奧數(shù)題型與解題思路01~10講

1、l=J:值問題

【最小值問題】

例1外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、

乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途

增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。

現(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加

位民警。

,50。。米，8000米，400。米,

甲乙丙丁

如圖5.91

（《中華電力杯》少年數(shù)學競賽決賽第一試試題）

講析：如圖5.91,現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有

一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個2500米，2個4000米,

2個2000米。現(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相

等，這實際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。

由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500,所以，整段路最少需要的民

警數(shù)是（5000+8000+4000）4-500+1=35（名）。

例2在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92

所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發(fā)會面，那么，應選擇哪點會面

最省時？

（湖南懷化地區(qū)小學數(shù)學奧林匹克預賽試題）

如圖5.92

講析：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發(fā)會面最省時，必須三

者同時到達，即各自行的路程相等。

我們可將正方體表面展開，如圖5.93,則A、B、C三點在同一平面上。這

樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點0,使0到這三點的距離相等且最短。

AH><

B-------------

如圖5.93

所以，連接A和C,它與正方體的一條棱交于0；再連接0B,不難得出

A0=0C=0Bo

故，0點即為三只螞蟻會面之處。

【最大值問題】

例1有三條線段a、b、c,并且aVbVc。判斷：圖5.94的三個梯形中,

第幾個圖形面積最大？

如圖5.94

(全國第二屆“華杯賽”初賽試題)

講析：三個圖的面積分別是：

:(a+c)Xb；；；(b+c)Xa；；(a+b)Xcj

三個面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是(a+b+c)的

和一定。其問題實質(zhì)上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時，乘積最

大。由等周長的長方形面積最大原理可知，(a+b)Xc這組數(shù)的值最接近。

故圖(3)的面積最大。

例2某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商品按100元售出后，能

賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一

天能賺得更多利潤，售價應定為每個元。

(臺北市數(shù)學競賽試題)

講析：因為按每個100元出售，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少

10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個。

現(xiàn)把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少

1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。

所以，每個漲價的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60）,根據(jù)等周長

長方形面積最大原理可知，當把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30

份，此時有最大的利潤。

因此，每個售價應定為90+30=120（元）時，這一天能獲得最大利潤。

2、值規(guī)律

【積最大的規(guī)律】

（1）多個數(shù)的和一定（為一個不變的常數(shù)），當這幾個數(shù)均相等時，它們

的積最大。用字母表示，就是

如果ai+a?+…+a“=b（b為一常數(shù)），

那么，當a產(chǎn)a2="*=a"時,a^Xa/X…Xa”有最大值。

例如，a,+a2=10,

1+9=10-1X9=9；

2+8=10-2X8=16；

3+7=10^3X7=21；

4+6=10-4X6=24；

4.5+5.5=10-4.5X5.5=24.75；

5+5=10-*5X5=25；

5.5+4.5=10—5.5X4.5=24.75；

9+1=10-9X1=9；

由上可見，當&、&兩數(shù)的差越小時，它們的積就越大；只有當它們的差為

0,即&=&時,它們的積就會變得最大。

三個或三個以上的數(shù)也是一樣的。由于篇幅所限，在此不一一舉例。

由“積最大規(guī)律”，可以推出以下的結(jié)論：

結(jié)論1所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n

邊形）的面積為最大。

例如，當n=4時，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。

例題：用長為24厘米的鐵絲，圍成一個長方形，長寬如何分配時，它的面

積為最大？

解設(shè)長為a厘米，寬為b厘米，依題意得

（a+b）X2=24

即a+b=12

由積最大規(guī)律，得a=b=6（厘米）時，面積最大為

6X6=36（平方厘米）。

（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）

結(jié)論2在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最

大。

例題：用12米長的鐵絲焊接成一個長方體，長、寬、高如何分配，它的體

積才會最大？

解設(shè)長方體的長為a米，寬為b米，高為c米，依題意得

（a+b+c）X4=12

即a+b+c=3

由積最大規(guī)律，得a=b=c=l（米）時，長方體體積為最大。最大體積為

1X1X1=1（立方米）。

（2）將給定的自然數(shù)N,分拆成若干個（不定）的自然數(shù)的和，只有當這

些自然數(shù)全是2或3,并且2至多為兩個時，這些自然數(shù)的積最大。

例如，將自然數(shù)8拆成若干個自然數(shù)的和，要使這些自然數(shù)的乘積為最大。

怎么辦呢？

我們可將各種拆法詳述如下：

分拆成8個數(shù)，則只能是8個“1”，其積為1。

分拆成7個數(shù)，則只能是6個“1”，1個“2”，其積為2。

分拆成6個數(shù),可得兩組數(shù)：（1,1,1,1,1,3)；(1,1,1,1,2,2)o

它們的積分別是3和4。

分拆成5個數(shù)，可得三組數(shù)：(1,1,1,1,4)；(1,1,1,2,3)；(1,

1,2,2,2)o它們的積分別為4,6,8o

分拆成4個數(shù)，可得5組數(shù)：(1,1,1,5)；(1,1,2,4)；(1,1,

3,3)；(1,2,2,3)；(2,2,2,2)。它們的積分別為5,8,9,12,16。

分拆成3個數(shù)，可得5組數(shù)：(1,1,6)；(1,2,5)；(1,3,4)；

(2,2,4)；(2,3,3)o它們的積分別為6,10,12,16,18。

分拆成2個數(shù)，可得4組數(shù)：（1,7）；(2,6)；(3,5)；(4,4)o

它們的積分別為7,12,15,16。

分拆成一個數(shù)，就是這個8。

從上面可以看出，積最大的是

18=3X3X2。

可見，它符合上面所述規(guī)律。

用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數(shù)的和，可發(fā)現(xiàn)

