專(zhuān)題03 全等模型-手拉手模型（原卷版）

專(zhuān)題03全等模型-手拉手模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專(zhuān)題就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.手拉手模型（三角形）【模型解讀】將兩個(gè)三角形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等。公共頂點(diǎn)A記為“頭”，每個(gè)三角形另兩個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針順序數(shù)的第一個(gè)頂點(diǎn)記為“左手”，第二個(gè)頂點(diǎn)記為“右手”。對(duì)應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】（等邊）（等腰直角）（等腰）例1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，連接，．(1)求證：；(2)連接，若，求的度數(shù)．例2．（2022秋·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上△ABC外一點(diǎn)，且DE=2，連接BE，將線(xiàn)段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段EF，連接AF，CE．

(1)判斷△BEF的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求證：AF=CE；(3)當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出符合條件的圖形，并求出此時(shí)BE的長(zhǎng)．備用圖例3．（2022·吉林·九年級(jí)期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，此時(shí)，成立．（1）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)你利用圖③證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．例4．（2022·黑龍江·虎林市九年級(jí)期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F(xiàn)為AB邊的中點(diǎn)，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．如圖1，當(dāng)D與C重合時(shí)，易證：CD2＋DB2＝2DF2；（1）當(dāng)D不與C、B重合時(shí)，如圖2，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．（2）當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖3，CD、DB、DF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并加以證明．例5．（2022·山西大同·九年級(jí)期中）綜合與實(shí)踐：已知是等腰三角形，．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)∥時(shí)，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）到圖2所示的位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展運(yùn)用：某學(xué)習(xí)小組在解答問(wèn)題：“如圖3，點(diǎn)是等腰直角三角形內(nèi)一點(diǎn)，，且，，，求的度數(shù)”時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)可以利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，構(gòu)造新圖形解決問(wèn)題．請(qǐng)你根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)直接寫(xiě)出的度數(shù)．模型2.手拉手模型（正多邊形型）【模型解讀】將兩個(gè)多邊形繞著公共頂點(diǎn)（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個(gè)多邊形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！境Ｒ?jiàn)模型及證法】如圖，在任意△ABC中，分別以AB、AC為邊作正方形ABDE、ACFG，連接EC、BG，則△AEC≌△ABG.例1．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為2的正方形CEFG如圖1擺放，將正方形CEFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BG，DE．（1）如圖2，求證：△BCG≌△DCE；（2）如圖2，連接DG，BE，判斷DG2+BE2否為定值．若是，求這個(gè)定值若不是，說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在DE上時(shí)，求α的值．例2．（2023·河南鶴壁市八年級(jí)月考）（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作等邊和等邊，連接，．這時(shí)他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以、為邊向外作正方形和正方形，連接，，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例3．（2023·福建福州市·九年級(jí)月考）如圖，和均為等邊三角形，連接BE、CD．（1）請(qǐng)判斷：線(xiàn)段BE與CD的大小關(guān)系是；（2）觀察圖，當(dāng)和分別繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，BE、CD之間的大小關(guān)系是否會(huì)改變?（3）觀察如圖和4，若四邊形ABCD、DEFG都是正方形,猜想類(lèi)似的結(jié)論是___________,在如圖中證明你的猜想.（4）這些結(jié)論可否推廣到任意正多邊形（不必證明）,如圖,BB1與EE1的關(guān)系是;它們分別在哪兩個(gè)全等三角形中;請(qǐng)?jiān)谌鐖D中標(biāo)出較小的正六邊形AB1C1D1E1F1的另五個(gè)頂點(diǎn)，連接圖中哪兩個(gè)頂點(diǎn),能構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形？例4．（2023·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，圖2，圖3，在中，分別以為邊，向外作正三角形，正四邊形，正五邊形，相交于點(diǎn)．（正多邊形的各邊相等，各個(gè)內(nèi)角也相等）①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；②探究：如圖1，∠BOD=；③如圖2，∠BOD=；④如圖3，∠BOD=．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·重慶·七年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D：，，，，連接與交于，則：①；②；③；正確的有（

）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·湖南·中考真題）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，則與的面積之和為（

