高數(shù)六章一階微分方程

一階微分方程機動目錄上頁下頁返回結束第二節(jié)一、可分離變量的微分方程

第十章三、全微分方程二、一階線性微分方程四、幾類可降階的高階微分方程轉化機動目錄上頁下頁返回結束一、可分離變量的微分方程解分離變量方程可分離變量的微分方程1.變量分離法分離變量方程的解法:設y＝

(x)

是方程①的解,兩邊積分,得①則有恒等式②當G(y)與F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0時,說明由②確定的隱函數(shù)y＝

(x)是①的解.則有稱②為方程①的隱式通解,或通積分.同樣,當F’(x)=f(x)≠0時,上述過程可逆,由②確定的隱函數(shù)x＝

(y)也是①的解.機動目錄上頁下頁返回結束例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)機動目錄上頁下頁返回結束例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例3.解分離變量即(C<0

)機動目錄上頁下頁返回結束例4.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系.t

足夠大時機動目錄上頁下頁返回結束練習求微分方程解變形兩端積分分離變量得2.齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:機動目錄上頁下頁返回結束例5.解微分方程解:代入原方程得分離變量兩邊積分得故原方程的通解為(

當C=0

時,

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結束例6.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在求解過程中丟失了.(C

為任意常數(shù))機動目錄上頁下頁返回結束例7

求解微分方程解微分方程的解為例8.解故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:機動目錄上頁下頁返回結束3.一般變量代換解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:機動目錄上頁下頁返回結束例9.

求下述微分方程的通解:練習思考與練習

求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為機動目錄上頁下頁返回結束二、一階線性微分方程一階線性微分方程標準形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為線性非齊次方程

.1.解線性齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為線性齊次方程

;機動目錄上頁下頁返回結束對應齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解線性非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得機動目錄上頁下頁返回結束例1.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.令則代入非齊次方程得解得故原方程通解為上頁下頁返回結束解

例2例3解方法：（1）常數(shù)變易法；

（2）公式法

伯努利(Bernoulli)方程

伯努利方程的標準形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利目錄上頁下頁返回結束----可化為一階線性方程例4.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:機動目錄上頁下頁返回結束解例5則方程變形為內容小結1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程機動目錄上頁下頁返回結束1.

求微分方程的通解.思考與練習2.求一連續(xù)可導函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有利用公式可求出機動目錄上頁下頁返回結束判別:P,Q

在某單連通域D內有連續(xù)一階偏導數(shù),①為全微分方程則求解步驟:方法1湊微分法;方法2利用積分與路徑無關的條件.1.求原函數(shù)

u(x,y)2.由du=0知通解為

u(x,y)=C.三、全微分方程則稱為全微分方程

(又叫做恰當方程

).①機動目錄上頁下頁返回結束方法3偏積分法，即求兩次不定積分例1.求解解:因為故這是全微分方程.則有因此方程的通解為機動目錄上頁下頁返回結束例2.求解解:∴這是一個全微分方程.用湊微分法求通解.將方程改寫為即故原方程的通解為或機動目錄上頁下頁返回結束積分因子法思考:如何解方程這不是一個全微分方程,就化成例2的方程.使為全微分方程,在簡單情況下,可憑觀察和經驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的積分因子.但若在方程兩邊同乘若存在連續(xù)可微函數(shù)積分因子.例2目錄上頁下頁返回結束常用微分倒推公式:機動目錄上頁下頁返回結束積分因子不一定唯一.例如,對可取例3.

求解解:分項組合得即選擇積分因子同乘方程兩邊,得即因此通解為即因x=0也是方程的解,故C

為任意常數(shù).機動目錄上頁下頁返回結束思考題解方程解法1

積分因子法.原方程變形為取積分因子故通解為此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束常用的積分因子有解法2

化為齊次方程.原方程變形為積分得將代入,得通解此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束解法3

化為線性方程.原方程變形為其通解為即此外,y=0也是方程的解.機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習判別下列方程類型:提示:

可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程全微分方程四、幾類可降階的高階方程即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.令因此型的微分方程

機動目錄上頁下頁返回結束1.例1.解:

機動目錄上頁下頁返回結束型的微分方程(缺y的方程)設原方程化為一階方程設其通解為則得再一次積分,得原方程的通解2.機動目錄上頁下頁返回結束例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機動目錄上頁下頁返回結束例3

求微分方程xy〞－y′=x2的滿足初始條件y(1)=1，y′(1)=2的特解。

解：所給方程是y〞=f(x，y′)型。令y′=p代入方程得

xp’-p=x2，

即

這是個一階非齊次線性方程，其通解為由y′(1)=2，得

2=1+C1

所以

y′=x2+x兩端再積分得

所求特解為由y(1)=1，得

3.型的微分方程(缺x的方程)

令故方程化為設其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機動目錄上頁下頁返回結束例5.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:機動目錄上頁下頁返回結束例6.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得例7求方程的滿足初始條件x|t=1=1，x′|t=1=0的特解。

解：令則原方程變形為

分離變量

積分得

由初始條件，有0=1+C1

于是有即

分離變量得

積分得

即x2=1－(t+C2)2，再由初始條件，有1=1－(1+C2)2，

所以

C2=－1，方程的特解為x′|t=1=0內容小結可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機動目錄上頁下頁返回結束θMATHOxyρgs設有均勻、柔軟的繩索，兩端固定，繩索僅受重力的作用而下垂。試問該繩在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線？

思考題解：設繩索的最低點為A，取y軸通過點A鉛直向上，并取x軸水平向右，且|OA|等于某個定值（這個定值將在以后說明）。設繩索曲線的方程為y=y(x)?？疾炖K索上的點A到另一點M(x，y)間的一段弧AM，設其長為s，假定繩索的密度為ρ，則弧AM的重量為ρgs。由于繩索是柔軟的，因而在點A處的張力沿該點處的切線方向，其大小設為H;在點M處的張力沿該點處的切線方向，設其傾角為θ，其大小T(如圖)。因作用于弧段AM的外力相互平衡，把作用于弧AM上的力沿鉛直及水平兩方向分解，得Tsinθ=ρgs，Tcosθ=H。將此兩式相除，得

由于代入上式即得

將上式兩端對x求導，便得y=y(x)滿足的微分方程取原點O到點A的距離為定值a，即|OA|=a，那末初始條件為y|x=0=