高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第九節(jié) 曲線與方程習(xí)題 理試題

第九節(jié)曲線與方程[基礎(chǔ)達標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共20分)1.與圓A:x2+(y+5)2=49和圓B:x2+(y-5)2=1都外切的圓的圓心P的軌跡是 ()A.一個橢圓 B.雙曲線的一支C.一條拋物線 D.一個圓1.B【解析】設(shè)圓P的半徑為R,由題意可知,PA=R+7,PB=R+1,兩式相減得PA-PB=6,所以其軌跡是以A,B為焦點,且實軸長2a=6的雙曲線靠近圓B的一支.2.(2015·梅州一模)動圓M經(jīng)過雙曲線x2-=1的左焦點且與直線x=2相切,則圓心M的軌跡方程是 ()A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x2.B【解析】雙曲線x2-=1的左焦點為(-2,0),設(shè)M(x,y),動圓的半徑為r,由動圓M與直線x=2相切,可得|x-2|=r,又動圓M經(jīng)過雙曲線的左焦點,則=r,即有=|x-2|,兩邊平方,化簡可得y2=-8x.3.(2015·重慶模擬)若P(2,-1)為圓(x-1)2+y2=25的弦AB的中點,則直線AB的方程為 ()A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.x+y-1=0 D.2x-y-5=03.A【解析】點P與圓心連線的斜率為-1,則弦AB的斜率為1,即=1,所以直線AB的方程為x-y-3=0.4.(2015·西安八校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點上,一個焦點與拋物線y2=8x的焦點重合,一個頂點的坐標(biāo)為(1,0),則此雙曲線的方程為 ()A.x2-=1 B.-y2=1 C.-x2=1 D.y2-=14.A【解析】拋物線y2=8x的焦點坐標(biāo)是(2,0),也是雙曲線的一個焦點,則c=2,又a=1,所以b2=c2-a2=3,則此雙曲線的方程為x2-=1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2015·梅州一模)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點,且經(jīng)過點M的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

5.=1【解析】設(shè)橢圓E的方程為=1(a>b>0).∵c=1,∴a2-b2=1①,∵點在橢圓E上,∴=1②,由①②得a2=4,b2=3,∴橢圓E的方程為=1.6.(2015·濰坊二模)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點O是坐標(biāo)原點,過點O,F的圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切,且該圓的面積為36π,則拋物線的方程為.

