的一個(gè)法向量,

*為O-AE—D的平面角,

42

cosa=

3^23

故sina=—^，

3

故選B.

4.如圖，四棱錐S—ABC。的底面為正方形，SD_L底面ABCD,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.ACYSB

B.平面SCD_L平面SW

C.SA和SC與平面S8D所成的角相等

D.異面直線45與SC所成的角和異面直線CD與&4所成的角相等

【答案】D

【解析】四棱錐S-ABC。的底面為正方形，SD_L底面ABCD，

對于A,由題意得AC_L8D,AC.LSD,

vBDp\SD=D,BD、S￡>u平面S8￡>,r.AC_L平面S8￡>，

?rSBu平面SB。，??.AC_LSB，故A正確：

對于8，由題意知4)_LCD,SDA.CD,

AD^\SD=D,AD,SDu平面AS。，..8J?平面ATO,

???CDu平面SC。，平面SC￡>_L平面SAD，故8正確；

對于C,以。為原點(diǎn)，D4為x軸，QC為y軸，￡>S為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=1,DS=t,則S(0,0,t),4(1,0,0),

C(0,1,0),B(1,1,0),0(0,0,0),

DB=(1,1,0),DS=(0,0,0,SA=(1,0,-t),SC=(0,1,V),

設(shè)平面S3。的法向量無=(x,y,z),

n-=x+y=0/口八.八

則,取x=l,得萬=(1,—1,0),

ii-DS=tz=0

設(shè)SA和SC與平面S3。所成的角分別為a,。，

則sina=

\n\-\SA\V2.V1772

|/iSC|

sinp-

\n\-\SC\~^2-y/l+t2

必和SC與平面SBD所成的角相等，故C正確；

對于￡>，由C得A2=(0,1,0),SC=(0,1,T),

CD=(0,-1,0),SA=(1,0,-t),

ABSC1

COS<AB,SC>=

\AB\-\SC\~^?

CDSA

cos<CD,SA>=

|CD||5X|

.?.異面直線他與SC所成的角和異面直線CD與SA所成的角不相等，故。錯(cuò)誤.

故選D.

5.將邊長為1的正方形AA。。（及其內(nèi)部）繞。。旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC長為一，A4

6

7F

長為—，其中四與c在平面AAO1。的同側(cè)，則直線gc與平面AOC所成的角的正弦值為

【答案】B

【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，3為x軸，OQ為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則用百日，）。-等；。，'

則B[C=jg+§2+哼-；）2+F=8'

乂點(diǎn)用到平面AOC的距離為1,

故直線BC與平面AOC所成的角的正弦值為

t忑=丁

6.（2021春?衢州期末）長方體ABC。—為旦,AB=BC=\,BB[=2,點(diǎn)P在長方體的側(cè)

面3CC4上運(yùn)動(dòng)，AP_L8〃，則二面角P-A￡>—B的平面角正切值的取值范圍是

A.畤B.[0,JC.1]D.1]

【答案】B

【解析】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)點(diǎn)P(x,1,z),B(l,I,0),D,(0.0,2),A(1,0,0),

所以〃月=(1,1,一2),AP=(x-l,l,-z),

因?yàn)椤?_L4戶,

則"豆?衣=x-l+l-2z=x+2z=0,

故點(diǎn)P在平面BBQ。上的軌跡為由點(diǎn)C到8瓦的四等分點(diǎn)（靠近5點(diǎn)）的一條線段，

點(diǎn)P在點(diǎn)C到B旦的四等分點(diǎn)（靠近8點(diǎn)）移動(dòng)的過程中，：面角P-AD-8逐漸增大,

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，二面角尸-4）-8最小，此時(shí)正切值為0,

當(dāng)點(diǎn)P在的四等分點(diǎn)（靠近5點(diǎn)）時(shí)，二面角P-AT>—B最大，

因?yàn)锳Z>_L平面ABB]A，又APu平面ABB,A,,

所以A￡>J_AP,又AOJLAB,

所以NE4B即為二面角P-AD-3的平面角,

ApTBB\I

則tanNQ4B=—=4——=-

ABAB2

綜上可得，：面角尸-A。-3的平面角正切值的取值范圍是

故選B.