6=3+3時，其積3X3=9為最大；

7=3+2+2時,其積3X2X2=12為最大；

14=3+3+3+3+2時,其積3X3X3X3X2=162為最大；

25=3+3+…+3+2+2時,其積3,X2?=8748為最大。

\_____________>

7個

由這些例子可知，上面所述的規(guī)律是正確的。

【和最小的規(guī)律】幾個數(shù)的積一定，當這幾個數(shù)相等時，它們的和相等。用

字母表達，就是如果aXa，…X4=c（c為常數(shù)），

那么，當a產(chǎn)a2="=an時,a,+a2+…+a”有最小值。

例如，a,Xa2=9,

lxi8=9^1+18=181；

IX9=9-*1+9=10；

2X41=9f2+41=67-；

222

3X3=9-*3+3=6；

14141

3X2-=9^3-+2-=6—；

272714

????????????一＞????????????

由上述各式可見，當兩數(shù)差越小時，它們的和也就越??；當兩數(shù)差為。時,

它們的和為最小。

例題：用鐵絲圍成一個面積為16平方分米的長方形，如何下料，材料最??？

解設(shè)長方形長為a分米，寬為b分米，依題意得aXb=16。

要使材料最省，則長方形周長應最小，即a+b要最小。根據(jù)“和最小規(guī)律”，

取

a=b=4（分米）

時，即用16分米長的鐵絲圍成一個正方形，所用的材料為最省。

推論由“和最小規(guī)律”可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的

周長為最小。

例如，面積均為4平方分米的正方形和圓，正方形的周長為8分米；而

圓的半徑為g/f分米，圓周長為4j7=7.08（分米），小于8分米。所以圓

的周長小于正方形的周長。

【面積變化規(guī)律】在周長一定的正多邊形中，邊數(shù)越多，面積越大。

例如，周長為6分米的正方形與正六邊形中，正方形的邊長為米，面

積為X弓=25平方分米；而正六邊形有六個邊長為1分米的等邊三角形，

每個等邊三角形的面積為年=0.433（平方分米），則正六邊形的面積約

為0.433X6=2.598（平方分米）。

顯然，2.598〉2,所以，正六邊形的面積，大于和它周長相等的正

方形的面積。

推論由這一面積變化規(guī)律，可以推出下面的結(jié)論：

在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。

例如，周長為4分米的正方形面積為1平方分米；而周長為4分米的圓，

24

半徑為五分米，面積為元■=1.273（平方分米）。1.273〉1,故圓面積大

于和它周長相等的正方形面積。

【體積變化規(guī)律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各

二面角相等的多面體）中，面數(shù)越多，體積越大。

例如，表面積為8平方厘米的正四面體S—ABC（如圖1.30）,它每一個面

均為正三角形，每個三角形面積為2平方厘米，它的體積約是1.1697立方厘米。

而表面積為8平方厘米

4

的正方體（如圖1.31）,每個面的面積為8+6=可（平方厘米），邊

長約為1.1546厘米，體積約為1.539立方厘米。顯然，正方體體積大于正四面

體體積。

s

c

BL-----------

圖1.30圖1.31

推論由這一體積變化規(guī)律，可推出如下結(jié)論：

在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。

例如，表面積為8平方厘米的正四面體，體積約為1.1697立方米；表面積

為8平方厘米的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘米；而表面積是8

平方厘米的球，體積卻約有2.128立方厘米?？梢娚厦娴慕Y(jié)論是正確的。

【排序不等式】對于兩個有序數(shù)組：

aWazW…Wa?及bWbW…Wb”，

則alb,+a2b2+...+a,b拍n所

T>aib拒IL2掃2+...+a,b.n??）2ab

—

n.n2bn1<■..+”nJ<的用）（其中b招1、匕也八.........、b拍n

為b,>也、……、b”的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當且僅當a,=a2=-

=a?,或匕出=…九時,式中等號成立。）由這一不等式可知.同序積之和為圾大，倒序積之和為最小。例題：設(shè)有

10個人各拿一只水桶，同時到一個水龍頭下接水。水龍頭注滿第一、第二、……

九、十個人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問：如何安排這10

個人的排隊順序，可使每個人所費時間的總和盡可能少？這個總費時至少是多少

分鐘？

%

舛%G

解設(shè)每人水桶注滿時間的一個有序數(shù)組為：1,2,3,……，9,10。

打水時，等候的人數(shù)為第二個有序數(shù)組，等候時間最長的人數(shù)排前，這樣組

成

1,2,3,....,9,10o

根據(jù)排序不等式，最小積的和為倒序，即

1X10+2X9+3X8+4X7+5X6+6X5+7X4+8X3+9X2+10X1

=(1X10+2X9+3X8+4X7+5X6)X2

=(10+18+24+28+30)X2

=220(分鐘)

