模型C05 三角形全等-三垂直模型（原卷版）

三垂直模型三垂直模型模型講解模型講解【結(jié)論一】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，則有以下結(jié)論成立：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE【證明】：①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）．②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴DE＝AD+BE．【結(jié)論二】（其他形狀一線三垂直）①DE＝AD﹣BE；②DE＝BE﹣AD方法點(diǎn)撥例題演練例題演練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，若AD＝8cm，BE＝3cm，則DE＝cm．【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，，∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝8cm，BE＝3cm，∴DE＝5cm，故答案為：5．2．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，連接BD，求S△BCD；（2）如圖2，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．【解答】解：（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD＝AC＝4，∴S△BCD＝S△ABD＝AD?AB＝×8×4＝16；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AC，交AG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，又∵∠BAC＝90°，∴∠HCA＝∠DAB＝90°，∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，∴∠ABD＝∠DAF，又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，∴△ABD≌△CAH（AAS），∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．又∵AD＝CE，∴CH＝CE．∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，∴∠BCH＝∠ACB＝45°，又∵GC＝GC，CH＝CE，∴△ECG≌△HCG（SAS），∴∠CEG＝∠H，又∵∠ADB＝∠H，∴∠ADB＝∠CEG強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作DG⊥AB交AC于點(diǎn)D．（1）如圖1，連接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的長(zhǎng)；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BD，連接AE，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，AE為直角邊向外作等腰直角三角形AEF，使得點(diǎn)F剛好落在BD的延長(zhǎng)線上，求證：BC＝DE+DF．2．（2016秋?九龍坡區(qū)月考）已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）如圖1，若AB＝8，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，求S△BCD；（2）如圖2，若BD是△ABC的角平分線，請(qǐng)寫出線段AB、AD、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若D、E是AC邊上兩點(diǎn)，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，連接BE、GE，求證：∠ADB＝∠CEG．3．（2017?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為CB上一點(diǎn)，且滿足CD＝CA，連接AD．過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的長(zhǎng)；（2）如圖2，若點(diǎn)F是線段CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FD，若∠F＝30°，求證：CF＝AE+DF；（3）如圖3，設(shè)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其它條件不變，直線CE與直線AD交于點(diǎn)F，若∠F＝30°，請(qǐng)直接寫出線段CF，AE，DF之間的關(guān)系，不需要說(shuō)明理由．1．（2017?南岸區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝BD，且AD⊥BD，