7.（2021?浙江模擬）如圖，已知圓柱。0/A在圓。上，AO=1,00、=O,P,。在圓上,

且滿足尸。=孚

則直線A0x與平面OPQ所成角的正弦值的取值范圍是

c.[^^,1]

D.[0,1]

6

【答案】A

【解析】取尸。中點(diǎn)M,連OM,過01作qNJLMO,QN_LffiiOPQ,因?yàn)椤浮?手，

O.Q=OA=\,所以QM=手，tanNMOq=g,所以NMOO|=30。,

。2%泮L

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，N(-邁，0,《■),設(shè)A(cos0,sin6,-72),其中。為。4

4

與了軸正向所成角，

于是平面OP。的法向量為沅=?N=(-逅，0,直線A。的方向向量為”=aX=(cos。，

sing,-72),

1-|—-cos0lI布-3cos6|e[02

所以直線AO|與平面OPQ所成角的正弦值為上5-=2/?.

\fn\-\n\V2JT66

V

故選A.

y

8.(2021春?杭州期中)在棱長為2的正方體ABC?！狝4GA中，點(diǎn)E在棱AA上，AE=3AiE,

—■—1

點(diǎn)G是棱CD的中點(diǎn)，點(diǎn)/滿足BF=A5B1(0<A<-),當(dāng)平面EFG與平面ABCD所成(銳二

面角的余弦值為逅時(shí)，經(jīng)過E,F,G三點(diǎn)的截面的面積為

3

A.2瓜B.—C.x/17D.—

46

【答案】B

【解析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以八4、DC、所在直線為x、y、z軸建立空間宜角

坐標(biāo)系，

G(0,1,0),￡(2,0,-),F(2,2,2/1),

2

則面=(2,-1=),GF=(2,1,22),

2

設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),

,—.3

n-GE=2x-y+—z=0『3；3

由42，取z=l,可得萬=(-----,—4H—,1)?

—824

ii-GF=2x+y+22z=0

平面ABCD的一個(gè)法向量比=(0,0,1),

由題意，|而"|=1=顯，解得2,或(舍),

|w|-|?l+(一心+13420

尸為四等分點(diǎn)(靠近B),

延長￡F,AB,設(shè)后尸「|”=/，連接8，交BC于K,延長/G,交4）的延長線于A,

連接包，交。。于H，則五邊形瓦KG4為截面圖形，

由題意求得EF=W，F(xiàn)K=J12+（1）2=-.GK=s[2,HG=當(dāng)，EH=45.FH=26,

摘出五邊形EFKGH如圖，

求解三角形可得等腰三角形￡777底邊FH上的高為6,等腰梯形HGKF的高為且,

2

則截面面積為S=、2&X&+L（應(yīng)+2點(diǎn)）乂且=友.

2224

故選B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2021春?金華期末）已知棱長為1的正方體ABCO-ABCIR，E,尸分別是棱AD,CD±

的動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=OF，則

A.四棱錐耳-BEE不的體積為定值

B.四面體RDEF表面積為定值

C.異面直線耳E和詼所成角為90。

D.二面角R-EF-耳始終小于60°

【答案】ABC

【解析】對于A,因?yàn)樗倪呅?￡Z*的面積為

S^ABCD~^MBE~^t^CF-i—--FC=1-—(AE+BF)=l~—=—(定值).

四棱錐4-BEDF的體積為定值，故正確；

對于3,過。作?！盻L￡F,連接〃“，則Q”J_EF,T^AE=DF=X,則DH="二)_,

7%2+(1-%)2

：.D,H=4DH2+\,

S◎EF=；EF.D、H=g^x2+(l-x)2+x2(l-x)2=17[l-x(l-x)]2=l[l-x(l-x)],

四面體ROEF表面積為S=1xxl+』(1一x)xl+[[l-x(l-x)]+1x(l-x)=l,；.四面體RDEF

2222

表面積為定值，故正確.

對于C,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)?1E=x,則E(l—x,0,0),F(0,x,0),片(1,1,1),

A(1,0,0),

則與E=(一》,一1,-1),AF=(-l,x,0),

二.42?4月=x-x+0=0,.,.異面宜線81E和AE所成角為90。，故正確；

對于力，由B可得二面角〃-防-￡＞就是NOH%,

則cos匕DHD、=2L=義型=小7)=--1---

D、HS"F1-Xl-x)Ji

x(l-x)

八、/X+l—Q1

*/X(1-X)?(---)-=-，

24

cosZD//DP,-,故錯(cuò).

故選ABC.

10.在正三棱柱ABC-4gG中，AB=\,AA=2,BQ與8c交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E是線段

的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

―.1—.1—.1―.

