(全國(guó)通用版)高中數(shù)學(xué)-第一章-導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-習(xí)題課-導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案-新人教A版

習(xí)題課導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.2.理解函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.3.掌握

函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用.

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新知夯實(shí)基礎(chǔ)

1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定義在區(qū)間(a,6)內(nèi)的函數(shù)尸f(x)

f(X)的正負(fù)F(x)的單調(diào)性

f(x)>0單調(diào)遞增

fU)<o單調(diào)遞減

2.求函數(shù)尸/1(X)的極值的方法

解方程￡(x)=0,當(dāng)/>'(照)=0時(shí)，

(1)如果在施附近的左側(cè)1(x)>0,右側(cè)/?'(x)<0,那么/?(就是極大值.

(2)如果在加附近的左側(cè)f(x)<0,右側(cè)f(x)>0,那么外劉)是極小值.

3.函數(shù)y=f(x)在［a,目上最大值與最小值的求法

(1)求函數(shù)尸f(x)在(a,6)內(nèi)的極值.

(2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),皿比較,其中最大的一個(gè)是最大值,

最小的一個(gè)是最小值.

題型探究啟迪思維探究重點(diǎn)

類型一構(gòu)造法的應(yīng)用

命題角度1比較函數(shù)值的大小

例1已知定義在(0，5)上的函數(shù)f(x),/

"(x)是它的導(dǎo)函數(shù)，旦sinx?f(x)>cosx?f(x)

恒成立，則()

A.*(￡)>/"(辦住)

仔)D.#O仔)

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案D

解析由f(x)sinx>F(x)cosx,

得F(%)sinx—f{x}cosx>0,

fx

構(gòu)造函數(shù)g(x)=二一，

xsinx-fxcosx

則，(x)=-~-2

sinx

當(dāng)5)寸，g'

(%)>0,

即函數(shù)g(x)在(0,5上單調(diào)遞增,

,后均"仔),

故選D.

反思與感悟用構(gòu)造法比較函數(shù)值的大小關(guān)鍵是構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定

函數(shù)值的大小.

跟蹤訓(xùn)練1已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),當(dāng)B0時(shí)，F(xiàn)'(x)d

<0,若a=；f(3),b——y[2f{-y[2),c=(ln習(xí)f(ing),則a,b,c的大小關(guān)系

是()

A.叢c<bB.伙*a

C.水伙cD.&a<b

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案B

解析令g(x)=xf{x),

則g(—x)=—xf(—x)=xf(x),

g(x)是偶函數(shù).g'(x)—f(x)-\-xf(x),

fV

,:F3+------<0,

x

當(dāng)x>0時(shí),xf(x)+f[x)<0,

當(dāng)x<0時(shí)，xf(x)+f(x)>0.

，g(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

v1<ln2cle隹，

精品

（回以In2）<,

2/

???g(x)是偶函數(shù),

例2已知定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)為F(x),滿足f(x)〉f'(x),且/X0)

=2,則不等式/"(x)〈2e,的解集為()

A.(—8,o)B.(—8,2)

C.(0,+8)D.(2,+8)

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案C

解析設(shè)g(x)=-匚，則g'(⑼:2一:~；———.

ee

,.,/(%)>/(x),.?./(￡)<0,即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.

；f(0)=2,...g(0)=f(0)=2,

則不等式等價(jià)于g(x)<g(0).

???函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

，x>0,...不等式的解集為(0,+8),故選C.

反思與感悟構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù)并判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性得到x的取值范圍.

跟蹤訓(xùn)練2已知定義在R上的函數(shù)Hx)滿足/0)=1,且對(duì)任意的xCR都有/(x)g,

則不等式/Ugx)>lg的解集為.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案(0,10)

解析-：f'(x)<1,：,f'(x)-1<0,

x+2

???f(x)—在R上為減函數(shù).

x+2

設(shè)P(x)=f(x)—?jiǎng)t尺x)在R上為減函數(shù).

精品

VA1)=1,

精品

.\A(1)=A1)-1=1-1=O.

,/、1gx+2,曰,、1gx+2

由Algx)>-------，晝F(lgx)--------->0,

oo

AMlgx)>HD.

；b(x)在R上單調(diào)遞減，，lg水1,.\0<X10,

原不等式的解集為(0,10).

