【教案】等比數(shù)列的概念第1課時(shí)+教學(xué)設(shè)計(jì)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

.3.1等比數(shù)列的概念（第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、本課在教材中的地位《等比數(shù)列》是人教A版（2019）數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章的內(nèi)容。本節(jié)是數(shù)列這一章的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且公式推導(dǎo)過程中蘊(yùn)涵的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng).等比數(shù)列是另一個(gè)常見的簡(jiǎn)單數(shù)列，研究?jī)?nèi)容可與等差數(shù)列類比，首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，給出等比中項(xiàng)的概念.二、教學(xué)目標(biāo)1.通過類比和歸納的方法得到等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，能夠應(yīng)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解決簡(jiǎn)單的問題;2.學(xué)生通過觀察、抽象、推理、應(yīng)用的過程，獲得用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際感受，提高其數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).三、核心素養(yǎng)1數(shù)學(xué)抽象：等比數(shù)列的概念2邏輯推理：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)3數(shù)學(xué)運(yùn)算：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用4數(shù)據(jù)分析：學(xué)習(xí)等比數(shù)列的概念，同時(shí)探究等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力.四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2、難點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和運(yùn)用五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入問題1：如何說明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。具體實(shí)例等差數(shù)列的概念具體實(shí)例等差數(shù)列的概念代數(shù)運(yùn)算歸納法通項(xiàng)公式函數(shù)角度數(shù)數(shù)一次函數(shù)形形抽象概念累加法累加法（二）觀察分析，感知概念引導(dǎo)探究1等比數(shù)列及等比中項(xiàng)的概念問題2：類比等差數(shù)列的研究思路和方法，從運(yùn)算的角度出發(fā)，觀察以下幾個(gè)數(shù)列，思考它們有何共同特征？1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥版上記錄了下面的數(shù)列:①,,,...,;②,,,...,;③,,,...,.2.《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”如果把“一尺之棰”的長(zhǎng)度看成單位“1”,那么從第1天開始,各天得到的“棰”的長(zhǎng)度依次是④3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)菌每20min就通過分裂繁殖一代，那么一個(gè)這種細(xì)菌從第1次分裂開始，各次分裂產(chǎn)生的后代個(gè)數(shù)依次是2,4,8,16,32,64,....⑤【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考、討論交流．教師提示，類比已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)好方法，比如“等差數(shù)列”；然后指引學(xué)生回顧等差數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，確定新數(shù)列的研究問題：相鄰兩項(xiàng)比是固定常數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】意在引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度，類比已有研究對(duì)象的主要特征，發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的特殊數(shù)列作為研究對(duì)象，這樣的過程有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力．（三）抽象概括，形成概念追問：（1）類比等差數(shù)列的概念，從上述幾個(gè)數(shù)列的規(guī)律中，你能抽象出等比數(shù)列的概念嗎？可以用符號(hào)語言表示嗎？一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)不為零的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公比，通常用字母表示.（2）從等比數(shù)列的符號(hào)語言可以發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的每一項(xiàng)和公比應(yīng)滿足什么條件？注:①?gòu)牡诙?xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比為常數(shù);②任意一項(xiàng)且;③時(shí)，為非零常數(shù)列.【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，等比數(shù)列的每一項(xiàng)，公比．【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分經(jīng)歷從觀察、分析到抽象、概括的過程，其中包括獨(dú)立思考和交流討論．同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)列的每一項(xiàng)和公比均不等于0的了解和記憶，這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的時(shí)機(jī)．例1判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列，如果是，寫出它的公比．．（1）1，，，，，…；不是（2）10,10,10,10,10，…；是，公比是1（3），，，，…；是，公比（4）1，0，1，0，1，…不是（5）1，-4，16，-64，256，…是，公比是-4（6）-1，-4，-16，-64，-256，…是，公比是4【師生活動(dòng)】請(qǐng)學(xué)生根據(jù)所學(xué)的等比數(shù)列的概念判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固等比數(shù)列的概念．追問：（1）觀察題（2）是公比為1的等比數(shù)列，那么它是等差數(shù)列嗎？數(shù)列“0,0,0,0,0...”是等差數(shù)列嗎？（2）觀察（2）、（3）、（6）它們有什么共同特征？（5）這個(gè)數(shù)列跟前3個(gè)相比有什么區(qū)別？結(jié)論：①非零常數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②q＞0時(shí)，等比數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)相同；q＜0時(shí)，等比數(shù)列正負(fù)交替，是擺動(dòng)數(shù)列.問題4：回憶等差中項(xiàng)的概念和關(guān)系，類比等差中項(xiàng)的定義，如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則G可以叫與做的等比中項(xiàng)嗎？如果可以，他們有什么關(guān)系？ 如果三個(gè)數(shù),G,組成等比數(shù)列，那么G叫做和的等比中項(xiàng).，那么叫做與的等比中項(xiàng)．此時(shí)，．【師生活動(dòng)】【師生活動(dòng)】根據(jù)學(xué)生探究的情況，教師引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立等比中項(xiàng)的定義．【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于難度不大的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法去找到等比數(shù)列中相鄰三項(xiàng)的關(guān)系，并抽象概念得到等比數(shù)列的定義．例2（1）2與8的等比中項(xiàng)為；答案：（2）?9和?4的等比中項(xiàng)為；答案：（3）1和?4的等比中項(xiàng)為；答案：（4）1，，4，-8是等比數(shù)列，則．答案：注意：同號(hào)兩數(shù)有兩個(gè)等比中項(xiàng)，它們互為相反數(shù)；異號(hào)兩數(shù)沒有等比中項(xiàng).【師生活動(dòng)】請(qǐng)學(xué)生根據(jù)等比中項(xiàng)的概念填空．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固等比中項(xiàng)的概念．四、辨析理解深化概念探究：你能根據(jù)等比數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得．不完不完全歸納法由此可得又，這就是說，當(dāng)時(shí)上式也成立．因此，首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為．問：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是除了應(yīng)用了不完全歸納法，還利用了累加法，類比等差數(shù)列的這個(gè)推導(dǎo)方法，等比數(shù)列還可以用什么方法推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式？設(shè)等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為累乘法，共有（n-1）個(gè)等式將這（n-1）個(gè)等式左右兩邊相乘得到，即思考：已知等比數(shù)列的公比為，試用的第項(xiàng)表示.結(jié)論：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為【師生活動(dòng)】讓學(xué)生先獨(dú)立思考，教師展示學(xué)生推導(dǎo)并規(guī)范解答．【設(shè)計(jì)意圖】?jī)?nèi)容難度不大，引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行推導(dǎo)，并得到等比數(shù)學(xué)的通項(xiàng)公式．這是一個(gè)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的時(shí)機(jī)．例3若等比數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng)分別為48和12，求的第5項(xiàng).【師生活動(dòng)】帶領(lǐng)學(xué)生完成第一個(gè)通項(xiàng)公式的尋找，后面三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式由學(xué)生獨(dú)立完成，最后教師組織學(xué)生訂正．【設(shè)計(jì)意圖】通過以上四個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)