專題04 待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式(解析版)（重點突圍）VIP

專題04待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式考點一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式考點四已知頂點式求二次函數(shù)的解析式考點五已知交點式求二次函數(shù)的解析式考點一一點一參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線y＝x2＋（3﹣m）x﹣2m＋2(1)若拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求此時拋物線的解析式；(2)該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點移到最高處時，求該拋物線的頂點坐標(biāo)；【答案】(1)y＝x2+2x(2)（﹣2，0）【分析】（1）用待定系數(shù)法將（0，0）代入進行計算即可得；（2）設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（p，q），即可得，，頂點移到最高處，即是q取最大值，而進行計算，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得．（1）解：將（0，0）代入得：，解得m＝1，∴拋物線的解析式為；（2）解：設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為（p，q），則，，頂點移到最高處，即是q取最大值，而＝＝＝，∵，∴當(dāng)時，q最大值是0，此時，∴當(dāng)頂點移到最高處時，拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣2，0）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作為待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖南·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)九年級開學(xué)考試）已知拋物線（）經(jīng)過點（，0）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點坐標(biāo)．(2)直線l交拋物線于點A（，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點P在拋物線上且在直線l下方（不與點A，B重合），求出點P縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標(biāo)為(2)【分析】（1）將點（-2，0）代入求解；（2）分別求出點A、B坐標(biāo)，根據(jù)圖像開口方向及頂點坐標(biāo)求解．（1）解：把（-2，0）代入，可得，解得，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，∵，∴拋物線頂點坐標(biāo)為；（2）把代入，可得，∴，把代入函數(shù)解析式得，解得或，∴或，∵n為正數(shù)，∴，∴點A坐標(biāo)為，點B坐標(biāo)為，∵拋物線開口向上，頂點坐標(biāo)為，∴拋物線頂點在下方，∴，．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．考點二兩點兩參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2022·福建·莆田二中九年級階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線圖像恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線解析式．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法解答，即可求解．【詳解】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入，得：，解得：，所以該拋物線解析式為．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北·襄州七中九年級階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2，0)，B(0，-6)兩點．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．【答案】(1)(2)6【分析】（1）將點A及點B的坐標(biāo)代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據(jù)可得出答案．（1）解：（1）將點A（2，0）、B（0，?6）代入得：，解得：，故這個二次函數(shù)的解析式為：．（2）∵二次函數(shù)的解析式為：，∴二次函數(shù)的對稱軸為x＝4，∴（4，0），B（0，?6）∴OC＝4，，∵點A（2，0），∴AC＝2，故．【點睛】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積，要注意掌握點的坐標(biāo)與線段長度之間的轉(zhuǎn)換．2．（2021·山東·嘉祥縣金屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于點A（2，0）和點B（﹣6，0），與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線上是否存在一點P，使△PAB的面積與△ABC的面積相等，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點M，在對稱軸上存在點Q，使△CMQ是以MC為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y＝(2)存在，點P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）(3)點Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【分析】（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入解方程組即可；（2）先假設(shè)存點P，設(shè)出P點坐標(biāo)，利用△PAB的面積與△ABC的面積相等建立方程求解即可；（3）如圖1中，分三種情形①當(dāng)時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，分別求解即可．（1）解：（1）把A（2，0）和B（﹣6，0）代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）存在，P（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6），理由如下：∵A（2，0）、B（﹣6，0）、，∴AB＝8，C（0，6），OC＝6，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為，由△PAB的面積與△ABC的面積相等，得：，∴．解得：或．