等差數(shù)列基礎習題(附詳細答案)

等差數(shù)列基礎習題精選

-.選擇題（共26小題）

1.已知等差數(shù)列｛an｝中，a3=9,a9=3,則公差d的值為（）

A.AB.1

C.D.-1

22

2.已知數(shù)列同｝的通項公式是an=2n+5,則此數(shù)列是（)

A.以7為首項，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項，公差為5的等差數(shù)列

C.以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列

3.在等差數(shù)列廝｝中，ai=13,a3=12,若an=2，則n等于（）

A.23B.24C.25D.26

4.等差數(shù)列同｝的前n項和為Sn,已知S3=6,a4=8,貝!］公差d=（）

A.—1B.2C.3D.—2

5.兩個數(shù)1與5的等差中項是（）

C.2D.土丘

A.1B.3

6.一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，則它的公差是

（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.（2012?福建）等差數(shù)列&｝中，ai+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛a1的公差為（）

學習參考

2

A.1B.2C.3D.4

8?數(shù)歹haj的首項為3,{bj為等差數(shù)列且b/a/i-an（n€N*）^b3=-2（

b10=12，則&8=（）

A.0B.8C.3D.11

9.已知兩個等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,…都有100項，則它們的公共項的個數(shù)為（）

A.25B.24C.20D.19

10.設Sn為等差數(shù)列3｝的前n項和，若滿足an=an-1+2（n>2），且S3=9,則ai=（）

A.5B.3C.-1D.1

11.（2005?黑龍江）如果數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，則（）

A.ai+ag>34+35B.ai+ag=a4+a5C.ai+ag<34+35D.a1％=a4a5

12.（2004?福建）設Sn是等差數(shù)列同｝的前n項和，若名莫，則成=（

）

a39S5

A.1B.-1C.2

13.（2009?安徽）已知同｝為等差數(shù)列，ai+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,則azo等于（）

A.-1B.1C.3D.7

3

14.在等差數(shù)列廝｝中，a2=4,a6=12,,那么數(shù)列｛2｝的前n項和等于（）

2nH

A.2-當哼C.畤

2n

15.已知Sn為等差數(shù)歹U｛an｝的前n項的和，a2+a5=4,S7=21,貝!]a7的值為（）

A.6B.7C.8D.9

16.已知數(shù)列同｝為等差數(shù)列,ai+a3+a5=15,a4=7,則S6的值為（）

A.30B.35C.36D.24

17.（2012?營口）等差數(shù)列同｝的公差d<0,且[=溫，則數(shù)列同｝的前n項和Sn取得最大值時的

項數(shù)門是（)

A.5B.6C.5或6D.6或7

18.（2012?遼寧）在等差數(shù)列同｝中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和Sn=（）

A.58B.88C.143D.176

19.已知數(shù)歹！jQn｝等差數(shù)歹I」，且ai+a3+a5+a7+a9=10,a24-a4+a6+a8+aio=2O,則二()

A.-1B.0C.1D,2

2

20.（理）已知數(shù)列&｝的前n項和Sn=n-8n,Mk項滿足4<ak<7,則k=（）

A.6B.7C.8D.9

4

2

21.數(shù)歹Uan的前n項和為Sn,若Sn=2n-17n,則當Sn取得最小值時n的值為（）

A.4或5B.5或6C.4D.5

22.等差數(shù)列廝｝中,an=2n-4,則S4等于（)

A.12B.10C.8D.4

23.若&｝為等差數(shù)列，a3=4,a8=19,貝!］數(shù)歹U&｝的前10項和為()

A.230B.140C.115D.95

24.等差數(shù)列&｝中,a3+a8=5,則前10項和Sio=()

A.5B.25C.50D.100

25.設Sn是公差不為0的等差數(shù)列｛an｝的前n項和，且Si,S2,S4成等比數(shù)列,則我等于（）

al

A.1B.2C,3D.4

26.設an=-2n+21,則數(shù)列Qn｝從首項到第幾項的和最大（）

A.第10項B.第11項C.第10項或11項D.第12項

二.填空題（共4小題）

27.如果數(shù)列｛an｝滿足：--——1-二5（n￡N*）,則a=__?

1&什1ann

5

28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=l,2,3...)，且f(1)=2,則f(100)=.

29.等差數(shù)列同｝的前n項的和s『6n-，則數(shù)列｛廝|｝的前10項之和為.