A.AF=-AB+-AC+-AA

222,

B.存在點(diǎn)￡,使得石

C.三棱錐3-A￡F的體積為正

12

D.直線A尸與平面BCC由所成角的余弦值為浮

【答案】AC

【解析】由題意可得，畫出正三棱柱A8C-44G，

如圖所示，向量礪=,豆+麗=麗+3(反^8瓦)

=福+；(前一通)+；羽=；而+；/；祠，故A正確；

假設(shè)存在點(diǎn)E，設(shè)A￡=/IA瓦，噴丸1，

所以屜=屈一4后=福+葷一4豆=可+2福?一AB=A4'+(A-1)AB,

因?yàn)锳FJ_破，

所以入戶.8后月+g恁+3麗).［鈕?+(/1-1)?月］

=—(A-1)A月-H—AAjH—(A—1)4C,AB4—AAAi-AB

=—(A—1)H—x2-H—(A—1)x1x］x-=0,

2222

解得4=-9，故5錯(cuò)誤；

3

因?yàn)檎庵鵄8C-ABC，所以AB/M.4,

加以=匕-：棱錐4-ABF=V凝錐F-A8B,=/匕三棱WiC-ABB,

l,zJ1一百)16

=2V^??.-ASC=2X2XXXVX2><3=77)

B,故。正確;

所以咚棱ffliB-AEF=匕:棱=

12

設(shè)8C中點(diǎn)為O,所以AO_L3C，

又三棱柱ABC-A4G是正三棱柱，

所以AO_L平面

所以NAFO即AF與平面BBC。所成的角,

cosZAFO=-=-^=^-,故。錯(cuò)誤.

AF幣1

2

11.（2021春?湖南期末）如圖，在正方體ABC。-A4G。中，點(diǎn)尸在線段耳。運(yùn)動(dòng)，則

A.三棱錐尸-AGQ的體積為定值

B.異面直線A尸與A。所成的角的取值范圍為【45。，90°1

c.直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為日

D.過P作直線〃/4R,貝l"_LZ)P

【答案】ACD

【解析】在A中，?；AD/IB?,AOU平面AG。，平面AC。，

:.B、cu平面AC。，

點(diǎn)P在線段8。上運(yùn)動(dòng)，,P到平面AC。的距離為定值，

乂△AG。的面積是定值，.??三棱錐尸-AG。的體積為定值，故A正確；

在5中，異面直線"與AQ所成角的取值范圍是[60。，90°],故3錯(cuò)誤；

在C中，以。為原點(diǎn)，/M為X軸，AC為y軸，0A為z軸，建立空間宜角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體AB8—A4CQ中棱長為1,尸(a,1,a),則。(0,0,0),玲(1,0,1),0(0,1,

1),￡>4=(1,0,1),DC\=(0,1,1),C,P=(a,0,a-1),

*n-1,r?-J,I1i,I—?fl,DA.=X+z=°

設(shè)平面AG。的法向量"=(x,y,z),__.,

n-DC}=y+z=0

取x=l,得元=(1,1,-1),..直線G2與平面AG。所成角的正弦值為：

\qP-fi\______1______1

IQPH?I-業(yè)+9了.百一出'

.?.當(dāng)時(shí)，直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為半，故C正確.

在。中，過尸作直線///AR,則〃/8G，-.-DPIBC,,..IlDP,故正確.

故選ACD.

12.如圖，以等腰直角三角形斜邊BC上的高AD為折痕，把AABZ)和AACD折成互相垂直的兩個(gè)

平面后，某學(xué)生得出如下四個(gè)結(jié)論，其中正確的是

B.AB±IX：

C.BDYAC

D.平面4X■的法向量和平面ABC的法向量互相垂直

【答案】BC

【解析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB,DC,以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，

設(shè)折疊前的等腰直角三角形ABC的斜邊3c=2，

則。(0,0,0),3(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),

則耳豆=(1,0,-1),AC=(0,l,-l),DC=(0,1,0),麗=(-1,0,0),

從而有A月?AC:=0+0+l=l,故A錯(cuò)誤；

ABDC=0,故8正確；

BDAC=0,故C正確；

易知平面4X7的一個(gè)法向量為跳5=(-1,0,0),

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為為=(x,y,z)，則［竺方=°

AC?萬=0

x-z=0

即y-z=。'令尸1’

則x=l,z=l,故元=(1,1,1),BDn=-l,故。錯(cuò)誤.

故選BC.

第H卷（非選擇題）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021春?嘉興期末）在長方體ABC￡>-ABC〃中，AB=AD=i,AA,=2,點(diǎn)尸為底面A3CD

上一點(diǎn)，則麗的最小值為.