類型二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

例3已知函數(shù)f(x)—ax---21nx(aeR).

x

(1)若函數(shù)/Xx)在區(qū)間[1,+8)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

e,、，，、,a2ax—2%+a,、、

解(1)F(x)=a+—一—-----2----(x>0).

xxx

①當(dāng)aWO時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

②當(dāng)a>0時(shí)，令g(x)=ax?—2x+a,

?.?函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+8)上是單調(diào)函數(shù)，

；.g(x)在區(qū)間[1,+8)上恒成立，

2x

aN索百"在區(qū)間[1，+8)上恒成立。

2x

令u(x)=、+],+°°).

?.』___2_2

?U\x)-]WI-----1,

嗎2y.

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào).

.?.當(dāng)a》l時(shí)，函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增.

實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,O]U[1,+8).

(2)由(1)可知：①當(dāng)aWO時(shí)，fGX0,函數(shù)/Xx)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

②當(dāng)a》l時(shí);此時(shí)函數(shù)/Xx)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

③當(dāng)0<a<l時(shí)，由a_?—2x+a=0,

附/n1一個(gè)1-a2_1+：1-a，

解得x=---5t-----或x=---y-----.

aa

精品

...函數(shù)/Xx）在（0,上正士亞三，+8）上單調(diào)遞增，在（匕亞三，以正直

\aJ\a）\aa

上單調(diào)遞減.

精品

反思與感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意以下幾點(diǎn)

(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)為定義域的子區(qū)間.

(2)已知函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性時(shí)轉(zhuǎn)化要等價(jià).

(3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)質(zhì)是討論不等式的解集.

(4)求參數(shù)的范圍時(shí)常用到分離參數(shù)法.

跟蹤訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+x'-2ax+a~,aCR.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)/1(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在［1,3］上不存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)存在遞增(或遞減)區(qū)間

解(1)當(dāng)a=2時(shí)，/'(x)=lnx+f-4x+4(x>0),

令F(x)>0,解得^或水2J,

令f(xXO,解得上涉〈水用啦,

故f(x)在0,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在+8上單

調(diào)遞增.

.12x—2ax+l_

(2)f(x)=-+2x-2a=-----:----,[1,3],

XX

設(shè)g(x)=2/—2ax+1,

假設(shè)函數(shù)F(x)在［1,3］上不存在單調(diào)遞增區(qū)間,

必有g(shù)(x)WO,

卜1=3-2aW。，19

解得

,[g3=19—6aW0,

-19、

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為至，+°°J.

類型三函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)

1nx

例4已知函數(shù)/Ulkln&x),xG(0,e],g(x)「p10,e],其中e是自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)，aSR.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(2)求證:在⑴的條件下，f(x)>g(x)+3；

精品

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使/Xx)的最小值是3,若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值中的應(yīng)用

題點(diǎn)已知最值求參數(shù)

19^—1

⑴解當(dāng)a=l時(shí)，F(xiàn)(x)=2x—ln(2x),ff(x)=2—=----，(0,e],

xx

當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,此時(shí)F(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)於<e時(shí)，fa)>0,此時(shí)/U)單調(diào)遞增.

所以/Xx)的極小值為f(習(xí)=1,

故/1(*)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3,單調(diào)遞增區(qū)間為0,e,f(x)的極小值為fg)=l,無(wú)

極大值.

(2)證明令h{x}=g(x)+/="'胃+去

h'(x)=^~^T-~,xC(0,e],

X

當(dāng)0〈水e時(shí),h'(x)>0,此時(shí)力(x)單調(diào)遞增，

所以力(才)皿=)—)

ez

由(1)知/'(X)min=l,所以在(1)的條件下，/'(X)>g(X)+；.

⑶解假設(shè)存在實(shí)數(shù)必使F(x)=2ax—ln(2x),(0,e]有最小值3,

...12ax—1/_

f(x)=2a---------,(0,e],

xx

①當(dāng)aWO時(shí)，因?yàn)閤￡(0,e],

所以/UXO,F(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，

所以F(x)min=F(e)=2ae—ln(2e)=3,

解得a=」+：匕2(舍去),

Ze

②當(dāng)0<；<e,即力;時(shí)，f(x)在(0,J]上單調(diào)遞減，在住，e上單調(diào)遞增，

2.aZe\乙a)\La_

所以F(x)min=f—ln：=3,

解得日=。2,滿足條件，

③當(dāng);2e,即時(shí)，f'(x)<0,F(x)在(0,e]上單調(diào)遞減，

精品

所以F(x)min=f(e)=2ae—In(2e)=3,

…4+ln2/人，、

解得a--(舍去).

Ze

綜上，存在實(shí)數(shù)a=3,使得當(dāng)牙￡(0,。］時(shí)，F(xiàn)(x)的最小值為3.

反思與感悟(1)已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值后，要代回驗(yàn)證參數(shù)值是否滿足極值的定義.

