第四章 數(shù)列單元測試（基礎(chǔ)卷）（解析版）-教案課件-人教版高中數(shù)學選擇性必修二（選修二）

第四章數(shù)列單元過關(guān)檢測基礎(chǔ)A卷

解析版

學校:姓名：___________班級：考號：

題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+6（解答），滿分150分，時間：120分鐘

一、單選題

1.已知數(shù)列｛冊｝的前4項為：1,則數(shù)列｛廝｝的通項公式可能為（）

【答案】D

【解析】

【分析】

分母與項數(shù)一樣，分子都是工，正負號相間出現(xiàn)，依此可得通項公式

【詳解】

正負相間用（一1）"T表示，口即=一二.

故選D.

【點睛】

本題考查數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是尋找規(guī)律，尋找與項數(shù)有關(guān)的規(guī)律.

2.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和，若色=3,S6=21,則數(shù)列｛%｝的公差為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】

利用等差數(shù)列｛a?｝的前n項和與通項公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出數(shù)列｛斯｝的公差.

【詳解】

???S”為等差數(shù)列｛小｝的前〃項和，43=3,$6=21,

a3=at+2d=3

*6x5，

§6=64+21

解得“1=1,(1=1.

...數(shù)列｛斯｝的公差為1.

故選4.

【點睛】

本題考查數(shù)列的公差的求法，考查等差數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

3.已知數(shù)列｛%｝,滿足凡+|=口一，若4=不，則%)19=()

11

A.2B.—C.—1D.

22

【答案】C

【分析】

利用遞推公式計算出數(shù)列｛4｝的前幾項，找出數(shù)列｛。,,｝的周期，然后利用周期性求出的019的值.

【詳解】

11?a=^—=^—=211,

aa

n+\=-----.且41=7，-1-a111，3=-；---=^=-1,

\-an21--\-a21-2

111/、

4=巨=17^=2,所以，a“+3=4,(〃wN*),

則數(shù)列｛凡｝是以3為周期的周期數(shù)列，，?20|9=?672+3=q=T

故選C.

【點睛】

本題考查利用數(shù)列遞推公式求數(shù)列中的項，推導出數(shù)列的周期是解本題的關(guān)鍵，考查分析問題和解

決問題的能力，屬于中等題.

4.在等比數(shù)列｛%｝中，％?2=6,%+《4=5,則外■=()

“5

9433-23-9

A.一或一B.-C.二■或不D.一或一

4922324

【答案】A

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得=包?4=6,又由4+《4=5,聯(lián)立方程組，解得包，44的值，分

類討論求解，即可得到答案.

【詳解】

由題意，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得％,42=?！?4=6,

%=2(a4=3

又山4+《4=5,聯(lián)立方程組，解得〈.或｛4

聞=3〔%=2

當卜二時，貝=］此時%=/=0。)2宅；

《4=3a42a54

當:時，則d"二也二段，此時幺:彳"‘=("")2

%4=243a$9

故選A.

【點睛】

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，聯(lián)立方程組，求得的

值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.等比數(shù)列｛q｝中（）

A.若。］<4>則“4<“5B.若4<4，則。3<。4

C.S3>S2,則D.若邑>邑，則q>%

【答案】B

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及求和公式，等比數(shù)列的公比分析即可求出答案.

【詳解】

.?等比數(shù)列｛aJ中，q2>0,

.,.當時，可得442<。2彳2,及a,<&，故B正確;

但/和%=生/不能判斷大小（q3正負不確定），故A錯誤;

當S3>§2時,則+g+%>q1+“2，可得。3>0,即4闖2>0,可得4>0,

由于。不確定，不能確定q,外的大小，故CD錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列通項公式和求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

57〃+2

6.兩等差數(shù)列｛%｝和也｝,前〃項和分別為S”,。，且亍=則7的值為（）

149791651

A.——B.—C.—D.—

2414510

【答案】A

【分析】

在｛?！埃秊榈炔顢?shù)列中，當加+"=〃+4(〃7,”,P,qeN.)時，am+an=ap+aq.所以結(jié)合此性

質(zhì)可得：母,再根據(jù)題意得到答案.

四+九T21

【詳解】

解：在｛%｝為等差數(shù)列中，當加+”=。+式加，?,P,qeM)時，am+an=ap+aq.