【答案】」

2

【解析】在長方體ABCD-ABC〃中，AB=AD=],A4,=2,點(diǎn)P為底面ABC。匕一點(diǎn)，

則區(qū)?前;=序?（無+反5=耳?及可||無|cos<麗,元〉，

當(dāng)PA,PC反向時(shí)，cos<PA,PC>的值最小值為-1,

此時(shí)網(wǎng)畫吟㈣』爭斗

當(dāng)且僅當(dāng)I可1=三時(shí)取等號(hào)，

所以百?七的最小值為-g.

故答案為：-?!??

2

14.（2021?浙江模擬）如圖，在棱長為4的正方體ABC。-AAGA中，〃是棱AA上的動(dòng)點(diǎn)，N是

棱8c的中點(diǎn).當(dāng)平面與底面A8CD所成的銳二面角最小時(shí)，.

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)M4=Z,則2(0,0,4),C(0,4,0),N(2,3,0),M(4,0,k),

所以RA/=(4,0,Z-4),￡>N=(2,4,-4),

設(shè)平面RMN的法向量為萬=(x,y,z),

為山幽=04x+(k-4)z=0

則有〈_L.，即已”.八，

n-D,N^0[2x+4y-2z=0

令z=8,則x=8—2左,y=4+k,故療=(8—2A:,4+匕8),

平面ABCD的一個(gè)法向量為四=(0,0,1),

設(shè)平面QMN與底面ABCD所成的銳：面角為a,

\n\\m\J(8-2Z)2+(4+l)2+64y/5k2-24k+144

銳二面角a越小，則cosa越大，

所以求5k2-24k+144的最小值，

令y(Q=5公-24^+144=5伏一￡>+竿，

所以當(dāng)&=上17時(shí)，。有最小值，此時(shí)AM=4—Z=4—IO上=Q2.

5,55

故答案為：

5

15.(2021?河南模擬)如圖，在矩形ABCD中，2A8=8C=2,AE=CF=\.將A,C分別沿BE,

￡)「向上翻折至A,C,則WC取最小值時(shí)，二面角A-EF-。的正切值是,

【解析】取應(yīng);中點(diǎn)O,DF中點(diǎn)、N,連接。￥、OF,連接NE、NC,過4作AM_LO下于M,

過C作C7/_LNE于H,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)N/VOF=aNC'NE=。，｛a,QW(0,T)),

與

&也

cosa,0,qsina),尸_4*

，2

22si也n

立g

22

cos產(chǎn)

cos°-gcosa)+z匹

+(2S

IA'C『=2-O\inin

12,1

=-((1-cosp-cosd)+1+(sinp-sina))..于

'pll-cos/7-cosa=0,且sin夕一sina=0時(shí)|A，C'|最小，于是當(dāng)a=￡=。時(shí)，|A，C'|最小,

設(shè)平面ERV和平面￡FC的法向量分別為所=(x,y,z),n=(u,v,w),

芻

與

裙

用-+=o

-22

令

力z

-(

的=

2>/3\V3

一+O

--X/一6=

44

rEn=----u4-——v=0

,22，令〃=6,n=(>/3,5/3,—1)，

司-6上垃上戈八

FCn=----u+——v+——w=0

424

設(shè)二面角A-EF-C的大小為。，

由圖知9為銳角，所以856=陰包=1~產(chǎn)=*,tanO=2匹.

lw|-|n|5』75

16.（2021?豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，從長、寬、高分別為a,h,c的長方體AEBF-GCWD中截去部分

幾何體后，所得幾何體為三棱錐A-38.下列四個(gè)結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是—.

①三棱錐A-BCD的體積為‘mc；

3

②三棱錐A-88的每個(gè)面都是銳角三角形；

③三棱錐A-8C￡>中，二面角A-8-8不會(huì)是直二面角;

④三棱錐A-88中，三條側(cè)棱與底面所成的角分別記為a,4，y,則sin%+sin/+sir?%,2.