30.已知同｝是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a6=55,a2+a7=16.

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式：

(n)若數(shù)列&｝和數(shù)列回｝滿足等式：an==b+h+h+...h(n為正整數(shù))，求數(shù)列回｝的前n項

222232n

和Sn.

6

參考答案與試題解析

--選擇題(共26小題)

1■已知等差數(shù)列島｝中，a3=9,a9=3,則公差d的值為()

A.4B.1C.D.-1

22

考點：等差數(shù)列.

專題：計算題.

分析.(a+(3-1)d=9

刀你.本題可由題意，構造方程組t1,、，解出該方程組即可得到答案.

aj(9-1)d=3

解答：解：等^數(shù)列同｝中,a3=9,ag=3,

fa.+(3-1)d=9

由等費列的通項公式，可得,1,、

a+(9-1)d=3

7

解得J，即等差數(shù)列的公差d=-1.

d=-1

故選D

點評：本題為等差數(shù)列的基本運算，只需構造方程組即可解決，數(shù)基礎題.

2.已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=2n+5,則此數(shù)列是()

A.以7為首項，公差為2的等差數(shù)列B.以7為首項，公差為5的等差數(shù)列

C.以5為首項，公差為2的等差數(shù)列D.不是等差數(shù)列

考點：等差數(shù)列.

專題：計算題.

分析：直接根據數(shù)列｛aj的通項公式是an=2n+5求出首項，再把相鄰兩項作差求出公差即可得出結論.

解答：解：因為an=2n+5,

所以ai=2xl+5=7;

an+i-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2.

故此數(shù)列是以7為首項，公差為2的等差數(shù)列.

故選A.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的應用.如果已知數(shù)列的通項公式，可以求出數(shù)列中的任意一項.

3.在等差數(shù)列3｝中,ai=13,a3=12,若an=2，則n等于()

A.23B.24C.25D.26

8

考點：等差數(shù)列.

專題：綜合題.

分析：根據譏=13,a3=12,利用等差數(shù)列的通項公式求得d的值，然后根據首項和公差寫出數(shù)列的通項公式,

讓其等于2得到關于n的方程，求出方程的解即可得到n的值.

解答：解：由題意得a3=ai+2d=12，把ai=13代入求得d=--1,

則an=13-1(n-1)=-1n+2Z=2,解得n=23

222

故選A

點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式化簡求值，是一道基礎題.

4.等差數(shù)列同｝的前n項和為Sn,已知S3=6,a4=8,則公差d=()

A.—1B.2C.3D.—2

考點：等差數(shù)列.

專題：計算題.

分析：根據等差數(shù)列的前三項之和是6,得到這個數(shù)列的第二項是2,這樣已知等差數(shù)列的；兩項，根據等差數(shù)列

的通項公式，得到數(shù)列的公差.

解答：解：?.等差數(shù)列｛aN的前n項和為Sn,

53=6,

.?.32=2

'.34=8,

.-.8=2+2d

.,.d=3,

9

故選c.

點評：本題考查等差數(shù)列的通項，這是一個基礎題，解題時注意應用數(shù)列的性質，即前三項的和等于第二項的三

倍，這樣可以簡化題目的運算.

5.兩個數(shù)1與5的等差中項是()

土x/s

A.1B.3C.2

考點：等差數(shù)列.

專題：計算題.

分析：由于a,b的等差中項為考,由此可求出1與5的等差中項.

解答：解：1與5的等差中項為：號=3,

故選B.

點評：本題考查兩個數(shù)的等差中項，牢記公式a,b的等差中項為：夸是解題的關鍵，屬基礎題.

6.一個首項為23,公差為整數(shù)的等差數(shù)列，如果前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，則它的公差是

()

A.-2B.-3C.-4D.-5

考點：等差數(shù)列.

專題：計算題.

分析：設等級列｛an｝的公差為d,因為數(shù)列前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，所以-名<d<-&，結合公

56

差為整數(shù)進而求出數(shù)列的公差.

解答：解：設等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

所以a6=23+5d,a7=23+6d,

又因為數(shù)列前六項均為正數(shù)，第七項起為負數(shù)，

所以-名CdC-名，

56

因為數(shù)列是公差為整數(shù)的等差數(shù)列，

所以d=-4.

故選C.