21x(^+n)x-§

%+%o21

所以

4+121x(^,+^,)x10

S,_7〃+2

又因為W

〃+3

生+生。149

所以

4+九24'

故選：A.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，屬于中檔題.

7.函數(shù)/(勸=7^112》-0?2》-石的正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列｛?！埃?貝!!%=()

13%17兀171

A.——D.—

12~[26

【答案】B

【分析】

先將函數(shù)化簡為f(x)=2sin2x—￡-6，再解函數(shù)零點得％乃或1=四+左萬，keZ,

I6J412

再求心即可.

【詳解】

解：*.*fM=sin2x-cos2x->/3=2sin^2x--^j-^3

令〃x)=°得：2x—色='+2攵4或2x—'=二+2%〃，keZ,

6363

71...5%",,r

X--+K7TS^X------\-K7t,KEZ,

412

TT57r57r

/.正數(shù)零點從小到大構(gòu)成數(shù)列為：a^-,a2^—,a.=—,

4-124

故選：B.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)列的概念，考查數(shù)學運算求解能力，是中檔題.

-1.V

8.已知函數(shù)/(x)=A^(XGR),正項等比數(shù)列｛%｝滿足須=1，則

/(lna1)+/(ln<72)++/(lna99)

99101

A.99B.101C.—D.—

22

【答案】c

【詳解】

3-t1

因為函數(shù)/(-x)------=------：.f(x)+f(-x)=l(XGR),

1+3-x3V+1

正項等比數(shù)列｛a“｝滿足a5()=1?-4為9==1，

Inax+In=Ina2+Ina..=0

99

則/(lnq)+/(lna2)++/(1。99)=萬，選C

二、多選題

9.無窮數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=a〃2+尿+c,其中a,b,c為實數(shù)，則()

A.｛因｝可能為等差數(shù)列

B.｛%｝可能為等比數(shù)列

C.｛%｝中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等差數(shù)列

D.｛《,｝中一定存在連續(xù)三項構(gòu)成等比數(shù)列

【答案】AC

【分析】

由S,+M+C可求得勺的表達式，利用定義判定得出答案.

【詳解】

當〃=1時，4=E=Q+〃+C.

2

當〃N2時，an-Sn—Sn_｝=an+6〃+C-Q（〃-一人（力_]）_仃=2an-a+b.

當〃=1時，上式=〃+力.

所以若｛%｝是等差數(shù)列，則a+Z>=a+b+c，c=O.

所以當c=0時，｛q｝是等差數(shù)列，不可能是等比數(shù)列；當CH（）時，｛%｝從第二項開始是等差數(shù)

列.

故選：AC

【點睛】

本題只要考查等差數(shù)列前〃項和S,與通項公式的關(guān)系，利用S,求通項公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知數(shù)列｛叫的首項為4,且滿足2（〃+l）a“-w”+[=0（〃wN*）,則（）

A.為等差數(shù)列

B.｛4｝為遞增數(shù)列

C.｛%｝的前〃項和S,,=(〃—1)-2向+4

D?｛臺｝的前幾項和(,=等

【答案】BD

【分析】

+

由2(〃+Y)an-nan+[=0得也=2x4，所以可知數(shù)列,是等比數(shù)列,從而可求出an=n-2"',

幾+1n[n)

可得數(shù)列｛q｝為遞增數(shù)列，利用錯位相減法可求得｛4｝的前〃項和，由于令=喘;=〃，從

而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列｛翁｝的前〃項和.

【詳解】

由2(〃+1)4-〃4m=0得也=2、%,所以[2]是以a=q=4為首項，2為公比的

幾十1n[nJ1

等比數(shù)列，故A錯誤；因為?=4X2"T=2""，所以為=〃-2向，顯然遞增，故8正確；

n

因為S“=1X2?+2X23+…+小2向，2S?=1X23+2X24++n-2,,+2,所以

-S?=1X22+23++2"i—〃.2"2一2一(1一2”)〃之..故S“=(〃-1)X2-2+4,

1-2

故C錯誤；因為%=嘿=〃，所以｛斜｝的前〃項和4=現(xiàn)署=4，

故。正確.

故選：BD

【點晴】

本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及到遞推公式求通項，錯位相減法求數(shù)列的和，等差

數(shù)列前〃項和等，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.