【答案】①②④

【解析】對于①，長方體的體積為而c,

三棱錐A-BCD的體積為abc-4x-x-abc=-abc,故①正確；

323

對于②，三棱錐A-BCD的每一個(gè)面的三邊長都可以用過一個(gè)頂點(diǎn)的三條側(cè)棱表示,

不妨以AAC￡>為例，AD2=a2+c2,AC2=b2+c2,CD2=（r+tr,

AD2+AC2>CD2,AD2+CD2>AC2,AC2+CD2>AD2,

:.AACD一定是銳角三角形，同理可得A48C,AAfiD,MC￡＞為銳角三角形,

則三棱錐A-B8的每個(gè)面都是銳角?:角形，故②正確；

對于③，如圖，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以E4、FB、陽所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則A(a,0,0),E(a,b,0),3(0,b,0),F(0,0,0),G(a,0,c),

C(a,b,c),0(0,0,c),

AC=(0,瓦c),CD=(一4,一。,0),BC=(a,0,c),

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為沅=(x,y,z),

由｛_,取y=l,則/=(一上,1,一與，

m-CD--ax-hy=0ac

同理可得平面BCD的一個(gè)法向量為n=(1,--,--),

bc

沅?萬=一2_色+半，取。=〃=,c=l時(shí)，沅?力=0,可得“仰角A—CD—6是直二面角，故③

abc

錯(cuò)誤；

對于④，不妨設(shè)45與底面所成角為a,AC與底面所成角為乃，4)與底面所成角為

由③可知，平面88的一個(gè)法向量為”=(一秘,。。,必)，AC=(0,/?,(?),

,八2abc

sin0=/~/，

\]b2+C1-^c1+a2h2+trc2

.2,________4a%2c之_______________________________8〃％膏___________________

Sm(b2+c2)-(a2c2+a2b2+b2c2)(b2+c2)[(a2c2+a2b2)+(a1b1+b2c2)+(a2c2+b2c2)]

________8/比2________2b

“2ac(2a2bc+2ab2c+2abc2)a+〃+c

同壬里可得，—————，sin，,,—————，

a+b+ca+b+c

則sin2a+sin2/?+sin2%，2"+2"+--=2,故④正確.

a+b+c

故答案為：①②④.

i￡----------------/

y

X

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（2021春?廣安期末）在四棱錐尸-A88中，平面R4D_L平面ABC。，A/XO是等腰直角三角

形，PA=PD,AD//BC,AB=BC=CD=2,NABC=120。，G是依的中點(diǎn)，”為AC的中

點(diǎn).

（1）求證：G4//平面HLD；

（2）求二面角D—AG—C的余弦值.

【解析】（1）證明：取AD的中點(diǎn)為O，連接OP、OB、OC，

因?yàn)锳￡>〃8C,AB=BC=CD=2,ZABC=120°.

所以A8=8C=CO=，A￡>；

2

又因?yàn)樗倪呅蜛BCO與四邊形05s都是菱形，且H為AC的中點(diǎn),

所以“為03的中點(diǎn)，GH//OP-.

乂因?yàn)镚H<t平面皿）,OPu平面皿）,

所以G/7//平面R4￡）；

（2）解：因?yàn)镕4=PD，O為AD的中點(diǎn)，所以POLAZ）：

又因?yàn)槠矫婷螅?，平面ABCD,所以PO，平面ABCD；

取BC的中點(diǎn)為E,因?yàn)锳BC。為等腰梯形，所以O(shè)E_LA￡>：

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以。至、OD.。戶的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐

標(biāo)系，如圖所示:

則尸(0,0,2),A(0,-2,0),8(6,-1,0),C(V3,1,0),0(0,2,

1)；

所以AD=(0,4,0),AG=(—,--1),配=(G3,0)；

22

4y=0

n-AD=0

設(shè)平面DAG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),由，，得63,求得”=(2,

n-AG=0——x+—y+z=0

,22

\f3a+3/?=0

m-AC=0

設(shè)平面CAG的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),由，，得,后3,,求得虎=(x/3,

tn-AG=0——a+—b+c=0

I22

-1,0)；

n-m2G向

計(jì)算cos<方，m>=

\ri\x\m\2xy/l7

所以：何角。一AG—C的余弦值為衛(wèi)■.

7

18.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2n的菱形，N/)A8=60。，PA==PD,頂點(diǎn)P在

底面上的投影為O,側(cè)棱與底面A38所成角的正切值為點(diǎn).

(1)證明：BC_L平面PO3；

(2)若點(diǎn)￡為PC的中點(diǎn)，求二面角A—￡>￡—8的大小.

