專題5.3 分式的加減法（教師版）

專題5.3分式的加減法1.熟練掌握同分母的分式加減運(yùn)算；2.會(huì)找最簡(jiǎn)公分母，能進(jìn)行分式通分，理解并掌握異分母分式的加減法則；3.能進(jìn)行分式的混合運(yùn)算及較復(fù)雜的分式化簡(jiǎn)求值。知識(shí)點(diǎn)01分式的通分【知識(shí)點(diǎn)】1、分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴(kuò)大的倍數(shù)相應(yīng)擴(kuò)大，不改變分式的值。具體步驟：=1\*GB3①通過(guò)短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴(kuò)大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對(duì)應(yīng)擴(kuò)大相同倍數(shù).2、最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．【知識(shí)拓展1】最簡(jiǎn)公分母例1．（2022·江蘇·二模）分式和的最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)____．【答案】2（m﹣n）【分析】利用最簡(jiǎn)公分母的定義求解，分式和的分母分別是2（m﹣n）、（m﹣n），故最簡(jiǎn)公分母是2（m﹣n）即是本題答案．【詳解】解：∵分式和的分母分別是2（m﹣n）、（m﹣n）．∴它們的最簡(jiǎn)公分母是2（m﹣n）．故答案為：2（m﹣n）．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)公分母，將原式的分母正確進(jìn)行因式分解并掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2023·河北·一模）要把分式與通分，分式的最簡(jiǎn)公分母是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解．【詳解】解：根據(jù)最簡(jiǎn)公分母是各分母的最小公倍數(shù)，∵系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2，與的最高次冪是，與的最高次冪是，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母c直接作公分母中的因式，∴公分母為：．故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)公分母，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇連云港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分式和的最簡(jiǎn)公分母為_(kāi)____．【答案】6x2y2【分析】根據(jù)確定最簡(jiǎn)公分母的方法：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡(jiǎn)公分母的一個(gè)因式；同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡(jiǎn)公分母．即可求解．【詳解】解：分式，的最簡(jiǎn)公分母為6x2y2．故答案為：6x2y2．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)公分母，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】分式通分例2．（2022·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）通分：（1）與；