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等差數(shù)列的通項公式，并且結合正確的運算.

7.（2012?福建）等差數(shù)列同沖,ai+a5=10,a4=7,則數(shù)列｛aQ的公差為（）

A.1B.2C.3D.4

考點：等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：設數(shù)列｛an｝的公差為d,則由題意可得2ai+4d=10,ai+3d=7,由此解得d的值.

解答：解：設數(shù)列｛aQ的公差為d,則由ai+a5=10,a4=7,可得2ai+4d=10,ai+3d=7,解得d=2,

故選B.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于基礎題.

8.數(shù)列凡》的首項為3,0｝為等差數(shù)列且bfa.-an"『），若匕3二一2，

N0二12,則&8二（）

A.0B.8C.3D.11

考點：等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：先確定等差數(shù)列｛bn）的通項，再利用bn=a壯1-a”（n€N*），我們可以求得的值.

解答：解：?,｛1^｝為等差數(shù)列＜b3=-2,b10=12-

10~b314

10-37

??bn=b3+(n-3)x2=2n-8

-bn=anM-an(舊*)

?-b8=a8-ai

.?數(shù)列［a］的首項為3

..2x8-8=38-3,

.?.a8=ll.

故選D

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式的應用，由等差數(shù)列的任意兩項，我們可以求出數(shù)列的通項，是基礎題.

9.已知兩個等差數(shù)列5,8,11,…和3,7,11,都有100項,則它們的公共項的個數(shù)為（）

A.25B.24C.20D.19

考點：等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：（法一）：根據兩個等差數(shù)列的相同的項按原來的先后次序組成一個等差數(shù)列，且公差為原來兩個公差的

最小公倍數(shù)求解，

(法二)由條件可知兩個等差數(shù)列的通項公式，可用不定方程的求解方法來求解.

解答：解法一:設兩個數(shù)列相同的項按原來的前后次序組成的新數(shù)列為｛an｝,則ai=U

?.數(shù)列5,8,11,…與3,7,11,…公差分別為3與4,

..&｝的公差d=3x4=12,

.?.an=ll+12(n-1)=12n-1.

又.5,8,11,與3,7,11,…的第100項分別是302與399,

.-.an=12n-1<302,即n<25.5.

X-.neN*,

..兩個數(shù)列有25個相同的項.

故選A

解法二:設5,8,11,與3,7,11,分別為同｝與｛屈｝,則an=3n+2,bn=4n-1.

設｛an｝中的第n項與｛%｝中的第m項相同，

即3n+2=4m-1，,n=Wm-1.

3

又m、nGN*,可設m=3r(rGN*)，得n=4r-1.

根據題意得l<3r<100l<4r-l<100解得四

24

,.,reN*

從而有25個相同的項

故選A

點評：解法一利用了等差數(shù)列的性質，解法二利用了不定方程的求解方法，對學生的運算能力及邏輯思維能力的

要求較高.

13

10.設Sn為等差數(shù)列同｝的前n項和，若滿足an=an-1+2(n>2)，且S3=9,則ai=()

A.5B.3C.-1D.1

考點：等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：根據遞推公式求出公差為2,再由S3=9以及前n項和公式求出ai的值.

解答::?.an=an-i+2(n>2),.-.an-an-i=2(n>2),

.??等差數(shù)列同｝的公差是2,

由S3=3ai+.‘：2x2=9解得，ai=l.

故選D.

點評：本題考查了等差數(shù)列的定義，以及前n項和公式的應用，即根據代入公式進行求解.

11.(2005?黑龍江)如果數(shù)列a｝是等差數(shù)列，則()

A.ai+ag>a4+asB.ai+a8=a4+asC.ai+as<34+35D.ae8=a4a5

考點：等差數(shù)列的性質.

分析：用通項公式來尋求ai+ag與a4+as的關系.

解答：解：:ai+a8-(a4+as)=2ai+7d-(2ai+7d)=0

.'ai+ag=^4"^35

故選B

點評：本題主要考查等差數(shù)列通項公式，來證明等差數(shù)列的性質.

a匚S

12.（2004?福建）設Sn是等差數(shù)列出｝的前n項和，若則工=（）

a39S5

A.1B.-1C.2D.[

2

考點：等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：充分利用等差數(shù)列前n項和與某些特殊項之間的關系解題.