11.已知無窮等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為s“，S6<S7,且S7〉S8,則（）

A.在數(shù)列｛凡｝中，為最大B.在數(shù)列｛q,｝中，4或許最大

C.53=Sl0D.當〃28時，<0

【答案】AD

【分析】

由已知得到%>0,。8<0，進而得到d<0.從而對ABD作出判定.對于C,利用等差數(shù)列的和與項的關(guān)

系可等價轉(zhuǎn)化為4+6d=0,可知不一定成立，從而判定C錯誤.

【詳解】

由已知得：a7>0,a8<0,

結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可知，d<0,該等差數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列，

.?.A正確，B錯誤，D正確，

S3=等價于A。一邑二°,即4+4+.一+4（）二°,等價于4+4o=°，即4+6"=

這在已知條件中是沒有的，故C錯誤.

故選:AD.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前"項和，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵在于掌握和與項的關(guān)系.

12.將〃2個數(shù)排成〃行〃列的一個數(shù)陣，如圖：該數(shù)陣第一列的〃個數(shù)從上到下構(gòu)成以〃，為公差的

等差數(shù)列，每一行的〃個數(shù)從左到右構(gòu)成以〃?為公比的等比數(shù)列（其中加>（））.已知知=2,

%=%+1，記這個數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）

“31432a33.............a3n

anlan243……Mi

A.m=3B.47=17x37c.羯=（3i—1）x3^D.S=；〃（3〃+l）（3"—1）

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式，結(jié)合《3=4I+1可求得加，同時確定%7、%的值、得到

A,2C的正誤：首先利用等比數(shù)列求和公式求得第i行〃個數(shù)的和，再結(jié)合等差求和公式得到。的

正誤.

【詳解】

222

對TA，al3=anm=2m,+5/〃=2+5加，2m=3+5m＞又加＞0，

.?.，%=3,A正確；

66

對于3，^61=2+5m=17,,\a61=a6l-m=17x3,8錯誤；

J]/_,

對于C,ai[=a]]+（z-l）m=3z-l,=aiy-m~=（3z-1）-3TC正確；

對于。，第于?。緜€數(shù)的和s-3“二空如二工L建辿二D,

\~YYl-22

.-.5=1（3,,-l）x[2+5+8+---+（3n-l）]=^（3n-l）x^|^l=lrt（3n+l）（3n-l）.O正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查數(shù)列中的新定義問題，解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用等差和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，

將新定義的數(shù)陣轉(zhuǎn)化為等差和等比數(shù)列的問題來進行求解.

三、填空題

已知為等差數(shù)列,前”項和取得最大值時的

13.｛a,,｝q++=105,a2+a4+a6=99,｛an｝S“n

值為.

【答案】20

【分析】

先由條件求出q,d，算出S“，然后利用二次函數(shù)的知識求出即可

【詳解】

設(shè)｛4｝的公差為d，由題意得

q+4+%~a\+4+2d+q+4d=105

即4+2d=35,①

%+。4+6~a\+d+4+3d+q+5d=99

即4+3d=33,②

由①②聯(lián)立得q=39,d=-2

所以=39〃+x(-2)=一/+40〃=_(〃_2oy+400

故當〃=20時，S〃取得最大值4。。

故答案為：2。

【點睛】

等差數(shù)列的S“是關(guān)于〃的?.次函數(shù)，但要注意〃只能取正整數(shù).

14.《九章算術(shù)》中有一個“兩鼠穿墻''的問題："今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦

日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？”其大意為：“今有一堵墻厚五尺，兩

只老鼠從墻的兩邊沿一條直線相對打洞穿墻，大老鼠第一天打洞1尺，以后每天是前一天的2倍；

小老鼠第一天也打洞1尺，以后每天是前一天的問大、小老鼠幾天后相遇？各自打洞幾尺？”如

2

果墻足夠厚，S“為前"天兩只老鼠打洞長度之和，則S產(chǎn)_____尺.

【答案】2"+1-21-"

【分析】

寫出兩只老鼠打洞的通項公式，利用分組求和即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意大老鼠第n天打洞/=2"J尺，

小老鼠第〃天打洞/尺，

|(1A"-1

所以S,,=1+2+4+…+2"T+1+—+…+-

2⑴

=21+2出廠

=2"+1—2~

故答案為：2"+1-2「"

【點睛】

此題考查等比數(shù)列的辨析，寫出通項公式，根據(jù)求和公式求和，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)公式，涉及

分組求和.