當(dāng)時，＝﹣6，解得，當(dāng)時，＝6，解得：（此時與點C重合，舍去），，綜上所述，點P的坐標(biāo)為：（﹣2+，﹣6）或（﹣2﹣，﹣6）或（﹣4，6）；（3）解：如圖∵拋物線的解析式為：，∴它的對稱軸為直線x＝﹣2，∴M（﹣2，0），設(shè)點Q坐標(biāo)為（﹣2，t）．∵中，當(dāng)x＝0時，y＝6，∴C（0，6），∵M（﹣2，0），∴，，．①當(dāng)CQ＝QM時，，解得，∴點Q的坐標(biāo)為，此時，MC不是腰，不符合題意，舍去；②當(dāng)CM＝QM時，，解得：，∴點Q的坐標(biāo)為或，③當(dāng)CM＝CQ時，，解得：t＝0（舍去），或t＝12，∴Q點坐標(biāo)為綜上所述，符合條件的點Q的坐標(biāo)為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，12）【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積問題等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的運用，屬于中考壓軸題．考點三三點三參數(shù)代入求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·四川·鄰水縣壇同鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝c的圖象經(jīng)過（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）三點．(1)求這個函數(shù)的解析式；(2)寫出此拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)，增減性，最值．【答案】(1)y＝(2)拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．【分析】（1）用待定系數(shù)法直接可得函數(shù)的解析式；（2）配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．（1）解：把（0，﹣2），（﹣1，﹣1），（1，1）代入y＝得：解得，∴這個函數(shù)的解析式為y＝；（2）∵y＝2+x﹣2＝2﹣，∴拋物線的開口象上，對稱軸為直線x＝﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，﹣），當(dāng)x≤﹣時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞時，y隨x的增大增大，當(dāng)x＝時，y取最小值﹣．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，求出二次函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南·會澤縣以禮中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于點A（-2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C（0，4）(1)求拋物線的解析式．(2)點D在拋物線的對稱軸上，求AD+CD的最小值．(3)點P是直線BC上方的點，連接CP，BP，若△BCP的面積等于3，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）連接BD，根據(jù)二次函數(shù)的的對稱性可得AD=BD，可得到當(dāng)點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，利用勾股定理求出BC，即可求解；（3）過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，先求出直線BC的解析式，設(shè)點，則點，可得，再根據(jù)△BCP的面積等于3，列出方程，即可求解．（1）解：把點A（-2，0），點B（4，0），點C（0，4）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，連接BD，∵點D在拋物線的對稱軸上，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD≥BC，∴當(dāng)點B，D，C三點共線時，AD+CD的值最小，最小值等于BC的長，∵點B（4，0），點C（0，4），∴OB=OC=4，∴；（3）解：如圖，過點P作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，設(shè)直線BC的解析式為，把點B（4，0），點C（0，4）代入得：，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)點，則點，∴，∵△BCP的面積等于3，∴，解得：m=1或3，∴點P的坐標(biāo)為或．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022·甘肅·武威第九中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸的交點坐標(biāo)A(﹣4，0)，B(2，0)，并過點C(﹣2，﹣2)，與y軸交于點D．(1)求出拋物線的解析式；(2)求出△ABD的面積；(3)在拋物線對稱軸上是否存在一點E，使BE+DE的值最小，如果有，寫出點E的坐標(biāo)；如果沒有，說明理由．【答案】(1)y＝(2)△ABD的面積為6(3)存在，點E的坐標(biāo)為(﹣1，﹣)【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A，B，C三點坐標(biāo)代入拋物線解析式，解方程組即可求得結(jié)論；（2）利用拋物線解析式求得點D坐標(biāo)，利用點的坐標(biāo)表示出線段OA，OB，OD的長度，根據(jù)三角形的面積公式即可求得結(jié)論；（3）連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最??；分別求得對稱軸方程和直線AD的解析式，聯(lián)立后解方程組即可求得點E坐標(biāo)．（1）∵物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，﹣2），∴，解得：．∴拋物線的解析式為y＝．（2）令x＝0，則y＝﹣2，∴D（0，﹣2）．∴OD＝2．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝OA+OB＝6．∴AB?AD＝×6×2＝6．∴△ABD的面積為6．（3）在拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，理由：∵y＝＝＝，∴拋物線y＝的對稱軸為直線x＝﹣1．連接AD交對稱軸于點E，則此時BD+BE最小，如圖，設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，由題意得：，解得：．∴直線AD的解析式為y＝﹣x﹣2．∴．解得：．∴E（﹣1，﹣）．∴拋物線對稱軸上存在一點E，使BE+DE的值最小，點E的坐標(biāo)為（﹣1，﹣）【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河南·睢縣第二中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線經(jīng)過A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，)三點．