解答：解：設等差數(shù)列｛aN的首項為ai,由等差數(shù)列的性質可得

31+39=235,31+35=233,

二里二——色二"=],

$5al+a55a359

—^―X5

故選A.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質、等差數(shù)列的前n項和公式以及等差中項的綜合應用，

已知等差數(shù)列出｝的前n項和為Sn,則有如下關系S2n-1=（2n-1）an.

13.（2009?安徽）已知｛an｝為等差數(shù)歹II,ai+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,貝！|azo等于（）

A.-1B.1C.3D,7

考點：等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：根據已知條件和等差中項的性質可分別求得a3和a4的值，進而求得數(shù)列的公差，最后利用等差數(shù)列的通項

公式求得答案.

解答:解:由已知得ai+a3+a5=3a3=105,

a2+a4+a6=3a4=99,

..33=35,a4=33,.'.d=a4-as=-2.

.-.a2o=a3+17cl=35+（-2）xl7=l.

故選B

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質和等差數(shù)列的通項公式的應用.解題的關鍵是利用等差數(shù)列中等差中項的

性質求得a3和a4.

14.在等差數(shù)列廝｝中，a2=4,a6=12,,那么數(shù)列｛③｝的前n項和等于（）

A.2-筮B.1端C.噂D.n（二1）

考點：數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：求出等差數(shù)列的通項，要求的和是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構成的數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)

列的前n項的和.

解答：解：?.等差數(shù)列｛an｝中，a2=4,a6=12;

二公差d=&6-七二"a

-2；

6-26-2

.,.an=a2+(n-2)x2=2n;

?_n?

■的前n項和，

2nH

2n-11a

V1X1+2X弓)+3X+…+(n-1)X(a)+nX(工)

右)2

341n1rd-1

聶=ix(A)2+2X(1)+3X01)…+(n-1)X

(工)+nX(,)

2

rd-1

兩式相減%Sn=^+（/）13+??,+弓）n-n(l)

1rrH

上成"In弓)

^T-

-'V

故選B

點評：求數(shù)列的前n項的和，先判斷通項的特點，據通項的特點選擇合適的求和方法.

15.已知Sn為等差數(shù)歹U{an}的前n項的和，a2+a5=4,S7=21,貝Ua7的值為()

A.6B.7C.8D.9

考點：等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：由a2+a5=4,S7=21根據等差數(shù)列的性質可得a3+a4=a/a6=4①，根據等差數(shù)列的前n項和公式可得,

之等X7=21，聯(lián)立可求d,ai,代入等差數(shù)列的通項公式可求

解答：解:等差數(shù)列&｝中，a2+a5=4,S7=21

根據等差數(shù)列的性質可得a3+a4=ai+a6=4①

Sj+ay

根據等差數(shù)列的前n項和公式可得X7=21

2

所以ai+a7=6②

②-①可得d=2,ai=-3

所以a7=9

故選D

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和公式及等差數(shù)列的性質的綜合應用，屬于基礎試題.

16.已知數(shù)列同｝為等差數(shù)列，ai+a3+a5=15,a4=7,則S6的值為（）

A.30B.35C.36D.24

考點：等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分析：利用等差中項的性質求得a3的值，進而利用ai+a6=a3+a4求得ai+a6的值，代入等差數(shù)列的求和公式中求

得答案.

解答：解：ai+a3+as=3a3=15,

.■,33=5

.,.ai+a6=a3+a4=12

，S6=----i~一X6=36

2

故選C

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質.特別是等差中項的性質.

17.（2012?營口）等差數(shù)列同｝的公差d<0,且③然a1，則數(shù)列同｝的前n項和Sn取得最大值時的

項數(shù)n是（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

考點：等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：由d<0,，知ai+aii=O.由此能求出數(shù)列&｝的前n項和Sn取得最大值時的項數(shù)n.

解答：解：由d<0,ai=aii,

知ai+an=O.

?a6=0,

故選C.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的性質，求和公式.要求學生能夠運用性質簡化計算.

18.(2012?遼寧)在等差數(shù)列同｝中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和Sn=()

A.58B.88C.143D.176

考點：等差數(shù)列的性質；等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

刀忻-根據等差數(shù)列的定義和性質得ai+an=a4+a8=16,再由Sn=-----i——生一運算求得結果.