15.我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例

如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有

9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是.

【答案】405

【分析】

9x8

前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9,公差為9的等差數(shù)列，59=9x9+^x9=405

16.

如圖，互不相同的點A，4，4，和牛員,，紇,分別在角。的兩條邊上，所有4紇相互平

行，且所有梯形A“B“BeA”z的面積均相等.設(shè)OA“=4.若q=1,%=2,則數(shù)列｛%｝的通項公式

是.

[答案】a“=13rl-2

【分析】

根據(jù)三角形相似和所有梯形的面積均相等，找到與?！跋嚓P(guān)的遞推公式，再由遞推公式

求得通項公式.

【詳解】

由于4+四+"4紇，所以.OAn+iBn+]OAnB,?

梯形4,紇紇+m,用的面積為AOA,什￡用的面積減去△04“紇的面積，

SQ&B,_O&_a-

S.O&B,。號否

則可得如一說=個—，即遞推公式為24=*+，

故也:｝為等差數(shù)列，且公差4=々2-。；=3，

故a”~=1+(/1—1)x3=3/2—2,得a“=J3〃-2

故答案為：4=j3〃-2

【點睛】

本題主要考查數(shù)列在平面幾何中的應(yīng)用，根據(jù)幾何關(guān)系尋找遞推有關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，屬于中

檔題.

四、解答題

17.設(shè)等差數(shù)列｛q｝的前“項的和為S“，且S,=—62,S6=-75,求：

(1)求｛%｝的通項公式為；

(2)求數(shù)列｛同｝的前14項和.

【答案】(1)4=3〃—23；(2)147.

【分析】

(1)山已知條件列出關(guān)于力,"的方程組，求出可得到為；

(2)由通項公式?！跋扰袛鄶?shù)列｛4｝中項的正負，然后再化簡數(shù)列｛|%|｝中的項，即可求出結(jié)果.

【詳解】

4x3

4a+—^=-62

1n

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為"，依題意得，

66+夕”=-75

12

解得q=-20,d-3,

：.an=-20+(n-l)x3=3n-23：

(2)an=3n-23,

止安匕空=配以加』-與

，由a”<0得〃<8,S“

|qI+|“21+|q|++I4J=—q—%——%+%++44=5]4—2s7

3433

—x2l4---xl4-—x匕7

222

=7(42—43)-7(21—43)=147.

【點睛】

此題考查等差數(shù)列的基本量計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.數(shù)列｛%｝滿足4=1,%=2,4+2=2?！?[—+2

（1）設(shè)或=〃,用一生,證明數(shù)列｛，｝是等差數(shù)列

（2）求數(shù)列的前〃項和S,.

曲%J

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）S“=-------.

2〃+1

【分析】

（1）先化簡得到（4+2一%+1）一（4+1一%）=2即瓦+「4=2,再求得a=%-4=1，最后判斷

數(shù)列｛%｝是以I為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

（2）先求出數(shù)列｛2｝的通項公式a=2〃-1,再運用“裂項相消法”求數(shù)列〈，一，的前.〃項和

Sn即可.

【詳解】

解：（I）因為4+2=24m_%+2,所以（%+2_4用）一（6用一%）=2

因為4=?,1+,~an,所以d+i-4=2,且4=%=1

所以數(shù)列｛2｝是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）的包=l+（〃-l）x2=2"-1,

「、1_11_____!—]

所以~（2n-l）（2n+l）~2\2n-i~2n+iJ

。1111

所以=----1----------1----------FH-----------

她助她2%

舒-撲發(fā)-與+2[2n-\~2n+l)

=U「一U=q

212n+lJ2n+l

【點睛】

本題考查利用定義求等差數(shù)列的通項公式、根據(jù)遞推關(guān)系判斷數(shù)列是等差數(shù)列、根據(jù)“裂項相消法”

求和，還考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思維方式，是基礎(chǔ)題.

19.在①3k=-1，②％+1-4=一,，③?！?1=?！?〃一8這三個條件中任選一個，補充在下面

an26

的問題中，若問題中的5"存在最大值，則求出最大值；若問題中的S,不存在最大值，請說明理由.

