2023學(xué)年完整公開課版幾何概型

1、古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn):(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè).(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.2、計(jì)算古典概型的公式：那么對(duì)于有無限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況相應(yīng)的概率應(yīng)如何求呢?一、復(fù)習(xí)回顧.

取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不小于1m的概率有多大？二、問題情境1.分析：從每一個(gè)位置剪斷都是一個(gè)基本事件，剪斷位置可以是3m繩子上的任意一點(diǎn)，并且每一點(diǎn)被剪的可能性相等。AB線段上取A、B兩點(diǎn)，將繩子三等分，如果設(shè)繩子被剪得兩段的長度都不小于1m的事件為A,則剪刀剪的位置落在線段AB上NM則P（A）==

如圖,假設(shè)你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到陰影部分的概率.問題情境2

第三章概率3.3.1幾何概型

如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.

幾何概型的特點(diǎn):

(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個(gè).

(2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.基本概念P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積)幾何概型概率計(jì)算公式:解：取出0.1升中“含有這個(gè)細(xì)菌”這一事件記為A,則與體積成比例有一杯1升的水,其中含有1個(gè)細(xì)菌,用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率.問題情境3分析：細(xì)菌在1升水的杯中任何位置的機(jī)會(huì)是等可能的，但細(xì)菌所在的位置卻是無限多個(gè)的，因而不能利用古典概型。古典概型幾何概型共同點(diǎn)

不同點(diǎn)基本事件個(gè)數(shù)的有限性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件發(fā)生的等可能性基本事件個(gè)數(shù)的無限性知識(shí)串聯(lián)：兩種概型概率公式的聯(lián)系P(A)=

A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

基本事件的總數(shù)古典概型概率計(jì)算公式:幾何概型概率計(jì)算公式:P(A)=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積)1.歐陽修《賣油翁》中寫道：“乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕。”可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止。若銅錢的直徑是3cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油正好落入孔中的概率是

(假設(shè)油滴落在銅錢上且油滴的大小忽略不計(jì)）49π

解：根據(jù)題意可知，銅錢圓的面積為

cm2，正方形孔的面積為1cm2。由幾何概型可知事件的概率等于相應(yīng)面積的比，即故填1=49π

49π三、課堂練習(xí)2.某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率.分析：因?yàn)殡娕_(tái)每隔1小時(shí)報(bào)時(shí)一次，他在0~60之間任何一個(gè)時(shí)刻打開收音機(jī)是等可能的，但0~60之間有無窮個(gè)時(shí)刻，不能用古典概型的公式計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率。所以他在哪個(gè)時(shí)間段打開收音機(jī)的概率只與該時(shí)間段的長度有關(guān)，而與該時(shí)間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件。0605010203040則事件A發(fā)生恰好是打開收音機(jī)的時(shí)刻位于[50，60]時(shí)間段內(nèi)，因此由幾何概型的求概率公式得P（A）=60-5060=16

解:設(shè)A=等待的時(shí)間不多于10分鐘即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不多于10分鐘”的概率為.163．在等腰直角三角形ABC中，(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率;(2)做射線CN交線段AB于點(diǎn)N，則AN小于AC的概率為（）。C’ACBM解：（1）在AB上截取AC’＝AC，

故AM＜AC的概率等于AM＜AC’的概率．記事件A為“AM小于AC”，答：AM＜AC的概率等于0.75

4、一只螞蟻在一邊長為6的正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地爬行，則其恰在離四個(gè)頂點(diǎn)距離都大于3的地方的概率是

解析；如果離四個(gè)頂點(diǎn)距離都大于3，那么螞蟻所處的位置應(yīng)該四個(gè)四分之一圓之外，圓的圓心為4個(gè)頂點(diǎn)，半徑都是3，4－π

4ABCD解：此試驗(yàn)是幾何概型，正方形面積為S，區(qū)域A的面積為SA，S=6×6=36SA=6×6―4×π×32=36－9πP(A)=

=

=4－π4

14S

36－9π

36SA5.某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客到達(dá)車站后候車時(shí)間大于10分鐘的概率？解：記候車時(shí)間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻落在線段T1T上時(shí)，事件發(fā)生.所以T1T2Tp(A)=—————=——=

A的長度

總的長度51513答：候車時(shí)間大于10分鐘的概率是分析：把時(shí)刻抽象為點(diǎn)，時(shí)間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。上輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，線段T1T2的長度為15，設(shè)T是T1T2上的點(diǎn)，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:走來1.幾