+吉林省松原市前郭縣南部學(xué)區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年吉林省松原市前郭縣南部學(xué)區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2分）下面所給的銀行標(biāo)志圖中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2分）下列運(yùn)算中，正確的是（）A．a(chǎn)2?a＝a3 B．（a3）3＝a6 C．a(chǎn)3+a3＝a5 D．a(chǎn)6÷a2＝a34．（2分）經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻的質(zhì)量約為0.00000201kg，數(shù)據(jù)0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．20.1×10﹣3 B．2.01×10﹣4 C．0.201×10﹣5 D．2.01×10﹣65．（2分）小華在利用完全平方公式計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)整式的平方時(shí)，不小心用墨水把中間一項(xiàng)的系數(shù)染黑了，得到正確的結(jié)果為a2■ab+9b2，則中間一項(xiàng)的系數(shù)是（）A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．186．（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（）A．40° B．50° C．60° D．70°二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）計(jì)算：+20240＝．8．（3分）若分式的值為0，則x的值為．9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝．10．（3分）若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和正好是它的外角和的5倍，則n＝．11．（3分）如圖所示，∠A＝20°，則∠B+∠C+∠D+∠E＝°．12．（3分）如圖所示，AA′，BB′表示兩根長度相同的木條，BB′的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AB＝9cmcm．13．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝1．14．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC＝5，DE＝3，則四邊形ABCD的面積是．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）解方程．16．（5分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，連接CD．求證：△CDB是等邊三角形．17．（5分）先化簡，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．18．（5分）已知：P是線段AB的中點(diǎn)，∠1＝∠2，PD＝PC四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中畫一個(gè)△ABC，使△ABC的面積是10；（2）在圖②中畫一個(gè)△ABD，使△ABD是軸對(duì)稱圖形；（3）在圖③中畫一個(gè)△ABE，點(diǎn)E在格點(diǎn)上，且∠E大于90°．20．（7分）先化簡：（1﹣）÷，再從1、2、0中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．21．（7分）已知三角形的底邊長為（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底邊和高各增加5厘米，那么三角形面積增加了多少？并求出x＝3時(shí)三角形增加的面積．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，BC與AD的延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：AD＝CD；（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接寫出圖中所有的銳角等腰三角形．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）某中學(xué)為了止學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng)，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場(chǎng)上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元，學(xué)校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費(fèi)用不超過2400元24．（8分）【問題】如圖①，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在BC、AC上，AD、BE交于點(diǎn)O，則∠BOD＝度；【探究】如圖②，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、CA的延長線上，求∠BOD的度數(shù)；【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC的延長線上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，則∠AOD＝度．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）【教材原題】觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積的運(yùn)算為．【類比探究】觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和為．【應(yīng)用】（1）根據(jù)圖②所得的公式，若a+b＝10，則a2+b2＝．（2）若x滿足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如圖③，某學(xué)校有一塊梯形空地ABCD，AC⊥BD于點(diǎn)E，BE＝CE．該校計(jì)劃在△AED和△BEC區(qū)域內(nèi)種花，在△CDE和△ABE的區(qū)域內(nèi)種草．經(jīng)測(cè)量種花區(qū)域的面積和為，直接寫出種草區(qū)域的面積和．26．（10分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，使點(diǎn)Q在射線AC上，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．（1）AD的長為；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，求證：△APD≌△PQE；（3）若AP將△ABC分成面積比為1：3的兩部分，求DE的長；（4）若△PCQ的一個(gè)內(nèi)角為15°，直接寫出∠APQ的大?。?/p>

