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文檔簡介
廣東省揭陽市普寧市2024屆數學高三第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數滿足,其中為虛數單位,則().A. B. C. D.2.若的展開式中含有常數項,且的最小值為,則()A. B. C. D.3.函數的圖象如圖所示,為了得到的圖象,可將的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位4.在中,,,,若,則實數()A. B. C. D.5.已知i為虛數單位,則()A. B. C. D.6.二項式展開式中,項的系數為()A. B. C. D.7.在邊長為的菱形中,,沿對角線折成二面角為的四面體(如圖),則此四面體的外接球表面積為()A. B.C. D.8.已知x,,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知復數,則()A. B. C. D.10.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.11.當時,函數的圖象大致是()A. B.C. D.12.已知,,,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,則的值為______.14.已知數列的前項和為且滿足,則數列的通項_______.15.已知函數的最小值為2,則_________.16.已知命題:,,那么是__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來,已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉的中子星,每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間(脈沖星的自轉周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉周期,繪制了如圖的頻率分布直方圖.(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉周期在2至10秒的大約有多少顆?(2)根據頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉周期的平均值.18.(12分)已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)若對任意的,當時,都有恒成立,求最大的整數.(參考數據:)19.(12分)已知函數,.(1)若,,求實數的值.(2)若,,求正實數的取值范圍.20.(12分)已知函數.(1)當時,求曲線在點處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.21.(12分)已知曲線:和:(為參數).以原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中取相同的長度單位.(1)求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程;(2)設與,軸交于,兩點,且線段的中點為.若射線與,交于,兩點,求,兩點間的距離.22.(10分)已知橢圓與x軸負半軸交于,離心率.(1)求橢圓C的方程;(2)設直線與橢圓C交于兩點,連接AM,AN并延長交直線x=4于兩點,若,直線MN是否恒過定點,如果是,請求出定點坐標,如果不是,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A【點睛】此題考查復數的基本運算,注意計算的準確度,屬于簡單題目.2、C【解析】展開式的通項為,因為展開式中含有常數項,所以,即為整數,故n的最小值為1.所以.故選C點睛:求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第項,再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數.可由某項得出參數項,再由通項寫出第項,由特定項得出值,最后求出其參數.3、C【解析】
根據正弦型函數的圖象得到,結合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知:,∴.又時函數值最大,所以.又,∴,從而,,只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象,故選C.【點睛】已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求,一般用最高點或最低點求.4、D【解析】
將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.5、A【解析】
根據復數乘除運算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點睛】本題考查復數代數運算,屬于基礎題題.6、D【解析】
寫出二項式的通項公式,再分析的系數求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數為.故選:D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎題.7、A【解析】
畫圖取的中點M,法一:四邊形的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積;法二:根據,即可求半徑從而求外接球表面積;法三:作出的外接圓直徑,求出和,即可求半徑從而求外接球表面積;【詳解】如圖,取的中點M,和的外接圓半徑為,和的外心,到弦的距離(弦心距)為.法一:四邊形的外接圓直徑,,;法二:,,;法三:作出的外接圓直徑,則,,,,,,,,,.故選:A【點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積,關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑,方法較多,屬于較易題目.8、D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【詳解】因為x,,當時,不妨取,,故時,不成立,當時,不妨取,則不成立,綜上可知,“”是“”的既不充分也不必要條件,故選:D【點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件的判定,屬于容易題.9、B【解析】
利用復數除法、加法運算,化簡求得,再求得【詳解】,故.故選:B【點睛】本小題主要考查復數的除法運算、加法運算,考查復數的模,屬于基礎題.10、B【解析】
根據,可知命題的真假,然后對取值,可得命題的真假,最后根據真值表,可得結果.【詳解】對命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用,識記真值表,屬基礎題.11、B【解析】由,解得,即或,函數有兩個零點,,不正確,設,則,由,解得或,由,解得:,即是函數的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數的解析式、定義域、值域、單調性,導數的應用以及數學化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.12、D【解析】