問題：設(shè)s“是數(shù)列｛q｝的前〃項和，且4=4,,求｛6,｝的通項公式，并判斷S,是否

存在最大值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】答案見解析

【分析】

若選①，求出數(shù)列｛4｝是首項為4,公比為-g的等比數(shù)列，求出通項公式和前〃項和，通過討論〃

的奇偶性，求出其最大值即可；

若選②，求出數(shù)列｛為｝是首項為4,公差為一1的等差數(shù)列，求出通項公式和前〃項和，求出其最

6

大值即可；

若選③，求出/=〃—["+24,當〃216時，4>0,故S“不存在最大值.

【詳解】

解：選①

因為其包=-!，4=4,所以｛6,｝是首項為4.公比為-！的等比數(shù)列，

%22

41--

當〃為奇數(shù)時，s=1」;8八?1

"1+13（T）

2

因為|[1+隨著〃的增加而減少，所以此時s“的最大值為E=4.

8（I

當〃為偶數(shù)時，5?=-1-—

JI乙

綜上，5“存在最大值，且最大值為4.

選②

因為4=4.所以｛%｝是首項為4,公差為―；的等差數(shù)列,

66

所以2=4+(〃_1)(一t125

——nd---.

66

125

由—n-\---20得〃W25,

66

所以S,存在最大值.且最大值為邑5（或邑4），

25x24(1A

因為S?5=25x4+―-—xf--1=5(),所以S“的最大值為50.

選③

因為4+1=a”+〃-8,所以4+1—%=〃-8,

所以生一弓二一？，a3—ci2=-6,???</?n-9,

(-7+n-9)(n-l)n2-17n+16

則4“一6Z|=%-Q]+—++一?！币?

22

...r-r-.?Yf—17〃+24

又q=4,所以Q〃二-------------

當〃之16時,?！?gt;0,

故S“不存在最大值.

【點睛】

此題考查數(shù)列的通項公式和求和公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題

20.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為5“，滿足S“=2a”—2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）設(shè)包=（2〃一求數(shù)列也｝的前〃項和7“.

【答案】（1）4=2"；⑵7；,=（2n-3）x2n+l+6

【分析】

（I）利用??=Sn-S,i（〃>2）,4=M,可得｛可｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求

得通項公式4；

（2）利用錯位相減法求和即可求

【詳解】

(1)當〃=1時，4=S[=2q-2,解得q=2,

當〃>1時，由S.=2%—2可得

S“_i=2a“_1-2,n>\

兩式相減可得an=2a“-2%,即上匚=2,

an-\

所以｛a,,｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列,

所以a“=2-2"T=2"

(2)由(1)d=(2〃-1>2”,

7；=1X2+3X22+5X23++(2〃-1)?2",

則27；=1x22+3x23+5x2,+L+(2〃-3)x2"+(2〃-1)x2"”,

兩式相減得-7；=2+2x22+2x2?++2x2"-(2/1—1)x2"“

8(1-2"T)

=2+_(2〃一1)x2.=2"+2—6—(2〃-1)x2"“=一(2〃-3)?2,,+|-6,

1-2

所以7；=(2〃-3)〉2向+6.

【點睛】

方法點睛：

|X—S”,,n>2

由數(shù)列前〃項和求通項公式時，一般根據(jù)凡=；求解，考查學生的計算能力.

嶼，〃二1

31

21.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為5“=/”2一萬〃.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵數(shù)列d=[1gq],國表示不超過X的最大整數(shù)，求也｝的前1000項和Zooo.

【答案】(1)4=3〃一2；(2)7；0Go=2631.

【分析】

(1)利用4=S“-S,T可求出;

(2)根據(jù)數(shù)列特點采用分組求和法求解.

【詳解】

(1)當〃=1時，4=￥=1,

313■>]

nn

當〃22時，an=Sn-Sn_｝~~'~~-一萬("-1)=3〃-2,

將〃=1代入上式驗證顯然適合，所以為=3〃-2.

(2)因為%=1°，。34=10°，?334-1000,%334=I。。。。,

0,1<?<3

1,4</1<33

所以“

2,34<?<333

3,334<n<1000

所以^IOOO=0x3+lx30+2x300+3x667=2631.

【點睛】

本題考查凡和S”的關(guān)系，考查分組求和法，屬于基礎(chǔ)題.

22.在①$5=35,②34+生=10,③q+i=3〃+4這三個條件中任選一個,補充在下面問題中并作

答.

。成等比數(shù)列

已