6.y2=16x【解析】由題意可得該圓的圓心是線段OF的中垂線與拋物線的交點,所以圓心橫坐標(biāo)為,半徑r=,又該圓的面積為36π,則r=6,所以=6,p=8,則該拋物線方程為y2=16x.三、解答題(共35分)7.(10分)過點P1(1,5)作一直線交x軸于點A,過點P2(2,7)作直線P1A的垂線,交y軸于點B,點M在線段AB上,且BM∶MA=1∶2,求動點M的軌跡方程.7.【解析】由題意可知,直線P1A和P2B的斜率均存在,且不為0,設(shè)直線P2B的方程為y-7=k(x-2),則直線P1A的方程為y-5=-(x-1),則有A(5k+1,0),B(0,-2k+7),設(shè)M(x,y),則由BM∶MA=1∶2得消去k,并且整理得12x+15y-74=0.8.(12分)(2015·廣東七校聯(lián)考)已知兩點A(-2,0),B(2,0),動點P與A,B兩點連線的斜率kPA,kPB滿足kPA·kPB=-.(1)求動點P的軌跡E的方程.(2)H是曲線E與y軸正半軸的交點,曲線E上是否存在兩點M,N,使得△HMN是以H為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,請說明有幾個;若不存在,請說明理由.8.【解析】(1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)(x≠±2),則kPA=,kPB=,依題意kPA·kPB=-,所以=-,化簡得+y2=1,所以動點P的軌跡E的方程為+y2=1(x≠±2).(2)假設(shè)能構(gòu)成等腰直角△HMN,其中H(0,1),由題意可知,直角邊HM,HN不可能垂直或平行于x軸,故可設(shè)HM所在直線的方程為y=kx+1(k>0),則HN所在直線的方程為y=-x+1.聯(lián)立方程消去y整理得(1+4k2)x2+8kx=0,解得xM=-,將xM=-代入y=kx+1,可得yM=+1,故點M的坐標(biāo)為M.所以|HM|=,同理可得|HN|=,由|HM|=|HN|,得k(4+k2)=1+4k2,所以k3-4k2+4k-1=0,整理得(k-1)(k2-3k+1)=0,解得k=1或k=,當(dāng)HM斜率k=1時,HN斜率為-1;當(dāng)HM斜率k=時,HN斜率為;當(dāng)HM斜率k=時,HN斜率為.綜上所述,符合條件的三角形有3個.9.(13分)(2015·天津五區(qū)縣質(zhì)檢)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率e=,以原點O為圓心,b為半徑的圓與直線x-y+2=0相切,P為橢圓C上的動點.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)M為過P且垂直于x軸的直線上的點,若=λ≤λ<1,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.9.【解析】(1)圓的方程為x2+y2=b2,圓心到直線x-y+2=0的距離d==b,又e=,即a=c,結(jié)合b2+c2=a2得a=,c=1,故橢圓C的方程為=1.(2)由P(x,y),可設(shè)M(x,y'),其中x∈[-],由=λ得=λ2,而y2=2-x2,則=λ2,整理得(3λ2-1)x2+3λ2y'2=6其中-≤x≤≤λ<1.(ⅰ)當(dāng)λ=時,點M的軌跡方程為y'2=6,即y'=±(-≤x≤),軌跡是兩條平行于x軸的線段;(ⅱ)當(dāng)<λ<1時,點M的軌跡方程為=1,因為0<3λ2-1<3λ2,所以軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-≤x≤的部分.[高考沖關(guān)]1.(5分)已知動圓M過定點F(0,1)且與x軸相切,點F關(guān)于圓心M的對稱點為F',動點F'的軌跡為C,則曲線C的方程為 ()A.y2=4x B.y2=2x C.x2=2y D.x2=4y1.D【解析】設(shè)F'(x,y),因為點F(0,1)在圓M上,且點F關(guān)于圓心M的對稱點為F',所以M,且圓M的直徑為|FF'|=.由題意知動圓M與x軸相切,所以,兩邊平方整理得x2=4y,所以曲線C的方程為x2=4y.2.(5分)若不等式ax2+bx+c≤0的解集為{x|x≤1或x≥4},則點M(b,c)所在的軌跡方程是.

2.4x+5y=0(x>0)【解析】由題意可知a<0且1+4=-,1×4=,所以點M(b,c)所在的軌跡方程為4x+5y=0(x>0).3.(5分)(2015·上海普陀區(qū)二模)如圖,若∠OFB==-6,則以O(shè)A為長半軸,OB為短半軸,F為左焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.=1【解析】由=-=-||2=-6得c2=6,則||=a=2,b2=2,故所求橢圓方程為=1.4.(12分)動圓C與定圓A:x2+y2-6x-91=0相切,且圓C過點B(-3,0),求動圓圓心C的軌跡方程,并說明它是什么樣的曲線.4.【解析】設(shè)動圓圓心為C(x,y),半徑為r,將圓A的方程配方得(x-3)2+y2=100,由于點B(-3,0)在圓A的內(nèi)部,動圓C與定圓A內(nèi)切,且動圓C在定圓A的內(nèi)部,∴|CA|=10-r,|CB|=r,兩式的兩邊分別相加,得|CA|+|CB|=10,由橢圓定義知點C的軌跡是焦點為A(3,0),B(-3,0),長軸等于10的橢圓,并且橢圓的中心是坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,∴2a=10,∴c=3,a=5,∴b2=25-9=16,∴圓心C的軌跡方程為=1,軌跡是橢圓.5.(13分)(2015·廣東六校聯(lián)考)已知直角坐標(biāo)系中,圓O的方程為x2+y2=r2(r>0),兩點A(4,0),B(0,4),動點P滿足=λ(0≤λ≤1).(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)若對于軌跡C上的任意一點P,總存在過點P的直線l交圓O于M,N兩點,且點M是線段PN的中點,求r的取值范圍.5.【解析】(1)設(shè)P(x,y),因為=λ(0≤λ≤1),所以消去λ,由于0≤λ≤1得0≤x≤4,故可得動點P的軌跡C即為線段AB,方程為x+y-4=0(0≤x≤4).(2)設(shè)N(x0,y0),P(t,4-t)(0≤t≤4),則M,方程組即有解.上述方程組有解,即以(0,0)為圓心,r為半徑的圓與以(-t,t-4)為圓心,2r為半徑的圓有公共點,故對于任意的0≤t≤4都有r≤≤3r成立,整理得r2≤2t2-8t+16≤9r2對任意的0≤t