令,求,利用導數判斷函數為單調遞增,從而可得,設,利用導數證出為單調遞減函數,從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導,,故單調遞增:∴,當,設,,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構造函數法,利用導數判斷式子的大小,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求,再根據的范圍求出即可.【詳解】由題可知,故.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數函數值的求解,涉及對數的運算,屬基礎題.14、【解析】
先求得時;再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【詳解】當時,,解得;由,可知當時,,兩式相減,得,即,所以數列是首項為,公比為的等比數列,所以,故答案為:【點睛】本題考查由與的關系求通項公式,考查等比數列的通項公式的應用.15、【解析】
首先利用絕對值的意義去掉絕對值符號,之后再結合后邊的函數解析式,對照函數值等于2的時候對應的自變量的值,從而得到分段函數的分界點,從而得到相應的等量關系式,求得參數的值.【詳解】根據題意可知,可以發(fā)現(xiàn)當或時是分界點,結合函數的解析式,可以判斷0不可能,所以只能是是分界點,故,解得,故答案是.【點睛】本題主要考查分段函數的性質,二次函數的性質,函數最值的求解等知識,意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.16、真命題【解析】
由冪函數的單調性進行判斷即可.【詳解】已知命題:,,因為在上單調遞增,則,所以是真命題,故答案為:真命題【點睛】本題主要考查了判斷全稱命題的真假,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)79顆;(2)5.5秒.【解析】
(1)利用各小矩形的面積和為1可得,進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率,從而得到頻數;(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】(1)第一到第六組的頻率依次為0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和為1所以,,所以,自轉周期在2至10秒的大約有(顆).(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為(秒).故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用,涉及到平均數的估計值等知識,是一道容易題.18、(1)(2)2【解析】
(1)先求得切點坐標,利用導數求得切線的斜率,由此求得切線方程.(2)對分成,兩種情況進行分類討論.當時,將不等式轉化為,構造函數,利用導數求得的最小值(設為)的取值范圍,由的得在上恒成立,結合一元二次不等式恒成立,判別式小于零列不等式,解不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)已知函數,則處即為,又,,可知函數過點的切線為,即.(2)注意到,不等式中,當時,顯然成立;當時,不等式可化為令,則,,所以存在,使.由于在上遞增,在上遞減,所以是的唯一零點.且在區(qū)間上,遞減,在區(qū)間上,遞增,即的最小值為,令,則,將的最小值設為,則,因此原式需滿足,即在上恒成立,又,可知判別式即可,即,且可以取到的最大整數為2.【點睛】本小題主要考查利用導數求切線方程,考查利用導數研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉化的數學思想方法,屬于難題.19、(1)1(2)【解析】
(1)求得和,由,,得,令,令導數求得函數的單調性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導數求得的單調性,轉化為,令(),利用導數得到的單調性,分類討論,即可求解.解法二:可利用導數,先證明不等式,,,,令(),利用導數,分類討論得出函數的單調性與最值,即可求解.【詳解】(1)由題意,得,,由,…①,得,令,則,因為,所以在單調遞增,又,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;所以,當且僅當時等號成立.故方程①有且僅有唯一解,實數的值為1.(2)解法一:令(),則,所以當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.令(),則.(i)若時,,在單調遞增,所以,滿足題意.(ii)若時,,滿足題意.(iii)若時,,在單調遞減,所以.不滿足題意.綜上述:.解法二:先證明不等式,,,…(*).令,則當時,,單調遞增,當時,,單調遞減,所以,即.變形得,,所以時,,所以當時,.又由上式得,當時,,,.因此不等式(*)均成立.令(),則,(i)若時,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;故.(ii)若時,,在單調遞增,所以.因此,①當時,此時,,,則需由(*)知,,(當且僅當時等號成立),所以.②當時,此時,,則當時,(由(*)知);當時,(由(*)知).故對于任意,.綜上述:.【點睛】本題主要考查導數在函數中的綜合應用,著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力,對于恒成立問題,通常要構造新函數,利用導數研究函數的單調性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數的取值范圍;也可分離變量,構造新函數,直接把問題轉化為函數的最值問題.20、(1);(2)【解析】
(1),對函數求導,分別求出和,即可求出在點處的切線方程;(2)對求導,分、和三種情況討論的單調性,再結合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因為,所以,所以,則,故曲線在點處的切線方程為.(2)因為,所以,①當時,在上恒成立,則在上單調遞增,從而成立,故符合題意;②當時,令,解得,即在上單調遞減,則,故不符合題意;③當時,在上恒成立,即在上單調遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導數研究函數的單調性,考查了不等式恒成立問題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.21、(1),;(2)1.【解析】
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