（2）與；（3）與；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】先找到最簡(jiǎn)公分母，然后通分．【詳解】（1），；（2），；（3），；（4），，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的通分，找到最簡(jiǎn)公分母是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022·貴州八年級(jí)月考）對(duì)分式通分后，的結(jié)果是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】把a(bǔ)2-b2因式分解，得出的最簡(jiǎn)公分母，根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可得答案．【詳解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式的最簡(jiǎn)公分母是，∴通分后，=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的通分，正確得出最簡(jiǎn)公分母是解題關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）通分（1）與；（2）與；（3）與；（4）與．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）與的最簡(jiǎn)公分母是6；（2）與的最簡(jiǎn)公分母是3；（3）與的最簡(jiǎn)公分母是2；（4）與的最簡(jiǎn)公分母是．【詳解】（1）∵與的最簡(jiǎn)公分母是6，∴=，=；（2）∵與的最簡(jiǎn)公分母是3，∴=，=；（3）∵與的最簡(jiǎn)公分母是2，∴=，=；（4）∵與的最簡(jiǎn)公分母是，∴=，=．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的通分，準(zhǔn)確確定最簡(jiǎn)公分母：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母，是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02分式的加減【知識(shí)點(diǎn)】分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．注意：分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類(lèi)似.【知識(shí)拓展1】分式加法（同分母）例1．（2023秋·寧夏吳忠·八年級(jí)校聯(lián)考期末）計(jì)算：_______．【答案】1．【分析】根據(jù)”同分母分式的加法法則”計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減，熟記”同分母分式的加法法則”是解答本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022春·廣東佛山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）化簡(jiǎn)：__________．【答案】【分析】直接進(jìn)行同分母的加減運(yùn)算即可．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同分母的分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的運(yùn)算法則．【知識(shí)拓展2】分式加法（異分母）例2．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：__________．【答案】1【分析】先通分，把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，進(jìn)而求解即可；【詳解】解：原式，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加法，解題時(shí)注意：分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母，分母是多項(xiàng)式時(shí)，必須先分解因式，分子是多項(xiàng)式時(shí)，要把分母所乘的相同式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘，而不能只同其中某一項(xiàng)相乘．【即學(xué)即練】2.（2022·北京門(mén)頭溝·大峪中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)平方差公式變形，再通分轉(zhuǎn)化為同分母的分式計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了異分母的分式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】分式減法（同分母）例3．（2022秋·天津津南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）化簡(jiǎn)：________．【答案】2【分析】根據(jù)分式的減法法則即可得．【詳解】解：原式，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】3．（2022秋·湖北荊門(mén)·八年級(jí)?？计谀┯?jì)算的結(jié)果是___________【答案】-1.【分析】原式變形后，利用同分母分式的減法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】=故答案為-1.【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，分式加減法的關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找出最簡(jiǎn)公分母．【知識(shí)拓展4】分式減法（異分母）例4．（2022·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)期中）計(jì)算并化簡(jiǎn)：（1）；（2）．【答案】（1）2；（2）【分析】（1）直接利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）首先通分運(yùn)算，再利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的有關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】4．（2022·江蘇蘇州九年級(jí)月考）計(jì)算：__________．【答案】【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則計(jì)算，得到答案．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減法，異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．知識(shí)點(diǎn)03分式的混合運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)】分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式【知識(shí)拓展1】分式的混合運(yùn)算例1．（2022·遼寧大連·中考真題）計(jì)算．【答案】【分析】先把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后計(jì)算減法運(yùn)算即可.【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，掌握“分式的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】1．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先通分，再計(jì)算即可；（2）先因式分解，除法改為乘法，再約分即可；【詳解】（1）解：；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算．掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇蘇州·?？家荒＃┯?jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】括號(hào)內(nèi)先化簡(jiǎn)，再根據(jù)分式乘法法則計(jì)算即可．【詳解】原式===故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的混合運(yùn)算，先用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·四川自貢·中考真題）化簡(jiǎn)：＝____________．【答案】【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的順序，依次計(jì)算即可．【詳解】=故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】分式的化簡(jiǎn)求值1例2．（2022·廣西賀州·統(tǒng)考三模）已知，則的值是________．【答案】【分析】把已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，整理求出的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值．【詳解】解：由，得到，即，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022秋·四川南充·八年級(jí)校考期末）已知，則的值為(

)A．6 B．－6 C． D．－【答案】D【分析】先通分，再根據(jù)的特點(diǎn)即可求解.【詳解】∵∴∴==故選D.【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的求值，解題的關(guān)鍵是熟知分式的性質(zhì).3．（2022·浙江·九年級(jí)自主招生）如果，，是正數(shù)，且滿足，，則________【答案】7【分析】先根據(jù)題意得出a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，再代入原式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵a，b，c是正數(shù)，且滿足a+b+c=9，∴a=9-b-c，b=9-a-c，c=9-a-b，∴====7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】分式的化簡(jiǎn)求值2例3．（2022秋·重慶江津·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先將分式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)分式，再將代入求值即可．【詳解】解：原式=當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式化簡(jiǎn)的運(yùn)算法則是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】3．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）化簡(jiǎn)并求值：，選擇一個(gè)合適的m值代入求出分式的值．【答案】【分析】括號(hào)里進(jìn)行通分，再根據(jù)同分母加減運(yùn)算法則運(yùn)算即可，括號(hào)外進(jìn)行因式分解，根據(jù)分式乘除運(yùn)算法則運(yùn)算，再選一個(gè)合適的m值代入計(jì)算即可．【詳解】解：(1－)÷＝（－）·＝·＝．∵m≠±2且m≠3，∴當(dāng)m＝1時(shí)，原式＝－．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·陜西榆林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】先化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)的分式，然后再計(jì)算分式加法，然后再計(jì)算分式除法，最后將代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，，，將代入，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則．題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．（2023·陜西西安·?？级＃┯?jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通分，然后進(jìn)行同分母分式加減運(yùn)算，最后要注意將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式．【詳解】解：故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，題目比較容易．3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算即可求出答案．【詳解】解：原式=1故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減運(yùn)算，掌握分式的加減運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4．（2021·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若，則（