2

解答?11(a1+a「)

'解：；在等歹U｛an｝中,已知a4+a8=16,.-.ai+aii=a4+a8=16,，Sii=------i-------=88,

2

故選B.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質，等差數(shù)列的前n項和公式的應用，屬于中檔題.

19.已知數(shù)歹(l{an}等差數(shù)歹U,B.ai+a3+a5+a7+a9=10,a2+a4+a6+a8+aio=2O,貝?。輆4=()

A.-1B.0C.1D.2

考點：等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

分析:

由等差數(shù)列得性質可得：5a5=10,即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4,再由等差中項可知：a4=2a5-

36=0

解答:

解：由等差數(shù)列得性質可得：ai+a9=a3+a7=2a5,又ai+a3+a5+a7+a9=10,

故5a5=10，即a5=2.同理可得5a6=20,a6=4.

再由等差中項可知：a4=2a5-a6=0

故選B

點評：本題考查等差數(shù)列的性質及等差中項，熟練利用性質是解決問題的關鍵，屬基礎題.

20.(理)已知數(shù)列&｝的前n項和Sn=?-8n,第k項滿足4<ak<7,則k=()

A.6B.7C.8D.9

考點：等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

fS,(n=l)

分析：先利用公式

an，,、、求出再由第項滿足建立不等式，求出的值.

|Sn-Sn7(n>2)a-k4<ak<7,k

S(n=l)

解答：解：an二

Sn-Sn_I(n>2)

-7(n=l)

-9+2n(n32)

/n=l時適合an=2n-9,/.an=2n-9.

/4<ak<7,:A<2k-9<7,

/.—<k<8,又「k￡N+,「.k=7,

2

故選B.

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要注意公式an二(s,(n=l)

,、、的合理運用，屬于基礎

題.

2

21.數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sn=2n-17n,則當Sn取得最小值時n的值為()

A.4或5B.5或6C.4D.5

考點：等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

分析：把數(shù)列的前n項的和Sn看作是關于n的二次函數(shù)，把關系式配方后,又根據n為正整數(shù)，即可得到Sn取

得最小值時n的值.

解答：解：因為Sn=2?-17n=2(n-衛(wèi))？-箋，

416

又n為正整數(shù)，

所以當n=4時，Sn取得最小值.

故選C

點評：此題考查學生利用函數(shù)思想解決實際問題的能力，是一道基礎題.

22.等差數(shù)列廝｝中，an=2n-4,則S4等于()

A.12B.10C.8D.4

考點：等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

分析：利用等差數(shù)列廝｝中，an=2n-4,先求出ai,d,再由等差數(shù)列的前n項和公式求S4.

解答：解：?.等差數(shù)列同｝中，an=2n-4,

..ai=2-4=-2,

a2=4-4=0,

d=0-(-2)=2,

.-.S4=4ai+-12￡3d

2

=4x(-2)+4x3

=4.

故選D.

點評：本題考查等差數(shù)列的前n項和公式的應用，是基礎題.解題時要認真審題，注意先由通項公式求出首項和

公差，再求前四項和.

23.若同｝為等差數(shù)列，a3=4,a8=19,則數(shù)列&｝的前10項和為()

A.230B.140C.115D.95

考點：等差數(shù)列的前n項和.

專題：綜合題.

分析：分別利用等差數(shù)列的通項公式化簡已知的兩個等式，得到①和②，聯(lián)立即可求出首項和公差，然后利用求

出的首項和公差，根據公差數(shù)列的前n項和的公式即可求出數(shù)列前10項的和.

解答：解：a3=ai+2d=4①，a8=ai+7d=19②，

②-①得5d=15,

解得d=3,

把d=3代入①求得ai=-2,

所以Si=10x(-2)

0+102￡9X3=115

2

故選C.

點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道基礎題.

24.等差數(shù)列廝｝中，a3+a8=5,貝!］前10項和Sio=()

A.5B,25C.50D.100

考點：等差數(shù)列的前n項和；等差數(shù)列的性質.

專題：計算題.

分桿F,10(a+a)

刀忻.根據條件并利用等差數(shù)列的定義和性質可得ai+aw=5，代入前10項和Sio二------1一—運算求得

2

結果?

解答：解:等差數(shù)列出｝中,a3+a8=5z/.ai+aio=5,

-10(+am)

.?.前10項和Sio=-----i一一=25,

2

故選B.