(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；(3)點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)（1，1）(3)存在，，，，，【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）因為點A關(guān)于對稱軸對稱的點B的坐標(biāo)為（3，0），連接BC交對稱軸直線于點P，求出P點坐標(biāo)即可；（3）分點N在x軸下方或上方兩種情況進行討論．（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，，，三點在拋物線上，，解得．拋物線的解析式為：．（2）拋物線的解析式為，其對稱軸為直線：．連接，設(shè)直線的解析式為，，，解得．直線的解析式為．當(dāng)時，．；（3）存在．如圖2所示．①當(dāng)點在軸上方時，拋物線的對稱軸為直線，，；②當(dāng)點在軸下方時，如圖，過點作軸于點，△△．，即點的縱坐標(biāo)為．．解得或，，，，．綜上所述，點的坐標(biāo)為，，，，．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合知識，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．考點四已知頂點式求二次函數(shù)的解析式例題：（2020·浙江省義烏市廿三里初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過點，，三點，求拋物線的解析式．【答案】【分析】解法一：根據(jù)A（﹣2，0），B（，0），可設(shè)交點式，代入C點坐標(biāo)即可求得二次函數(shù)的解析式；解法二：可設(shè)一般式，代入A、B、C點坐標(biāo)即可求二次函數(shù)的解析式．【詳解】解：解法一：設(shè)

代入C（0，2）得解得：，∴，解法二：設(shè)

代入A（﹣2，0），B（，0），C（0，2）三點，得

，解得：，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·揭陽市實驗中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，連接．(1)求此拋物線的解析式；(2)拋物線對稱軸上是否存在一點，使得？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，再把代入求出的值即可；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式，求出拋物線的對稱軸及頂點坐標(biāo)，設(shè)出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，求出點的坐標(biāo)，所以可得出的面積，進而得出點的坐標(biāo)．（1）解：∵拋物線與x軸交于，兩點，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為，即；（2）解：∵拋物線的解析式為；∴其對稱軸，頂點的坐標(biāo)為，∵點在拋物線的對稱軸上，∴設(shè)，∵，，∴設(shè)過點、的直線解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為，∴直線與軸的交點的坐標(biāo)為，∴，∴，∵，∴，解得，當(dāng)點在點上方時，，解得，∴此時；當(dāng)點在點下方時，，解得，∴此時，綜上所述，可得：，．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求二次函數(shù)解析式、三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵在明確題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想解答問題．2．（2022·吉林·安圖縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于（-1，0），(3，0)兩點，且圖象過點(0，3)，(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)寫出它的開口方向、對稱軸【答案】(1)(2)開口向下，對稱軸為直線【分析】（1）設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，然后把點(0，3)代入，即可求解；（2）把二次函數(shù)的解析式化為頂點式，即可求解．（1）解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，把點(0，3)代入得：，解得：，∴這個二次函數(shù)的解析式為；（2）解：∵，∴二次函數(shù)開口向下，∵，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2022·河南·開封市東信學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)設(shè)點M是直線l上的一個動點，當(dāng)點M到點A，點C的距離之和最短時，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩點式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）連接BC，BC與直線l的交點即為M．（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴；∴函數(shù)的解析式為：．（2）解：拋物線的對稱軸為：；點A關(guān)于直線l的對稱點為點B，連接BC，則BC是點M到點A，點C的距離之和的最小值，設(shè)直線BC的解析式為：，則：，解得：，∴，設(shè)，代入得：，∴．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，準(zhǔn)確求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解題是解題的關(guān)鍵．本題的動點問題是將軍飲馬問題，找到定點的對稱點，與另一個定點形成的線段即為最短距離．考點五已知交點式求二次函數(shù)的解析式例題：（2021·寧夏·石嘴山市第九中學(xué)九年級期中）已知拋物線的頂點為P（﹣2，3），且過A（﹣3，0），求此二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】設(shè)拋物線的頂點式，將頂點P（﹣2，3）及點A（﹣3，0）代入即可解答．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)解析式為：，∵頂點坐標(biāo)為P（﹣2，3），∴，將點A（﹣3，0）代入得，解得：，∴．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目給出的條件，正確設(shè)出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北·浠水縣蘭溪鎮(zhèn)河口中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，-6），當(dāng)x＝1時，函數(shù)的最大值為-4，求此二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)題意得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），于是可設(shè)頂點式，然后把（2，-6）代入求出a的值即可．