）中的數(shù)是（

）A． B．1 C． D．任意實(shí)數(shù)【答案】A【分析】將看成差，將看成減數(shù)，用差加上減數(shù)即可求出被減數(shù)的值．【詳解】解：＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減，熟練掌握分式的加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）分式、、的最簡(jiǎn)公分母是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把分母因式分解，再找出最簡(jiǎn)分母即可．【詳解】解：的分母為：，∴最簡(jiǎn)公分母為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查最簡(jiǎn)公分母的定義，熟練掌握最簡(jiǎn)公分母的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）在分式加減運(yùn)算中，常用到下列四個(gè)依據(jù)：Ⅰ、合并同類(lèi)項(xiàng)

Ⅱ、約分

Ⅲ、同分母分式的加減法則

Ⅳ、通分化簡(jiǎn)①②③④則正確的表示是（

）A．①-Ⅳ，②-Ⅲ，③-Ⅰ，④-Ⅱ B．①-Ⅳ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-ⅡC．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅱ，②-Ⅲ，③-Ⅰ，④-Ⅳ【答案】A【分析】利用異分母分式加減法的法則即可求解【詳解】①（此步驟結(jié)合分式的基本性質(zhì)進(jìn)行了通分）②（同分母分式的加減法則）③（此步驟將分子合并同類(lèi)項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)）④（此步驟結(jié)合分式的基本性質(zhì)進(jìn)行了約分）故選A【點(diǎn)睛】本題考查異分母分式的加減法，理解分式基本性質(zhì)，掌握異分母分式加減法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·天津津南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）化簡(jiǎn)：________．【答案】2【分析】根據(jù)分式的減法法則即可得．【詳解】解：原式，，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．8．（2022秋·湖南郴州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）化簡(jiǎn)：___．【答案】【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則是本題的關(guān)鍵．9．（2022春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x－y=xy,則_______________.【答案】－1【詳解】試題分析：＝＝＝＝－1．故答案為－1．點(diǎn)睛：本題考查了分式的加減運(yùn)算，解決此類(lèi)問(wèn)題要認(rèn)真觀察已知與要求之間關(guān)系，然后進(jìn)行整體代入．10．（2022秋·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：______．【答案】【分析】利用分式的加減運(yùn)算的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減，解題的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．11．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】先先化簡(jiǎn)，再通分，最后相加即可得到答案【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡(jiǎn)的方法．12．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題，甲、乙兩位同學(xué)完成的過(guò)程分別如下：甲同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過(guò)程都有錯(cuò)誤．(1)請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過(guò)程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．我選擇______同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）．該同學(xué)的解答從第____步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_______；(2)請(qǐng)重新寫(xiě)出完成此題的正確解答過(guò)程：【答案】(1)甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則即可判斷；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則重新計(jì)算可得．【詳解】（1）我選擇甲同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；或我選擇乙同學(xué)的解答過(guò)程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是直接去掉分母；故答案為：甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；（2）(選甲為例）===【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．13．（2022·鹽城市八年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．14．（2022·廣東龍華·）（1）化簡(jiǎn)：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．【答案】（1）2；（2），．【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）原式＝＝?＝2；（2）原式＝（﹣）÷＝?＝，當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·廣西玉林·中考真題）若x是非負(fù)整數(shù)，則表示的值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在下圖數(shù)軸上的范圍是(

)A．① B．② C．③ D．①或②【答案】B【分析】先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：====1；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的減法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山西·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用平方差公式通分，再約分化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)及平方差公式，屬于基礎(chǔ)題，掌握通分、約分等基本步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江杭州·中考真題）照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分式的基本性質(zhì)，把等式恒等變形，用含f、v的代數(shù)式表示u．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加、減法運(yùn)算，關(guān)鍵是異分母通分，掌握通分法則．4．（2021·河北邯鄲·統(tǒng)考三模）若，則（