(2)討論極值點(diǎn)的實(shí)質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即/5)的正負(fù).

(3)求最大值要在極大值與端點(diǎn)值中取最大者，求最小值要在極小值與端點(diǎn)值中取最小者.

跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)=clnx+gv+&xg,cGR,c#0),且x=1為/'(*)的極值點(diǎn).

(1)若不=1為7Xx)的極大值點(diǎn)，求/?(?的單調(diào)區(qū)間(用。表示)；

(2)若函數(shù)f(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用

題點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)與方程的根

.c,,/+bx+c

解f(x)=—+x+6=---------,

XX

?."=1為f(x)的極值點(diǎn)，(1)=0,

Y---1V-「

：.f(x)=---------:~~—且crl,6+c+l=0.

X

(1)若X=1為/'(X)的極大值點(diǎn)，，C>1,

當(dāng)0<京1時(shí)，fa)>0；

當(dāng)l〈Kc時(shí)，f(x)<0；

當(dāng)x>c時(shí)，f(x)>0.

的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(c,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,C).

(2)①若水0,則/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

函數(shù)/■(力恰有兩個(gè)零點(diǎn),則f⑴<0,吟+伙0,

—~<c<0；

②若0<c<l,則f{x)極大值=F(。)=clnc+-c,2+be,

f(x)極小值=f(l)=2+bt

Vb=-1-c,

貝I」F(x)極大值=clnc+^c+c(—1—c)=clnc—c—1c<0,

f(x)極小值=-g—c,從而得f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);

精品

③若c>l,則/"(x)極小例=f(c)=clnc+~c+c(—l—c)=clnc~c—<0,

1

--a

f(x)極大值=f(l)2從而得f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上，使/Xx)恰有兩個(gè)零點(diǎn)的c的取值范圍為(一/0)

達(dá)標(biāo)檢測(cè)檢測(cè)評(píng)價(jià)達(dá)標(biāo)過(guò)關(guān)

1.已知函數(shù)Ax)=f+Z^+cx的圖象如圖所示，則言+花等于()

47

A~B~

0O

816

C-D.-

OO

考點(diǎn)函數(shù)極值的綜合應(yīng)用

題點(diǎn)函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應(yīng)用

答案c

解析由題意可知f(0)=0,解1)=0,解2)=0,

可得1+8+。=0,8+46+2c=0,解得b=—3,c=2,

所以函數(shù)的解析式為f(x)=/-3/+2x

f(x)=3x?—6x+2,

2

由方程3f—6x+2=0,可得小+及=2,小上2=勺，

2g

所以4+第=(XI+*2)2—2小加=4—2義鼻=鼻.

OM

2.已知/Xx)是定義在(0,+8)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足X，(x)+f(x)W0,對(duì)任意的正

數(shù)a,b,若水6,則必有()

A.bf(h)Waf。)B.6F(a)Waf(b)

C.af(a)W6f(6)D.af(6)^bf(a)

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案A

解析設(shè)g(x)=xf(x),xG(0,+8),

精品

則gr(x)=xf'(x)+f(x)W0,

???g(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減或g(x)為常函數(shù).

?:虱b,；?g?2g(6),即af(a)2”(6)，故選A.

3.已知函數(shù)/-(^)=p-2/+3^xCR,若/'(力+?》。恒成立，則/"的取值范圍是

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍

答案+°°j

1

解析f(%)=2x—6xf令/(x)=0,得x=0或x=3,

驗(yàn)證可知x=3是函數(shù)的最小值點(diǎn)，

27

故f'(x)min=f(3)=3//7——,

由/(%)+920恒成立，得由⑼2—9恒成立，

273

即3加一萬(wàn)2—9,???加2/.

4.已知函數(shù)f［x)=x(3—ax+3).

(1)若是7?(1)的極值點(diǎn)，求/Xx)在區(qū)間［—1,4］上的最大值與最小值；

(2)若/Xx)在［1,+8)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題點(diǎn)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)

解(1)由f(x)=x-ax+ixi

得f(x)=3/-2HX+3,

由已知得/"(§)=0,解得a=5,

f{x)=x~5x+3%,f(x)=39—10x+3,

由/(x)=0,解得或x=3,

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),Ax)的變化情況如下表：

1_

X-133(3,4)4

(f€3&)

f(x)+0—0+

13

f(x)-9/-9/-4

27

精品

13

函數(shù)f(x)在［—1,4］上的最小值為一9,最大值是多

(2)f(x)=3/-2ax+3,

由/"(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，得3*2-2ax+320,

即a球七)

要使上式成立，只要a<小即可，

設(shè)g(x)=x+/x2l),

由于g(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

??g(x)ms=2,..aW3,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,31.