其排隊順序應為：根據(jù)注滿一桶水所需時間的多少，按從少到多的排法。

3、最優(yōu)方案與1=j:佳策略

【最優(yōu)方案】

例1某工廠每天要生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，按工藝規(guī)定，每件甲產(chǎn)品需分別

在A、B、C、D四臺不同設(shè)備上加工2、1、4、0小時；每件乙產(chǎn)品需分別在A、

B、C、D四臺不同設(shè)備上加工2、2、0、4小時。已知A、B、C、D四臺設(shè)備，每

天最多能轉(zhuǎn)動的時間分別是12、8、16、12小時。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品該廠得利潤

200元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品得利潤300元。問：每天如何安排生產(chǎn)，才能得到最大

利潤？

（中國臺北第一屆小學數(shù)學競賽試題）

講析：設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品a件，乙產(chǎn)品b件。由于設(shè)備A的轉(zhuǎn)動時間每天最

多為12小時，則有：（2a+2b）不超過12。

又（a+2b）不超過8,

4a不超過16,

4b不超過12。

由以上四個條件知，

當b取1時，a可取1、2、3、4；

當b取2時，a可取1、2、3、4；

當b取3時，a可取1、2o

這樣，就是在以上情況下，求利潤200a+300b的最大值?？闪斜砣缦拢?/p>

b123

a1234123412

200a+300b500700900110080010001200140011001300

所以，每天安排生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品，2件乙產(chǎn)品時，能得到最大利潤1400元。

例2甲廠和乙廠是相鄰的兩個服裝廠。它們生產(chǎn)同一規(guī)格的成衣，每個廠

的人員和設(shè)備都能進行上衣和褲子生產(chǎn)。由于各廠的特點不同，甲廠每月

用弓的時間生產(chǎn)上衣，!■的時間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)900套成衣；乙廠每月

用亍的時間生產(chǎn)上衣，，的時間生產(chǎn)褲子，每月生產(chǎn)1200套成衣。現(xiàn)在兩廠

聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自的特長多生產(chǎn)成衣。那么現(xiàn)在比過去每月能多生產(chǎn)

成衣套。

（1989年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）

講析：甲廠每月用］（即|j）的時間生產(chǎn)上衣；乙廠每月用.（即稱）

的時間生產(chǎn)上衣。所以，甲廠長于生產(chǎn)褲子，乙廠長于生產(chǎn)上衣。

如果甲廠全月生產(chǎn)褲子，則可生產(chǎn)

2

900+-=2250（條）；

如果乙廠全月生產(chǎn)上衣，則可生產(chǎn)

4

1200-7=2100（件）。

把甲廠生產(chǎn)的褲子與乙廠生產(chǎn)的上衣配成2100套成衣，這時甲廠生產(chǎn)150

條褲子的時間可用來生產(chǎn)成套的成衣

2

150X-=60（套）。

故現(xiàn)在比過去每月可以多生產(chǎn)60套。

【最佳策略】

例1A、B二人從A開始,輪流在1、2、3、……、1990這1990個數(shù)中劃去

一個數(shù)，直到最后剩下兩個數(shù)互質(zhì)，那么B勝，否則A勝。問：誰能必勝？制勝

的策略是什么？

（《中華電力杯》少年數(shù)學競賽試題）

講析：將這1990個數(shù)按每兩個數(shù)分為一組；（1、2）,（3、4）,（5、6）,…，

（1989、1990）o

當A任意在括號中劃去一個時，B就在同一個括號中劃去另一個數(shù)。這樣B

就一定能獲勝。

例2桌上放有1992根火柴。甲乙兩人輪流從中任取，每次取得根數(shù)為1根

或2根，規(guī)定取得最后一根火柴者勝。問：誰可獲勝？

（1992年烏克蘭基輔市小學數(shù)學競賽試題）

講析：因為兩人輪流各取一次后，可以做到只取3根。誰要搶到第1992根,

誰就必須搶到第1989根，進而搶到第1986、1983、1980、…、6、3根。

誰搶到第3根呢？自然是后取的人。即后取的可以獲勝。

后者獲勝的策略是，當先取的人每取一次火柴梗時，他緊接著取一次，每次

取的根數(shù)與先取的加起來的和等于30

例3有分別裝球73個和118個的兩個箱子，兩人輪流在任一箱中任意取球,

規(guī)定取得最后一球者為勝。問：若要先取者為獲勝，應如何取？

（上海市數(shù)學競賽試題）

講析：先取者應不斷地讓后者在取球之前，使兩箱的球處于平衡狀態(tài)，即每

次先取者取之后，使兩箱球保持相等。這樣，先取者一定獲勝。

4、直接思路

“直接思路”是解題中的常規(guī)思路。它一般是通過分析、綜合、歸納等方法,

直接找到解題的途徑。

【順向綜合思路】從已知條件出發(fā)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系先選擇兩個已知數(shù)量，提

