中考河南·專(zhuān)題：類(lèi)比與探究題

專(zhuān)題類(lèi)比與探究題類(lèi)比與探究題的主要考查類(lèi)型有：幾何圖形的類(lèi)比拓展探究；幾何圖形變換的類(lèi)比拓展探究等．考查的知識(shí)點(diǎn)有：三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、相似、全等、折疊性質(zhì)、圖形變換和勾股定理等．基本解題思路：審清題干中各種信息，分析和觀(guān)察圖形，學(xué)會(huì)分解和組合圖形，明確圖形中的變化信息，類(lèi)比模仿、從特殊到一般的方法求解證明問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題要注意靈活掌控、發(fā)散思維、以靜制動(dòng)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．類(lèi)比與探究題是河南省中考數(shù)學(xué)中的必考題，均在第22題以解答題形式呈現(xiàn)，分值為10分，設(shè)問(wèn)數(shù)均3問(wèn)．河南省中考對(duì)此問(wèn)題的考查：2013年、2015年、2016年、2017年中考試題第22題均以解答題的形式考查了幾何圖形變化的類(lèi)比拓展探究，2014年以解答題的形式考查了幾何圖形的類(lèi)比拓展探究．類(lèi)型一幾何圖形的類(lèi)比拓展探究這類(lèi)問(wèn)題通常是先給一特殊圖形，通過(guò)觀(guān)察、歸納特殊圖形對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段或角的性質(zhì)，然后再在一般圖形中判斷結(jié)論是否成立，最后利用總結(jié)結(jié)論解決更一般圖形中的相關(guān)問(wèn)題．解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的研究方法，再類(lèi)比模仿探究．例1(2014·河南)(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，連接BE.填空：①∠AEB的度數(shù)為

；②線(xiàn)段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為

．(2)拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE.請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)解決問(wèn)題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝.若點(diǎn)P滿(mǎn)足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A到BP的距離．【分析】(1)由條件易證△ACD≌△BCE，利用全等三角形的性質(zhì)可以求出∠AEB的度數(shù)；(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，利用全等三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)可求出線(xiàn)段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系；(3)利用圓的有關(guān)性質(zhì)及分類(lèi)討論思想求解．【自主解答】(1)①60°②A(yíng)D＝BE(2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE.∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE.(3)1．(2017·鄭州一模)如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作BP的垂線(xiàn)，垂足為F，交BD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G.(1)當(dāng)AB＝AD，且P是AD的中點(diǎn)時(shí)，求證：AG＝BP；(2)在(1)的條件下，求的值；(3)類(lèi)比探究：若AB＝3AD，AD＝2AP，則的值為

．(直接填答案)(1)證明：∵BP⊥AG，∴∠AFB＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵∠BAF＋∠DAG＝90°，∴∠ABF＝∠DAG.∵∠BAP＝∠ADG＝90°，AB＝DA，∴△ABP≌△DAG.∴AG＝BP.(2)解：∵△ABP≌△DAG，∴AP＝DG.∵AP＝AD，∴DG＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴△DGE∽△BAE.∴.(3)2．(2017·許昌一模)我們把兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”．例如圖1，圖2，圖3中，AF，BE是△ABC的中線(xiàn)，AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c.【特例探索】(1)如圖1，當(dāng)∠ABE＝45°，c＝2時(shí)，a＝

，b＝

；如圖2，當(dāng)∠ABE＝30°，c＝4時(shí)，a＝

，b＝

；【歸納證明】(2)請(qǐng)你觀(guān)察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；【拓展應(yīng)用】(3)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD＝2，AB＝3，求AF的長(zhǎng)．解：(1)(2)猜想：a2，b2，c2三者之間的關(guān)系是a2＋b2＝5c2.證明：如圖，連接EF.∵AF，BE是△ABC的中線(xiàn)，∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥AB，且∴設(shè)PF＝m，PE＝n，則PA＝2m，PB＝2n.在Rt△APB中，(2m)2＋(2n)2＝c2；①在Rt△APE中，(2m)2＋n2＝()2；②在Rt△BPF中，m2＋(2n)2＝()2.③由①得m2＋n2＝，由②＋③得5(m2＋n2)＝，∴a2＋b2＝5c2.(3)如圖，設(shè)AF，BE交于點(diǎn)P，取AB的中點(diǎn)H，連接FH，AC.∵E，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EG∥AC∥FH.又∵BE⊥EG，∴FH⊥BE.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴AE＝BF，AE∥BF，∴AP＝FP，∴△ABF是“中垂三角形”，∴AB2＋AF2＝5BF2，即32＋AF2＝5×()2，∴AF＝4.類(lèi)型二幾何圖形變換的類(lèi)比拓展探究這類(lèi)問(wèn)題通常是先給一特殊圖形，通過(guò)觀(guān)察、歸納特殊圖形對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段或角的性質(zhì)，然后通過(guò)圖形變換改變圖形位置，再判斷結(jié)論是否成立，最后利用總結(jié)結(jié)論解決更一般圖形變換后的相關(guān)問(wèn)題．解決這類(lèi)題目的關(guān)鍵是掌握從特殊到一般的研究方法，再類(lèi)比模仿探究．例2(2013·河南)如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在A(yíng)B邊上時(shí)，填空：①線(xiàn)段DE與AC的位置關(guān)系是

；②設(shè)△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數(shù)量關(guān)系是

．(2)猜想論證當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC，CE邊上的高，請(qǐng)你證明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，點(diǎn)D是角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于點(diǎn)E(如圖4)．若在射線(xiàn)BA上存在點(diǎn)F，使S△DCF＝S△BDE，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．【分析】(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及平行線(xiàn)的判定進(jìn)行解答；②根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式進(jìn)行解答；(2)首先證明△ACN和△DCM全等，然后類(lèi)比(1)的解答過(guò)程進(jìn)行證明；(3)類(lèi)比(2)中的結(jié)論求解，注意分類(lèi)討論．【自主解答】(1)①DE∥AC②S1＝S2(2)∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC＝CE，AC＝CD.∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM.在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM，∴AN＝DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等，即S1＝S2.3．(2017·濮陽(yáng)一模)(1)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為

；(2)【拓展研究】在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線(xiàn)段BE與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】當(dāng)正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)候，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AF的長(zhǎng)．解：(1)BE＝AF(2)無(wú)變化．證明如下：在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝.在