2023-2024學(xué)年吉林省松原市前郭縣南部學(xué)區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式有意義的條件可得2x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由題意得：2x﹣1≠3，解得：x≠，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．2．（2分）下面所給的銀行標(biāo)志圖中是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D均不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合，選項(xiàng)B能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對(duì)稱圖形，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（2分）下列運(yùn)算中，正確的是（）A．a(chǎn)2?a＝a3 B．（a3）3＝a6 C．a(chǎn)3+a3＝a5 D．a(chǎn)6÷a2＝a3【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、a2?a＝a，故該選項(xiàng)正確；B、（a3）6＝a9，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、a3+a4＝2a3，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、a6÷a2＝a4，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．4．（2分）經(jīng)測(cè)算，一粒芝麻的質(zhì)量約為0.00000201kg，數(shù)據(jù)0.00000201用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．20.1×10﹣3 B．2.01×10﹣4 C．0.201×10﹣5 D．2.01×10﹣6【分析】利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【解答】解：0.00000201＝2.01×10﹣6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，掌握形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10是關(guān)鍵．5．（2分）小華在利用完全平方公式計(jì)算一個(gè)二項(xiàng)整式的平方時(shí)，不小心用墨水把中間一項(xiàng)的系數(shù)染黑了，得到正確的結(jié)果為a2■ab+9b2，則中間一項(xiàng)的系數(shù)是（）A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．18【分析】運(yùn)用完全平方公式求出（a±3b）2對(duì)照求解即可．【解答】解：∵（a±3b）2＝a4±6ab+9b6，∴染黑的部分為±6．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．6．（2分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，AM＝NM，BM⊥AC，且NM＝ND，若∠A＝70°（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AMB＝90°，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得∠ABM＝20°，再根據(jù)已知易得BM是AN的垂直平分線，從而可得BA＝BN，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠ABM＝∠NBM＝20°，再利用角平分線性質(zhì)定理的逆定理可得BN平分∠MBD，從而可得∠NBM＝∠NBD＝20°，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵BM⊥AC，∴∠AMB＝90°，∵∠A＝70°，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝20°，∵AM＝MN，∴BM是AN的垂直平分線，∴BA＝BN，∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣∠A＝20°，∵M(jìn)N＝ND，NM⊥BM，∴BN平分∠MBD，∴∠NBM＝∠NBD＝20°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABM﹣∠NBM﹣∠NBD＝50°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角的計(jì)算，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）計(jì)算：+20240＝5．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：+20240＝4+3＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．（3分）若分式的值為0，則x的值為﹣3．【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．兩個(gè)條件需同時(shí)具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題．【解答】解：因?yàn)榉质降闹禐?＝0，化簡得x5﹣9＝0，即x8＝9．解得x＝±3因?yàn)閤﹣8≠0，即x≠3所以x＝﹣4．故答案為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式的值為0的條件，注意分母不為0．9．（3分）分解因式：3a2﹣27＝3（a+3）（a﹣3）．【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．【解答】解：3a2﹣27＝4（a2﹣9）＝6（a+3）（a﹣3）．故答案為：3（a+3）（a﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．10．（3分）若一個(gè)n邊形的內(nèi)角和正好是它的外角和的5倍，則n＝12．【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和與外角和列得方程，解方程即可．【解答】解：由題意可得（n﹣2）?180°＝360°×5，解得：n＝12，故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，結(jié)合已知條件列得正確的方程是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖所示，∠A＝20°，則∠B+∠C+∠D+∠E＝200°．【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠1+∠2＝180°﹣∠A，再根據(jù)兩個(gè)三角形的內(nèi)角和為360°可得結(jié)論．【解答】解：如圖，∵∠A＝20°，∴∠1+∠2＝180°﹣20°＝160°，∵∠B+∠C+∠3＝180°，∠D+∠E+∠2＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E＝360°﹣（∠1+∠5）＝360°﹣160°＝200°，故答案為：200．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，能求出∠1+∠2的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖所示，AA′，BB′表示兩根長度相同的木條，BB′的中點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量AB＝9cm9cm．【分析】先證明OA＝OB＝OB′＝OA′，進(jìn)而證明△AOB≌△A′OB′（SAS）得到A′B′＝AB＝9cm即可．【解答】解：∵AA′＝BB′，O是AA′，∴，在△AOB和△A′OB′中，，∴△AOB≌△A′OB′（SAS），∴A′B′＝AB＝9cm，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．13．（3分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，AD平分∠EAC．若AC＝3，CD＝14．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ED＝CD＝1，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝AE＝3，計(jì)算即可．【解答】解：∵AC＝AE，AD平分∠EAC，CD＝1，∴ED＝CD＝1，AE＝AC＝5，∵點(diǎn)E在AB的垂直平分線上，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE+ED＝3+8＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．14．（3分）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)E，若BC＝5，DE＝3，則四邊形ABCD的面積是21．