）中的數(shù)是（

）A． B．1 C． D．任意實(shí)數(shù)【答案】A【分析】將看成差，將看成減數(shù)，用差加上減數(shù)即可求出被減數(shù)的值．【詳解】解：＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減，熟練掌握分式的加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川眉山·中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算法則．6．（2022·湖北武漢·中考真題）計(jì)算：的結(jié)果是__．【答案】．【分析】【詳解】原式．故答案為：．7．（2022·內(nèi)蒙古新城·二模）分式的最簡(jiǎn)公分母是________，=__________【答案】【分析】先把兩個(gè)分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進(jìn)行計(jì)算求值即可.【詳解】解：∵，∴，∴，的最簡(jiǎn)公分母為：∴故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.8．（2022·江蘇泰州·中考真題）計(jì)算:(1)計(jì)算：；(2)按要求填空：小王計(jì)算的過(guò)程如下：解：

小王計(jì)算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計(jì)算過(guò)程的第步出現(xiàn)錯(cuò)誤.直接寫(xiě)出正確的計(jì)算結(jié)果是.【答案】(1)(2)因式分解；三和五；【分析】(1)先化成最簡(jiǎn)二次根式，然后根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則求解即可；(2)按照分式的加減運(yùn)算法則逐步驗(yàn)算即可.(1)解：原式；(2)解：由題意可知：故小王的計(jì)算過(guò)程中第三步和第五步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；最終正確的計(jì)算結(jié)果為.故答案為：因式分解，第三步和第五步，【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的四則運(yùn)算法則及分式的加減運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.9．（2023·江蘇漣水·中考模擬）閱讀下列材料：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點(diǎn)，例如類(lèi)比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)；類(lèi)比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，我們得到了分式的運(yùn)算法則．我們知道，分子比分母小的叫做“真分?jǐn)?shù)”；分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分?jǐn)?shù)，叫做“假分?jǐn)?shù)”．類(lèi)似地，我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．例如：，這樣的分式就是假分式，例如，這樣的分式就是真分式．假分?jǐn)?shù)可以化成（即）帶分?jǐn)?shù)的形式．類(lèi)似地，假分式也可以化為帶分式（即整式與真分式的和的形式），例如．解決下列問(wèn)題：（1）分式是_____（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化為帶分式_____形式；（3）如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)的值；（4）若分式的值為，則的取值范圍是______（直接寫(xiě)出答案）．【答案】（1）真分式；（2）；（3）4，2，5，1；（4）．【分析】（1）根據(jù)“真分式”的定義可得；（2）根據(jù)題意逆用分式加法的法則將假分式化為帶分式；（3）先將分式化為帶分式，再根據(jù)分式部分為整數(shù)求得的值；（4）將分式化為帶分式，再判斷的取值范圍即可．【詳解】（1）的分母次數(shù)大于分子次數(shù)，故分式是真分式；故答案為：真分式；（2）故答案為：；（3）分式的值為整數(shù)，，即是整數(shù)，則；解得或或或；的值為：4，2，5，1；（4），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，不等式的應(yīng)用，掌握計(jì)算法則，理解題意是解題的關(guān)鍵．10．（2022·東平縣八年級(jí)月考）（1）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，2，3，4中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．（2）先化簡(jiǎn)：，其中，且是整數(shù)，再求值．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把合適的的值代入計(jì)算即可求出值；（2）因式分解后再利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把合適的的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】（1），當(dāng)a=2，3，-3時(shí)，原分式無(wú)意義，故當(dāng)a=1時(shí)，原式=；（2），當(dāng)x=0，1，-1時(shí)，原分式無(wú)意義，∵-1≤x≤2，x是整數(shù)，∴x=2，故當(dāng)x=2時(shí)，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則、分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．11．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）計(jì)算下列各式：(1)

；(2)

；(3)

；(4)．【答案】(1)(2)0(3)0(4)1【分析】（1）運(yùn)用平方差公式分步通分；（2）將各分式拆項(xiàng)，再兩兩抵消即可得出結(jié)果；（3）先將各分式分解因式約分，再通分計(jì)算；（4）注意到分母與分子的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，如，采用換元法簡(jiǎn)化式子．【詳解】（1）原式+++（2）原式=（3）原式（4）設(shè)