【詳解】解：∵當(dāng)x=1時，函數(shù)的最大值為-4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4），設(shè)所求二次函數(shù)解析式為，把（2，-6）代入得，解得a=-2，∴此二次函數(shù)解析式為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．2．（2020·天津市西青區(qū)當(dāng)城中學(xué)九年級階段練習(xí)）拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，－1）且經(jīng)過點（2，3），求該拋物線解析式．【答案】【分析】因為拋物線的頂點坐標(biāo)為M（3，﹣1），所以設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，把點（2，3）代入解析式即可解答．【詳解】解：已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，﹣1），設(shè)此二次函數(shù)的解析式為，把點（2，3）代入解析式，得：a﹣1＝3，即a＝4，∴此函數(shù)的解析式為．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．題目給出了二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則采用頂點式求解簡單．3．（2020·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)（-1，-3），且經(jīng)過點（1，5），求此二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】【分析】由于已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，則可設(shè)頂點式，然后把（1，5）代入求出a即可．【詳解】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把（1，5）代入得a?4﹣3＝5，解得a＝2，所以二次函數(shù)的解析式為．即．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．4．（2022·湖北武漢·九年級期中）已知拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，且函數(shù)有最小值－4．(1)求拋物線的解析式；(2)若0＜x＜4，求函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)（或）(2)【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱性可由拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，得到拋物線的對稱軸為直線，則拋物線的頂點坐標(biāo)為，于是可設(shè)頂點式，然后把代入求出a的值即可；（2）求得和的函數(shù)值，即可求得結(jié)論．（1）∵拋物線經(jīng)過點(－1，0)，(3，0)，∴拋物線的對稱軸為直線，∵函數(shù)有最小值-4，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，∴拋物線的解析式為（或）．（2）∵，∴拋物線開口向上，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，函數(shù)值y的取值范圍是．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2021·河北唐山·九年級期中）已知拋物線過原點，你認(rèn)為c的值應(yīng)為（

）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】拋物線過原點，所以拋物線經(jīng)過點(0，0)．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(0，0)，∴c=0，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，比較簡單，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·河北·威縣第三中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，三點，則該函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題已知了拋物線上三點的坐標(biāo)，可直接用待定系數(shù)法求解．【詳解】解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式是，把，，代入得：，解得：；所以該函數(shù)的解析式是．故選：C．【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．一般步驟是先設(shè)，再把對應(yīng)的三個點的坐標(biāo)代入解出a、b、c的值即可得到解析式．3．（2023·福建·廈門市華僑中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知P（，）是平面直角坐標(biāo)系的點，則點P的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得，，然后消去m得到y(tǒng)與x關(guān)系式即可．【詳解】解：∵P（，）是平面直角坐標(biāo)系中的點，∴，，∴，∴則點P的縱坐標(biāo)隨橫坐標(biāo)變化的函數(shù)解析式是，故選：B．【點睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，用含m的式子表示出x是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西·九年級階段練習(xí)）在二次函數(shù)中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表所示，則下列判斷中不正確的是（）x…－1013…y…－3131…A．該二次函數(shù)的圖象開口向下B．C．該二次函數(shù)的圖象與y軸交于正半軸D．當(dāng)時，y隨x的增大而減小【答案】D【分析】在二次函數(shù)中，，即可得該二次函數(shù)的圖像開口向下，根據(jù)表格和待定系數(shù)法得，，即可得，即二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，，可得該二次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸，該函數(shù)的對稱軸為直線，即當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，即可得．