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質，以及前n項和公式的應用,求得ai+ai0=5,是解題的關鍵，屬于基

礎題.

25.設Sn是公差不為0的等差數(shù)列3｝的前n項和，且Si,S2,S4成等比數(shù)列，則我等于()

al

A.1B.2C.3D.4

考點：等差數(shù)列的前n項和.

專題：計算題.

分析：由Si,S2,S4成等比數(shù)列，根據等比數(shù)歹U的性質得至US22=S1S4,然后利用等差數(shù)列的前n項和的公式分別

表示出各項后，代入即可得到首項和公差的關系式，根據公差不為0,即可求出公差與首項的關系并解出

公差d,然后把所求的式子利用等差數(shù)列的通項公式化簡后，把公差d的關系式代入即可求出比值.

解答：解：由Si,S2,S4成等比數(shù)列，

(2ai+d)2=ai(4ai+6d).

,「dwO,.,.d=2ai.

a?a[+d3a]

?.===3.

alalal

故選C

點評：此題考查學生掌握等比數(shù)列的性質,靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，是一道綜

合題.

26.設an=-2n+21,則數(shù)列｛aQ從首項到第幾項的和最大()

A.第10項B.第11項C.第10項或11項D.第12項

考點：等差數(shù)列的前n項和；二次函數(shù)的性質.

專題：轉化思想.

分析：方法一：由an,令n=l求出數(shù)列的首項，利用an-an-1等于一個常數(shù)，得到此數(shù)列為等差數(shù)列，然后根

據求出的首項和公差寫出等差數(shù)列的前n項和的公式，得到前n項的和與n成二次函數(shù)關系，其圖象為開

口向下的拋物線，當n=-電時，前n項的和有最大值，即可得到正確答案；

2a

方法二：令an大于等于0,列出關于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范圍，在n的范圍中找

出最大的正整數(shù)解，從這項以后的各項都為負數(shù)，即可得到正確答案.

解答：解：方法一：由an=-2n+21，得到首項ai=-2+21=19,an-1=-2(n-1)+21=-2n+23,

則an-an-i=(-2n+21)-(-2n+23)=-2,(n>l,neN+),

所以此數(shù)列是首項為19,公差為-2的等差數(shù)列，

n(n1；2

貝!]Sn=19n+-?(-2)=-n+20n,為開口向下的拋物線，

2

當n=-——嚴、=1。時，Sn最大.

所以數(shù)列｛an｝從首項到第10項和最大.

方法二:令an=-2n+21令,

解得,因為n取正整數(shù)，所以n的最大值為10,

2

所以此數(shù)列從首項到第10項的和都為正數(shù)，從第11項開始為負數(shù)，

則數(shù)列｛an｝從首項到第10項的和最大.

故選A

點評：此題的思路可以先確定此數(shù)列為等差數(shù)列，根據等差數(shù)列的前n項和的公式及二次函數(shù)求最值的方法得到

n的值；也可以直接令an>0,求出解集中的最大正整數(shù)解，要求學生一題多解.

二.填空題(共4小題)

27.如果數(shù)列a｝滿足：a>3,'-15(n€N*),貝心=_--—_

1ard-lann-15n-14

考點：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析：根據所給的數(shù)列的遞推式，看出數(shù)列是一個等差數(shù)列，根據所給的原來數(shù)列的首項看出等差數(shù)列的首項,

根據等差數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列，進一步得到結果.

解：?.根據所給的數(shù)列的遞推式二―-」-二5

an

二數(shù)列｛工｝是一個公差是5的等差數(shù)列，

a-

-ai=3,

」」，

a]3

，數(shù)列的通項是工」^5(n-1)=：5n-5=5n-騷

anal33

3

"an=15n-14

故答案為：3

15n-14

點評：本題看出數(shù)列的遞推式和數(shù)列的通項公式，本題解題的關鍵是確定數(shù)列是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的

通項公式寫出通項，本題是一個中檔題目.

28.如果f(n+1)=f(n)+1(n=l,2,3...)，且f(1)=2,則f(100)=101.

考點：數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的通項公式.

專題：計算題.

分析:由f(n+1)=f(n)+1,XWN+,f(1)=2,依次令n=l,2,3,…，總結規(guī)律得到f(n)=n+l,由此

能夠求出f(100)

解答:解:■-f(n+1)=f(n)+1,xGN+,