2023年江蘇省南京重點(diǎn)大學(xué)附中特長(zhǎng)生數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年江蘇省南京重點(diǎn)大學(xué)附中特長(zhǎng)生數(shù)學(xué)試卷一、解答題：本題共13小題，共104分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。1.(本小題8分)

若x=15+2，則2.(本小題8分)

方程|x?1+3.(本小題8分)

5張卡片上分別寫(xiě)著數(shù)字1、1、2、2、3，從中任意抽取3張，則這3個(gè)數(shù)字可以作為三角形三邊的邊長(zhǎng)的概率為_(kāi)_____．4.(本小題8分)

如圖，△ABC中，D，E在BC上，AD=AE，∠BA5.(本小題8分)

已知質(zhì)數(shù)x，y，z滿足xyz=7(x+6.(本小題8分)

已知方程x2?(k2+2k+6)x+(2k27.(本小題8分)

因式分解：

(1?)a3b8.(本小題8分)

如圖，△ABC的外心為O，垂心為H，D為BC的中點(diǎn).求證：9.(本小題8分)

已知a+b+c=2023，10.(本小題8分)

已知方程ax2+2(11.(本小題8分)

如圖，⊙O內(nèi)切于半徑為3，圓心角為60°的扇形中，⊙E與⊙O外切，與扇形內(nèi)切，求12.(本小題8分)

已知n，k均為正整數(shù)，且對(duì)于每一個(gè)確定的n，滿足不等式59<nn+k<13.(本小題8分)

已知整數(shù)a，b，c滿足a<0<b<c答案和解析1.【答案】3【解析】解：∵x=15+2=5?2(5+2)(5?2)=5?2，

∴x+2=2.【答案】x=【解析】解：當(dāng)1<x≤2時(shí)，0<x?1≤1，

原方程化為：x?1+1+1?x?1=1x?1，

即1x?1=2，

解得x3.【答案】310【解析】解：由題意可知，任意抽取3張所有等可能的結(jié)果有：(1,1,2)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,2,3)，(1,2,2)4.【答案】5

【解析】解：∵∠BAE=∠C，∠AEB=∠C+∠EAC，∠BAC=∠BAE+∠EAC，

∴∠AEB=∠BAC，

∵AD=AE，

∴∠5.【答案】83

【解析】解：∵xyz=7(x+y+z)，x，y，z是質(zhì)數(shù)；

∴x=7或y=7或z=7；

當(dāng)x=7時(shí)，yz=7+y+z，

∵y，z是質(zhì)數(shù)，

∴y=3，z=5或y=5，z=3；

此時(shí)x2+y2+z2=72+32+52=83或x2+y2+z2=72+52+32=83；

同理當(dāng)y=7時(shí)，6.【答案】(1)證明：原方程可化為：(x?2)[x?(k2+2k+4)]=0，

∴原方程的兩根為2和k2+【解析】(1)只要證明Δ>0即可．

7.【答案】解：(1)原式=a3b?ab3+a2+b2+1+ab?ab

=(a3b?ab3)+(【解析】利用分組分解法因式分解即可．

本題考查分組分解法因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．8.【答案】證明：過(guò)點(diǎn)B作圓O的直徑BE，連接AE，CE，CH.如圖，

∵H為△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，

∵BE為圓O的直徑，

∴CE⊥BC，

∴AH/?/CE，

同理【解析】過(guò)點(diǎn)B作圓O的直徑BE，連接AE，CE，CH根據(jù)垂心的定義以及圓周角定理可得AH/?/CE，9.【答案】解：由題意，設(shè)ax2?yz=by2?xz=cz2?xy=k，

∴a=k(x2?y【解析】依據(jù)題意，設(shè)ax2?yz=by2?x10.【答案】解：∵當(dāng)a=0時(shí)，方程簡(jiǎn)化為：6x+2=0，x=?13，這與方程有正根矛盾，

∴a≠0，

∴原方程是關(guān)于x的一元二次方程，

∵方程有根，

∴Δ=4(a+3)2?4a(a+2)=16a+36≥0，

∴a≥94，

設(shè)方程兩根為x1、x2【解析】先判斷方程的類(lèi)型，再根據(jù)根的判別式推導(dǎo)a的取值范圍，因?yàn)橛姓?，依?jù)根與系數(shù)的關(guān)系分兩種情況討論即可．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．11.【答案】解：設(shè)扇形的圓心為A，⊙O與扇形的弧切于點(diǎn)B，與扇形的半徑切于點(diǎn)C，⊙E與扇形的半徑切于點(diǎn)F，連接AB，OC，EF，AE，OE，過(guò)E作ED⊥OC于點(diǎn)D．

由題可知，A，O，B共線，直角△AOC中∠OAC=30°，

∴OA=2OC=2OB，

∴AB=OA+OB=3OB=3，

∴OB=1，即⊙O的半徑為1．

設(shè)⊙E【解析】設(shè)扇形的圓心為A，⊙O與扇形的弧切于點(diǎn)B，與扇形的半徑切于點(diǎn)C，⊙E與扇形的半徑切于點(diǎn)F，連接AB，OC，EF，AE，OE，過(guò)E作ED⊥OC于點(diǎn)D.根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出⊙O的半徑為1.設(shè)⊙E的半徑為r，則EF=12.【答案】解：∵59<nn+k<47，

∴5(n+k)<9n，7n【解析】根據(jù)不等式得出k的取值范圍，然后根據(jù)k有唯一正整數(shù)解求解即可．

本題主要考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，將