出可以解決的問題；然后把所求出的數(shù)量作為新的已知條件，與其他的已知條件

搭配，再提出可以解決的問題；這樣逐步推導，直到求出所要求的解為止。這就

是順向綜合思路，運用這種思路解題的方法叫“綜合法”。

例1兄弟倆騎車出外郊游，弟弟先出發(fā)，速度為每分鐘200米，弟弟出發(fā)5

分鐘后，哥哥帶一條狗出發(fā)，以每分鐘250米的速度追趕弟弟，而狗以每分鐘

300米的速度向弟弟追去，追上弟弟后，立即返回，見到哥哥后又立即向弟弟追

去，直到哥哥追上弟弟，這時狗跑了多少千米？

分析（按順向綜合思路探索）：

（1）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，出發(fā)5分鐘的條件，可以求什么？

可以求出弟弟走了多少米，也就是哥哥追趕弟弟的距離。

（2）根據(jù)弟弟速度為每分鐘200米，哥哥速度為每分鐘250米，可以求什

么？

可以求出哥哥每分鐘能追上弟弟多少米。

（3）通過計算后可以知道哥哥追趕弟弟的距離為1000米，每分鐘可追上的

距離為50米，根據(jù)這兩個條件，可以求什么？

可以求出哥哥趕上弟弟所需的時間。

（4）狗在哥哥與弟弟之間來回不斷奔跑，看起來很復雜，仔細想一想，狗

跑的時間與誰用的時間是一樣的？

狗跑的時間與哥哥追上弟弟所用的時間是相同的。

（5）已知狗以每分鐘300米的速度，在哥哥與弟弟之間來回奔跑，直到哥

哥追上弟弟為止，和哥哥追上弟弟所需的時間，可以求什么？

可以求出這時狗總共跑了多少距離？

這個分析思路可以用下圖（圖2.1）表示。

圖2.1

例2下面圖形（圖2.2）中有多少條線段?

ABCDEFG

111?ill

圖2.2

分析（仍可用綜合思路考慮）：

我們知道，直線上兩點間的一段叫做線段，如果我們把上面任意相鄰兩點間

的線段叫做基本線段，那么就可以這樣來計數(shù)。

（1）左端點是A的線段有哪些？

有ABACADAEAFAG共6條。

（2）左端點是B的線段有哪些？

有BC、BD、BE、BF、BG共5條。

（3）左端點是C的線段有哪些？

有CD、CE、CF、CG共4條。

（4）左端點是D的線段有哪些？

有DE、DF、DG共3條。

（5）左端點是E的線段有哪些？

有EF、EG共2條。

（6）左端點是F的線段有哪些？

有FG共1條。

然后把這些線段加起來就是所要求的線段。

【逆向分析思路】從題目的問題入手，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，找出解這個問題所需

要的兩個條件，然后把其中的一個（或兩個）未知的條件作為要解決的問題，再

找出解這一個（或兩個）問題所需的條件；這樣逐步逆推，直到所找的條件在題

里都是已知的為止，這就是逆向分析思路，運用這種思路解題的方法叫分析法。

例1兩只船分別從上游的A地和下游的B地同時相向而行，水的流速為每

分鐘30米，兩船在靜水中的速度都是每分鐘600米，有一天，兩船又分別從A、

B兩地同時相向而行，但這次水流速度為平時的2倍，所以兩船相遇的地點比平

時相遇點相差60米，求A、B兩地間的距離。

分析（用分析思路考慮）：

（1）要求A、B兩地間的距離，根據(jù)題意需要什么條件？

需要知道兩船的速度和與兩船相遇的時間。

（2）要求兩船的速度和，必要什么條件？

兩船分別的速度各是多少。題中已告之在靜水中兩船都是每分鐘600米，那

么不論其水速是否改變，其速度和均為（600+600）米，這是因為順水船速為：

船速+水速，逆水船速為：船速-水速，故順水船速與逆水船速的和為：船速+水

速+船速-水速=2個船速（實為船在靜水中的速度）

（3）要求相遇的時間，根據(jù)題意要什么條件?