則原式【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，難度較大，因各分式復(fù)雜，故須觀察各式中分母的特點(diǎn)，恰當(dāng)運(yùn)用通分的相關(guān)策略與技巧．12．（2023秋·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先化簡(jiǎn)，再求值：(1)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿足．(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，在2，3，4中選一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．【答案】(1)，；(2)，當(dāng)時(shí)，原式；【分析】（1）將括號(hào)內(nèi)通分，然后運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行分式化簡(jiǎn)，再代入計(jì)算即可；（2）將括號(hào)內(nèi)通分，然后運(yùn)用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行分式化簡(jiǎn)，由，確定的值再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，當(dāng)時(shí)，原式；（2），，，，，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值；靈活運(yùn)用公式正確化簡(jiǎn)求值即可．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在化簡(jiǎn)分式的過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（

）A．A B．B C．C D．D【答案】B【分析】觀察解題過(guò)程，找出錯(cuò)誤的步驟及原因，寫(xiě)出正確的解題過(guò)程即可．【詳解】上述計(jì)算過(guò)程中，從B步開(kāi)始錯(cuò)誤，分子去括號(hào)時(shí)，1沒(méi)有乘以3．正確解法為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽合肥·?？级＃┠齿喆涤贏、B兩地之間，設(shè)船在靜水中的速度不變，那么，當(dāng)水的流速增大時(shí)，輪船往返一次所用的時(shí)間（）A．不變 B．增加 C．減少 D．增加，減少都有可能【答案】B【分析】可設(shè)全程，船的靜水速度，原來(lái)的水流速度，后來(lái)的水流速度為未知數(shù)，讓路程÷順?biāo)俣?路程÷逆水速度，分別求得兩種情況下輪船往返一次所用的時(shí)間，進(jìn)而讓得到的兩個(gè)代數(shù)式相減，根據(jù)結(jié)果可判斷相應(yīng)的時(shí)間大?。驹斀狻吭O(shè)全程為S，船在靜水中的速度為V，水的流速為V水1，往返一次所需時(shí)間為，當(dāng)水的流速度增大時(shí)，則不妨設(shè)水的流速由V水1，變?yōu)閂水2，所以，時(shí)間差為(∵，，，，∴當(dāng)水速增加時(shí)，往返一次時(shí)間變長(zhǎng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查推理與論證；得到兩種水速下時(shí)間的代數(shù)式是解決本題的突破點(diǎn)；比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，通常用減法，將得到的結(jié)果與0的比較．3．（2022·河北邢臺(tái)·?？家荒＃┤?，則“（

）”中的式子是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意知“（）”中的式子為，計(jì)算求解即可．【詳解】解：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減．解題的關(guān)鍵在于正確的運(yùn)算．4．（2022秋·湖南婁底·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知兩個(gè)分式：，，其中x≠±2，則A與B的關(guān)系是（）A．相等 B．互為倒數(shù) C．互為相反數(shù) D．A大于B【答案】C【詳解】∵B====，又∵A=，∴A+B=+=0，∴A與B的關(guān)系是互為相反數(shù)．故選：C．5．（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）若，則的結(jié)果為（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】B【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．（2022春·福建福州·七年級(jí)福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎?，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由A，C都為正數(shù)，結(jié)合分子相同，分母越大分?jǐn)?shù)值越小，可得再利用作差法比較C，B的大小即可．【詳解】解：則則故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的值的大小比較，掌握“作差法比較代數(shù)式的大小”是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·河北保定·?？级＃?shù)學(xué)課上，老師展示佳佳的解答如下：計(jì)算：，解：原式①②③＝3④對(duì)佳佳的每一步運(yùn)算，依據(jù)錯(cuò)誤的是：（

）A．①：同分母分式的加減法法則 B．②：合并同類(lèi)項(xiàng)法則C．③：提公因式法 D．④：等式的基本性質(zhì)【答案】D【分析】根據(jù)分式的加減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：①：同分母分式的加減法法則，正確；②：合并同類(lèi)項(xiàng)法則，正確；③：提公因式法，正確；④：分式的基本性質(zhì)，故錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減，熟練掌握法則及運(yùn)算律是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·山東濱州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果，則的值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】先對(duì)變形得到，然后將化成，再結(jié)合完全平方公式得到，最后將代入即可解答．【詳解】解：∵，即∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的減法、完全平方公式的應(yīng)用以及代數(shù)式求值，靈活運(yùn)用完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022秋·重慶九龍坡·九年級(jí)?？计谥校┮阎獌蓚€(gè)分式：，：將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即）第三次操作：將作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即