【答案】（1）證明見解析：（2）

4

【解析】（I）證明：因?yàn)樗睦忮FP-A8CD的底面是邊長為2#的菱形，且卬由=60。，

所以AAB0是邊長為2指的等邊三角形；

因?yàn)樘?P3=P￡）,所以三棱錐尸-ABD是正三棱錐，

所以頂點(diǎn)P在底面上的投影為O為正的中心；

又ADUBC，所以BC_LO8；

因?yàn)?C_LPO,PO[\BO=O,所以BC_L平面PO8:

（2）解：由（1）知，NP8O是是側(cè)棱A5與底面ABC/）所成的角，

所以tanNP3O=0,所以O(shè)P=4；

以O(shè)為原點(diǎn)，O后,蘇的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-乎，

如圖所示:

則A(卡，-V2,0),D(-底,-41,0),E(-R,&,2),8(0,20,0),

所以通=(-2?,0,0),DE=(0.20,2),EB=(通,叵,-2),

設(shè)平面ADE的法向量為比=(x,y,z),

則［吧/=-24=0，令y"得加=(o,L一處；

DE-m=2\l2y+2z=0

設(shè)平面3。石的法向量為萬=3，力，c）,

EBn=癡a+\[lb-2c=0人zn1-r-

則—廣，令6=1，WM=(-V3,1,-V2)；

DE-ri=2y/2b+2c=0

tnn372

cos<mn>=

?\m\^\fi\73x^62'

因?yàn)槎娼茿-Z）E-8是銳角，所以二面角A-0E-8的大小為生.

4

19.（2021春?濰坊期末）如圖，四棱柱的底面ABCD為矩形，AD=2AB,M為BC

中點(diǎn)，平面A4,J_4。且A4=A。.

（1）證明：ZB,,4,0=90°.

（2）若此四棱柱的體積為2,求二面角A-的正弦值.

【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭RD4J.平面A8C￡）,

平面平面=，A8u平面A3CD,ABYAD,

所以AB_L平面AAD4，

因?yàn)锳B//A4，所以4與J■平面A〃D4，

又因?yàn)锳Ou平面

所以即/44。=90°?

（2）取4）中點(diǎn)O,連接AQ,因?yàn)锳A=A。，所以AOLAO,

乂因?yàn)槠矫鎈D.DAL平面ABCD,

平面A￡)QAC平面ABCD=AD,

所以AO_L平面ABCD,

所以A0為四棱柱ABC。-ABCA的高,

設(shè)=則AD=2a,OAt=a,

所以四棱柱的體積V=S平行四邊形Me0x=ax2axa=la1=2,

解得<7=1,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，0M,0D,可為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(l,I,0),D(0,1,0),4(0,0,1),M(1,0,0),

A,￡)=(0,1,-1),=(0,1,0),4府=(1,0,-1),

因?yàn)??_L平面A4QQ,所以AB_LA。，乂AO_LA4,=

所以AE>_L平面,所以平面AA,B的一個(gè)法向量〃;=AQ=(0,1,-1),

設(shè)平面ABM的一個(gè)法向量為/?；=(x,y,z),

令x=l,則石=(1,0,1).

設(shè)二面角A-A8-M的平面角為。，

則ICOS01=

|，H后1―0〉0一5'

所以sin，=Vl-cos26=）

2

即二面角A-AB-M的正弦值為更

20.（2021?甲卷）已知直三棱柱ABC-AAG中，側(cè)面A4,用8為正方形，AB=BC=2,E,F分

別為AC和CG的中點(diǎn)，。為棱4片上的點(diǎn)，BF"B1.

（1）證明：BF1.DE；

（2）當(dāng)4。為何值時(shí)，面與面NE所成的二面角的正弦值最小？

C

【答案】（1）證明見解析；（2）B，D=L

【解析】（1）證明：連接AF,

■■E,尸分別為直三棱柱ABC-A4G的棱AC和CG的中點(diǎn)，且AB=BC=2,

:.CF=\,BF=y/5,

?.?8F_LA4，AB//%B、,

：.BF±AB

22

AF=^AB+BF="2+(府=3,AC=NAF-CF?=舊=2&,

AC2=AB1+BC2.UPBArBC,

故以3為原點(diǎn)，BA,BC,B4所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(1,I,0),F(0,2,1),

設(shè)用。=根，則0(加，0,2),

BF=(0,2,1),DE=(\-m,1,-2),

BFDE=0,即班

(2)解：?.?河，平面BgCC，；.平面的一個(gè)法向量為7=(1,0,0),

由(1)知，DE=(\-m,1,-2),￡F=(-1,1,1),

.....〃、，,_、，,.[n-DE=0,,nf(l-/w)x+y-2z=0

設(shè)平面￡>￡尸的法向量為"(x,y,z),則4一，即！.八,