L規(guī)律與方法-------------------------------.

導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具，在研究函數(shù)中具有重要的作用，例如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

等問(wèn)題，都可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)得以解決.不但如此，利用研究導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的性質(zhì)后，還可以進(jìn)一步

研究方程、不等式等諸多代數(shù)問(wèn)題，所以一定要熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的各種方法.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

一、選擇題

1.函數(shù)/Xx)=xcosX-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)()

(n3吟

A.ly,—JB.("’2n)

考點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號(hào)判定函數(shù)的單調(diào)性

答案B

解析f(x)=cos%—^sin%—cosx=-%sinx,若/'(x)在某區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，只需在此

區(qū)間內(nèi)產(chǎn)(力大于或等于0(不恒為0)即可.

.?.只有選項(xiàng)B符合題意，當(dāng)xC(n,2”)時(shí)，f(x)>0恒成立.

2.對(duì)任意的xCR,函數(shù)/■(x)=￡+af+7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是()

A.0WaW21B.a=0或a=7

C.a<0或a>21D.a=0或a=21

精品

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

精品

題點(diǎn)極值存在性問(wèn)題

答案A

解析f(x)=3系+2ax+7a,

當(dāng)A=4a2—84aW0,

即0WaW21時(shí)，/(x)20恒成立，函數(shù)/"(x)不存在極值點(diǎn).

3.若函數(shù)/U)=(x2+ax—De-的一個(gè)極值點(diǎn)為x=l,則/U)的極大值為()

A.-1B.-2e-3

C.5e~3D.1

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

題點(diǎn)已知極值求參數(shù)

答案C

解析由題意知f(1)=0,解得a=—l,

f(x)=(V+x—2)e*-',

則函數(shù)的極值點(diǎn)為汨=-2,抱=1,

當(dāng)水一2或x>l時(shí)，f(x)〉0,函數(shù)是增函數(shù)，

當(dāng)“右(一2,1)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，

f(x)極大值=—2)—5e3.

4.已知定義在R上的函數(shù)/"(x)的圖象如圖，則(x)>0的解集為()

A.(-8,o)U(1,2)

B.(1,2)

C.(一8,1)

I).(一8,1)U(2,+°0)

考點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

題點(diǎn)根據(jù)單調(diào)性確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)號(hào)

答案A

解析不等式(x)>0等價(jià)于當(dāng)x>0時(shí)，fU)>0,即當(dāng)x>0H寸，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)

Kx<2；或者當(dāng)*<0時(shí)，f(x)<0,即當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)x<0,綜上，l〈x<2或

K0,即不等式的解集為(-8,0)U(l,2).

5.若F(x)=-gx2+6in(x+2)在(-1,+8)上是減函數(shù)，則6的取值范圍是()

A.[―1,+8)B.(―1,+8)

精品

C.(-8,-1]D.(—8,—1)

精品

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題點(diǎn)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)

答案c

解析由題意知/(x)=一才+"^5乏0,*e(-1,+8),

,、—x—2x+b

即f3=—7+2-

即一X?—2x+6=—(x+1)-'+1+8W0,

；.l+Z<0,b^-1.

6.已知函數(shù)/'(x)=V—21nx,若關(guān)于x的不等式f(x)—加20在［1,e］上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)

數(shù)勿的取值范圍是()

22

A.(-8,e-2)B.(—8,e-2］

C.(一8,1)D.(-8,1］

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

答案B

解析由f(x)—勿20得f(x)

函數(shù)F(x)的定義域?yàn)?0,+8),

當(dāng)xG［l,e］時(shí)，f(x)20,

此時(shí)，函數(shù)/<x)單調(diào)遞增，

所以F(l)Wf(x)<f(e).

即lWF(x)WeZ—2,

要使/*(x)-〃N0在［1,e］上有實(shí)數(shù)解，

則有n忘e"—2.

7.定義在R上的函數(shù)F(x)滿足F(x)>l—f(x),A0)=6,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),

則不等式e"(x)>e*+5(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(0,+8)B.(—8,o)U(3,+°0)

C.(一8,o)U(1,+8)D.(3,+°°)

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)構(gòu)造法的應(yīng)用

答案A

解析不等式eY(%)>e'+5可化為e*f(x)—e'—5>0.

設(shè)g(x)—exf\x)—e*—5,

精品

則g'(x)=e*f(x)+e*f(x)—e"=e'[f(x)+￡(x)—1]>0,

所以函數(shù)g(x)在定義域R上單調(diào)遞增.