【詳解】解：在二次函數(shù)中，，∴該二次函數(shù)的圖象開口向下，故選項A說法正確，不符合題意；∵當(dāng)時，，∴，∵當(dāng)時，，∴，，∴，故選項B說法正確，不符合題意；∴二次函數(shù)的解析式為：，∵當(dāng)時，，∴該二次函數(shù)的圖象與y軸的正半軸，故選項C說法正確，不符合題意；該函數(shù)的對稱軸為直線，∴當(dāng)時，y隨著x的增大而減小，故選項D說法錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的增減性．二、填空題5．（2022·浙江·九年級單元測試）二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點，且AB＝4，則c＝__．【答案】-3【分析】先利用拋物線的對稱性確定A點和B點坐標(biāo)，然后根據(jù)交點式可求出拋物線的解析式，從而得到c的值．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，而AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴拋物線解析式為y＝（x+1）（x﹣3），即，∴c＝﹣3．故答案為﹣3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點問題：利用拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（，0），（，0）可設(shè)二次函數(shù)解析式為（a，b，c是常數(shù)，a≠0）．6．（2022·浙江·杭州市建蘭中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線過、、三點，則這條拋物線的解析式為_________．【答案】【分析】由于已知拋物線與x的兩交點坐標(biāo)，則可設(shè)交點式，然后把C代入求出a的值即可．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，把C代入得，解得，所以拋物線解析式為，即．故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．7．（2022·遼寧大連·九年級階段練習(xí)）已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，且其圖象與x軸交于點，拋物線的解析式為___________．【答案】【分析】由拋物線的頂點可設(shè)出拋物線的頂點式，結(jié)合拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．【詳解】解：∵拋物線的頂點為，∴設(shè)拋物線的解析式為．將代入，得：，解得：，∴拋物線的解析式為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，根據(jù)拋物線頂點坐標(biāo)設(shè)出解析式是解題的關(guān)鍵．8．（2022·湖北·大悟縣實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）二次函數(shù)中，x與y的部分對應(yīng)值如下表：x…023…y…8003…則下列說法：①圖象經(jīng)過原點；②圖象開口向下；③圖象的對稱軸為直線；④當(dāng)時，y隨x的增大而增大；⑤圖象經(jīng)過點．其中正確的是____________．【答案】①③⑤【分析】結(jié)合圖表可以得出當(dāng)x=0或2時，y=0，x=3時，y=3，根據(jù)此三點可求出二次函數(shù)解析式，從而根據(jù)拋物線的圖象性質(zhì)可逐個判定即可．【詳解】解：∵由圖表可以得出當(dāng)x=0或2時，y=0，x=3時，y=3，∴，解得：，∴y=-2x，∵c=0，∴圖象經(jīng)過原點，故①正確；∵a=1＞0，∴拋物線開口向上，故②錯誤；∵y=-2x=，∴拋物線的對稱軸為直線，故③正確；∵拋物線的對稱軸是直線x=1，拋物線開口向上，∴x＞1時，y隨x的增大而增大，x＜1時，y隨x的增大而減小，故④錯誤；把x=-1代入得，y=3，∴圖象經(jīng)過點（-1，3），故⑤正確；綜上，正確的有①③⑤．故答案為：①③⑤．【點睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，以及由解析式求函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點以及一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．三、解答題9．（2022·浙江杭州·九年級階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．(1)已知圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6）；(2)已知圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（0，3），且對稱軸為直線x＝1．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用頂點式代入頂點坐標(biāo)，進而得出答案；（2）利用一般式代入，進而計算得出答案．（1）解：∵圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣8），且過點（0，﹣6），∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，把（0,﹣6）代入得：，解得：a＝2，故二次函數(shù)的解析式為：；（2）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把A（﹣1,0）、B（0,3），對稱軸為直線x＝1代入得：，解得：，故二次函數(shù)解析式為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法并根據(jù)條件設(shè)出合適的二次函數(shù)表達(dá)式是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·瑞安市大南鄉(xiāng)中學(xué)九年級期中）已知拋物線過兩點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)試判斷點是否在此函數(shù)圖象上．【答案】(1)(2)不在【分析】（1）把兩個已知點的坐標(biāo)分別代入中得到關(guān)于b、c的方程組，然后解方程組即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征進行判斷．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時，，∵，∴不在函數(shù)圖象上．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．11．（遼寧省大連市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過和．(1)求該拋物線的解析式；(2)求拋物線的頂點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)頂點坐標(biāo)為【分析】（1）利用待定系數(shù)法列方程求解即可．（2）把一般式通過配方轉(zhuǎn)化為頂點式即可．