兩次相遇的時間因為距離相同，速度和相同，所以應該是相等的，這就是說,

盡管水流的速度第二次比第一次每分鐘增加了30米，仍不會改變相遇時間，只

是改變了相遇地點：偏離原相遇點60米，由此可知兩船相遇的時間為60?30=2

（小時）。

此分析思路可以用下圖（圖2.3）表示：

求AB兩

地的距離

/\

兩相的兩船相

速度和遇時向

/Z

甲船的乙船的兩次相遇

速度速度的距離差

圖2.3

例2五環(huán)圖由內(nèi)徑為4,外徑為5的五個圓環(huán)組成，其中兩兩相交的小曲邊

四邊形（陰影部分）的面積都相等（如圖2.4）,已知五個圓環(huán)蓋住的總面積是

122.5,求每個小曲邊四邊形的面積（圓周率”取3.14）

圖2.4

分析（仍用逆向分析思路探索）：

（1）要求每個小曲邊四邊形的面積，根據(jù)題意必須知道什么條件？

曲邊四邊形的面積，沒有公式可求，但若知道8個小曲邊四邊形的總面積，

則只要用8個曲邊四邊形總面積除以8,就可以得到每個小曲邊四邊形的面積了。

（2）要求8個小曲邊四邊形的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？

8個小曲邊四邊形恰好是圓環(huán)面積兩兩相交重疊一次的部分，因此只要把五

個圓環(huán)的總面積減去五個圓環(huán)蓋住的總面積就可以了。

（3）要求五個圓環(huán)的總面積，根據(jù)題意需要什么條件？

求出一個圓環(huán)的面積，然后乘以5,就是五個圓環(huán)的總面積。

（4）要求每個圓環(huán)的面積，需要什么條件？

己知圓環(huán)的內(nèi)徑（4）和外徑（5）,然后按圓環(huán)面積公式求就是了。

圓環(huán)面積公式為:

S圓環(huán)=n(R2-r2)

=n(R+r)(R-r)

其思路可用下圖(圖2.5)表示:

02.5

【一步倒推思路】順向綜合思路和逆向分析思路是互相聯(lián)系，不可分割的。

在解題時，兩種思路常常協(xié)同運用，一般根據(jù)問題先逆推第一步，再根據(jù)應用題

的條件順推，使雙方在中間接通，我們把這種思路叫“一步倒推思路”。這種思

路簡明實用。

例1一只桶裝滿10千克水，另外有可裝3千克和7千克水的兩只空桶，利

用這三只桶，怎樣才能把10千克水分為5千克的兩份？

分析(用一步倒推思路考慮)：

(1)逆推第一步：把10千克水平分為5千克的兩份，根據(jù)題意，關(guān)鍵是要

找到什么條件？

因為有一只可裝3千克水的桶，只要在另一只桶里剩2千克水，利用3+2=5,

就可以把水分成5千克一桶，所以關(guān)鍵是要先倒出一個2千克水。

(2)按條件順推。第一次：10千克水倒入7千克桶，10千克水桶剩3千克

水，7千克水倒入3千克桶，7千克水桶剩4千克水，3千克水桶里有水3千克;

第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶，這時10千克水桶里有水6千克，把7

千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里，這時7千克水桶里剩水1千克，3千克

水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里，這時10千克桶

里有水9千克，7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里，這時7千克桶里無水，

3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里，10

千克水桶里剩下2千克水，7千克桶里的水倒入3千克桶里（原有1千克水），

只倒出2千克水，7千克桶里剩水5千克，3千克桶里有水3千克，然后把3千

克桶里的3千克水倒10千克桶里，因為原有2千克水，這時也正好是5千克水

了。

其思路可用下圖（圖2.6和圖2.7）表示：

問題：

怎樣把10千克水分為

5千克的兩份

條件（單位:：千克）

例2今有長度分別為1、2、3……9厘米的線段各一條，可用多少種不同的

方法，從中選用若干條線段組成正方形？

分析（仍可用一步倒推思路來考慮）：

（1）逆推第一步。要求能用多少種不同方法，從中選用若干條線段組成正

方形必須的條件是什么？

根據(jù)題意，必須知道兩個條件。一是確定正方形邊長的長度范圍，二是每一

種邊長有幾種組成方法。

(2)從條件順推。

①因為九條線段的長度各不相同，所以用這些線段組成的正方形至少要7

條，最多用了9條，這樣就可以求出正方形邊長的長度范圍為(1+2+……

+7)+4---(1+2+....+9)+4今7----11(厘米)。

②當邊長為7厘米時，各邊分別由1+6、2+5、3+4及7組成，只有一種組成

方法。

③當邊長為8厘米時，各邊分別由1+7、2+6、3+5及8組成，也只有一種組

成方法。

④當邊長為9厘米時，各邊分別由1+8、2+7、3+6及9；1+8、2+7、4+5

及9；2+7、3+6、4+5及9；1+8、3+6、4+5及9；1+8、2+7、3+6及4+

5共5種組成方法。

⑤當邊長為10厘米時，各邊分別由1+9、2+8、3+7及4+6組成，也只有

一種組成方法。

⑤當邊長為11厘米時，各邊分別由2+9、3+8、4+7及5+6組成，也只有

一種組成方法。

⑥將上述各種組成法相加，就是所求問題了。

此題的思路圖如下(圖2.8)：

問題:

能用多少種不同方法從中選

用若干條線段組成正方形

逆

推

正方形邊長第一種邊長各奉第

的長度范圍多少種組成法一

步

|用1、2、3、4、5……0條線組成正方形|

圖2.8

【還原思路】從敘述事情的最后結(jié)果出發(fā)利用已知條件，一步步倒著推理,

直到解決問題，這種解題思路叫還原思路。解這類問題，從最后結(jié)果往回算，原

來加的用減、原來減的用加，原來乘的用除，原來除的用乘。運用還原思路解題

的方法叫‘'還原法"。

例1一個數(shù)加上2,減去3,乘以4,除以5等于12,你猜這個數(shù)是多少？

分析（用還原思路考慮）：

從運算結(jié)果12逐步逆推，這個數(shù)沒除以5時應等于多少？沒乘以4時應等

于多少？不減去3時應等于多少？不加上2時又是多少？這里分別利用了加與

減，乘與除之間的逆運算關(guān)系，一步步倒推還原，直找到答案。

其思路圖如下（圖2.9）：

條件：

一個數(shù)f加2-臼減3一自乘以4-也除以5等于叵］還原

問題，亡|=減2-口［加3-口!除以4-口［乘以5」

圖2.9

例2李白街上走，提壺去打酒；遇店加一倍，見花喝一斗，三遇店和花,

喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？

分析（用還原思路探索）：

李白打酒是我國民間自古以來廣為流傳的一道用打油詩敘述的著名算題。題

意是：李白提壺上街買酒、喝酒，每次遇到酒店，便將壺中的酒量增添1倍，而

每次見到香花，便飲酒作詩，喝酒1斗。這樣他遇店、見花經(jīng)過3次，便把所有

的酒全喝光了。問：李白的酒壺中原有酒多少？

下面我們運用還原思路，從“三遇店和花，喝光壺中酒”開始推算。

見花前一一有1斗酒。

第三次：見花后一一壺中酒全喝光。

第三次：遇店前一一壺中有酒半斗。

第二次：見花前一一壺中有酒斗半（1+￡）。

遇店前一一壺中有酒斗半的1半（1+"）+2=：

第一次：見花前一一壺中有酒為第二次遇店前的再加1斗。

遇店前一一壺中有酒為第一次見花前的一半。

其思路圖如下

【假設(shè)思路】在自然科學領(lǐng)域內(nèi)，一些重要的定理、法則、公式等，常常是

在“首先提出假設(shè)、猜想，然后再進行檢驗、證實”的過程中建立起來的。數(shù)學

解題中，也離不開假設(shè)思路，尤其是在解比較復雜的題目時，如能用“假設(shè)”的

辦法去思考，往往比其他思路簡捷、方便。我們把先提出假設(shè)、猜想，再進行檢

驗、證實的解題思路，叫假設(shè)思路。

例1中山百貨商店，委托運輸隊包運1000只花瓶，議定每只花瓶運費0.4

元，如果損壞一只，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元。結(jié)果運輸隊獲得

運費382.5元。問：損壞了花瓶多少只？

分析（用假設(shè)思路考慮）：

（1）假設(shè)在運輸過程中沒有損壞一個花瓶，那么所得的運費應該是多少？

0.4X1000=400（元）□

（2）而實際只有383.5元，這當中的差額，說明損壞了花瓶，而損壞一只

花瓶，不但不給運費，而且還要賠償損失5.1元，這就是說損壞一只花瓶比不損

壞一只花瓶的差額應該是多少元？

0.4+5.1=5.5（元）

（3）總差額中含有一個5.5元，就損壞了一只花瓶，含有幾個5.5元，就

是損壞了幾只花瓶。由此便可求得本題的答案。

例2有100名學生在車站準備乘車去離車站600米的烈士紀念館搞活動，

等最后一人到達紀念館45分鐘以后，再去離紀念館900米的公園搞活動?，F(xiàn)在

有中巴和大巴各一輛，它們的速度分別是每分鐘300米和150米，而中巴和大巴

分別可乘坐10人和25人，問最后一批學生到達公園最少需要多少時間？

分析（用假設(shè)思路思索）；

假設(shè)從車站直接經(jīng)烈士紀念館到公園，則路程為（600+900）米。把在最后

1人到達紀念館后停留45分鐘，假設(shè)為在公園停留45分鐘，則問題將大大簡化。

（1）從車站經(jīng)烈士紀念館到達公園，中巴、大巴往返一次各要多少時間？

中巴：（600+900）4-300X2=10（分鐘）

大巴：（600+900）4-150X2=20（分鐘）

（2）中巴和大巴在20分鐘內(nèi)共可運多少人？

中巴每次可坐10人，往返一次要10分鐘，故20分鐘可運20人。

大巴每次可坐25人，往返一次要20分鐘，故20分鐘可運25人。

所以在20分鐘內(nèi)中巴、大巴共運45人。

（3）中巴和大巴20分鐘可運45人，那么40分鐘就可運45X2=90（人），

100人運走90人還剩下10人，還需中巴再花10分鐘運一次就夠了。

（4）最后可求出最后一批學生到達公園的時間：把運90人所需的時間，運

10人所需的時間，和在紀念館停留的時間相加即可。

【消去思路】對于要求兩個或兩個以上未知數(shù)的數(shù)學題，我們可以想辦法將

其中一個未知數(shù)進行轉(zhuǎn)化，進而消去一個未知數(shù)，使數(shù)量關(guān)系化繁為簡，這種思

路叫消去思路，運用消去思路解題的方法叫消去法。二元一次方程組的解法，就

是沿著這條思路考慮的。

例1師徒兩人合做一批零件，徒弟做了6小時，師傅做了8小時，一共做