【分析】過點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC延長線于點(diǎn)F，證△DBE≌△DBF（AAS），得BE＝BF，再證Rt△AED≌Rt△CFD（HL），得AE＝CF＝2，則AB＝9，然后由三角形面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∴DE＝DF＝3，∠AED＝∠BED＝∠BFD＝90°，在△DBE和△DBF中，，∴△DBE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF，在Rt△AED和Rt△CFD中，，∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL），∴AE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝AE+BF＝AE+BC+CF＝2+5+2＝5，∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB?DE+×9×3+，故答案為：21．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）解方程．【分析】本題的最簡公分母是（4﹣x），方程兩邊都乘最簡公分母，可把分式方程轉(zhuǎn)換為整式方程求解．【解答】解：方程兩邊都乘（4﹣x），得x﹣3﹣（6﹣x）＝﹣1，去括號(hào)、整理，解得x＝3，當(dāng)x＝5時(shí)，4﹣x≠0．所以，x＝7是原方程的解．【點(diǎn)評(píng)】（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，方程兩邊都乘最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要代入最簡公分母驗(yàn)根．16．（5分）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，E是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，連接CD．求證：△CDB是等邊三角形．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及30°所對(duì)邊等于斜邊的一半得出BC＝BD，進(jìn)而得出△CDB是等邊三角形．【解答】證明：∵E是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，∴AD＝CD，∵DE∥BC，∴AD＝BD，∴∠A＝∠DCA＝30°，∴∠CDB＝60°，∵∠A＝30°，∴BC＝AB，∴BC＝BD，∴△BDC是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的判定，得出AD＝BD是解題關(guān)鍵．17．（5分）先化簡，再求值：（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y），其中，．【分析】把x、y的值代入計(jì)算即可得到答案，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【解答】解：（3x﹣y）2﹣（2x+2y）（3x﹣3y）＝9x2﹣8xy+y2﹣（9x6﹣4y2）＝3x2﹣6xy+y6﹣9x2+6y2＝5y7﹣6xy，當(dāng)，，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的化簡求值，根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項(xiàng)把原式化簡，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．18．（5分）已知：P是線段AB的中點(diǎn)，∠1＝∠2，PD＝PC【分析】先根據(jù)線段AB的中點(diǎn)的定義得PA＝PB，再根據(jù)∠1＝∠2得∠APD＝∠BPC，據(jù)此可依據(jù)“SAS”判定△APD和△BPC全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】證明：∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴PA＝PB，∵∠1＝∠2，∴∠4+∠EPF＝∠2+∠EPF，即∠APD＝∠BPC，在△APD和△BPC中，，∴△APD≌△BPC（SAS），∴∠D＝∠C，即∠C＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．線段AB的端點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中畫一個(gè)△ABC，使△ABC的面積是10；（2）在圖②中畫一個(gè)△ABD，使△ABD是軸對(duì)稱圖形；（3）在圖③中畫一個(gè)△ABE，點(diǎn)E在格點(diǎn)上，且∠E大于90°．【分析】（1）利用三角形面積公式，把B點(diǎn)向右平移4格得到C點(diǎn)，則△ABC滿足條件；（2）以過A的鉛垂線為對(duì)稱軸，作出B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D，則△ABD滿足條件；（3）把B點(diǎn)向右平移1格得到E點(diǎn)，則△ABE滿足條件．【解答】解：（1）如圖①，△ABC為所求．（2）如圖②，△ABD為所求．（3）如圖③，△ABE為所求．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣軸對(duì)稱變換：作軸對(duì)稱后的圖形的依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是解決問題的關(guān)鍵（先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn)）．20．（7分）先化簡：（1﹣）÷，再從1、2、0中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【分析】先利用異分母分式加減法法則計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把a(bǔ)的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：＝?＝，∵a≠0，a﹣3≠0，∴a≠0，a≠3，∴當(dāng)a＝2時(shí)，原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的化簡求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．21．（7分）已知三角形的底邊長為（2x+1）cm，高是（x﹣2），若把底邊和高各增加5厘米，那么三角形面積增加了多少？并求出x＝3時(shí)三角形增加的面積．【分析】根據(jù)題意可得面積增加（2x+1+5）（x﹣2+5）﹣（2x+1）（x﹣2）＝x+10，將x的值代入求解可得．【解答】解：根據(jù)題意，面積增加（2x+3）（x﹣2）＝（2x2+3x+6x+18）﹣（2x2﹣5x+x﹣2）＝x2+3x+9﹣（x2﹣x﹣1）＝x+10，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝7）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式的化簡求值，熟練掌握整式的乘法運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．22．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD，BC與AD的延長線交于點(diǎn)E．（1）求證：AD＝CD；（2）若AE＝BE，∠B＝72°，直接寫出圖中所有的銳角等腰三角形．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD；∠CAD，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD．（2）解：∵AE＝BE，∠B＝72°，∴△ABE是等腰三角形，∴∠E＝36°，∠BAE＝72°，∵對(duì)角線AC平分∠BAD，∴∠CAE＝36°，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰三角形，∴∠ACE＝108°，∴∠ACB＝72°，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B＝72°，∴∠CDE＝72°，∴△CDE是等腰三角形，∴所有的銳角等腰三角形是△ABC，△CDE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查等腰三角形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和等腰三角形的判定解答即可．