又g(0)=0,所以g(x)>0的解集為(0,+8).

二、填空題

8.函數(shù)f(x)=f-3ax+6(a〉0)的極大值為6,極小值為2,則F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

題點(diǎn)已知極值求參數(shù)

答案(一8,—1)和(1,+°0)

解析令?f(x)=3f—3a=0,得/=土丘.

由題意得f(F)=2,f[—y[a)=6,得a=l,b=4.

由F(x)=3/-3>0,得/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(—8,—1)和(1,+8).

9.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=/'(n—x),且當(dāng)——，5)時(shí)，f(x)=x+sinx,設(shè)a=f⑴,

b—/'(2),c—f&),則a,b,c的大小關(guān)系是.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)比較函數(shù)值的大小

答案c<a<b

解析f(2)=f(n—2),f(3)=H"—3),

因?yàn)?(x)=l+cos*20,

故/V)在卜號(hào)，上是增函數(shù)，

因?yàn)閼?gt;冗—2>1>n—3>0,

所以f(Ji-2)>f(l)>f(n-3).

即c<a<b.

10.若函數(shù)f(x)=*Y在區(qū)間(見(jiàn)2"+D上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

題點(diǎn)己知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)(或其范圍)

答案(一1,0]

4—4x

解析f(x)=—再7]~2,令f(x)>0,得一

即函數(shù)F(x)的增區(qū)間為(一1,1).

又F(x)在物2勿+1)上單調(diào)遞增,

精品

—1,

所以《欣2%+1,

解得一l</?7^0.

[2R+1W1,

精品

11.已知函數(shù)f(x)=ax—Inx,若/1(x)>l在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍

答案［1,+8)

解析由/U)〉l,得ax—lnx>l,

???x>l,???原不等式轉(zhuǎn)化為a〉l+g;

當(dāng)xd(l,+8)時(shí),g'(xXO,

則gG)在(1,+8)上單調(diào)遞減,

則g(x)<g⑴=1,

???aJ+ln”在(1,+8)上恒成立，.?.a21.

X

三、解答題

12.已知函數(shù)f(x)=—f+3f+9x+a.

(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間［—2,2］上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最小值.

考點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

題點(diǎn)求函數(shù)的最值

解(1)：/(x)=—39+6*+9,

令F(x)〈0,解得K-1或x〉3,

函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1),(3,+8).

(2)(—2)=8+12-18+a=2+a,

/'(2)=—8+12+18+a=22+a,F(2)>/■(—2).

于是有22+a=20,；.a=—2,

/.f(x)——x+3x?+9x—2.

當(dāng)(-1,3)時(shí)，f(x)>0,1(力在［-1,2］上單調(diào)遞增.

又由于/Xx)在［—2,—1)上單調(diào)遞減，

.?.『(2)和/X—l)分別是f(x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值，

/./,(-1)=1+3-9-2=-7,即f(x)的最小值為-7.

13.己知函數(shù)f(x)alnx(adR).

(1)若/'(x)在x=2時(shí)取得極值，求a的值;

精品

(2)求/Xx)的單調(diào)區(qū)間;

精品

i9

(3)求證：當(dāng)x>l時(shí)，~x+lnKg，

考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

題點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

(1)解f(%)=%--,因?yàn)閤=2是一個(gè)極值點(diǎn),

X

所以2—怖=0,則a=4.

.,4x+2x—2

此時(shí)/(zxx)=x—；

因?yàn)閒(x)的定義域是(0,+8),

所以當(dāng)xW(0,2)時(shí)，f(x)〈0；

當(dāng)“C(2,+8),f(*)>0,

所以當(dāng)a—4時(shí)，x—2是一個(gè)極小值點(diǎn)，故a=4.

(2)解因?yàn)?W

XX

所以當(dāng)aWO時(shí)，F(xiàn)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8).

當(dāng)a〉。時(shí)，/(x)=x—g=三=上十一匚電一，

XXX

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(F，+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0,、「).

21

⑶證明設(shè)g(x)=可入3—^V—lnx,

O/

則g'(X)=2/—Jr—p

E、r、r,.，/、x-12x+x+1

因?yàn)楫?dāng)X>1時(shí)，g(x)=--------------------->0,

x

所以g(x)在x￡(l,+8)上是增函數(shù)，

所以g(x)>g⑴=|>0,

12

所以當(dāng)彳>1時(shí)，~x+lnx<-zx.

/O

四、探究與拓展

xf'x—fY

14.已知函數(shù)/1(X)是定義在R上的奇函數(shù)，AD=O,當(dāng)x>0時(shí)，有------------