7312個零件，徒弟5小時的工作量等于師傅2小時的工作量，師徒每小時各做

多少個零件？

分析（用消去思路考慮）：

這里有師、徒每小時各做多少個零件兩個未知量。如果以徒弟每小時工作量

為1份，把師傅的工作量用徒弟的工作量來代替，那么師傅8小時的工作量相當

于這樣的幾份呢？很明顯，師傅2小時的工作量相當于徒弟5小時的工作量，那

么8小時里有幾個2小時就是幾個5小時工作量，這樣就把師傅的工作量換成了

徒弟的工作量，題目里就消去了師傅工作量這個未知數(shù)；然后再看312個零件里

包含了多少個徒弟單位時間里的工作量，就是徒弟應做多少個。求出了徒弟的工

作量，根據(jù)題中師博工作量與徒弟工作量的倍數(shù)關(guān)系，也就能求出師傅的工作量

了。

例2小明買2本練習本、2枝鉛筆、2塊橡皮，共用0.36元，小軍買4本

練習本、3枝鉛筆、2塊橡皮，共用去0.60元，小慶買5本練習本、4枝鉛筆、

2塊橡皮，共用去0.75元，問練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？

分析（用消去法思考）：

這里有三個未知數(shù)，即練習本、鉛筆、橡皮的單價各是多少錢？我們要同時

求出三個未知數(shù)是有困難的。應該考慮從三個未知數(shù)中先去掉兩個未知數(shù)，只留

下一個未知數(shù)就好了。

如何消去一個未知數(shù)或兩個未知數(shù)？一般能直接消去的就直接消去，不能直

接消去，就通過擴大或縮小若干倍，使它們之間有兩個相同的數(shù)量，再用加減法

即可消去，本題把小明小軍、小慶所購買的物品排列如下：

小明2本2枝2塊0.36元

小軍4本3枝2塊0.60元

小慶5本4枝2塊0.75元

理在把小明的各數(shù)分別除以2,可得到1本練習本、1枝鉛筆、1塊橡皮共

O18元。

接著用小慶的各數(shù)減去小軍的各數(shù)，得1本練習本、1枝鉛筆為0.15元。

再把小明各數(shù)除以2所得的各數(shù)減去上數(shù)，就消去了練習本、鉛筆兩個未知

數(shù)，得到1塊橡皮0.03元，采用類似的方法可求出練習本和鉛筆的單價。

【轉(zhuǎn)化思路】解題時，如果用一般方法暫時解答不出來，就可以變換一種方

式去思考，或改變思考的角度，或轉(zhuǎn)化為另外一種問題，這就是轉(zhuǎn)化思路。運用

轉(zhuǎn)化思路解題就叫轉(zhuǎn)化法。

例1姐妹兩養(yǎng)兔100只，姐姐養(yǎng)的;比妹妹養(yǎng)的5多16只，求姐妹兩

各養(yǎng)兔多少只？

分析（用轉(zhuǎn)化思路思索）：

題中數(shù)量關(guān)系比較復雜，兩個分率的標準量不同，為了簡化數(shù)量關(guān)系，

我們假設(shè)姐姐養(yǎng)的g等于妹妹養(yǎng)的志，那么姐姐比實際養(yǎng)的只數(shù)少了多少

只呢？這時兩人養(yǎng)的總只數(shù)該是多少只呢？假設(shè)后的數(shù)量關(guān)系，兩人養(yǎng)的總只數(shù)

應是：100-16X3=52（只）

根據(jù)上面的假設(shè)，此題就轉(zhuǎn)化為“姐妹兩人共養(yǎng)兔52只，姐姐養(yǎng)的;

等于妹妹養(yǎng)的奈，兩人各養(yǎng)兔多少只？”這時問題就解決了。

例2計算：i+_L+―i—+……+---------------

1+21+2+31+2+3+……+100

分析（用轉(zhuǎn)化思路分析）：

本題求和，題中每個分數(shù)的分子都是1,分母是幾個連續(xù)自然數(shù)的和，好像

不能把每個分數(shù)分成兩個分數(shù)相減，然后相加抵消一些數(shù)。但是只要我們按等差

數(shù)列求和公式，求出分母就會發(fā)現(xiàn)，可將上面各分數(shù)的分母轉(zhuǎn)化為兩個連續(xù)自然

數(shù)積的形式。

因為—

112

1^2=(1+2)X2=2X3

2

112

l+2+3~(T+3)X3-3x4

2

11_2

1+2+3......+100-(1+100)X100-100X101

2

所以例題可以轉(zhuǎn)化為：

---------+-------------+........+----------------------------

1+21+2+31+2+3+……+100

2222

-------+--------+---------+........+--------------

1+22X33X4100X101

1111

,1X22X33X4100X10K

11111111

,22334410010K

然后再相加，抵消中間的各個分數(shù)即可。

【類比思路】類比就是從一個問題想到了相似的另一個問題。例如從等差數(shù)

列求和公式想到梯形面積公式，從矩形面積公式想到長方體體積公式等等；類比

是一個重要的思想方法，也是解題的一種重要思路。

例1有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點鐘就敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲