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）某中學(xué)為了止學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng)，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場(chǎng)上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元，學(xué)校決定在菜苗基地購買A、B兩種菜苗共100捆，所花的費(fèi)用不超過2400元【分析】（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，根據(jù)用300元在市場(chǎng)上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆，列方程可得菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元；（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，由本次購買花費(fèi)不超過2400元得：20m+30（100﹣m）≤2250解即可得答案．【解答】解：（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是x元，根據(jù)題意得：﹣＝4，解得x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格是20元；（2）設(shè)購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，20m+30（100﹣m）≤2400，解得：m≥60，∴所花的費(fèi)用不超過2400元，在菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．答：菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．24．（8分）【問題】如圖①，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E在BC、AC上，AD、BE交于點(diǎn)O，則∠BOD＝60度；【探究】如圖②，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、CA的延長線上，求∠BOD的度數(shù)；【應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC的延長線上，若AB＝AC＝BD＝AO，BC＝EC，則∠AOD＝76度．【分析】【問題】利用SAS證明△BAE≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求解即可；【探究】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，則∠BAE＝∠ACD＝120°，推出△BAE≌△ACD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠D，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠BOD；【應(yīng)用】利用SAS證明△ACE≌△DBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠BCD，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)推出∠AOD＝2∠BCD，∠AOD＝114°﹣∠BCD，據(jù)此求解即可．【解答】解：【問題】∵△ABC為等邊三角形，∴BC＝AB，∠BAE＝∠ACD＝60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠CBE＝∠ACD，∴∠BOD＝∠CBE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠BCA＝60°，故答案為：60；【探究】∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BCA＝∠CAB＝60°，∴∠BAE＝∠ACD＝120°，在△BAE與△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠E＝∠D，∵∠BOD＝∠E+∠EAO，∠D+∠CAD＝∠BCA＝60°，∴∠BOD＝60°；【應(yīng)用】∵AB＝AC，∠ABC＝66°，∴∠ACB＝∠ABC＝66°，∴∠ACE＝∠DBC＝114°，在△ACE和△DBC中，，∴△ACE≌△DBC（SAS），∴∠E＝∠BCD，∵∠AOD＝∠E+∠OCE，∠OCE＝∠BCD，∴∠AOD＝2∠BCD，∵AC＝AO，∴∠AOD＝∠ACO＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣∠BCD＝114°﹣∠BCD，∴2∠BCD＝114°﹣∠BCD，∴∠BCD＝38°，∴∠AOD＝76°，故答案為：76．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）【教材原題】觀察圖①，用等式表示圖中圖形的面積的運(yùn)算為（a+b）2＝a2+2ab+b2．【類比探究】觀察圖②，用等式表示圖中陰影部分圖形的面積和為a2+b2．【應(yīng)用】（1）根據(jù)圖②所得的公式，若a+b＝10，則a2+b2＝90．（2）若x滿足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．【拓展】如圖③，某學(xué)校有一塊梯形空地ABCD，AC⊥BD于點(diǎn)E，BE＝CE．該校計(jì)劃在△AED和△BEC區(qū)域內(nèi)種花，在△CDE和△ABE的區(qū)域內(nèi)種草．經(jīng)測(cè)量種花區(qū)域的面積和為，直接寫出種草區(qū)域的面積和．【分析】【教材原題】觀察圖①，可得等式；【類比探究】陰影部分由兩個(gè)正方形組成；【應(yīng)用】（1）根據(jù)完全平方公式可得；（2）運(yùn)用完全平方公式可得；【拓展】已知種花區(qū)域面積和AC＝7，可得AE?CE，即可求出種草區(qū)域的面積和．【解答】解：【教材原題】：觀察圖①可得，（a+b）2＝a2+7ab+b2，故答案為：（a+b）2＝a7+2ab+b2；【類比探究】：觀察圖②可得，圖中陰影部分圖形的面積和＝a7+b2，故答案為：a2+b5；【應(yīng)用】：（1）a2+b2＝（a+b）6﹣2ab＝100﹣10＝90，故答案為：90；（2）（11﹣x）2+（x﹣4）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]7﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝2﹣4＝5，∴（11﹣x）7+（x﹣8）2的值是4；【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，∴S△ADE＝AE6，S△BEC＝CE5，∵種花區(qū)域的面積和為，∴AE2+CE5＝25，∵AC＝7，∴AE?CE＝12，∴AE?BE＝DE?CE＝12，∴種草區(qū)域的面積和＝（AE?BE+DE?CE）＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，關(guān)鍵是熟練掌握并學(xué)會(huì)運(yùn)用完全平方公式解決問題．26．（10分）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，使點(diǎn)Q在射線AC上，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．（1）AD的長為2；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，求證：△APD≌△PQE；（3）若AP將△ABC分成面積比為1：3的兩部分，求DE的長；（4）若△PCQ的一個(gè)內(nèi)角為15°，直接寫出∠APQ的大小．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得BD＝CD，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）證∠PAD＝∠QPE，再證∠QED＝∠PDA＝90°，然后由AAS證△APD≌△PQE即可；（3）分兩種情況，①點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，②點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，分別求出DE的長即可；（4）分兩種情況，①點(diǎn)P在線段BD上時(shí)，∠QPC＝15°，證△