）A． B． C． D．3．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，O為正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝3，OB＝4，OC＝5，將線(xiàn)段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段BO′，下列結(jié)論：①可由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點(diǎn)O與O′的距離為4；③∠AOB＝150°；④S四邊形AOBO′＝6+2；⑤，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤4．（2022·福建·福州九年級(jí)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，且，點(diǎn)D在邊BC上，連按AD，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AE，連接DE，BE．則△BED的周長(zhǎng)最小值是_________．5．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，連接BD和CE相交于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．(1)求證：BD=CE．(2)求證：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，試探尋線(xiàn)段PE、AP、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．6．（2023春·山東東營(yíng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)資料查詢(xún)，他們得知這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”興趣小組進(jìn)行了如下探究：（1）如圖1，兩個(gè)等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手，兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類(lèi)似大手拉著小手，這個(gè)就是“手拉手模型”，在這個(gè)模型中，和△ADB全等的三角形是，此時(shí)BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，兩個(gè)等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，請(qǐng)判斷線(xiàn)段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，已知△ABC，請(qǐng)完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°），連接BE，CD，兩線(xiàn)交于點(diǎn)P，并直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)．7．（2022·重慶忠縣·九年級(jí)期末）已知等腰直角與有公共頂點(diǎn)，，，．現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線(xiàn)上時(shí)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，連接，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖③，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為直角邊構(gòu)造等腰，連接，在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出的面積．8．（2022·四川省渠縣中學(xué)八年級(jí)期中）在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，AB上，且AF=AE，連接BE，CF．M為FC的中點(diǎn)，連接AM．(1)如圖（1），試猜想BE和AM的關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出你所得到的結(jié)論；(2)如圖（2），將△AFE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，說(shuō)明理由；(3)如圖（3），若將△AFE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后（0＜＜90），（1）中的結(jié)論是還成立嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．9．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知為線(xiàn)段上一點(diǎn)，分別以線(xiàn)段，為直角邊作等腰直角三角形，，，，連接，，線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；位置關(guān)系為_(kāi)______．拓展探究：如圖2，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，線(xiàn)段，交于點(diǎn)，則與之間的關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)校考期中）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在C處，CP＝CQ＝2，將三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(保持點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部)，連接AP、BP、BQ．（1）如圖1求證：AP＝BQ；（2）如圖2當(dāng)三角板CPQ繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A、P、Q在同一直線(xiàn)時(shí)，求AP長(zhǎng)．11．（2022·廣東·惠州一中八年級(jí)期中）為等邊三角形，，于點(diǎn)．為線(xiàn)段上一點(diǎn)，．以為邊在直線(xiàn)右側(cè)構(gòu)造等邊．連結(jié)，為的中點(diǎn)．（1）如圖1，與交于點(diǎn)，①連結(jié)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；②連結(jié)，求的大?。?）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．為線(xiàn)段的中點(diǎn)．連結(jié)、．當(dāng)時(shí)，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論．12．（2022·福建·長(zhǎng)汀縣八年級(jí)階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交BC于點(diǎn)E，連接AE，取AE的中點(diǎn)P，連接DP，CP．（1）觀察猜想：

如圖（1），DP與CP之間的數(shù)量關(guān)系是，DP與CP之間的位置關(guān)系是．（2）類(lèi)比探究：將圖（1）中的△BDE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題解決：若BC＝3BD＝3，

將圖（1）中的△BDE繞點(diǎn)B在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)BE⊥AB時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段CP的長(zhǎng)．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點(diǎn)D順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到線(xiàn)段DE，連接AE，CE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE交線(xiàn)段CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BF．（1）當(dāng)AE＝AB時(shí)，求α的度數(shù)；（2）求證：∠AEF＝45°；（3）求證：AE∥FB．14．（2022·河南·方城縣一模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．(1)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（1）所示．則CF的長(zhǎng)為．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不說(shuō)明理由）(2)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形BEF，如圖（2）所示．在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．思路梳理并填空：當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖，連結(jié)CF，∵△ABC、△BEF都是等邊三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A處時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合．當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C處時(shí)，CF=CA．∴③點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．(3)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN，如圖（3）所示．在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．(4)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以B為頂點(diǎn)作正方形BFGH，其中點(diǎn)F，G都在直線(xiàn)AE上，如圖（4）．當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)F，G，H與點(diǎn)B重合．則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不說(shuō)明理由）15．（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在銳角中，，點(diǎn)，分別是邊，上一動(dòng)點(diǎn)，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)如圖1，若，且，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，猜想線(xiàn)段，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．16．（2022·山西八年級(jí)月考）綜合與實(shí)踐特例研究：將矩形和按如圖1放置，已知，連接．如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，線(xiàn)段與之間的數(shù)量關(guān)系是__；直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系是_；拓廣探索：圖2是由圖1中的矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得到的，請(qǐng)?zhí)剿骶€(xiàn)段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（2022·福建八年級(jí)期中）如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．解答下列問(wèn)題(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線(xiàn)段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．②當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖丙，①中