【詳解】（1）解：把和代入，得：，解得：，∴此拋物線的解析式為；（2）∵，∴此拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及用配方法求頂點式，熟練掌握待定系數(shù)法與配方法是解題關(guān)鍵．12．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）若拋物線過三點．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)（1）中的拋物線上有一個動點P，當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足，并求出此時P點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點P在該拋物線上滑動到或或【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，把代入，求出，即可求解；（2）設(shè)P的縱坐標(biāo)為，根據(jù)，可得，再分別代入解析式，即可求解．（1）解：設(shè)拋物線解析式為，把代入得：，解得，所以拋物線解析式為，即；（2）解：設(shè)P的縱坐標(biāo)為，∵，∴，∵，∴，∴，把代入解析式得，，解得，，把代入解析式得，，解得，，∴點P在該拋物線上滑動到或或時，滿足．【點睛】此題主要考查了利用拋物線與x軸的交點坐標(biāo)確定函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求得解析式．13．（2022·江蘇·海安市曲塘中學(xué)附屬初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線，其對稱軸為直線．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時，求y的范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對稱軸方程得到，然后解出m的值即可得到拋物線解析式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在時，函數(shù)取最小值，在時，函數(shù)取最大值，進而可得y的取值范圍．【詳解】（1）解：∵，∴拋物線對稱軸為直線，∵其對稱軸為直線，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：∵拋物線解析式為，∴拋物線開口向上，在時，函數(shù)有最小值，而當(dāng)時，，∴當(dāng)時，y的范圍是．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的對稱軸方程是解題關(guān)鍵．14．（遼寧省大連市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）如圖，拋物線與軸交于A，對稱軸是直線，直線經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點．(1)求拋物線的解析式；(2)若是位于直線上方的拋物線上的一個動點，連接，，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法列方程即可．（2）過點作軸，交于，利用水平寬×鉛錘高解題，即可．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點，∴令，則，∴，∴，∵對稱軸是直線，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）解：，解得：，，∴，過點作軸，交于，設(shè)，則，∴，∴的面積，當(dāng)時，的面積最大，且最大值是【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式及通過水平寬鉛錘高求三角形面積，能夠表示出三角形面積并用頂點式求最值是解題關(guān)鍵．15．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)九年級期中）已知二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，．(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)補全表格，并根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)用描點法畫出該二次函數(shù)的圖像；x…02…y…0330…(3)當(dāng)時，直接寫出y的取值的范圍．【答案】(1)；(2)答案見詳解；(3)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解，即將A、B兩點坐標(biāo)代入解析式求出b、c即可；（2）先補充列表，然后描點畫二次函數(shù)的圖像即可；（3）結(jié)合函數(shù)圖像，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．（1）解：二次函數(shù)圖像經(jīng)過點，，，，此二函數(shù)的解析式為：；（2）解：補全表格如下：x…-10123…y…03430…如下圖所示：拋物線為所求；（3）解：如圖所示，當(dāng)時，；故當(dāng)時，y的取值的范圍是：．【點睛】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、描點法作二次函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的性質(zhì)等，熟練運用待定系數(shù)法求解析式和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．16．（2022·福建·浦城縣教師進修學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點，點．點P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．(1)求此拋物線的解析式．(2)當(dāng)點P在軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍．(3)若此拋物線在點P左側(cè)部分（包括點P）的最低點的縱坐標(biāo)為．求m的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】（1）把點A、B的坐標(biāo)代入解析式進行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖形及（1）可直接進行求解；（3）由題意易得拋物線頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，然后可分當(dāng)時和當(dāng)時，進而分類求解即可．【詳解】（1）解：將，代入得：，解得，∴．（2）解：由（1）可令，解得，∴拋物線與x軸交點坐標(biāo)為，，∵拋物線開口向上，∴根據(jù)圖象可知當(dāng)或時，點P在x軸上方．（3）解：∵，∴拋物線頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，當(dāng)時，拋物線頂點為最低點，∴，解得，當(dāng)時，點P為最低點，將代入得，∴，解得（舍），，∴或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握利用待定系