完；鐘敲12下，幾秒敲完？

分析（用類比思路探討）：

有人會盲目地由倍數(shù)關(guān)系下結(jié)淪，誤認為10秒鐘敲完，那就完全錯了。其

實此題只要運用類比思路，與植樹問題聯(lián)系起來想一想就通了：一條線路植樹分

成幾段（株距），如果不包括兩個端點，共需植（n-l）棵樹，如果包括兩個端

點，共需植樹（n+l）棵，把鐘點指數(shù)看作是一棵棵的樹，把敲的時間看作棵距,

此題就迎刃而解了。

例2從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分鐘重合。

分析（用類比思路討論）：

本題可以與行程問題進行類比。如圖12.11,如果用時針1小時所走的一格

作為路程單位，那么本題可以重新敘述為：已知分針與時針相距4格，分

針在后，時針在前，分針的速度為每分鐘:格；時針的速度為每分鐘占格，

560

如果分針與時針同時同向出發(fā)，問：分針過多少分鐘可追上時針？這樣就與行程

問題中的追及問題相似了。4為距離差，速度差為，重合的時間，就是追上的時

間。

【分類思路】把一個復雜的問題，依照某種規(guī)律，分解成若干個較簡單的問

題，從而使問題得到解決，這就是分類思路。這種思路在解決數(shù)圖形個數(shù)問題中

經(jīng)常用到。

例1如圖2.12,共有多少個三角形?

圖2.12

分析（用分類思路考慮）：

這樣的圖直接去數(shù)有多少個三角形，要做到能不重復，又不遺漏，是比較困

難的。怎么辦？可以把圖中所有三角形按大小分成幾類，然后分類去數(shù)，再相加

就是總數(shù)了。本題根據(jù)條件，可以分為五類（如圖2.13）。

的個B類3個

A

C類5個D類13個E類25個

圖2.13

例2如圖2.14,象棋棋盤上一只小卒過河后沿著最短的路走到對方“將”

處，這小卒有多少種不同的走法？

分析（運用分類思路分析）：

小卒過河后，首先到達A點，因此，題目實際上是問：從A點出發(fā)，沿最短

路徑有多少種走法可以到達“將”處，所謂最短，是指不走回頭路。

因為“將”直接相通的是P點和K點，所以要求從A點到''將"處有多少種

走法，就必須是求出從A到P和從A到K各有多少種走法。

分類。一種走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一種走法。

二種走法：從A到H有兩種走法。

三種走法：從A到M及從A到I各有三種走法。

其他各類的走法：因為從A到M、到I各有3種走法，所以從A到N就有3

+3=6種走法了，因為從A到I有3種走法，從A到D有1種走法，所以從A

到J就有3+1=4種走法了；P與N、J相鄰，而A到N有6種走法，A到J有4

種走法，所以從A到P就有6+4=10種走法了；同理K與J、E相鄰，而A到J

有4種走法，到E有1種走法，所以A到K就有4+1=5種走法。

再求從A到“將”處共有多少種走法就非常容易了。

【等量代換思路】有些題的數(shù)量關(guān)系十分隱蔽，如果用一般的分析推理，難

于找出數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，求出要求的數(shù)量。那么我們就根據(jù)已知條件與未知

條件相等的關(guān)系，使未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化，促使

問題迎刃而解。這種思路叫等量代換思路。

例1如圖2.15的正方形邊長是6厘米，甲三角形是正方形中的一部分，乙

三角形的面積比甲三角形大6平方厘米，求CE長多少厘米？

分析（用等量代換思路思考）：

按一般思路，要求CE的長，必須知道乙三角形的面積和高，而這兩個條件

都不知道，似乎無法入手。用等量代換思路，我們可以求出三角形ABE的面積，

從而求出CE的長，怎樣求這個三角形的面積呢？設(shè)梯形為丙：

已知乙=甲+6

丙+甲=6X6=36

用甲+6代換乙，可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42

即三角形ABE的面積等于42平方厘米，這樣，再來求CE的長就簡單了。

例2有三堆棋子，每堆棋子數(shù)一樣多，并且都只有黑白兩色棋子。第一

堆里的黑子和第二堆里的白子一樣多，第三堆里的黑子占全部黑子的|,把

這三堆棋子集中一起，問白子占全部棋子的幾分之幾？

分析（用等量代換的思路來探討）：

這道題數(shù)量關(guān)系比較復雜，如果我們把第一堆里的黑子和第二堆的白子對換

一下，那么這個問題就簡單多了。出現(xiàn)了下面這個等式。

第一堆（全部是白子）=第二堆（全部是黑子）

=第三堆（白子+黑子）（這里指的棋子數(shù)）

2?

又因為第三堆的黑子是全部黑子的j,那么可以把第三堆黑子看作2

份，則第二堆（全部黑子）為3份，這樣就出現(xiàn)了每堆棋子為3份，3堆棋子的

總份數(shù)自然就出來了。而第三堆黑子占了2份，白子自然就只有3—2=1份了。

第一堆換成了全部白子，所以白子總共是幾份也可求出。最后去解決白子占全部

棋子的幾分之幾就非常容易了。

【對應思路】分數(shù)、百分數(shù)應用題的特點是一個數(shù)量對應著一個分率，也就

是一個數(shù)量相當于單位“1”的幾分之幾，這種關(guān)系叫做對應關(guān)系。找對應關(guān)系

的思路，我們把它